{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2) (28)\nFunkcja liniowa 𝑓 przyjmuje wartość 2 dla argumentu 0, a ponadto 𝑓(4) -𝑓(2) = 6.\nWyznacz wzór funkcji 𝑓.\nOdpowiedź:\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Funkcja liniowa f przyjmuje wartość 2 dla argumentu 0, a ponadto f(4)-f(2)=6. Wyznacz wzór funkcji f.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 31. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n4.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na\npodstawie informacji o funkcji […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nskorzysta z własności funkcji liniowej i zapisze wartość wyrazu wolnego funkcji 𝑓, np.\n𝑏= 2 lub 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 2\nALBO\n\nzapisze równanie ze współczynnikami funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏, wynikające z treści\nzadania, np. 2 = 𝑎⋅0 + 𝑏 lub 𝑎⋅4 + 𝑏-(𝑎⋅2 + 𝑏) = 6\nALBO\n\npoprawnie obliczy współczynnik kierunkowy 𝑎 funkcji 𝑓 (np. poprzez zastosowanie\nilorazu różnicowego): 𝑎= 3\nALBO\n\nnie przedstawi toku rozumowania ani obliczeń i zapisze wzór funkcji 𝑓(𝑥) = 3𝑥+ 2\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę wyznaczenia współczynnika 𝑎, uzyska poprawne wartości\nwspółczynników 𝑎 i 𝑏 oraz zapisze wzór funkcji 𝑓(𝑥) = 3𝑥+ 2.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZ warunku 𝑓(0) = 2 wnioskujemy, że współczynnik 𝑏 we wzorze funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏\njest równy 2.\nObliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎 :\n𝑎= 𝑓(𝑥1) -𝑓(𝑥2)\n𝑥1 -𝑥2\n𝑎= 𝑓(4) -𝑓(2)\n4 -2\n= 6\n2 = 3\nZapisujemy wzór funkcji 𝑓(𝑥) = 3𝑥+ 2.\nSposób 2.\nFunkcja liniowa 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏 przyjmuje wartość 2 dla argumentu 0, czyli 𝑓(0) = 2,\nwięc 𝑏= 2.\nZ treści zadania wiemy, że 𝑓(4) -𝑓(2) = 6. Stąd\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n4𝑎+ 𝑏-(2𝑎+ 𝑏) = 6\n2𝑎= 6\n𝑎= 3\nZatem 𝑓(𝑥) = 3𝑥+ 2.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = 3x + 2\\)\n\n## Sposób 1 - Układ równań z definicji funkcji liniowej\n\nKażda funkcja liniowa ma postać:\n\\[f(x) = ax + b\\]\n\n**Krok 1: Wyznacz wyraz wolny \\(b\\).**\n\nWiemy, że \\(f(0) = 2\\):\n\\[f(0) = a \\cdot 0 + b = b = 2\\]\n\n**Mamy już \\(b = 2\\), więc \\(f(x) = ax + 2\\).**\n\n**Krok 2: Wyznacz współczynnik kierunkowy \\(a\\).**\n\nKorzystamy z warunku \\(f(4) - f(2) = 6\\):\n\\[f(4) = 4a + 2\\]\n\\[f(2) = 2a + 2\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[f(4) - f(2) = (4a + 2) - (2a + 2) = 2a = 6\\]\n\\[a = 3\\]\n\n**Wynik końcowy:**\n\\[\\boxed{f(x) = 3x + 2}\\]\n\n## Sposób 2 - Interpretacja geometryczna (nachylenie prostej)\n\nFunkcja liniowa to prosta. Szukamy jej wzoru znając punkt i „prędkość wzrostu\".\n\n**Krok 1: Odczytaj punkt z pierwszego warunku.**\n\n\\(f(0) = 2\\) - prosta przechodzi przez punkt \\((0, 2)\\), czyli **punkt przecięcia z osią \\(OY\\)** to \\(2\\).\n\n**Krok 2: Wyznacz współczynnik kierunkowy z różnicy wartości.**\n\nRóżnica \\(f(4) - f(2) = 6\\) oznacza, że gdy argument rośnie o \\(4 - 2 = 2\\), funkcja rośnie o \\(6\\).\n\nWspółczynnik kierunkowy to wzrost funkcji przypadający na jednostkowy wzrost argumentu:\n\\[a = \\frac{\\Delta f}{\\Delta x} = \\frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \\frac{6}{2} = 3\\]\n\n**Krok 3: Zapisz wzór.**\n\n\\[f(x) = 3x + 2\\]\n\n**Weryfikacja:**\n\\[f(0) = 3 \\cdot 0 + 2 = 2 \\checkmark\\]\n\\[f(4) - f(2) = (12 + 2) - (6 + 2) = 14 - 8 = 6 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji funkcji liniowej \\(f(x) = ax + b\\) i podstawowe działania algebraiczne.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(f(0) = 2\\) wprost daje wyraz wolny \\(b = 2\\) - nie trzeba go wyznaczać z układu równań. To skrót, który warto zauważyć.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(f(4) - f(2) = 6\\) **nie oznacza**, że \\(f(4) = 6\\) ani \\(f(2) = 0\\). To tylko informacja o tym, jak bardzo funkcja wzrosła między argumentami \\(2\\) a \\(4\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy podstawiasz do \\(f(4) - f(2)\\), nie zapomnij wziąć w nawias - błąd przy \\((4a+2)-(2a+2)\\) polega na „gubieniu\" nawiasu i liczeniu \\(4a + 2 - 2a + 2 = 2a + 4\\) zamiast \\(2a\\).\n\n**Odpowiedź: \\(f(x) = 3x + 2\\)**\n\n### Sposób 1 - Bezpośrednio z własności funkcji liniowej\nNiech \\(f(x) = ax + b\\).\nZ warunku \\(f(0) = 2\\): \\(b = 2\\).\nObliczamy współczynnik kierunkowy jako iloraz różnicowy:\n\\[a = \\dfrac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \\dfrac{6}{2} = 3.\\]\nStąd \\(f(x) = 3x + 2\\).\n\n### Sposób 2 - Układ równań\n\\(f(0) = b = 2\\). Teraz \\(f(4) - f(2) = (4a+b) - (2a+b) = 2a = 6\\), więc \\(a = 3\\).\nStąd \\(f(x) = 3x + 2\\).\n\n### Sprawdzenie\n\\(f(0) = 3\\cdot 0 + 2 = 2\\) ✓.\n\\(f(4) - f(2) = (12+2) - (6+2) = 14 - 8 = 6\\) ✓.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za wyznaczenie \\(b = 2\\) LUB zapisanie równania z obu warunków LUB obliczenie \\(a = 3\\).\n- 2 pkt za poprawny wzór \\(f(x) = 3x + 2\\).\n\n**Klucz:** wartość w zerze to wyraz wolny \\(b\\), a iloraz różnicowy dla funkcji liniowej zawsze daje współczynnik kierunkowy \\(a\\).","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg","topics":"funkcje","page_from":18,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 31. (0-2) (28)
Funkcja liniowa 𝑓 przyjmuje wartość 2 dla argumentu 0, a ponadto 𝑓(4) -𝑓(2) = 6.
Wyznacz wzór funkcji 𝑓.
Odpowiedź:

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Funkcja liniowa f przyjmuje wartość 2 dla argumentu 0, a ponadto f(4)-f(2)=6. Wyznacz wzór funkcji f.

","answer_text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
4.6) wyznacza wzór funkcji liniowej na
podstawie informacji o funkcji […].
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:

skorzysta z własności funkcji liniowej i zapisze wartość wyrazu wolnego funkcji 𝑓, np.
𝑏= 2 lub 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 2
ALBO

zapisze równanie ze współczynnikami funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏, wynikające z treści
zadania, np. 2 = 𝑎⋅0 + 𝑏 lub 𝑎⋅4 + 𝑏-(𝑎⋅2 + 𝑏) = 6
ALBO

poprawnie obliczy współczynnik kierunkowy 𝑎 funkcji 𝑓 (np. poprzez zastosowanie
ilorazu różnicowego): 𝑎= 3
ALBO

nie przedstawi toku rozumowania ani obliczeń i zapisze wzór funkcji 𝑓(𝑥) = 3𝑥+ 2
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zastosuje poprawną metodę wyznaczenia współczynnika 𝑎, uzyska poprawne wartości
współczynników 𝑎 i 𝑏 oraz zapisze wzór funkcji 𝑓(𝑥) = 3𝑥+ 2.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Z warunku 𝑓(0) = 2 wnioskujemy, że współczynnik 𝑏 we wzorze funkcji 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏
jest równy 2.
Obliczamy współczynnik kierunkowy 𝑎 :
𝑎= 𝑓(𝑥1) -𝑓(𝑥2)
𝑥1 -𝑥2
𝑎= 𝑓(4) -𝑓(2)
4 -2
= 6
2 = 3
Zapisujemy wzór funkcji 𝑓(𝑥) = 3𝑥+ 2.
Sposób 2.
Funkcja liniowa 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 𝑏 przyjmuje wartość 2 dla argumentu 0, czyli 𝑓(0) = 2,
więc 𝑏= 2.
Z treści zadania wiemy, że 𝑓(4) -𝑓(2) = 6. Stąd
Zasady oceniania rozwiązań zadań
4𝑎+ 𝑏-(2𝑎+ 𝑏) = 6
2𝑎= 6
𝑎= 3
Zatem 𝑓(𝑥) = 3𝑥+ 2.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(f(x) = 3x + 2\\)

\n

Sposób 1 - Układ równań z definicji funkcji liniowej

\n

Każda funkcja liniowa ma postać:
\\[f(x) = ax + b\\]

\n

Krok 1: Wyznacz wyraz wolny \\(b\\).

\n

Wiemy, że \\(f(0) = 2\\):
\\[f(0) = a \\cdot 0 + b = b = 2\\]

\n

Mamy już \\(b = 2\\), więc \\(f(x) = ax + 2\\).

\n

Krok 2: Wyznacz współczynnik kierunkowy \\(a\\).

\n

Korzystamy z warunku \\(f(4) - f(2) = 6\\):
\\[f(4) = 4a + 2\\]
\\[f(2) = 2a + 2\\]

\n

Podstawiamy:
\\[f(4) - f(2) = (4a + 2) - (2a + 2) = 2a = 6\\]
\\[a = 3\\]

\n

Wynik końcowy:
\\[\\boxed{f(x) = 3x + 2}\\]

\n

Sposób 2 - Interpretacja geometryczna (nachylenie prostej)

\n

Funkcja liniowa to prosta. Szukamy jej wzoru znając punkt i „prędkość wzrostu".

\n

Krok 1: Odczytaj punkt z pierwszego warunku.

\n

\\(f(0) = 2\\) - prosta przechodzi przez punkt \\((0, 2)\\), czyli punkt przecięcia z osią \\(OY\\) to \\(2\\).

\n

Krok 2: Wyznacz współczynnik kierunkowy z różnicy wartości.

\n

Różnica \\(f(4) - f(2) = 6\\) oznacza, że gdy argument rośnie o \\(4 - 2 = 2\\), funkcja rośnie o \\(6\\).

\n

Współczynnik kierunkowy to wzrost funkcji przypadający na jednostkowy wzrost argumentu:
\\[a = \\frac{\\Delta f}{\\Delta x} = \\frac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \\frac{6}{2} = 3\\]

\n

Krok 3: Zapisz wzór.

\n

\\[f(x) = 3x + 2\\]

\n

Weryfikacja:
\\[f(0) = 3 \\cdot 0 + 2 = 2 \\checkmark\\]
\\[f(4) - f(2) = (12 + 2) - (6 + 2) = 14 - 8 = 6 \\checkmark\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji funkcji liniowej \\(f(x) = ax + b\\) i podstawowe działania algebraiczne.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Warunek \\(f(0) = 2\\) wprost daje wyraz wolny \\(b = 2\\) - nie trzeba go wyznaczać z układu równań. To skrót, który warto zauważyć.
\n
⚠️ Uwaga: Różnica \\(f(4) - f(2) = 6\\) nie oznacza, że \\(f(4) = 6\\) ani \\(f(2) = 0\\). To tylko informacja o tym, jak bardzo funkcja wzrosła między argumentami \\(2\\) a \\(4\\).
\n
⚠️ Uwaga: Gdy podstawiasz do \\(f(4) - f(2)\\), nie zapomnij wziąć w nawias - błąd przy \\((4a+2)-(2a+2)\\) polega na „gubieniu" nawiasu i liczeniu \\(4a + 2 - 2a + 2 = 2a + 4\\) zamiast \\(2a\\).
\n

Odpowiedź: \\(f(x) = 3x + 2\\)

\n
Sposób 1 - Bezpośrednio z własności funkcji liniowej
\n

Niech \\(f(x) = ax + b\\).
Z warunku \\(f(0) = 2\\): \\(b = 2\\).
Obliczamy współczynnik kierunkowy jako iloraz różnicowy:
\\[a = \\dfrac{f(4) - f(2)}{4 - 2} = \\dfrac{6}{2} = 3.\\]
Stąd \\(f(x) = 3x + 2\\).

\n
Sposób 2 - Układ równań
\n

\\(f(0) = b = 2\\). Teraz \\(f(4) - f(2) = (4a+b) - (2a+b) = 2a = 6\\), więc \\(a = 3\\).
Stąd \\(f(x) = 3x + 2\\).

\n
Sprawdzenie
\n

\\(f(0) = 3\\cdot 0 + 2 = 2\\) ✓.
\\(f(4) - f(2) = (12+2) - (6+2) = 14 - 8 = 6\\) ✓.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Klucz: wartość w zerze to wyraz wolny \\(b\\), a iloraz różnicowy dla funkcji liniowej zawsze daje współczynnik kierunkowy \\(a\\).

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"
  1. Zauważamy, że funkcja liniowa ma postać $$f(x) = ax + b$$, gdzie $a$ to współczynnik kierunkowy, a $b$ to wyraz wolny.
\n
  1. Z treści zadania wiemy, że funkcja $f$ przyjmuje wartość $2$ dla argumentu $0$. To oznacza, że $f(0) = 2$. Możemy to zapisać jako:
\n

$$f(0) = a \\cdot 0 + b = b$$
Oznacza to, że $b = 2$.

\n
  1. Teraz mamy wzór funkcji, który przyjmuje postać:
\n

$$f(x) = ax + 2$$
Musimy jeszcze znaleźć wartość współczynnika $a$.

\n
  1. Mamy również informację, że $f(4) - f(2) = 6$. Obliczmy wartość $f(4)$ i $f(2)$:
\n

$$f(4) = a \\cdot 4 + 2 = 4a + 2$$
$$f(2) = a \\cdot 2 + 2 = 2a + 2$$

\n
  1. Podstawiamy te wartości do równania:
\n

$$f(4) - f(2) = (4a + 2) - (2a + 2)$$
Upraszczamy:
$$f(4) - f(2) = 4a + 2 - 2a - 2 = 2a$$
Zatem otrzymujemy równanie:
$$2a = 6$$

\n
  1. Dzielimy obie strony równania przez 2:
\n

$$a = \\frac{6}{2} = 3$$

\n
  1. Teraz, mając wartość $a$, możemy zapisać pełny wzór funkcji:
\n

$$f(x) = 3x + 2$$

\n

Odpowiedź: $f(x) = 3x + 2$

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$f(x) = 3x+2$

"}]}