{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2) (29)\nRozwiąż równanie:\n3𝑥+ 2\n3𝑥-2 = 4 -𝑥\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n31.\n32.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż równanie: 3x+2/3x-2 = 4-x","answer":null,"answer_text":"Zadanie 32. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n3.7) rozwiązuje proste równania wymierne,\nprowadzące do równań liniowych lub\nkwadratowych […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy poprawnie przekształci równanie 3𝑥+2\n3𝑥-2 = 4 -𝑥 do równania kwadratowego, np.:\n3𝑥+ 2 = (3𝑥-2)(4 -𝑥)\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania wymiernego (np. stosuje\nprzekształcenia równoważne) i uzyska poprawne rozwiązania: 𝑥= 5\n3 lub 𝑥= 12\n6 = 2.\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający nie zapisze zastrzeżenia 𝑥≠2\n3, to może otrzymać 2 punkty.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania, otrzyma równanie\nkwadratowe, które ma dwa rozwiązania i konsekwentnie je rozwiąże do końca, to może\notrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego, zastosuje\nbłędną metodę i zapisze np. (3𝑥+ 2)(3𝑥-2) = (4 -𝑥)(3𝑥-2), to otrzymuje\n0 punktów za całe rozwiązanie.\n4. Jeżeli zdający odgadnie jedno z rozwiązań równania, to otrzymuje 0 punktów; jeżeli\nodgadnie dwa rozwiązania równania i nie uzasadni, że są to jedyne rozwiązania, to\notrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\n5. Jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska\npoprawne wartości pierwiastków, lecz traktuje równanie jako nierówność (rysuje parabolę\ni podaje przedziały jako rozwiązanie), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. Podobnie,\njeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska\npoprawne wartości pierwiastków, lecz poda odpowiedź w postaci przedziału/sumy\nprzedziałów o końcach 5\n3 i 2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRównanie ma sens liczbowy dla 𝑥≠2\n3 .\nPrzekształcamy równanie:\n3𝑥+ 2\n3𝑥-2 = 4 -𝑥\n3𝑥+ 2 = (3𝑥-2)(4 -𝑥)\n3𝑥+ 2 = 12𝑥-3𝑥2 -8 + 2𝑥\n3𝑥2 -11𝑥+ 10 = 0\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.\nObliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -11𝑥+ 10: Δ = (-11)2 -4 ⋅3 ⋅10 = 1\ni stąd 𝑥1 = 5\n3 oraz 𝑥2 = 12\n6 = 2.\nOtrzymane pierwiastki są różne od liczby 2\n3, więc są rozwiązaniami danego równania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = \\dfrac{5}{3}\\) lub \\(x = 2\\)\n\n## Sposób 1 - Mnożenie obu stron przez mianownik\n\n**Krok 0 - dziedzina.**\nMianownik nie może być zerem:\n\\[3x - 2 \\neq 0 \\implies x \\neq \\frac{2}{3}\\]\n\n**Krok 1 - pozbywamy się ułamka.**\nMnożymy obie strony przez \\((3x-2)\\):\n\\[3x + 2 = (4 - x)(3x - 2)\\]\n\n**Krok 2 - rozwijamy prawą stronę.**\n\\[(4-x)(3x-2) = 12x - 8 - 3x^2 + 2x = -3x^2 + 14x - 8\\]\n\n**Krok 3 - przenosimy wszystko na jedną stronę.**\n\\[3x + 2 = -3x^2 + 14x - 8\\]\n\\[3x^2 + 3x - 14x + 2 + 8 = 0\\]\n\\[3x^2 - 11x + 10 = 0\\]\n\n**Krok 4 - wyróżnik i miejsca zerowe.**\n\\[\\Delta = (-11)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 10 = 121 - 120 = 1\\]\n\\[x_1 = \\frac{11 - 1}{6} = \\frac{10}{6} = \\frac{5}{3}, \\qquad x_2 = \\frac{11 + 1}{6} = \\frac{12}{6} = 2\\]\n\n**Krok 5 - sprawdzenie dziedziny.**\nAni \\(\\frac{5}{3}\\), ani \\(2\\) nie równają się \\(\\frac{2}{3}\\) - **oba rozwiązania są prawidłowe**.\n\n\\[\\boxed{x = \\frac{5}{3} \\quad \\text{lub} \\quad x = 2}\\]\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nZamiast drugiego sposobu rozwiązania - sprawdzamy wyniki w oryginalnym równaniu (dobra praktyka na egzaminie):\n\n**Dla \\(x = \\dfrac{5}{3}\\):**\n\\[\\text{LHS} = \\frac{3 \\cdot \\frac{5}{3} + 2}{3 \\cdot \\frac{5}{3} - 2} = \\frac{5 + 2}{5 - 2} = \\frac{7}{3}\\]\n\\[\\text{RHS} = 4 - \\frac{5}{3} = \\frac{12 - 5}{3} = \\frac{7}{3} \\quad \\checkmark\\]\n\n**Dla \\(x = 2\\):**\n\\[\\text{LHS} = \\frac{3 \\cdot 2 + 2}{3 \\cdot 2 - 2} = \\frac{8}{4} = 2\\]\n\\[\\text{RHS} = 4 - 2 = 2 \\quad \\checkmark\\]\n\nOba wyniki się zgadzają - rozwiązanie poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8)** - wyróżnik i wzór na miejsca zerowe:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyte w Kroku 4 do rozwiązania równania \\(3x^2 - 11x + 10 = 0\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to zapomnienie o **dziedzinie**. Gdyby wyszło \\(x = \\frac{2}{3}\\), musielibyśmy je odrzucić - zerowy mianownik dyskwalifikuje rozwiązanie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy mnożeniu przez \\((3x-2)\\) trzeba rozwinąć \\((4-x)(3x-2)\\) bardzo starannie. Pomyłka znakowa przy \\(-x \\cdot (-2) = +2x\\) to klasyczna pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po sprowadzeniu do równania kwadratowego łatwo o błąd przy przerzucaniu wyrazów na jedną stronę - zawsze sprawdzaj, czy \\(\\Delta\\) liczyłeś z właściwymi współczynnikami \\(a, b, c\\).\n\n**Odpowiedź: \\(x = \\dfrac{5}{3}\\) lub \\(x = 2\\)**\n\n### Sposób 1 - Przekształcenie do równania kwadratowego\nDziedzina: \\(3x - 2 \\ne 0\\), czyli \\(x \\ne \\dfrac{2}{3}\\).\n\nMnożymy obustronnie przez \\((3x-2)\\):\n\\[3x + 2 = (3x-2)(4-x).\\]\nRozwijamy prawą stronę:\n\\((3x-2)(4-x) = 12x - 3x^2 - 8 + 2x = -3x^2 + 14x - 8\\).\nStąd: \\(3x + 2 = -3x^2 + 14x - 8\\).\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\\(3x^2 + 3x - 14x + 2 + 8 = 0\\)\n\\(3x^2 - 11x + 10 = 0\\).\n\n### Rozwiązanie równania kwadratowego\n\\(\\Delta = 121 - 120 = 1\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 1\\).\n\\(x_1 = \\dfrac{11 - 1}{6} = \\dfrac{10}{6} = \\dfrac{5}{3}\\), \\(x_2 = \\dfrac{11 + 1}{6} = 2\\).\n\nObie wartości różne od \\(\\dfrac{2}{3}\\), więc należą do dziedziny.\n\n### Sprawdzenie\n\\(x = 2\\): \\(\\dfrac{8}{4} = 2\\) oraz \\(4 - 2 = 2\\) ✓.\n\\(x = \\dfrac{5}{3}\\): \\(\\dfrac{3\\cdot\\tfrac{5}{3} + 2}{3\\cdot\\tfrac{5}{3} - 2} = \\dfrac{7}{3}\\) oraz \\(4 - \\tfrac{5}{3} = \\tfrac{7}{3}\\) ✓.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za poprawne przekształcenie równania wymiernego do postaci kwadratowej (\\(3x+2 = (3x-2)(4-x)\\)).\n- 2 pkt za oba pierwiastki \\(x = \\tfrac{5}{3}\\) lub \\(x = 2\\).\n\n**Klucz:** pamiętać o dziedzinie \\(x \\ne \\tfrac{2}{3}\\) - oba otrzymane pierwiastki ją spełniają.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":19,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 32. (0-2) (29)
Rozwiąż równanie:
3𝑥+ 2
3𝑥-2 = 4 -𝑥
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
31.
32.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Rozwiąż równanie: 3x+2/3x-2 = 4-x

","answer_text_html":"

Zadanie 32. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
3.7) rozwiązuje proste równania wymierne,
prowadzące do równań liniowych lub
kwadratowych […].
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy poprawnie przekształci równanie 3𝑥+2
3𝑥-2 = 4 -𝑥 do równania kwadratowego, np.:
3𝑥+ 2 = (3𝑥-2)(4 -𝑥)
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania wymiernego (np. stosuje
przekształcenia równoważne) i uzyska poprawne rozwiązania: 𝑥= 5
3 lub 𝑥= 12
6 = 2.
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający nie zapisze zastrzeżenia 𝑥≠2
\n

3, to może otrzymać 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania, otrzyma równanie
\n

kwadratowe, które ma dwa rozwiązania i konsekwentnie je rozwiąże do końca, to może
otrzymać 1 punkt za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający, przekształcając równanie wymierne do równania kwadratowego, zastosuje
\n

błędną metodę i zapisze np. (3𝑥+ 2)(3𝑥-2) = (4 -𝑥)(3𝑥-2), to otrzymuje
0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający odgadnie jedno z rozwiązań równania, to otrzymuje 0 punktów; jeżeli
\n

odgadnie dwa rozwiązania równania i nie uzasadni, że są to jedyne rozwiązania, to
otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska
\n

poprawne wartości pierwiastków, lecz traktuje równanie jako nierówność (rysuje parabolę
i podaje przedziały jako rozwiązanie), to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. Podobnie,
jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska
poprawne wartości pierwiastków, lecz poda odpowiedź w postaci przedziału/sumy
przedziałów o końcach 5
3 i 2, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Równanie ma sens liczbowy dla 𝑥≠2
3 .
Przekształcamy równanie:
3𝑥+ 2
3𝑥-2 = 4 -𝑥
3𝑥+ 2 = (3𝑥-2)(4 -𝑥)
3𝑥+ 2 = 12𝑥-3𝑥2 -8 + 2𝑥
3𝑥2 -11𝑥+ 10 = 0
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.
Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 3𝑥2 -11𝑥+ 10: Δ = (-11)2 -4 ⋅3 ⋅10 = 1
i stąd 𝑥1 = 5
3 oraz 𝑥2 = 12
6 = 2.
Otrzymane pierwiastki są różne od liczby 2
3, więc są rozwiązaniami danego równania.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = \\dfrac{5}{3}\\) lub \\(x = 2\\)

\n

Sposób 1 - Mnożenie obu stron przez mianownik

\n

Krok 0 - dziedzina.
Mianownik nie może być zerem:
\\[3x - 2 \\neq 0 \\implies x \\neq \\frac{2}{3}\\]

\n

Krok 1 - pozbywamy się ułamka.
Mnożymy obie strony przez \\((3x-2)\\):
\\[3x + 2 = (4 - x)(3x - 2)\\]

\n

Krok 2 - rozwijamy prawą stronę.
\\[(4-x)(3x-2) = 12x - 8 - 3x^2 + 2x = -3x^2 + 14x - 8\\]

\n

Krok 3 - przenosimy wszystko na jedną stronę.
\\[3x + 2 = -3x^2 + 14x - 8\\]
\\[3x^2 + 3x - 14x + 2 + 8 = 0\\]
\\[3x^2 - 11x + 10 = 0\\]

\n

Krok 4 - wyróżnik i miejsca zerowe.
\\[\\Delta = (-11)^2 - 4 \\cdot 3 \\cdot 10 = 121 - 120 = 1\\]
\\[x_1 = \\frac{11 - 1}{6} = \\frac{10}{6} = \\frac{5}{3}, \\qquad x_2 = \\frac{11 + 1}{6} = \\frac{12}{6} = 2\\]

\n

Krok 5 - sprawdzenie dziedziny.
Ani \\(\\frac{5}{3}\\), ani \\(2\\) nie równają się \\(\\frac{2}{3}\\) - oba rozwiązania są prawidłowe.

\n

\\[\\boxed{x = \\frac{5}{3} \\quad \\text{lub} \\quad x = 2}\\]

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Zamiast drugiego sposobu rozwiązania - sprawdzamy wyniki w oryginalnym równaniu (dobra praktyka na egzaminie):

\n

Dla \\(x = \\dfrac{5}{3}\\):
\\[\\text{LHS} = \\frac{3 \\cdot \\frac{5}{3} + 2}{3 \\cdot \\frac{5}{3} - 2} = \\frac{5 + 2}{5 - 2} = \\frac{7}{3}\\]
\\[\\text{RHS} = 4 - \\frac{5}{3} = \\frac{12 - 5}{3} = \\frac{7}{3} \\quad \\checkmark\\]

\n

Dla \\(x = 2\\):
\\[\\text{LHS} = \\frac{3 \\cdot 2 + 2}{3 \\cdot 2 - 2} = \\frac{8}{4} = 2\\]
\\[\\text{RHS} = 4 - 2 = 2 \\quad \\checkmark\\]

\n

Oba wyniki się zgadzają - rozwiązanie poprawne.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-8) - wyróżnik i wzór na miejsca zerowe:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyte w Kroku 4 do rozwiązania równania \\(3x^2 - 11x + 10 = 0\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to zapomnienie o dziedzinie. Gdyby wyszło \\(x = \\frac{2}{3}\\), musielibyśmy je odrzucić - zerowy mianownik dyskwalifikuje rozwiązanie.
\n
⚠️ Uwaga: Przy mnożeniu przez \\((3x-2)\\) trzeba rozwinąć \\((4-x)(3x-2)\\) bardzo starannie. Pomyłka znakowa przy \\(-x \\cdot (-2) = +2x\\) to klasyczna pułapka.
\n
⚠️ Uwaga: Po sprowadzeniu do równania kwadratowego łatwo o błąd przy przerzucaniu wyrazów na jedną stronę - zawsze sprawdzaj, czy \\(\\Delta\\) liczyłeś z właściwymi współczynnikami \\(a, b, c\\).
\n

Odpowiedź: \\(x = \\dfrac{5}{3}\\) lub \\(x = 2\\)

\n
Sposób 1 - Przekształcenie do równania kwadratowego
\n

Dziedzina: \\(3x - 2 \\ne 0\\), czyli \\(x \\ne \\dfrac{2}{3}\\).

\n

Mnożymy obustronnie przez \\((3x-2)\\):
\\[3x + 2 = (3x-2)(4-x).\\]
Rozwijamy prawą stronę:
\\((3x-2)(4-x) = 12x - 3x^2 - 8 + 2x = -3x^2 + 14x - 8\\).
Stąd: \\(3x + 2 = -3x^2 + 14x - 8\\).
Przenosimy wszystko na lewą stronę:
\\(3x^2 + 3x - 14x + 2 + 8 = 0\\)
\\(3x^2 - 11x + 10 = 0\\).

\n
Rozwiązanie równania kwadratowego
\n

\\(\\Delta = 121 - 120 = 1\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 1\\).
\\(x_1 = \\dfrac{11 - 1}{6} = \\dfrac{10}{6} = \\dfrac{5}{3}\\), \\(x_2 = \\dfrac{11 + 1}{6} = 2\\).

\n

Obie wartości różne od \\(\\dfrac{2}{3}\\), więc należą do dziedziny.

\n
Sprawdzenie
\n

\\(x = 2\\): \\(\\dfrac{8}{4} = 2\\) oraz \\(4 - 2 = 2\\) ✓.
\\(x = \\dfrac{5}{3}\\): \\(\\dfrac{3\\cdot\\tfrac{5}{3} + 2}{3\\cdot\\tfrac{5}{3} - 2} = \\dfrac{7}{3}\\) oraz \\(4 - \\tfrac{5}{3} = \\tfrac{7}{3}\\) ✓.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Klucz: pamiętać o dziedzinie \\(x \\ne \\tfrac{2}{3}\\) - oba otrzymane pierwiastki ją spełniają.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = \\dfrac{5}{3}$ lub $x = 2$

"}]}