Zadanie 33. (0-2) (31)
Trójkąt równoboczny 𝐴𝐵𝐶 ma pole równe 9√3. Prosta równoległa do boku 𝐵𝐶 przecina
boki 𝐴𝐵 i 𝐴𝐶 - odpowiednio - w punktach 𝐾 i 𝐿. Trójkąty 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐾𝐿 są podobne,
a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy 3
2 . Oblicz długość boku trójkąta 𝐴𝐾𝐿.
Odpowiedź:
EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Trójkąt równoboczny ABC ma pole równe 9√3. Prosta równoległa do boku BC przecina boki AB i AC - odpowiednio - w punktach K i L. Trójkąty ABC i AKL są podobne, a stosunek długości boków tych trójkątów jest równy 3/2. Oblicz długość boku trójkąta AKL.
Zadanie 33. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
7.3) rozpoznaje trójkąty podobne
i wykorzystuje cechy podobieństwa
trójkątów.
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:
zastosuje poprawną metodę obliczenia pola trójkąta 𝐴𝐾𝐿, zapisując stosunek pól
trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐾𝐿 jako kwadrat stosunku długości boków, i prawidłowo obliczy
pole trójkąta 𝐴𝐾𝐿: 𝑃Δ𝐴𝐾𝐿= 4√3
ALBO
zastosuje poprawną metodę obliczenia długości boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶 (stosuje wzór na
pole trójkąta równobocznego) i prawidłowo obliczy długość boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶: 6
ALBO
zapisze równanie, w którym niewiadomą jest długość boku trójkąta 𝐴𝐾𝐿, np.
(1,5⋅|𝐴𝐾|)2⋅√3
4
= 9√3
ALBO
Zasady oceniania rozwiązań zadań
uzależni długości boków trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐾𝐿 od tej samej zmiennej, np.
|𝐴𝐾| = 2𝑥, |𝐴𝐵| = 3𝑥 i zapisze równanie postaci
(3𝑥)2⋅√3
4
= 9√3
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy zastosuje poprawną metodę wyznaczenia długości boku trójkąta 𝐴𝐾𝐿 i uzyska poprawny
wynik: |𝐴𝐾| = 4.
Uwagi:
otrzymać co najwyżej 1 punkt.
\n2,
popełni błąd w wyznaczeniu długości boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i konsekwentnie do tego obliczy
długość boku trójkąta 𝐴𝐾𝐿, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Z twierdzenia o stosunku pól figur podobnych i warunków zadania otrzymujemy
𝑃Δ𝐴𝐵𝐶
𝑃Δ𝐴𝐾𝐿
= (3
2)
2
więc
9√3
𝑃Δ𝐴𝐾𝐿
= (3
2)
2
𝑃Δ𝐴𝐾𝐿= 9√3: (9
9 = 4√3
Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta równobocznego i obliczamy długość 𝑏 boku
trójkąta 𝐴𝐾𝐿:
𝑃Δ𝐴𝐾𝐿= 4√3
𝑏2√3
4
= 4√3
𝑏= 4
Długość boku trójkąta 𝐴𝐾𝐿 jest równa 4.
Sposób 2.
Przyjmijmy następujące oznaczenia:
𝑎 - długość boku trójkąta równobocznego 𝐴𝐵𝐶,
𝑏 - długość boku trójkąta równobocznego 𝐴𝐾𝐿.
Obliczamy długość boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶:
𝑎2√3
4
= 9√3
𝑎= 6
Stosunek długości boków trójkątów 𝐴𝐵𝐶 i 𝐴𝐾𝐿 jest równy 3
2 , więc
𝑎
𝑏= 3
2
6
𝑏= 3
2
czyli 𝑏= 4.
Długość boku trójkąta 𝐴𝐾𝐿 jest równa 4.
Sposób 3.
Niech 𝑥 oznacza długość boku trójkąta 𝐴𝐾𝐿. Ponieważ stosunek długości boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶
do długości boku trójkąta 𝐴𝐾𝐿 jest równy 3
2, więc długość boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równa 3
2 𝑥.
Pole trójkąta 𝐴𝐵𝐶 jest równe 9√3 , więc ze wzoru na pole trójkąta równobocznego
otrzymujemy równanie
(3
2 𝑥)
2
√3
4
= 9√3
Stąd
(3
2 𝑥)
2
= 36
3
2 𝑥= 6
𝑥= 4
Długość boku trójkąta 𝐴𝐾𝐿 jest równa 4.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Krok 1: Wyznacz bok trójkąta \\(ABC\\)
\nDla trójkąta równobocznego o boku \\(a\\) wzór na pole to:
\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]
Podstawiamy \\(P = 9\\sqrt{3}\\):
\\[\\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}\\]
\\[a^2 = 36\\]
\\[a = 6\\]
Bok trójkąta \\(ABC\\) wynosi \\(6\\).
\nKrok 2: Skorzystaj z podobieństwa
\nDany jest stosunek długości boków trójkątów:
\\[\\frac{|BC|}{|KL|} = \\frac{3}{2}\\]
(ABC jest większy, bo \\(KL\\) leży wewnątrz trójkąta i jest prostopadła do boku BC - czyli \\(|KL| < |BC|\\))
\nZ proporcji:
\\[|KL| = |BC| \\cdot \\frac{2}{3} = 6 \\cdot \\frac{2}{3} = 4\\]
Skoro \\(AKL\\) jest równoboczny (jako trójkąt podobny do równobocznego \\(ABC\\)), każdy bok \\(AKL\\) wynosi \\(\\mathbf{4}\\).
\nSkoro stosunek boków \\(\\frac{|ABC|}{|AKL|} = \\frac{3}{2}\\), to współczynnik podobieństwa \\(k = \\frac{2}{3}\\).
\nPole trójkąta \\(AKL\\):
\\[P_{AKL} = P_{ABC} \\cdot k^2 = 9\\sqrt{3} \\cdot \\left(\\frac{2}{3}\\right)^2 = 9\\sqrt{3} \\cdot \\frac{4}{9} = 4\\sqrt{3}\\]
Weryfikacja: Pole trójkąta równobocznego o boku \\(a = 4\\):
\\[P = \\frac{4^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{16\\sqrt{3}}{4} = 4\\sqrt{3} \\checkmark\\]
Wynik potwierdzony.
\nDział 10 (Planimetria, s. 17) - trójkąt równoboczny:
\\[P = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]
Użyliśmy w Kroku 1 do wyznaczenia boku \\(a = 6\\).
Dział 10 (Planimetria, s. 20-21) - podobieństwo figur:
\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]
gdzie \\(k\\) to stosunek odpowiednich boków. Użyliśmy w Sposobie 2 do weryfikacji pola \\(AKL\\).
⚠️ Uwaga: Stosunek \\(\\frac{3}{2}\\) dotyczy boków, nie pól. Pole zmienia się jak kwadrat współczynnika podobieństwa - tu \\(k^2 = \\frac{4}{9}\\), a nie \\(\\frac{2}{3}\\).\n
⚠️ Uwaga: Upewnij się, który trójkąt jest w liczniku stosunku. \\(\\frac{|ABC|}{|AKL|} = \\frac{3}{2}\\) oznacza, że \\(ABC\\) jest większy - więc \\(|AKL| = 6 \\cdot \\frac{2}{3} = 4\\), a nie \\(6 \\cdot \\frac{3}{2} = 9\\).\n
⚠️ Uwaga: Trójkąt podobny do równobocznego jest zawsze równoboczny - więc wszystkie boki \\(AKL\\) są równe i wynoszą \\(4\\). Nie trzeba liczyć \\(|AK|\\) i \\(|AL|\\) osobno.\n
Odpowiedź: \\(|AKL| = 4\\)
\nZe wzoru na pole trójkąta równobocznego: \\(P = \\dfrac{a^2\\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}\\).
Stąd \\(a^2 = 36\\), więc \\(a = 6\\) - bok ABC.
Stosunek boków ABC : AKL = \\(\\dfrac{3}{2}\\), więc:
\\[\\dfrac{6}{b} = \\dfrac{3}{2} \\Rightarrow b = \\dfrac{12}{3} = 4.\\]
Stosunek pól = (stosunek boków)\\(^2\\):
\\(\\dfrac{P_{ABC}}{P_{AKL}} = \\left(\\dfrac{3}{2}\\right)^2 = \\dfrac{9}{4}\\).
\\(P_{AKL} = 9\\sqrt{3}\\cdot \\dfrac{4}{9} = 4\\sqrt{3}\\).
Ze wzoru: \\(\\dfrac{b^2\\sqrt{3}}{4} = 4\\sqrt{3} \\Rightarrow b^2 = 16 \\Rightarrow b = 4\\).
Niech bok AKL = \\(x\\), wtedy bok ABC = \\(\\dfrac{3}{2}x\\).
Pole ABC: \\(\\dfrac{(\\frac{3}{2}x)^2\\sqrt{3}}{4} = 9\\sqrt{3}\\).
\\((\\tfrac{3}{2}x)^2 = 36 \\Rightarrow \\tfrac{3}{2}x = 6 \\Rightarrow x = 4\\).
Pole AKL = \\(\\dfrac{16\\sqrt{3}}{4} = 4\\sqrt{3}\\). Stosunek pól: \\(\\dfrac{9\\sqrt 3}{4\\sqrt 3} = \\dfrac{9}{4} = (\\tfrac{3}{2})^2\\) ✓.
\nKlucz: stosunek pól figur podobnych to kwadrat stosunku długości.
"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"$4$
"}]}