{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2) (33)\nGracz rzuca dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry i oblicza sumę liczb\nwyrzuconych oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że suma\nliczb wyrzuconych oczek jest równa 4 lub 5, lub 6.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\n34.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Gracz rzuca dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry i oblicza sumę liczb wyrzuconych oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek jest równa 4 lub 5, lub 6.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 34. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\n10.2) oblicza prawdopodobieństwa\nw prostych sytuacjach, stosując klasyczną\ndefinicję prawdopodobieństwa.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nwypisze wszystkie zdarzenia elementarne lub obliczy/poda ich liczbę: |Ω| = 36\nALBO\n\nprzedstawi poprawny sposób wyznaczenia wszystkich elementów zbioru 𝐴 lub\nwypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴:\n(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)\nALBO\n\nobliczy lub poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 12\nALBO\n\nsporządzi drzewo stochastyczne składające się z 36 gałęzi i zapisze na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów prawdopodobieństwo 1\n6 lub wskaże wszystkie\nistotne gałęzie na tym drzewie\nALBO\n\nsporządzi fragment drzewa doświadczenia składający się jedynie z 12 istotnych gałęzi\nALBO\n\nzapisze tylko 𝑃(𝐴) = 12\n36\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 punkt oraz zastosuje poprawną\nmetodę obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 i uzyska poprawny wynik:\n𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 12\n36 = 1\n3 .\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 12 lub 36 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający sporządzi jedynie pustą tabelę o 36 pustych polach, to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający rozpatruje inne niż podane w treści zadania doświadczenie losowe, to\notrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.(klasyczna definicja prawdopodobieństwa)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏),\ngdzie 𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}.\nLiczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 36.\nZdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:\n(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1),\nwięc |𝐴| = 12.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 12\n36 = 1\n3 .\nSposób 2.\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏),\ngdzie 𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}.\nJest to model klasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu.\nI losowanie\n1\n2\n3\n4\n5\n6\nII losowanie\n1\n×\n×\n×\n2\n×\n×\n×\n3\n×\n×\n×\n4\n×\n×\n5\n×\n6\nSymbolem × oznaczono zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.\nWszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu jest 36.\nWszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 12.\nStąd 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 12\n36 = 1\n3 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nSposób 3. (drzewo stochastyczne)\nRysujemy drzewo stochastyczne rozważanego doświadczenia.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 1\n6 ∙3\n6 + 1\n6 ∙3\n6 + 1\n6 ∙3\n6 + 1\n6 ∙2\n6 + 1\n6 ∙1\n6 = 12\n36 = 1\n3\n1\n2\n3\n4\n5\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n3\n6\n3\n6\n3,\n4,\n5\n1,\n2,\n6\n2,\n3,\n4\n1,\n5,\n6\n1,\n2,\n3\n4,\n5,\n6\n3\n6\n1,\n2\n3,\n4,\n5,\n6\n2\n6\n1\n2,\n3,\n4,\n5,\n6\n1\n6","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{1}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Zliczanie sprzyjających wyników w przestrzeni zdarzeń elementarnych\n\n**Przestrzeń próby:** Rzucamy dwa razy kostką - każdy wynik to para \\((i, j)\\), gdzie \\(i, j \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\).\n\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]\n\nWszystkie 36 wyników jest jednakowo prawdopodobnych (kostka symetryczna).\n\n**Zdarzenie A:** suma oczek \\(= 4\\) lub \\(5\\), lub \\(6\\).\n\nZliczamy wszystkie pary \\((i, j)\\) dające każdą z tych sum:\n\n**Suma = 4:**\n\\[(1,3),\\ (2,2),\\ (3,1) \\quad \\Rightarrow \\quad 3 \\text{ wyniki}\\]\n\n**Suma = 5:**\n\\[(1,4),\\ (2,3),\\ (3,2),\\ (4,1) \\quad \\Rightarrow \\quad 4 \\text{ wyniki}\\]\n\n**Suma = 6:**\n\\[(1,5),\\ (2,4),\\ (3,3),\\ (4,2),\\ (5,1) \\quad \\Rightarrow \\quad 5 \\text{ wyników}\\]\n\nŁączna liczba wyników sprzyjających:\n\\[|A| = 3 + 4 + 5 = 12\\]\n\nPrawdopodobieństwo:\n\\[\\boxed{P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{12}{36} = \\frac{1}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Wzór na sumę z rozkładem trójkątnym (metoda kombinatoryczna)\n\nLiczba wyników dających sumę \\(s\\) przy rzucie dwiema kostkami (dla \\(s \\leq 7\\)) wynosi:\n\\[k(s) = s - 1\\]\n\nJest to wynik geometryczny: sumy od 2 do 7 mają odpowiednio \\(1, 2, 3, 4, 5, 6\\) wyników.\n\nZatem:\n- \\(k(4) = 4 - 1 = 3\\)\n- \\(k(5) = 5 - 1 = 4\\)\n- \\(k(6) = 6 - 1 = 5\\)\n\n\\[P(A) = \\frac{k(4) + k(5) + k(6)}{36} = \\frac{3 + 4 + 5}{36} = \\frac{12}{36} = \\frac{1}{3}\\]\n\n**Weryfikacja:** zdarzenie \\(A\\) jest przeciwne do sumy \\(\\in \\{2, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 12\\}\\), gdzie liczba wyników to \\(1 + 2 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 24\\). Stąd \\(P(A') = \\frac{24}{36} = \\frac{2}{3}\\), a \\(P(A) = 1 - \\frac{2}{3} = \\frac{1}{3}\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)**\n\nPrawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\n\nUżyliśmy go bezpośrednio - przestrzeń próby jest skończona, a wszystkie wyniki jednakowo prawdopodobne.\n\nWłasność addytywności (zdarzenia rozłączne):\n\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B) \\quad \\text{(gdy } A \\cap B = \\emptyset\\text{)}\\]\n\nZdarzenia „suma = 4\", „suma = 5\", „suma = 6\" są parami rozłączne, więc ich prawdopodobieństwa możemy sumować.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przestrzeń próby ma **36** wyników, nie 11. Częsty błąd to założenie, że sumy \\(2, 3, \\ldots, 12\\) są jednakowo prawdopodobne - **to nieprawda!** Suma 7 jest znacznie bardziej prawdopodobna niż suma 2.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy sumie = 4 wynik \\((2,2)\\) liczymy **raz**, ale np. \\((1,3)\\) i \\((3,1)\\) to **dwa różne** wyniki (ważna jest kolejność rzutów).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo pominąć jeden wiersz przy wyliczaniu - warto robić to systematycznie, od najmniejszej do największej sumy, żeby nic nie umknęło.\n\n**Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{1}{3}\\)**\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa\nZdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary \\((a, b)\\), gdzie \\(a, b \\in \\{1,2,3,4,5,6\\}\\).\n\\(|\\Omega| = 36\\).\n\nZdarzeniu \\(A\\) sprzyjają pary, których suma to \\(4, 5\\) lub \\(6\\):\n- Suma 4: \\((1,3), (2,2), (3,1)\\) - 3 pary.\n- Suma 5: \\((1,4), (2,3), (3,2), (4,1)\\) - 4 pary.\n- Suma 6: \\((1,5), (2,4), (3,3), (4,2), (5,1)\\) - 5 par.\nRazem: \\(|A| = 3 + 4 + 5 = 12\\).\n\n\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{12}{36} = \\dfrac{1}{3}.\\]\n\n### Sposób 2 - Drzewo stochastyczne\nDla każdego wyniku pierwszego rzutu \\(k\\) liczymy liczbę możliwych drugich rzutów dających sumę \\(\\in\\{4,5,6\\}\\):\n- \\(k=1\\): druga ∈ \\{3,4,5\\} - 3.\n- \\(k=2\\): druga ∈ \\{2,3,4\\} - 3.\n- \\(k=3\\): druga ∈ \\{1,2,3\\} - 3.\n- \\(k=4\\): druga ∈ \\{1,2\\} - 2.\n- \\(k=5\\): druga ∈ \\{1\\} - 1.\n- \\(k=6\\): brak - 0.\n\\(|A| = 3+3+3+2+1+0 = 12\\), \\(P(A) = \\dfrac{12}{36} = \\dfrac{1}{3}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za \\(|\\Omega| = 36\\) LUB wypisanie zdarzeń sprzyjających LUB \\(|A| = 12\\) LUB \\(P(A) = \\tfrac{12}{36}\\).\n- 2 pkt za pełny wynik \\(P(A) = \\dfrac{1}{3}\\).\n\n**Klucz:** przy dwóch rzutach kostką rozróżniamy kolejność - para \\((1,3)\\) to inne zdarzenie niż \\((3,1)\\).","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":21,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 34. (0-2) (33)
Gracz rzuca dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry i oblicza sumę liczb
wyrzuconych oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 polegającego na tym, że suma
liczb wyrzuconych oczek jest równa 4 lub 5, lub 6.
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
33.
34.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Gracz rzuca dwukrotnie symetryczną sześcienną kostką do gry i oblicza sumę liczb wyrzuconych oczek. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia $A$ polegającego na tym, że suma liczb wyrzuconych oczek jest równa 4 lub 5, lub 6.

","answer_text_html":"

Zadanie 34. (0-2)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
10.2) oblicza prawdopodobieństwa
w prostych sytuacjach, stosując klasyczną
definicję prawdopodobieństwa.
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:

wypisze wszystkie zdarzenia elementarne lub obliczy/poda ich liczbę: |Ω| = 36
ALBO

przedstawi poprawny sposób wyznaczenia wszystkich elementów zbioru 𝐴 lub
wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴:
(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)
ALBO

obliczy lub poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:
|𝐴| = 12
ALBO

sporządzi drzewo stochastyczne składające się z 36 gałęzi i zapisze na co najmniej
jednym odcinku każdego z etapów prawdopodobieństwo 1
6 lub wskaże wszystkie
istotne gałęzie na tym drzewie
ALBO

sporządzi fragment drzewa doświadczenia składający się jedynie z 12 istotnych gałęzi
ALBO

zapisze tylko 𝑃(𝐴) = 12
36
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 punkt oraz zastosuje poprawną
metodę obliczenia prawdopodobieństwa zdarzenia 𝐴 i uzyska poprawny wynik:
𝑃(𝐴) =
|𝐴|
|Ω| = 12
36 = 1
3 .
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 12 lub 36 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych
\n

liczb, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający sporządzi jedynie pustą tabelę o 36 pustych polach, to otrzymuje 0 punktów
\n

za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający rozpatruje inne niż podane w treści zadania doświadczenie losowe, to
\n

otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.(klasyczna definicja prawdopodobieństwa)
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏),
gdzie 𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 36.
Zdarzeniu 𝐴 sprzyjają następujące zdarzenia elementarne:
(1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1),
więc |𝐴| = 12.
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) =
|𝐴|
|Ω| = 12
36 = 1
3 .
Sposób 2.
Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏),
gdzie 𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Jest to model klasyczny. Budujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu.
I losowanie
1
2
3
4
5
6
II losowanie
1
×
×
×
2
×
×
×
3
×
×
×
4
×
×
5
×
6
Symbolem × oznaczono zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴.
Wszystkich zdarzeń elementarnych w tym doświadczeniu jest 36.
Wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 jest 12.
Stąd 𝑃(𝐴) =
|𝐴|
|Ω| = 12
36 = 1
3 .
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Sposób 3. (drzewo stochastyczne)
Rysujemy drzewo stochastyczne rozważanego doświadczenia.
Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe
𝑃(𝐴) = 1
6 ∙3
6 + 1
6 ∙3
6 + 1
6 ∙3
6 + 1
6 ∙2
6 + 1
6 ∙1
6 = 12
36 = 1
3
1
2
3
4
5
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
3
6
3
6
3,
4,
5
1,
2,
6
2,
3,
4
1,
5,
6
1,
2,
3
4,
5,
6
3
6
1,
2
3,
4,
5,
6
2
6
1
2,
3,
4,
5,
6
1
6

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-34.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{1}{3}\\)

\n

Sposób 1 - Zliczanie sprzyjających wyników w przestrzeni zdarzeń elementarnych

\n

Przestrzeń próby: Rzucamy dwa razy kostką - każdy wynik to para \\((i, j)\\), gdzie \\(i, j \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\).

\n

\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]

\n

Wszystkie 36 wyników jest jednakowo prawdopodobnych (kostka symetryczna).

\n

Zdarzenie A: suma oczek \\(= 4\\) lub \\(5\\), lub \\(6\\).

\n

Zliczamy wszystkie pary \\((i, j)\\) dające każdą z tych sum:

\n

Suma = 4:
\\[(1,3),\\ (2,2),\\ (3,1) \\quad \\Rightarrow \\quad 3 \\text{ wyniki}\\]

\n

Suma = 5:
\\[(1,4),\\ (2,3),\\ (3,2),\\ (4,1) \\quad \\Rightarrow \\quad 4 \\text{ wyniki}\\]

\n

Suma = 6:
\\[(1,5),\\ (2,4),\\ (3,3),\\ (4,2),\\ (5,1) \\quad \\Rightarrow \\quad 5 \\text{ wyników}\\]

\n

Łączna liczba wyników sprzyjających:
\\[|A| = 3 + 4 + 5 = 12\\]

\n

Prawdopodobieństwo:
\\[\\boxed{P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{12}{36} = \\frac{1}{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Wzór na sumę z rozkładem trójkątnym (metoda kombinatoryczna)

\n

Liczba wyników dających sumę \\(s\\) przy rzucie dwiema kostkami (dla \\(s \\leq 7\\)) wynosi:
\\[k(s) = s - 1\\]

\n

Jest to wynik geometryczny: sumy od 2 do 7 mają odpowiednio \\(1, 2, 3, 4, 5, 6\\) wyników.

\n

Zatem:

\n\n

\\[P(A) = \\frac{k(4) + k(5) + k(6)}{36} = \\frac{3 + 4 + 5}{36} = \\frac{12}{36} = \\frac{1}{3}\\]

\n

Weryfikacja: zdarzenie \\(A\\) jest przeciwne do sumy \\(\\in \\{2, 3, 7, 8, 9, 10, 11, 12\\}\\), gdzie liczba wyników to \\(1 + 2 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 24\\). Stąd \\(P(A') = \\frac{24}{36} = \\frac{2}{3}\\), a \\(P(A) = 1 - \\frac{2}{3} = \\frac{1}{3}\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)

\n

Prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]

\n

Użyliśmy go bezpośrednio - przestrzeń próby jest skończona, a wszystkie wyniki jednakowo prawdopodobne.

\n

Własność addytywności (zdarzenia rozłączne):
\\[P(A \\cup B) = P(A) + P(B) \\quad \\text{(gdy } A \\cap B = \\emptyset\\text{)}\\]

\n

Zdarzenia „suma = 4", „suma = 5", „suma = 6" są parami rozłączne, więc ich prawdopodobieństwa możemy sumować.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Przestrzeń próby ma 36 wyników, nie 11. Częsty błąd to założenie, że sumy \\(2, 3, \\ldots, 12\\) są jednakowo prawdopodobne - to nieprawda! Suma 7 jest znacznie bardziej prawdopodobna niż suma 2.
\n
⚠️ Uwaga: Przy sumie = 4 wynik \\((2,2)\\) liczymy raz, ale np. \\((1,3)\\) i \\((3,1)\\) to dwa różne wyniki (ważna jest kolejność rzutów).
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo pominąć jeden wiersz przy wyliczaniu - warto robić to systematycznie, od najmniejszej do największej sumy, żeby nic nie umknęło.
\n

Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{1}{3}\\)

\n
Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
\n

Zdarzeniami elementarnymi są uporządkowane pary \\((a, b)\\), gdzie \\(a, b \\in \\{1,2,3,4,5,6\\}\\).
\\(|\\Omega| = 36\\).

\n

Zdarzeniu \\(A\\) sprzyjają pary, których suma to \\(4, 5\\) lub \\(6\\):

\n\n

Razem: \\(|A| = 3 + 4 + 5 = 12\\).

\n

\\[P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{12}{36} = \\dfrac{1}{3}.\\]

\n
Sposób 2 - Drzewo stochastyczne
\n

Dla każdego wyniku pierwszego rzutu \\(k\\) liczymy liczbę możliwych drugich rzutów dających sumę \\(\\in\\{4,5,6\\}\\):

\n\n

\\(|A| = 3+3+3+2+1+0 = 12\\), \\(P(A) = \\dfrac{12}{36} = \\dfrac{1}{3}\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Klucz: przy dwóch rzutach kostką rozróżniamy kolejność - para \\((1,3)\\) to inne zdarzenie niż \\((3,1)\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P(A) = \\dfrac{1}{3}$

"}]}