{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"35","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 35. (0-5) (32)\nPunkty 𝐴= (-20, 12) i 𝐵= (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶,\nw którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑦 układu współrzędnych. Oblicz\nwspółrzędne wierzchołka 𝐶 oraz obwód tego trójkąta.\n\nEMAP-P0_100\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n35.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Punkty A=(-20,12) i B=(7,3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Wierzchołek C leży na osi Oy układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka C oraz obwód tego trójkąta.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 35. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\n8.1) wyznacza równanie prostej\nprzechodzącej przez dane dwa punkty\n(w postaci kierunkowej lub ogólnej);\n8.3) wyznacza równanie prostej, która jest\nrównoległa lub prostopadła do prostej\ndanej w postaci kierunkowej i przechodzi\nprzez dany punkt;\n8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia\ndwóch prostych;\n8.6) oblicza odległość dwóch punktów.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nspełni jeden z poniższych warunków:\n1) obliczy współczynnik kierunkowy równania prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -1\n3 lub zapisze\nrównanie prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej 𝑥+ 3𝑦-16 = 0\n2) obliczy współrzędne środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (-13\n2 , 15\n2 )\n3) przyjmie pierwszą współrzędną punktu 𝐶 równą zeru i zapisze np. 𝐶= (0, 𝑦𝐶)\n4) zapisze równość |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| w zależności od współrzędnych punktu\n𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶), np.:\n√(𝑥𝐶-(-20))\n2 + (𝑦𝐶-12)2 = √(𝑥𝐶-7)2 + (𝑦𝐶-3)2\nALBO\n\nzastosuje poprawną metodę obliczenia długości boku 𝐴𝐵 trójkąta i uzyska\npoprawny wynik: |𝐴𝐵| = 9√10\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\nspełni jeden z warunków 1)-4) określonych w punktorze pierwszym zasad oceniania\nza 1 punkt oraz obliczy długość boku 𝐴𝐵 trójkąta\nALBO\n\nspełni jeden z poniższych warunków:\n1) zapisze równanie symetralnej 𝑘 odcinka 𝐴𝐵: 𝑦-15\n2 = 3(𝑥+ 13\n2 ) lub\n𝑦= 3𝑥+ 27\n2) zapisze równanie, w którym niewiadomą jest druga współrzędna wierzchołka 𝐶,\nwynikające z prostopadłości odpowiednich wektorów, np. 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ oraz 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ :\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n-27\n2 ∙13\n2 + 9\n2 ∙(𝑦𝐶-15\n2 ) = 0\n3) zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi, np.:\n√(𝑥𝐶-(-20))\n2 + (𝑦𝐶-12)2 = √(𝑥𝐶-7)2 + (𝑦𝐶-3)2 i 𝑥𝐶= 0\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy:\n\nspełni jeden z warunków 1)-3) określonych w punktorze drugim zasad oceniania za\n2 punkty oraz obliczy długość boku 𝐴𝐵 trójkąta\nALBO\n\nzastosuje poprawną metodę obliczenia drugiej współrzędnej punktu 𝐶 i obliczy\nwspółrzędne punktu: 𝐶= (0, 27)\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę obliczenia drugiej współrzędnej punktu 𝐶 oraz poprawną\nmetodę obliczenia jednego z boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i uzyska poprawne wyniki: 𝐶= (0, 27)\noraz |𝐴𝐵| = 9√10 (lub |𝐵𝐶| = 25).\nZdający otrzymuje 5 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę wyznaczenia współrzędnych punktu 𝐶 oraz obliczy obwód 𝐿\ntrójkąta 𝐴𝐵𝐶 i uzyska poprawne wyniki: 𝐿= 9√10 + 50, 𝐶= (0, 27).\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający rozważa punkt 𝐶 leżący na osi 𝑂𝑦 i w rozwiązaniu popełnia tylko błędy\nrachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania, to za całe rozwiązanie\nmoże otrzymać co najwyżej 4 punkty.\n2. Jeżeli zdający przyjmie błędnie, że wierzchołek 𝐶 leży poza osią 𝑂𝑦 i korzysta z tego\nw rozwiązaniu, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 3 punkty.\n3. Rozwiązania odczytywane.\na) Jeżeli zdający wyznacza współrzędne punktu 𝐶, wykorzystując punkty kratowe:\nzaznaczy w układzie współrzędnych poprawnie punkty 𝐴 i 𝐵, narysuje trójkąt\nrównoramienny 𝐴𝐵𝐶, a punkt (0, 27) oznaczy przez 𝐶, to za wyznaczenie\nwspółrzędnych punktu 𝐶 może uzyskać 3 punkty.\nb) Jeżeli zdający rysuje w układzie współrzędnych symetralną odcinka 𝐴𝐵 i odczytuje\nwspółrzędne punktu 𝐶 i zapisuje 𝐶= (0, 27) oraz sprawdzi rachunkowo, że\n|𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, to za tę część rozwiązania otrzymuje 3 punkty (jeżeli tego sprawdzenia nie\nwykona, to otrzymuje za tę część rozwiązania 2 punkty, a gdy odczyta błędne\nwspółrzędne punktu 𝐶, to otrzymuje 0 punktów).\n4. Jeżeli zdający rozważa dwa różne położenia punktu 𝐶 i nie odrzuca niewłaściwego\nrozwiązania, to otrzymuje co najwyżej 4 punkty.\n5. Jeżeli zdający nie sporządzi rysunku i zapisze tylko 𝐶= (0, 27), to otrzymuje 0 punktów;\njeżeli zdający nie sporządzi rysunku, lecz zapisze 𝐶= (0, 27) i dalej kontynuuje\nrozwiązanie, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty.\n6. Jeżeli zdający popełni błąd merytoryczny, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nObliczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵:\n𝑎𝐴𝐵=\n3 -12\n7 -(-20) = -9\n27 = -1\n3\nZatem współczynnik kierunkowy symetralnej 𝑘 odcinka 𝐴𝐵 jest równy\n𝑎𝑘= 3\nSymetralna 𝑘 przechodzi przez środek 𝑀 odcinka 𝐴𝐵. Obliczamy współrzędne punktu 𝑀:\n𝑀= (-20 + 7\n2\n, 12 + 3\n2\n) = (-13\n2 , 15\n2 )\nZatem prosta 𝑘 ma równanie postaci\n𝑦-15\n2 = 3 (𝑥-(-13\n2 ))\n𝑦-15\n2 = 3𝑥+ 39\n2\n𝑦= 3𝑥+ 27\nPonieważ punkt 𝐶 leży na osi 𝑂𝑦 i na prostej 𝑘, więc współrzędne punktu 𝐶 są równe\n𝐶= (0, 27).\nObliczamy długości boków trójkąta:\n|𝐴𝐶| = √(0 -(-20))\n2 + (27 -12)2 = √400 + 225 = √625 = 25\n|𝐴𝐵| = √(7 -(-20))\n2 + (3 -12)2 = √729 + 81 = √810 = 9√10\nObliczamy obwód 𝐿 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝐿= |𝐴𝐵| + |𝐵𝐶| + |𝐶𝐴| = 9√10 + 25 + 25 = 50 + 9√10\nSposób 2.\nPonieważ wierzchołek 𝐶 trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶 leży na osi 𝑂𝑦, więc jego\nwspółrzędne są równe 𝐶= (0, 𝑦𝐶).\nPonieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2. Stąd i ze wzoru na odległość między dwoma\npunktami otrzymujemy równanie\n(0 -(-20))\n2 + (𝑦𝐶-12)2 = (0 -7)2 + (𝑦𝐶-3)2\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n400 + 𝑦𝐶\n2 -24𝑦𝐶+ 144 = 49 + 𝑦𝐶\n2 -6𝑦𝐶+ 9\n-18𝑦𝐶= -486\n𝑦𝐶= 27\nZatem 𝐶= (0, 27).\nObliczamy długości boków trójkąta:\n|𝐴𝐶| = √(0 -(-20))\n2 + (27 -12)2 = √400 + 225 = √625 = 25\n|𝐴𝐵| = √(7 -(-20))\n2 + (3 -12)2 = √729 + 81 = √810 = 9√10\nObliczamy obwód 𝐿 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝐿= |𝐴𝐵| + |𝐵𝐶| + |𝐶𝐴| = 9√10 + 25 + 25 = 50 + 9√10\nSposób 3.\nNiech 𝑦 oznacza drugą współrzędną wierzchołka 𝐶, tj. 𝐶= (0, 𝑦).\nObliczamy współrzędne środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵:\n𝑀= (-20 + 7\n2\n, 12 + 3\n2\n) = (-13\n2 , 15\n2 )\nObliczamy współrzędne wektorów 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ oraz 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ :\n𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-20 + 13\n2 , 12 -15\n2 ] = [-27\n2 , 9\n2]\n𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [0 + 13\n2 , 𝑦-15\n2 ] = [13\n2 , 𝑦-15\n2 ]\nWektor 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ jest prostopadły do wektora 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , zatem\n-27\n2 ∙13\n2 + 9\n2 ∙(𝑦-15\n2 ) = 0\n9\n2 𝑦= 486\n4\n𝑦= 27\nZatem punkt 𝐶 ma współrzędne 𝐶= (0, 27).\nObliczamy długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n|𝐴𝐶| = √(0 -(-20))\n2 + (27 -12)2 = √400 + 225 = √625 = 25\n|𝐴𝐵| = √(7 -(-20))\n2 + (3 -12)2 = √729 + 81 = √810 = 9√10\nObliczamy obwód 𝐿 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:\n𝐿= |𝐴𝐵| + |𝐵𝐶| + |𝐶𝐴| = 9√10 + 25 + 25 = 50 + 9√10\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - matura z matematyki, poziom podstawowy, termin\ngłówny 2021.\nI.\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\n\nbłędnego przepisania,\n\nprzestawienia cyfr,\n\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie,\n\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W\nprzypadku\nzadania\nwymagającego\nwyznaczenia\npierwiastków\ntrójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.\n7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.\n8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.\n9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.\n11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.\n12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII.\nDodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku\narkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 29.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nstosuje\npoprawną\nmetodę\nobliczenia\npierwiastków\ntrójmianu\nkwadratowego\n𝑥2 -5𝑥-14, tzn. stosuje wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego i oblicza te\npierwiastki, popełniając błędy o charakterze dyskalkulicznym\nALBO\n\nzdający w wyniku obliczeń otrzyma wyróżnik ujemny, ale konsekwentnie narysuje parabolę\nALBO\n\nPoprawnie rozwiąże nierówność 𝑥2 -5𝑥≤0.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\n\npomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci\n𝑥∈[7, -2].\nUwaga:\n1. Jeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci przedziału otwartego, to może\notrzymać co najwyżej 1 pkt.\nZadanie 30.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\nprzekształci nierówność 𝑎\n𝑏< 𝑎+𝑐\n𝑏+𝑐 do postaci 𝑎(𝑏+𝑐)\n𝑏\n< 𝑎+ 𝑐 lub 𝑎< 𝑏(𝑎+𝑐)\n𝑏+𝑐.\nZadanie 31.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 32.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\npopełnia błąd przy przekształceniu równania 3𝑥+2\n3𝑥-2 = 4 -𝑥 do postaci równania\nkwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego równania\ni konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania.\nZadanie 33.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nzastosuje poprawną metodę obliczenia długości boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶 (stosuje wzór na pole\ntrójkąta równobocznego)\nALBO\n\nzapisze, że 𝑃𝐴𝐵𝐶\n𝑃𝐴𝐾𝐿= (3\n2)\n2\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\n\nzastosuje poprawną metodę wyznaczenia długości boku trójkąta 𝐴𝐾𝐿, popełnia jeden błąd\no charakterze dyskalkulicznym i konsekwentnie doprowadza rozwiązanie do końca.\nUwaga:\nW ocenie rozwiązania zadania 33. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi nr 2\nze standardowych zasad oceniania.\nZadanie 34.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nzapisze jedynie liczbę 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nALBO\n\nzapisze liczbę 12, o ile z zapisów wynika, że interpretuje tę liczbę jako liczbę zdarzeń\nelementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 (np. jest to zilustrowane wypisaniem kilku\nzdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i zdający nie zapisze zdarzeń\nelementarnych, które nie sprzyjają zdarzeniu 𝐴).\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\n\npoprawnie wypisze (lub zaznaczy) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, popełni błąd w ich zliczeniu i konsekwentnie zapisze wynik 𝑥\n36 , gdzie 𝑥 jest\nliczbą zliczonych zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴.\nUwaga:\nW ocenie rozwiązania zadania 34. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi nr 1 ze\nstandardowych zasad oceniania.\nZadanie 35.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nzastosuje poprawną metodę obliczenia długości boku 𝐴𝐵 trójkąta\nALBO\n\nzastosuje poprawną metodę obliczenia współczynnika kierunkowego równania prostej 𝐴𝐵\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\n\nzastosuje poprawną metodę wyznaczenia równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵\nALBO\n\nstosuje poprawne metody wyznaczenia wielkości w punktach 1)-4) pierwszego punktora\nstandardowych zasad oceniania za 1 pkt oraz zastosuje poprawną metodę obliczenia\ndługości boku 𝐴𝐵 trójkąta.","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\(C = (0, 27)\\), obwód \\(= 50 + 9\\sqrt{10}\\)\n\n## Sposób 1 - równanie z warunku |AC| = |BC|\n\n**Co wiemy:** Skoro \\(C\\) leży na osi \\(Oy\\), to \\(C = (0, c)\\) dla pewnego \\(c \\in \\mathbb{R}\\).\n\n**Wypisujemy kwadraty długości ramion:**\n\n\\[|AC|^2 = (0-(-20))^2 + (c-12)^2 = 400 + (c-12)^2\\]\n\n\\[|BC|^2 = (0-7)^2 + (c-3)^2 = 49 + (c-3)^2\\]\n\n**Z warunku \\(|AC| = |BC|\\) (a zatem \\(|AC|^2 = |BC|^2\\)):**\n\n\\[400 + (c-12)^2 = 49 + (c-3)^2\\]\n\n\\[400 + c^2 - 24c + 144 = 49 + c^2 - 6c + 9\\]\n\n\\[544 - 24c = 58 - 6c\\]\n\n\\[486 = 18c\\]\n\n\\[\\boxed{c = 27}\\]\n\n**Zatem \\(C = (0, 27)\\).**\n\n**Obliczamy długości boków:**\n\n\\[|AC| = \\sqrt{(0+20)^2 + (27-12)^2} = \\sqrt{400 + 225} = \\sqrt{625} = 25\\]\n\n\\[|BC| = \\sqrt{(0-7)^2 + (27-3)^2} = \\sqrt{49 + 576} = \\sqrt{625} = 25\\]\n\n\\[|AB| = \\sqrt{(7+20)^2 + (3-12)^2} = \\sqrt{27^2 + 9^2} = \\sqrt{729 + 81} = \\sqrt{810} = 9\\sqrt{10}\\]\n\n**Obwód:**\n\n\\[L = |AC| + |BC| + |AB| = 25 + 25 + 9\\sqrt{10} = \\boxed{50 + 9\\sqrt{10}}\\]\n\n## Sposób 2 - oś symetrii (prostopadła bisektorka)\n\n**Kluczowa obserwacja:** Punkt \\(C\\) jest jednakowo odległy od \\(A\\) i \\(B\\), więc leży na **prostopadłej bisektorce** odcinka \\(AB\\).\n\n**Środek odcinka AB:**\n\n\\[M = \\left(\\frac{-20+7}{2},\\ \\frac{12+3}{2}\\right) = \\left(-\\frac{13}{2},\\ \\frac{15}{2}\\right)\\]\n\n**Nachylenie prostej AB:**\n\n\\[k_{AB} = \\frac{3-12}{7-(-20)} = \\frac{-9}{27} = -\\frac{1}{3}\\]\n\n**Nachylenie prostopadłej bisektorki** (prostopadle do \\(AB\\)):\n\n\\[k_\\perp = 3 \\quad \\text{(bo } k \\cdot k_\\perp = -1\\text{)}\\]\n\n**Równanie prostopadłej bisektorki** przez \\(M\\):\n\n\\[y - \\frac{15}{2} = 3\\left(x + \\frac{13}{2}\\right)\\]\n\n\\[y = 3x + \\frac{39}{2} + \\frac{15}{2} = 3x + 27\\]\n\n**Szukamy przecięcia z osią \\(Oy\\)** (czyli \\(x = 0\\)):\n\n\\[y = 3 \\cdot 0 + 27 = 27\\]\n\n**Wynik:** \\(C = (0, 27)\\) - identycznie jak w Sposobie 1. ✓\n\nDługości boków i obwód obliczamy tak samo: \\(L = 50 + 9\\sqrt{10}\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\nWzór na długość odcinka:\n\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]\n\nUżyty trzykrotnie - do obliczenia \\(|AC|\\), \\(|BC|\\) i \\(|AB|\\).\n\nŚrodek odcinka:\n\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]\n\nUżyty w Sposobie 2 do wyznaczenia środka \\(M\\) odcinka \\(AB\\).\n\nWarunek prostopadłości prostych (kierunkowe):\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\nUżyty w Sposobie 2 do znalezienia nachylenia prostopadłej bisektorki.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy powiedzieć \"C leży na osi Oy\" i wpisać \\(C = (0, c)\\) bez uzasadnienia - trzeba faktycznie wyznaczyć \\(c\\). Wiele osób zapomina ustawić równanie \\(|AC|^2 = |BC|^2\\) i wstawia losowe wartości.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\((c-12)^2 - (c-3)^2\\) łatwo się pomylić w znakach. Lepiej rozwinąć każdy nawias osobno niż korzystać z wzoru \\((a-b)(a+b)\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{810} = \\sqrt{81 \\cdot 10} = 9\\sqrt{10}\\) - pamiętaj o upraszczaniu pierwiastków! Odpowiedź zostawiona jako \\(\\sqrt{810}\\) jest poprawna matematycznie, ale niedociągnięta i może skutkować stratą punktu.\n\n**Odpowiedź: \\(C = (0, 27)\\), obwód \\(L = 50 + 9\\sqrt{10}\\)**\n\n### Sposób 1 - Symetralna odcinka AB\nWspółczynnik kierunkowy prostej \\(AB\\):\n\\(a_{AB} = \\dfrac{3 - 12}{7 - (-20)} = \\dfrac{-9}{27} = -\\dfrac{1}{3}\\).\nSymetralna jest prostopadła do \\(AB\\), więc \\(a_k = 3\\).\n\nŚrodek \\(M\\) odcinka \\(AB\\):\n\\(M = \\left(\\dfrac{-20+7}{2}, \\dfrac{12+3}{2}\\right) = \\left(-\\dfrac{13}{2}, \\dfrac{15}{2}\\right)\\).\n\nRównanie symetralnej \\(k\\):\n\\(y - \\dfrac{15}{2} = 3\\left(x + \\dfrac{13}{2}\\right) \\Rightarrow y = 3x + 27\\).\n\nPunkt \\(C\\) leży na osi \\(Oy\\), czyli \\(x = 0\\): \\(y = 27\\).\nWięc \\(C = (0, 27)\\).\n\n### Obliczenie długości boków\n\\(|AC| = \\sqrt{(0-(-20))^2 + (27-12)^2} = \\sqrt{400 + 225} = \\sqrt{625} = 25\\).\n\\(|BC| = |AC| = 25\\) (z warunku równoramienności).\n\\(|AB| = \\sqrt{(7-(-20))^2 + (3-12)^2} = \\sqrt{729 + 81} = \\sqrt{810} = 9\\sqrt{10}\\).\n\n### Obwód\n\\(L = |AB| + |BC| + |CA| = 9\\sqrt{10} + 25 + 25 = 50 + 9\\sqrt{10}\\).\n\n### Sposób 2 - Równanie |AC|² = |BC|²\nNiech \\(C = (0, y)\\). Z \\(|AC|^2 = |BC|^2\\):\n\\((0 + 20)^2 + (y - 12)^2 = (0 - 7)^2 + (y - 3)^2\\)\n\\(400 + y^2 - 24y + 144 = 49 + y^2 - 6y + 9\\)\n\\(544 - 24y = 58 - 6y\\)\n\\(-18y = -486\\)\n\\(y = 27\\).\nDalej jak w Sposobie 1.\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt za obliczenie \\(|AB| = 9\\sqrt{10}\\) LUB wyznaczenie współczynnika symetralnej LUB równania na \\(y_C\\).\n- 3 pkt za \\(C = (0, 27)\\).\n- 4 pkt za \\(C\\) oraz jeden bok trójkąta.\n- 5 pkt za pełny wynik: \\(C = (0, 27)\\) i \\(L = 50 + 9\\sqrt{10}\\).\n\n**Klucz:** wierzchołek trójkąta równoramiennego leży na symetralnej podstawy - najprostsze podejście, dopóki znamy dodatkowy warunek (punkt na osi \\(Oy\\)).","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-35.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-35.svg","topics":"analityczna","page_from":22,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 35. (0-5) (32)
Punkty 𝐴= (-20, 12) i 𝐵= (7, 3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶,
w którym |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|. Wierzchołek 𝐶 leży na osi 𝑂𝑦 układu współrzędnych. Oblicz
współrzędne wierzchołka 𝐶 oraz obwód tego trójkąta.

\n

EMAP-P0_100
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
35.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Punkty A=(-20,12) i B=(7,3) są wierzchołkami trójkąta równoramiennego ABC, w którym |AC|=|BC|. Wierzchołek C leży na osi Oy układu współrzędnych. Oblicz współrzędne wierzchołka C oraz obwód tego trójkąta.

","answer_text_html":"

Zadanie 35. (0-5)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
8.1) wyznacza równanie prostej
przechodzącej przez dane dwa punkty
(w postaci kierunkowej lub ogólnej);
8.3) wyznacza równanie prostej, która jest
równoległa lub prostopadła do prostej
danej w postaci kierunkowej i przechodzi
przez dany punkt;
8.4) oblicza współrzędne punktu przecięcia
dwóch prostych;
8.6) oblicza odległość dwóch punktów.
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:

spełni jeden z poniższych warunków:

\n
  1. obliczy współczynnik kierunkowy równania prostej 𝐴𝐵: 𝑎𝐴𝐵= -1
\n

3 lub zapisze
równanie prostej 𝐴𝐵 w postaci ogólnej 𝑥+ 3𝑦-16 = 0

\n
  1. obliczy współrzędne środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵: 𝑀= (-13
\n

2 , 15
2 )

\n
  1. przyjmie pierwszą współrzędną punktu 𝐶 równą zeru i zapisze np. 𝐶= (0, 𝑦𝐶)
  2. zapisze równość |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶| w zależności od współrzędnych punktu
\n

𝐶= (𝑥𝐶, 𝑦𝐶), np.:
√(𝑥𝐶-(-20))
2 + (𝑦𝐶-12)2 = √(𝑥𝐶-7)2 + (𝑦𝐶-3)2
ALBO

zastosuje poprawną metodę obliczenia długości boku 𝐴𝐵 trójkąta i uzyska
poprawny wynik: |𝐴𝐵| = 9√10
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:

spełni jeden z warunków 1)-4) określonych w punktorze pierwszym zasad oceniania
za 1 punkt oraz obliczy długość boku 𝐴𝐵 trójkąta
ALBO

spełni jeden z poniższych warunków:

\n
  1. zapisze równanie symetralnej 𝑘 odcinka 𝐴𝐵: 𝑦-15
\n

2 = 3(𝑥+ 13
2 ) lub
𝑦= 3𝑥+ 27

\n
  1. zapisze równanie, w którym niewiadomą jest druga współrzędna wierzchołka 𝐶,
\n

wynikające z prostopadłości odpowiednich wektorów, np. 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ oraz 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ :
Zasady oceniania rozwiązań zadań
-27
2 ∙13
2 + 9
2 ∙(𝑦𝐶-15
2 ) = 0

\n
  1. zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi, np.:
\n

√(𝑥𝐶-(-20))
2 + (𝑦𝐶-12)2 = √(𝑥𝐶-7)2 + (𝑦𝐶-3)2 i 𝑥𝐶= 0
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy:

spełni jeden z warunków 1)-3) określonych w punktorze drugim zasad oceniania za
2 punkty oraz obliczy długość boku 𝐴𝐵 trójkąta
ALBO

zastosuje poprawną metodę obliczenia drugiej współrzędnej punktu 𝐶 i obliczy
współrzędne punktu: 𝐶= (0, 27)
Zdający otrzymuje 4 p.
gdy zastosuje poprawną metodę obliczenia drugiej współrzędnej punktu 𝐶 oraz poprawną
metodę obliczenia jednego z boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i uzyska poprawne wyniki: 𝐶= (0, 27)
oraz |𝐴𝐵| = 9√10 (lub |𝐵𝐶| = 25).
Zdający otrzymuje 5 p.
gdy zastosuje poprawną metodę wyznaczenia współrzędnych punktu 𝐶 oraz obliczy obwód 𝐿
trójkąta 𝐴𝐵𝐶 i uzyska poprawne wyniki: 𝐿= 9√10 + 50, 𝐶= (0, 27).
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający rozważa punkt 𝐶 leżący na osi 𝑂𝑦 i w rozwiązaniu popełnia tylko błędy
\n

rachunkowe, które nie przekreślają poprawności rozumowania, to za całe rozwiązanie
może otrzymać co najwyżej 4 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający przyjmie błędnie, że wierzchołek 𝐶 leży poza osią 𝑂𝑦 i korzysta z tego
\n

w rozwiązaniu, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 3 punkty.

\n
  1. Rozwiązania odczytywane.
\n

a) Jeżeli zdający wyznacza współrzędne punktu 𝐶, wykorzystując punkty kratowe:
zaznaczy w układzie współrzędnych poprawnie punkty 𝐴 i 𝐵, narysuje trójkąt
równoramienny 𝐴𝐵𝐶, a punkt (0, 27) oznaczy przez 𝐶, to za wyznaczenie
współrzędnych punktu 𝐶 może uzyskać 3 punkty.
b) Jeżeli zdający rysuje w układzie współrzędnych symetralną odcinka 𝐴𝐵 i odczytuje
współrzędne punktu 𝐶 i zapisuje 𝐶= (0, 27) oraz sprawdzi rachunkowo, że
|𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, to za tę część rozwiązania otrzymuje 3 punkty (jeżeli tego sprawdzenia nie
wykona, to otrzymuje za tę część rozwiązania 2 punkty, a gdy odczyta błędne
współrzędne punktu 𝐶, to otrzymuje 0 punktów).

\n
  1. Jeżeli zdający rozważa dwa różne położenia punktu 𝐶 i nie odrzuca niewłaściwego
\n

rozwiązania, to otrzymuje co najwyżej 4 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający nie sporządzi rysunku i zapisze tylko 𝐶= (0, 27), to otrzymuje 0 punktów;
\n

jeżeli zdający nie sporządzi rysunku, lecz zapisze 𝐶= (0, 27) i dalej kontynuuje
rozwiązanie, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający popełni błąd merytoryczny, to może otrzymać co najwyżej 3 punkty.
\n

Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Obliczamy współczynnik kierunkowy prostej 𝐴𝐵:
𝑎𝐴𝐵=
3 -12
7 -(-20) = -9
27 = -1
3
Zatem współczynnik kierunkowy symetralnej 𝑘 odcinka 𝐴𝐵 jest równy
𝑎𝑘= 3
Symetralna 𝑘 przechodzi przez środek 𝑀 odcinka 𝐴𝐵. Obliczamy współrzędne punktu 𝑀:
𝑀= (-20 + 7
2
, 12 + 3
2
) = (-13
2 , 15
2 )
Zatem prosta 𝑘 ma równanie postaci
𝑦-15
2 = 3 (𝑥-(-13
2 ))
𝑦-15
2 = 3𝑥+ 39
2
𝑦= 3𝑥+ 27
Ponieważ punkt 𝐶 leży na osi 𝑂𝑦 i na prostej 𝑘, więc współrzędne punktu 𝐶 są równe
𝐶= (0, 27).
Obliczamy długości boków trójkąta:
|𝐴𝐶| = √(0 -(-20))
2 + (27 -12)2 = √400 + 225 = √625 = 25
|𝐴𝐵| = √(7 -(-20))
2 + (3 -12)2 = √729 + 81 = √810 = 9√10
Obliczamy obwód 𝐿 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:
𝐿= |𝐴𝐵| + |𝐵𝐶| + |𝐶𝐴| = 9√10 + 25 + 25 = 50 + 9√10
Sposób 2.
Ponieważ wierzchołek 𝐶 trójkąta równoramiennego 𝐴𝐵𝐶 leży na osi 𝑂𝑦, więc jego
współrzędne są równe 𝐶= (0, 𝑦𝐶).
Ponieważ |𝐴𝐶| = |𝐵𝐶|, więc |𝐴𝐶|2 = |𝐵𝐶|2. Stąd i ze wzoru na odległość między dwoma
punktami otrzymujemy równanie
(0 -(-20))
2 + (𝑦𝐶-12)2 = (0 -7)2 + (𝑦𝐶-3)2
Zasady oceniania rozwiązań zadań
400 + 𝑦𝐶
2 -24𝑦𝐶+ 144 = 49 + 𝑦𝐶
2 -6𝑦𝐶+ 9
-18𝑦𝐶= -486
𝑦𝐶= 27
Zatem 𝐶= (0, 27).
Obliczamy długości boków trójkąta:
|𝐴𝐶| = √(0 -(-20))
2 + (27 -12)2 = √400 + 225 = √625 = 25
|𝐴𝐵| = √(7 -(-20))
2 + (3 -12)2 = √729 + 81 = √810 = 9√10
Obliczamy obwód 𝐿 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:
𝐿= |𝐴𝐵| + |𝐵𝐶| + |𝐶𝐴| = 9√10 + 25 + 25 = 50 + 9√10
Sposób 3.
Niech 𝑦 oznacza drugą współrzędną wierzchołka 𝐶, tj. 𝐶= (0, 𝑦).
Obliczamy współrzędne środka 𝑀 odcinka 𝐴𝐵:
𝑀= (-20 + 7
2
, 12 + 3
2
) = (-13
2 , 15
2 )
Obliczamy współrzędne wektorów 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ oraz 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ :
𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [-20 + 13
2 , 12 -15
2 ] = [-27
2 , 9
2]
𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = [0 + 13
2 , 𝑦-15
2 ] = [13
2 , 𝑦-15
2 ]
Wektor 𝑀𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⃗ jest prostopadły do wektora 𝑀𝐶⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , zatem
-27
2 ∙13
2 + 9
2 ∙(𝑦-15
2 ) = 0
9
2 𝑦= 486
4
𝑦= 27
Zatem punkt 𝐶 ma współrzędne 𝐶= (0, 27).
Obliczamy długości boków trójkąta 𝐴𝐵𝐶:
|𝐴𝐶| = √(0 -(-20))
2 + (27 -12)2 = √400 + 225 = √625 = 25
|𝐴𝐵| = √(7 -(-20))
2 + (3 -12)2 = √729 + 81 = √810 = 9√10
Obliczamy obwód 𝐿 trójkąta 𝐴𝐵𝐶:
𝐿= |𝐴𝐵| + |𝐵𝐶| + |𝐶𝐴| = 9√10 + 25 + 25 = 50 + 9√10
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej
dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:
I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną
dyskalkulią (punkty 1.-12.);
II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy
osób ze stwierdzoną dyskalkulią - matura z matematyki, poziom podstawowy, termin
główny 2021.
I.
Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze
stwierdzoną dyskalkulią

\n
  1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:
\n


błędnego przepisania,

przestawienia cyfr,

zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie,

przestawienia położenia przecinka.

\n
  1. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu
\n

oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza
umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania
badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.

\n
  1. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę
\n

rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej
1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.

\n
  1. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub
\n

zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne
rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt
za rozwiązanie zadania.

\n
  1. W
\n

przypadku
zadania
wymagającego
wyznaczenia
pierwiastków
trójmianu
kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę
wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania
wartościach liczbowych.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający
\n

może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności
kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej
\n

zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji
kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych
\n

lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie
takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
\n

płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.

\n
  1. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
\n

przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych
sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje
prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.

\n
  1. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli
\n

podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia
rozwiązania.

\n
  1. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub
\n

geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która
wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać
1 punkt.
II.
Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku
arkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią
Zadanie 29.
Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:

stosuje
poprawną
metodę
obliczenia
pierwiastków
trójmianu
kwadratowego
𝑥2 -5𝑥-14, tzn. stosuje wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego i oblicza te
pierwiastki, popełniając błędy o charakterze dyskalkulicznym
ALBO

zdający w wyniku obliczeń otrzyma wyróżnik ujemny, ale konsekwentnie narysuje parabolę
ALBO

Poprawnie rozwiąże nierówność 𝑥2 -5𝑥≤0.
Zdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:

pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci
𝑥∈[7, -2].
Uwaga:

\n
  1. Jeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci przedziału otwartego, to może
\n

otrzymać co najwyżej 1 pkt.
Zadanie 30.
Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:
przekształci nierówność 𝑎
𝑏< 𝑎+𝑐
𝑏+𝑐 do postaci 𝑎(𝑏+𝑐)
𝑏
< 𝑎+ 𝑐 lub 𝑎< 𝑏(𝑎+𝑐)
𝑏+𝑐.
Zadanie 31.
Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Zadanie 32.
Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:

popełnia błąd przy przekształceniu równania 3𝑥+2
3𝑥-2 = 4 -𝑥 do postaci równania
kwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego równania
i konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania.
Zadanie 33.
Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:

zastosuje poprawną metodę obliczenia długości boku trójkąta 𝐴𝐵𝐶 (stosuje wzór na pole
trójkąta równobocznego)
ALBO

zapisze, że 𝑃𝐴𝐵𝐶
𝑃𝐴𝐾𝐿= (3
2)
2
Zdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:

zastosuje poprawną metodę wyznaczenia długości boku trójkąta 𝐴𝐾𝐿, popełnia jeden błąd
o charakterze dyskalkulicznym i konsekwentnie doprowadza rozwiązanie do końca.
Uwaga:
W ocenie rozwiązania zadania 33. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi nr 2
ze standardowych zasad oceniania.
Zadanie 34.
Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:

zapisze jedynie liczbę 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich
zdarzeń elementarnych).
ALBO

zapisze liczbę 12, o ile z zapisów wynika, że interpretuje tę liczbę jako liczbę zdarzeń
elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 (np. jest to zilustrowane wypisaniem kilku
zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i zdający nie zapisze zdarzeń
elementarnych, które nie sprzyjają zdarzeniu 𝐴).
Zdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:

poprawnie wypisze (lub zaznaczy) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające
zdarzeniu 𝐴, popełni błąd w ich zliczeniu i konsekwentnie zapisze wynik 𝑥
36 , gdzie 𝑥 jest
liczbą zliczonych zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴.
Uwaga:
W ocenie rozwiązania zadania 34. (dla zdających z dyskalkulią) nie stosuje się uwagi nr 1 ze
standardowych zasad oceniania.
Zadanie 35.
Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:

zastosuje poprawną metodę obliczenia długości boku 𝐴𝐵 trójkąta
ALBO

zastosuje poprawną metodę obliczenia współczynnika kierunkowego równania prostej 𝐴𝐵
Zdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:

zastosuje poprawną metodę wyznaczenia równania symetralnej odcinka 𝐴𝐵
ALBO

stosuje poprawne metody wyznaczenia wielkości w punktach 1)-4) pierwszego punktora
standardowych zasad oceniania za 1 pkt oraz zastosuje poprawną metodę obliczenia
długości boku 𝐴𝐵 trójkąta.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-35.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

\\(C = (0, 27)\\), obwód \\(= 50 + 9\\sqrt{10}\\)

\n

Sposób 1 - równanie z warunku |AC| = |BC|

\n

Co wiemy: Skoro \\(C\\) leży na osi \\(Oy\\), to \\(C = (0, c)\\) dla pewnego \\(c \\in \\mathbb{R}\\).

\n

Wypisujemy kwadraty długości ramion:

\n

\\[|AC|^2 = (0-(-20))^2 + (c-12)^2 = 400 + (c-12)^2\\]

\n

\\[|BC|^2 = (0-7)^2 + (c-3)^2 = 49 + (c-3)^2\\]

\n

Z warunku \\(|AC| = |BC|\\) (a zatem \\(|AC|^2 = |BC|^2\\)):

\n

\\[400 + (c-12)^2 = 49 + (c-3)^2\\]

\n

\\[400 + c^2 - 24c + 144 = 49 + c^2 - 6c + 9\\]

\n

\\[544 - 24c = 58 - 6c\\]

\n

\\[486 = 18c\\]

\n

\\[\\boxed{c = 27}\\]

\n

Zatem \\(C = (0, 27)\\).

\n

Obliczamy długości boków:

\n

\\[|AC| = \\sqrt{(0+20)^2 + (27-12)^2} = \\sqrt{400 + 225} = \\sqrt{625} = 25\\]

\n

\\[|BC| = \\sqrt{(0-7)^2 + (27-3)^2} = \\sqrt{49 + 576} = \\sqrt{625} = 25\\]

\n

\\[|AB| = \\sqrt{(7+20)^2 + (3-12)^2} = \\sqrt{27^2 + 9^2} = \\sqrt{729 + 81} = \\sqrt{810} = 9\\sqrt{10}\\]

\n

Obwód:

\n

\\[L = |AC| + |BC| + |AB| = 25 + 25 + 9\\sqrt{10} = \\boxed{50 + 9\\sqrt{10}}\\]

\n

Sposób 2 - oś symetrii (prostopadła bisektorka)

\n

Kluczowa obserwacja: Punkt \\(C\\) jest jednakowo odległy od \\(A\\) i \\(B\\), więc leży na prostopadłej bisektorce odcinka \\(AB\\).

\n

Środek odcinka AB:

\n

\\[M = \\left(\\frac{-20+7}{2},\\ \\frac{12+3}{2}\\right) = \\left(-\\frac{13}{2},\\ \\frac{15}{2}\\right)\\]

\n

Nachylenie prostej AB:

\n

\\[k_{AB} = \\frac{3-12}{7-(-20)} = \\frac{-9}{27} = -\\frac{1}{3}\\]

\n

Nachylenie prostopadłej bisektorki (prostopadle do \\(AB\\)):

\n

\\[k_\\perp = 3 \\quad \\text{(bo } k \\cdot k_\\perp = -1\\text{)}\\]

\n

Równanie prostopadłej bisektorki przez \\(M\\):

\n

\\[y - \\frac{15}{2} = 3\\left(x + \\frac{13}{2}\\right)\\]

\n

\\[y = 3x + \\frac{39}{2} + \\frac{15}{2} = 3x + 27\\]

\n

Szukamy przecięcia z osią \\(Oy\\) (czyli \\(x = 0\\)):

\n

\\[y = 3 \\cdot 0 + 27 = 27\\]

\n

Wynik: \\(C = (0, 27)\\) - identycznie jak w Sposobie 1. ✓

\n

Długości boków i obwód obliczamy tak samo: \\(L = 50 + 9\\sqrt{10}\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n

Wzór na długość odcinka:
\\[|AB| = \\sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\\]

\n

Użyty trzykrotnie - do obliczenia \\(|AC|\\), \\(|BC|\\) i \\(|AB|\\).

\n

Środek odcinka:
\\[x_S = \\frac{x_A + x_B}{2}, \\quad y_S = \\frac{y_A + y_B}{2}\\]

\n

Użyty w Sposobie 2 do wyznaczenia środka \\(M\\) odcinka \\(AB\\).

\n

Warunek prostopadłości prostych (kierunkowe):
\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]

\n

Użyty w Sposobie 2 do znalezienia nachylenia prostopadłej bisektorki.

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy powiedzieć "C leży na osi Oy" i wpisać \\(C = (0, c)\\) bez uzasadnienia - trzeba faktycznie wyznaczyć \\(c\\). Wiele osób zapomina ustawić równanie \\(|AC|^2 = |BC|^2\\) i wstawia losowe wartości.
\n
⚠️ Uwaga: Przy upraszczaniu \\((c-12)^2 - (c-3)^2\\) łatwo się pomylić w znakach. Lepiej rozwinąć każdy nawias osobno niż korzystać z wzoru \\((a-b)(a+b)\\).
\n
⚠️ Uwaga: \\(\\sqrt{810} = \\sqrt{81 \\cdot 10} = 9\\sqrt{10}\\) - pamiętaj o upraszczaniu pierwiastków! Odpowiedź zostawiona jako \\(\\sqrt{810}\\) jest poprawna matematycznie, ale niedociągnięta i może skutkować stratą punktu.
\n

Odpowiedź: \\(C = (0, 27)\\), obwód \\(L = 50 + 9\\sqrt{10}\\)

\n
Sposób 1 - Symetralna odcinka AB
\n

Współczynnik kierunkowy prostej \\(AB\\):
\\(a_{AB} = \\dfrac{3 - 12}{7 - (-20)} = \\dfrac{-9}{27} = -\\dfrac{1}{3}\\).
Symetralna jest prostopadła do \\(AB\\), więc \\(a_k = 3\\).

\n

Środek \\(M\\) odcinka \\(AB\\):
\\(M = \\left(\\dfrac{-20+7}{2}, \\dfrac{12+3}{2}\\right) = \\left(-\\dfrac{13}{2}, \\dfrac{15}{2}\\right)\\).

\n

Równanie symetralnej \\(k\\):
\\(y - \\dfrac{15}{2} = 3\\left(x + \\dfrac{13}{2}\\right) \\Rightarrow y = 3x + 27\\).

\n

Punkt \\(C\\) leży na osi \\(Oy\\), czyli \\(x = 0\\): \\(y = 27\\).
Więc \\(C = (0, 27)\\).

\n
Obliczenie długości boków
\n

\\(|AC| = \\sqrt{(0-(-20))^2 + (27-12)^2} = \\sqrt{400 + 225} = \\sqrt{625} = 25\\).
\\(|BC| = |AC| = 25\\) (z warunku równoramienności).
\\(|AB| = \\sqrt{(7-(-20))^2 + (3-12)^2} = \\sqrt{729 + 81} = \\sqrt{810} = 9\\sqrt{10}\\).

\n
Obwód
\n

\\(L = |AB| + |BC| + |CA| = 9\\sqrt{10} + 25 + 25 = 50 + 9\\sqrt{10}\\).

\n
Sposób 2 - Równanie |AC|² = |BC|²
\n

Niech \\(C = (0, y)\\). Z \\(|AC|^2 = |BC|^2\\):
\\((0 + 20)^2 + (y - 12)^2 = (0 - 7)^2 + (y - 3)^2\\)
\\(400 + y^2 - 24y + 144 = 49 + y^2 - 6y + 9\\)
\\(544 - 24y = 58 - 6y\\)
\\(-18y = -486\\)
\\(y = 27\\).
Dalej jak w Sposobie 1.

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Klucz: wierzchołek trójkąta równoramiennego leży na symetralnej podstawy - najprostsze podejście, dopóki znamy dodatkowy warunek (punkt na osi \\(Oy\\)).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$L = 50 + 9\\sqrt{10}$

"}]}