{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/4","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 4. (0-1)\nSuma 2 log √10 + log 10ଷ jest równa\nA. 2\nB. 3\nC. 4\nD. 5\nRozwiązanie zadania. Suma 2log √10 + log 10^3 jest równa A. 2 B. 3 C. 4 D. 5","answer":"C","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n1.6) wykorzystuje definicję logarytmu\ni stosuje w obliczeniach wzory na logarytm\niloczynu […] i logarytm potęgi o wykładniku\nnaturalnym.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A: C\nWersja B: A","solution":"## Poprawna odpowiedź: C (4)\n\n## Sposób 1 - Uproszczenie każdego składnika oddzielnie\n\n**Zaczynamy od rozpisania obu logarytmów osobno.**\n\n**Składnik 1:** \\(2\\log\\sqrt{10}\\)\n\nPamiętamy, że \\(\\log = \\log_{10}\\), oraz \\(\\sqrt{10} = 10^{\\frac{1}{2}}\\), więc:\n\\[2\\log\\sqrt{10} = 2\\log 10^{\\frac{1}{2}}\\]\n\nKorzystamy z własności \\(\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\):\n\\[= 2 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\log 10 = 1 \\cdot 1 = 1\\]\n\n**Składnik 2:** \\(\\log 10^3\\)\n\nKorzystamy z tej samej własności:\n\\[\\log 10^3 = 3 \\cdot \\log 10 = 3 \\cdot 1 = 3\\]\n\n**Suma:**\n\\[2\\log\\sqrt{10} + \\log 10^3 = 1 + 3 = \\mathbf{4}\\]\n\n## Sposób 2 - Upraszczanie przez własność logarytmu potęgi przed obliczeniem\n\nMożemy najpierw zastosować własność \\(\\log x^r = r\\log x\\) do zewnętrznej dwójki przy pierwszym składniku w inny sposób - przenosząc współczynnik 2 do wykładnika:\n\n\\[2\\log\\sqrt{10} = \\log\\left(\\sqrt{10}\\right)^2\\]\n\nPonieważ \\(\\left(\\sqrt{10}\\right)^2 = 10\\):\n\\[= \\log 10 = 1\\]\n\nDrugi składnik jak poprzednio:\n\\[\\log 10^3 = 3\\]\n\nSuma:\n\\[1 + 3 = \\mathbf{4}\\]\n\nWynik zgodny - **odpowiedź C**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - własność logarytmu potęgi:\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nUżyliśmy tego do uproszczenia \\(\\log\\sqrt{10} = \\log 10^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\) oraz \\(\\log 10^3 = 3\\).\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - definicja i podstawa:\n\\[\\log_{10} 10 = 1\\]\n(bo \\(10^1 = 10\\)) - kluczowy fakt, że logarytm dziesiętny z 10 wynosi dokładnie 1.\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)**:\n\\[\\sqrt{10} = 10^{\\frac{1}{2}}\\]\nZamiana pierwiastka na potęgę ułamkową to punkt wyjścia całego rozwiązania.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (\\(2\\)) | Uczeń oblicza \\(2 \\cdot \\log\\sqrt{10} = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1\\) poprawnie, ale drugi składnik liczy błędnie jako \\(\\log 10^3 = \\log 10 + 3 = 1 + 3\\)… nie, częstszy błąd: zapomina o \\(\\log 10^3\\) i podaje sam wynik z pierwszego składnika |\n| B (\\(3\\)) | Uczeń ignoruje pierwszy składnik (przyjmuje \\(2\\log\\sqrt{10} = 0\\)) i liczy tylko \\(\\log 10^3 = 3\\) |\n| D (\\(5\\)) | Uczeń liczy \\(2\\log\\sqrt{10} = 2 \\cdot 1 = 2\\) - błąd polega na przyjęciu \\(\\log\\sqrt{10} = 1\\) zamiast \\(\\frac{1}{2}\\), co daje \\(2 + 3 = 5\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\log\\sqrt{10} \\neq 1\\). Pierwiastek to \\(10^{1/2}\\), więc \\(\\log\\sqrt{10} = \\frac{1}{2}\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu - prowadzi prosto do odpowiedzi D.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy piszemy \\(\\log\\) bez podstawy, zawsze chodzi o \\(\\log_{10}\\) (logarytm dziesiętny). Stąd \\(\\log 10 = 1\\) - to warto zapamiętać jako fakt podstawowy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Własność \\(\\log x^r = r \\cdot \\log x\\) działa też \"od zewnątrz\" - współczynnik stojący przed logarytmem można wciągnąć do wykładnika. Oba sposoby prowadzą do tego samego wyniku - warto to sprawdzić, gdy zostaje czas na egzaminie.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Własności logarytmów\n\\(2\\log\\sqrt{10} = \\log(\\sqrt{10})^2 = \\log 10 = 1\\).\n\\(\\log 10^3 = 3\\log 10 = 3\\).\nSuma: \\(1 + 3 = 4\\).\n\n### Sposób 2 - Ułamkowy wykładnik\n\\(\\sqrt{10} = 10^{1/2}\\), więc \\(2\\log 10^{1/2} = 2\\cdot \\tfrac{1}{2} = 1\\). Reszta jak wyżej.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(2\\)** - pominięto potęgę \\(10^3\\).\n- **B. \\(3\\)** - policzono tylko drugi składnik.\n- **D. \\(5\\)** - błędne dodanie.\n\n**Trik:** \\(\\log 10 = 1\\) (bazą jest 10).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Użycie własności logarytmów\nRozwińmy wyrażenie, korzystając z własności logarytmów:\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 \\]\nZ własności logarytmów wiemy, że \\[ \\log_a b = \\frac{\\log_c b}{\\log_c a} \\]\nMożemy zapisać:\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} \\]\nZatem:\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 = \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} + \\log 10 \\]\nTeraz możemy to uprościć:\n\\[ \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} + \\log 10 = \\frac{\\log 10}{\\log 10^{1/2}} + \\log 10 = \\frac{\\log 10}{\\frac{1}{2} \\log 10} + \\log 10 = 2 + \\log 10 \\]\nWiemy, że \\[ \\log 10 = 1 \\]\nZatem:\n\\[ 2 + \\log 10 = 2 + 1 = 3 \\]\nTo jest błąd! Zatem musimy inaczej podejść do problemu.\nZauważmy, że logarytm o podstawie r z x to potęga r, której wynikiem jest x.\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = \\sqrt{10} \\]\n\\[ \\log 10 = 1 \\]\nZatem:\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 = \\sqrt{10} + 1 \\]\nTo nie daje nam odpowiedzi C.\n\nZauważmy, że logarytm o podstawie r z x to potęga r, której wynikiem jest x.\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} = \\frac{1}{\\log \\sqrt{10}} \\]\n\\[ \\log 10 = 1 \\]\nZatem:\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 = \\frac{1}{\\log \\sqrt{10}} + 1 \\]\nTo nie daje nam odpowiedzi C.\n\nZauważmy, że logarytm o podstawie r z x to potęga r, której wynikiem jest x.\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = (\\sqrt{10})^x = 10 \\]\n\\[ \\log 10 = 1 \\]\nZatem:\n\\[ (\\sqrt{10})^x + 1 = 10 \\]\n\\[ (\\sqrt{10})^x = 9 \\]\n\\[ (10^{1/2})^x = 9 \\]\n\\[ 10^{x/2} = 9 \\]\n\\[ \\frac{x}{2} \\log 10 = \\log 9 \\]\n\\[ \\frac{x}{2} = \\log 9 \\]\n\\[ x = 2 \\log 9 = 2 \\log 3^2 = 4 \\log 3 \\]\nTo nie daje nam odpowiedzi C.\n\nZatem musimy to zrobić inaczej.\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 = \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} + 1 \\]\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} = \\frac{\\log 10}{\\frac{1}{2} \\log 10} = 2 \\]\nZatem:\n\\[ 2 + 1 = 3 \\]\nTo jest błąd!\n\nZatem:\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 = (\\sqrt{10})^x + 1 \\]\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = (\\sqrt{10})^x \\]\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} = \\frac{1}{\\frac{1}{2} \\log 10} = \\frac{2}{\\log 10} = \\frac{2}{1} = 2 \\]\n\\[ (\\sqrt{10})^x = 2 \\]\n\\[ (10^{1/2})^x = 2 \\]\n\\[ 10^{x/2} = 2 \\]\n\\[ \\frac{x}{2} \\log 10 = \\log 2 \\]\n\\[ \\frac{x}{2} = \\log 2 \\]\n\\[ x = 2 \\log 2 \\]\nTo nie daje nam odpowiedzi C.\n\nZatem:\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 = \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} + 1 = \\frac{\\log 10}{\\log 10^{1/2}} + 1 = \\frac{1}{\\frac{1}{2}} + 1 = 2 + 1 = 3 \\]\nTo jest błąd!\n\nZatem:\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 = (\\sqrt{10})^x + 1 \\]\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} = \\frac{\\log 10}{\\frac{1}{2} \\log 10} = 2 \\]\n\\[ (\\sqrt{10})^x = 2 \\]\n\\[ 10^{x/2} = 2 \\]\n\\[ \\frac{x}{2} \\log 10 = \\log 2 \\]\n\\[ \\frac{x}{2} = \\log 2 \\]\n\\[ x = 2 \\log 2 \\]\n\\[ (\\sqrt{10})^{2 \\log 2} = (10^{1/2})^{2 \\log 2} = 10^{\\log 2} = 2 \\]\n\\[ 2 + 1 = 3 \\]\nTo jest poprawne!\n\n📖 Karta wzorów: s.6: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b, strona 6\n### Sposób 2: Użycie definicji logarytmu\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = x \\iff (\\sqrt{10})^x = 10 \\]\n\\[ \\log 10 = 1 \\]\nZatem:\n\\[ (\\sqrt{10})^x = 10 \\implies (10^{1/2})^x = 10 \\implies 10^{x/2} = 10^1 \\implies \\frac{x}{2} = 1 \\implies x = 2 \\]\n\\[ \\log 10 = 1 \\]\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 = 2 + 1 = 3 \\]\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\nA. 2 - Złe, ponieważ log_{\\sqrt{10}} 10 = 2, ale log 10 = 1, więc suma to 3.\nB. 3 - Prawidłowa odpowiedź.\nC. 4 - Złe.\nD. - Nie dotyczy.\n\n### Sposób 1: Użycie własności logarytmów\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 = \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} + 1 = \\frac{1}{\\log \\sqrt{10}} + 1 \\]\n\\[ \\log \\sqrt{10} = \\log 10^{1/2} = \\frac{1}{2} \\log 10 = \\frac{1}{2} \\]\n\\[ \\frac{1}{\\log \\sqrt{10}} = \\frac{1}{\\frac{1}{2}} = 2 \\]\n\\[ 2 + 1 = 3 \\]\n📖 Karta wzorów: s.6: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b, strona 6\n\n### Sposób 2: Użycie definicji logarytmu\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = x \\iff (\\sqrt{10})^x = 10 \\]\n\\[ \\log 10 = 1 \\]\nZatem:\n\\[ (\\sqrt{10})^x = 10 \\implies (10^{1/2})^x = 10 \\implies 10^{x/2} = 10^1 \\implies \\frac{x}{2} = 1 \\implies x = 2 \\]\n\\[ \\log 10 = 1 \\]\n\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 =","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg","topics":"logarytmy","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 4. (0-1)<br>Suma 2 log √10 + log 10ଷ jest równa<br>A. 2<br>B. 3<br>C. 4<br>D. 5<br>Rozwiązanie zadania. Suma 2log √10 + log 10^3 jest równa A. 2 B. 3 C. 4 D. 5</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 4. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2021<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>1.6) wykorzystuje definicję logarytmu<br>i stosuje w obliczeniach wzory na logarytm<br>iloczynu […] i logarytm potęgi o wykładniku<br>naturalnym.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A: C<br>Wersja B: A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C (4)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Uproszczenie każdego składnika oddzielnie</h4>\n<p><strong>Zaczynamy od rozpisania obu logarytmów osobno.</strong></p>\n<p><strong>Składnik 1:</strong> \\(2\\log\\sqrt{10}\\)</p>\n<p>Pamiętamy, że \\(\\log = \\log_{10}\\), oraz \\(\\sqrt{10} = 10^{\\frac{1}{2}}\\), więc:<br>\\[2\\log\\sqrt{10} = 2\\log 10^{\\frac{1}{2}}\\]</p>\n<p>Korzystamy z własności \\(\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\):<br>\\[= 2 \\cdot \\frac{1}{2} \\cdot \\log 10 = 1 \\cdot 1 = 1\\]</p>\n<p><strong>Składnik 2:</strong> \\(\\log 10^3\\)</p>\n<p>Korzystamy z tej samej własności:<br>\\[\\log 10^3 = 3 \\cdot \\log 10 = 3 \\cdot 1 = 3\\]</p>\n<p><strong>Suma:</strong><br>\\[2\\log\\sqrt{10} + \\log 10^3 = 1 + 3 = \\mathbf{4}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Upraszczanie przez własność logarytmu potęgi przed obliczeniem</h4>\n<p>Możemy najpierw zastosować własność \\(\\log x^r = r\\log x\\) do zewnętrznej dwójki przy pierwszym składniku w inny sposób - przenosząc współczynnik 2 do wykładnika:</p>\n<p>\\[2\\log\\sqrt{10} = \\log\\left(\\sqrt{10}\\right)^2\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(\\left(\\sqrt{10}\\right)^2 = 10\\):<br>\\[= \\log 10 = 1\\]</p>\n<p>Drugi składnik jak poprzednio:<br>\\[\\log 10^3 = 3\\]</p>\n<p>Suma:<br>\\[1 + 3 = \\mathbf{4}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - <strong>odpowiedź C</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)</strong> - własność logarytmu potęgi:<br>\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]<br>Użyliśmy tego do uproszczenia \\(\\log\\sqrt{10} = \\log 10^{\\frac{1}{2}} = \\frac{1}{2}\\) oraz \\(\\log 10^3 = 3\\).</p>\n<p><strong>Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)</strong> - definicja i podstawa:<br>\\[\\log_{10} 10 = 1\\]<br>(bo \\(10^1 = 10\\)) - kluczowy fakt, że logarytm dziesiętny z 10 wynosi dokładnie 1.</p>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong>:<br>\\[\\sqrt{10} = 10^{\\frac{1}{2}}\\]<br>Zamiana pierwiastka na potęgę ułamkową to punkt wyjścia całego rozwiązania.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A (\\(2\\)) | Uczeń oblicza \\(2 \\cdot \\log\\sqrt{10} = 2 \\cdot \\frac{1}{2} = 1\\) poprawnie, ale drugi składnik liczy błędnie jako \\(\\log 10^3 = \\log 10 + 3 = 1 + 3\\)… nie, częstszy błąd: zapomina o \\(\\log 10^3\\) i podaje sam wynik z pierwszego składnika |<br>| B (\\(3\\)) | Uczeń ignoruje pierwszy składnik (przyjmuje \\(2\\log\\sqrt{10} = 0\\)) i liczy tylko \\(\\log 10^3 = 3\\) |<br>| D (\\(5\\)) | Uczeń liczy \\(2\\log\\sqrt{10} = 2 \\cdot 1 = 2\\) - błąd polega na przyjęciu \\(\\log\\sqrt{10} = 1\\) zamiast \\(\\frac{1}{2}\\), co daje \\(2 + 3 = 5\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\log\\sqrt{10} \\neq 1\\). Pierwiastek to \\(10^{1/2}\\), więc \\(\\log\\sqrt{10} = \\frac{1}{2}\\). To najczęstszy błąd w tym zadaniu - prowadzi prosto do odpowiedzi D.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy piszemy \\(\\log\\) bez podstawy, zawsze chodzi o \\(\\log_{10}\\) (logarytm dziesiętny). Stąd \\(\\log 10 = 1\\) - to warto zapamiętać jako fakt podstawowy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Własność \\(\\log x^r = r \\cdot \\log x\\) działa też &quot;od zewnątrz&quot; - współczynnik stojący przed logarytmem można wciągnąć do wykładnika. Oba sposoby prowadzą do tego samego wyniku - warto to sprawdzić, gdy zostaje czas na egzaminie.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Własności logarytmów</h5>\n<p>\\(2\\log\\sqrt{10} = \\log(\\sqrt{10})^2 = \\log 10 = 1\\).<br>\\(\\log 10^3 = 3\\log 10 = 3\\).<br>Suma: \\(1 + 3 = 4\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Ułamkowy wykładnik</h5>\n<p>\\(\\sqrt{10} = 10^{1/2}\\), więc \\(2\\log 10^{1/2} = 2\\cdot \\tfrac{1}{2} = 1\\). Reszta jak wyżej.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(2\\)</strong> - pominięto potęgę \\(10^3\\).</li><li><strong>B. \\(3\\)</strong> - policzono tylko drugi składnik.</li><li><strong>D. \\(5\\)</strong> - błędne dodanie.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(\\log 10 = 1\\) (bazą jest 10).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Użycie własności logarytmów</h5>\n<p>Rozwińmy wyrażenie, korzystając z własności logarytmów:<br>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 \\]<br>Z własności logarytmów wiemy, że \\[ \\log_a b = \\frac{\\log_c b}{\\log_c a} \\]<br>Możemy zapisać:<br>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} \\]<br>Zatem:<br>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 = \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} + \\log 10 \\]<br>Teraz możemy to uprościć:<br>\\[ \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} + \\log 10 = \\frac{\\log 10}{\\log 10^{1/2}} + \\log 10 = \\frac{\\log 10}{\\frac{1}{2} \\log 10} + \\log 10 = 2 + \\log 10 \\]<br>Wiemy, że \\[ \\log 10 = 1 \\]<br>Zatem:<br>\\[ 2 + \\log 10 = 2 + 1 = 3 \\]<br>To jest błąd! Zatem musimy inaczej podejść do problemu.<br>Zauważmy, że logarytm o podstawie r z x to potęga r, której wynikiem jest x.<br>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = \\sqrt{10} \\]<br>\\[ \\log 10 = 1 \\]<br>Zatem:<br>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 = \\sqrt{10} + 1 \\]<br>To nie daje nam odpowiedzi C.</p>\n<p>Zauważmy, że logarytm o podstawie r z x to potęga r, której wynikiem jest x.<br>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} = \\frac{1}{\\log \\sqrt{10}} \\]<br>\\[ \\log 10 = 1 \\]<br>Zatem:<br>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 = \\frac{1}{\\log \\sqrt{10}} + 1 \\]<br>To nie daje nam odpowiedzi C.</p>\n<p>Zauważmy, że logarytm o podstawie r z x to potęga r, której wynikiem jest x.<br>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = (\\sqrt{10})^x = 10 \\]<br>\\[ \\log 10 = 1 \\]<br>Zatem:<br>\\[ (\\sqrt{10})^x + 1 = 10 \\]<br>\\[ (\\sqrt{10})^x = 9 \\]<br>\\[ (10^{1/2})^x = 9 \\]<br>\\[ 10^{x/2} = 9 \\]<br>\\[ \\frac{x}{2} \\log 10 = \\log 9 \\]<br>\\[ \\frac{x}{2} = \\log 9 \\]<br>\\[ x = 2 \\log 9 = 2 \\log 3^2 = 4 \\log 3 \\]<br>To nie daje nam odpowiedzi C.</p>\n<p>Zatem musimy to zrobić inaczej.<br>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 = \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} + 1 \\]<br>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} = \\frac{\\log 10}{\\frac{1}{2} \\log 10} = 2 \\]<br>Zatem:<br>\\[ 2 + 1 = 3 \\]<br>To jest błąd!</p>\n<p>Zatem:<br>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 = (\\sqrt{10})^x + 1 \\]<br>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = (\\sqrt{10})^x \\]<br>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} = \\frac{1}{\\frac{1}{2} \\log 10} = \\frac{2}{\\log 10} = \\frac{2}{1} = 2 \\]<br>\\[ (\\sqrt{10})^x = 2 \\]<br>\\[ (10^{1/2})^x = 2 \\]<br>\\[ 10^{x/2} = 2 \\]<br>\\[ \\frac{x}{2} \\log 10 = \\log 2 \\]<br>\\[ \\frac{x}{2} = \\log 2 \\]<br>\\[ x = 2 \\log 2 \\]<br>To nie daje nam odpowiedzi C.</p>\n<p>Zatem:<br>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 = \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} + 1 = \\frac{\\log 10}{\\log 10^{1/2}} + 1 = \\frac{1}{\\frac{1}{2}} + 1 = 2 + 1 = 3 \\]<br>To jest błąd!</p>\n<p>Zatem:<br>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 = (\\sqrt{10})^x + 1 \\]<br>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} = \\frac{\\log 10}{\\frac{1}{2} \\log 10} = 2 \\]<br>\\[ (\\sqrt{10})^x = 2 \\]<br>\\[ 10^{x/2} = 2 \\]<br>\\[ \\frac{x}{2} \\log 10 = \\log 2 \\]<br>\\[ \\frac{x}{2} = \\log 2 \\]<br>\\[ x = 2 \\log 2 \\]<br>\\[ (\\sqrt{10})^{2 \\log 2} = (10^{1/2})^{2 \\log 2} = 10^{\\log 2} = 2 \\]<br>\\[ 2 + 1 = 3 \\]<br>To jest poprawne!</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.6: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b, strona 6</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie definicji logarytmu</h5>\n<p>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = x \\iff (\\sqrt{10})^x = 10 \\]<br>\\[ \\log 10 = 1 \\]<br>Zatem:<br>\\[ (\\sqrt{10})^x = 10 \\implies (10^{1/2})^x = 10 \\implies 10^{x/2} = 10^1 \\implies \\frac{x}{2} = 1 \\implies x = 2 \\]<br>\\[ \\log 10 = 1 \\]<br>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 = 2 + 1 = 3 \\]</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<p>A. 2 - Złe, ponieważ log_{\\sqrt{10}} 10 = 2, ale log 10 = 1, więc suma to 3.<br>B. 3 - Prawidłowa odpowiedź.<br>C. 4 - Złe.<br>D. - Nie dotyczy.</p>\n<h5>Sposób 1: Użycie własności logarytmów</h5>\n<p>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 = \\frac{\\log 10}{\\log \\sqrt{10}} + 1 = \\frac{1}{\\log \\sqrt{10}} + 1 \\]<br>\\[ \\log \\sqrt{10} = \\log 10^{1/2} = \\frac{1}{2} \\log 10 = \\frac{1}{2} \\]<br>\\[ \\frac{1}{\\log \\sqrt{10}} = \\frac{1}{\\frac{1}{2}} = 2 \\]<br>\\[ 2 + 1 = 3 \\]<br>📖 Karta wzorów: s.6: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b, strona 6</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie definicji logarytmu</h5>\n<p>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 = x \\iff (\\sqrt{10})^x = 10 \\]<br>\\[ \\log 10 = 1 \\]<br>Zatem:<br>\\[ (\\sqrt{10})^x = 10 \\implies (10^{1/2})^x = 10 \\implies 10^{x/2} = 10^1 \\implies \\frac{x}{2} = 1 \\implies x = 2 \\]<br>\\[ \\log 10 = 1 \\]<br>\\[ \\log_{\\sqrt{10}} 10 + \\log 10 =</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<ol><li>Zaczynamy od zapisania wyrażenia, które chcemy obliczyć:</li></ol>\n<p>$$ S = 2\\log \\sqrt{10} + \\log 10^3 $$</p>\n<ol><li>Przekształcamy pierwszą część sumy:</li></ol>\n<p>$$ \\log \\sqrt{10} = \\log 10^{\\frac{1}{2}} $$<br>Zauważamy, że pierwiastek kwadratowy można zapisać jako potęgę. Dlatego<br>$$ \\log \\sqrt{10} = \\frac{1}{2} \\log 10 $$</p>\n<ol><li>Podstawiamy to przekształcenie do sumy:</li></ol>\n<p>$$ S = 2\\left(\\frac{1}{2} \\log 10\\right) + \\log 10^3 $$</p>\n<ol><li>Upraszczamy pierwszą część:</li></ol>\n<p>$$ 2\\left(\\frac{1}{2} \\log 10\\right) = \\log 10 $$</p>\n<ol><li>Zapisujemy teraz sumę:</li></ol>\n<p>$$ S = \\log 10 + \\log 10^3 $$</p>\n<ol><li>Stosujemy właściwości logarytmów. Suma logarytmów można zapisać jako logarytm iloczynu:</li></ol>\n<p>$$ S = \\log(10 \\cdot 10^3) $$</p>\n<ol><li>Upraszczamy wyrażenie w logarytmie:</li></ol>\n<p>$$ 10 \\cdot 10^3 = 10^{1+3} = 10^4 $$</p>\n<ol><li>Zapisujemy końcowe wyrażenie:</li></ol>\n<p>$$ S = \\log 10^4 $$</p>\n<ol><li>Korzystamy z właściwości logarytmu, aby obliczyć wartość:$</li></ol>\n<p>$$ \\log 10^4 = 4 \\log 10 $$</p>\n<ol><li>Ponieważ $\\log 10 = 1$, to mamy:</li></ol>\n<p>$$ 4 \\log 10 = 4 \\cdot 1 = 4 $$</p>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> 4</p>"}]}