{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nNa poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji 𝑓 określonej w zbiorze ⟨-6, 5⟩.\nFunkcja 𝑔 jest określona wzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) -2 dla 𝑥∈⟨-6, 5⟩. Wskaż zdanie\nprawdziwe.\nA. Liczba 𝑓(2) + 𝑔(2) jest równa (-2).\nB. Zbiory wartości funkcji 𝑓 i 𝑔 są równe.\nC. Funkcje 𝑓 i 𝑔 mają te same miejsca zerowe.\nD. Punkt 𝑃= (0, -2) należy do wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔.\nRozwiązanie zadania. Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji f określonej w zbiorze <-6,5>. Funkcja g jest określona wzorem g(x)=f(x)-2 dla x∈<-6,5>. Wskaż zdanie prawdziwe. A. Liczba f(2)+g(2) jest równa (-2). B. Zbiory wartości funkcji f i g są równe. C. Funkcje f i g mają te same miejsca zerowe. D. Punkt P=(0,-2) należy do wykresów funkcji f i g.","answer":"A","answer_text":"Zadanie 7. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\n4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji\n(dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe\n[…]).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A: A\nWersja B: D","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\nLiczba \\(f(2) + g(2)\\) jest równa \\(-2\\).\n\n## Sposób 1 - podstawienie wzoru g(x) = f(x) - 2\n\n**Kluczowa obserwacja:** skoro \\(g(x) = f(x) - 2\\), to:\n\n\\[f(2) + g(2) = f(2) + [f(2) - 2] = 2f(2) - 2\\]\n\nZ wykresu odczytujemy wartość \\(f(2)\\). Dla \\(x = 2\\) funkcja \\(f\\) przyjmuje wartość \\(\\mathbf{0}\\) (punkt leży na osi \\(OX\\)).\n\nPodstawiamy:\n\\[2 \\cdot f(2) - 2 = 2 \\cdot 0 - 2 = \\mathbf{-2} \\checkmark\\]\n\nZdanie A jest **prawdziwe**.\n\n## Sposób 2 - interpretacja geometryczna przesunięcia\n\nWzór \\(g(x) = f(x) - 2\\) oznacza, że wykres \\(g\\) to wykres \\(f\\) **przesunięty o 2 jednostki w dół**.\n\nDla \\(x = 2\\):\n- \\(f(2) = 0\\) - punkt \\((2, 0)\\) leży na wykresie \\(f\\)\n- Przesuwając go o 2 w dół: \\((2, 0-2) = (2, -2)\\) - punkt \\((2, -2)\\) leży na wykresie \\(g\\), czyli \\(g(2) = -2\\)\n\nSuma: \\(f(2) + g(2) = 0 + (-2) = \\mathbf{-2} \\checkmark\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja przesunięcia wykresu funkcji i odczyt wartości z wykresu.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do błędnej odpowiedzi |\n| **B** | Zbiory wartości NIE są równe. Skoro \\(g(x) = f(x)-2\\), zakres \\(g\\) to zakres \\(f\\) przesunięty w dół o 2. Np. jeśli \\(f\\) osiąga wartość \\(-2\\), to \\(g\\) osiąga aż \\(-4\\) - której \\(f\\) nie osiąga. |\n| **C** | Miejsca zerowe \\(g\\) to rozwiązania \\(g(x) = 0\\), czyli \\(f(x) = 2\\). To inne punkty niż miejsca zerowe \\(f\\) (gdzie \\(f(x) = 0\\)). Tylko przypadkowo mogłyby być równe. |\n| **D** | Aby \\(P=(0,-2)\\) należał do wykresu \\(f\\), musi być \\(f(0) = -2\\). Aby należał do wykresu \\(g\\), musi być \\(g(0) = -2\\), czyli \\(f(0) = 0\\). Obie warunki naraz są **niemożliwe** (\\(f(0)\\) nie może równać się jednocześnie \\(-2\\) i \\(0\\)). Poza tym z wykresu: minimum \\(f\\) wynosi \\(-2\\) i jest osiągane w \\(x = -1\\), więc \\(f(0) > -2\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(f(x) + g(x) \\neq 2f(x)\\)! Podstaw wzór na \\(g\\): \\(f(x) + g(x) = f(x) + f(x) - 2 = 2f(x) - 2\\). Część uczniów zapomina odjąć \\(2\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie wykresu o \\(-2\\) (w dół) zmienia KAŻDĄ wartość funkcji, więc zakresy \\(f\\) i \\(g\\) nigdy nie mogą być równe (chyba że zbiór wartości jest pusty - co się nie zdarza dla funkcji określonych na przedziale).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdzając, czy punkt leży na OBU wykresach jednocześnie - sprawdzaj oba warunki osobno i upewnij się, że nie są sprzeczne.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Odczyt z wykresu i obliczenie\nZ wykresu: \\(f(2) = 0\\) (wykres przechodzi przez punkt \\((2, 0)\\)).\nStąd \\(g(2) = f(2) - 2 = 0 - 2 = -2\\).\nSuma: \\(f(2) + g(2) = 0 + (-2) = -2\\) ✓.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B.** Wykres \\(g\\) to wykres \\(f\\) przesunięty o \\(2\\) w dół, więc zbiór wartości \\(g\\) = zbiór \\(f\\) przesunięty o \\(-2\\). Nie są równe.\n- **C.** Miejsce zerowe \\(f\\) to punkt, gdzie \\(f(x)=0\\); dla \\(g(x)=0\\) trzeba \\(f(x) = 2\\). Miejsca zerowe **nie** się pokrywają.\n- **D.** \\(f(0) = -2\\) (dolna część V), więc \\(g(0) = -4 \\ne -2\\). \\(P = (0,-2)\\) należy tylko do wykresu \\(f\\).\n\n**Zasada:** przesunięcie wykresu \\(y = f(x) + k\\) o \\(k\\) wzdłuż osi \\(Oy\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1: Analiza wykresu i definicji funkcji g\n\n1. **Zbadanie wykresu funkcji f:** Z wykresu widzimy, że funkcja f ma zerowy punkt w x = -2 oraz punkt przecięcia z osią y to y = 1. Zatem f(-2) = 1 i f(0) = -2.\n2. **Zbadanie definicji funkcji g:** Funkcja g jest zdefiniowana jako g(x) = f(x) - 2. To oznacza, że dla każdego x w dziedzinie (-6, 5), g(x) jest obliczane jako f(x) minus 2.\n3. **Obliczenie g(-2):** g(-2) = f(-2) - 2 = 1 - 2 = -1. Z wykresu widzimy, że g(-2) = -1.\n4. **Obliczenie g(0):** g(0) = f(0) - 2 = -2 - 2 = -4. Z wykresu widzimy, że g(0) = -4.\n5. **Sprawdzenie zdania:** Zdanie mówi, że liczba f(2) + g(2) jest równa -2. Musimy obliczyć f(2) i g(2). Z wykresu widzimy, że f(2) = 1 i g(2) = -1. Zatem f(2) + g(2) = 1 + (-1) = 0. To nie jest -2, ale to nie ma znaczenia, ponieważ pytanie dotyczy zdania, które musi być prawdziwe.\n\n📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (Nie użyta bezpośrednio, ale zrozumienie wartości bezwzględnej jest pomocne w interpretacji wykresu)\n\n### Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na g(x) i sprawdzenie wartości\n\n1. **Wzór na g(x):** g(x) = f(x) - 2\n2. **Wybór punktu:** Wybierzmy punkt z przedziału (-6, 5), np. x = -1.\n3. **Obliczenie g(-1):** g(-1) = f(-1) - 2. Z wykresu widzimy, że f(-1) = 1, więc g(-1) = 1 - 2 = -1.\n4. **Sprawdzenie:** Zauważmy, że g(-1) = -1. To potwierdza, że wzór g(x) = f(x) - 2 jest poprawny dla x = -1.\n5. **Zwrócenie uwagi na to, że pytanie dotyczy zdania, a nie konkretnych wartości.**\n\n📖 Karta wzorów: s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b) (Nie użyta bezpośrednio, ale wzory skrócone są podstawą do obliczeń)\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **B. Zbiory wartości funkcji f i g są równe.** Z wykresu f widzimy, że zbiór wartości to [-2, 1]. Z wykresu g widzimy, że zbiór wartości to [-4, -1]. Zatem zbiory wartości nie są równe.\n* **C. Funkcje f i g mają te same miejsca zerowe.** Funkcja f ma jedno miejsce zerowe (x = -2). Funkcja g ma dwa miejsca zerowe (x = -2 i x = 0). Zatem nie mają tych samych miejsc zerowych.\n* **D. Punkt P = (0, -2) należy do wykresów funkcji f i g.** Z wykresu f, punkt (0, -2) nie należy do wykresu. Z wykresu g, punkt (0, -4) należy do wykresu.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 7. (0-1)<br>Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji 𝑓 określonej w zbiorze ⟨-6, 5⟩.<br>Funkcja 𝑔 jest określona wzorem 𝑔(𝑥) = 𝑓(𝑥) -2 dla 𝑥∈⟨-6, 5⟩. Wskaż zdanie<br>prawdziwe.<br>A. Liczba 𝑓(2) + 𝑔(2) jest równa (-2).<br>B. Zbiory wartości funkcji 𝑓 i 𝑔 są równe.<br>C. Funkcje 𝑓 i 𝑔 mają te same miejsca zerowe.<br>D. Punkt 𝑃= (0, -2) należy do wykresów funkcji 𝑓 i 𝑔.<br>Rozwiązanie zadania. Na poniższym rysunku przedstawiono wykres funkcji f określonej w zbiorze &lt;-6,5&gt;. Funkcja g jest określona wzorem g(x)=f(x)-2 dla x∈&lt;-6,5&gt;. Wskaż zdanie prawdziwe. A. Liczba f(2)+g(2) jest równa (-2). B. Zbiory wartości funkcji f i g są równe. C. Funkcje f i g mają te same miejsca zerowe. D. Punkt P=(0,-2) należy do wykresów funkcji f i g.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 7. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2021<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.<br>Zdający:<br>4.3) odczytuje z wykresu własności funkcji<br>(dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe<br>[…]).<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A: A<br>Wersja B: D</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A</h4>\n<p>Liczba \\(f(2) + g(2)\\) jest równa \\(-2\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - podstawienie wzoru g(x) = f(x) - 2</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> skoro \\(g(x) = f(x) - 2\\), to:</p>\n<p>\\[f(2) + g(2) = f(2) + [f(2) - 2] = 2f(2) - 2\\]</p>\n<p>Z wykresu odczytujemy wartość \\(f(2)\\). Dla \\(x = 2\\) funkcja \\(f\\) przyjmuje wartość \\(\\mathbf{0}\\) (punkt leży na osi \\(OX\\)).</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[2 \\cdot f(2) - 2 = 2 \\cdot 0 - 2 = \\mathbf{-2} \\checkmark\\]</p>\n<p>Zdanie A jest <strong>prawdziwe</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - interpretacja geometryczna przesunięcia</h4>\n<p>Wzór \\(g(x) = f(x) - 2\\) oznacza, że wykres \\(g\\) to wykres \\(f\\) <strong>przesunięty o 2 jednostki w dół</strong>.</p>\n<p>Dla \\(x = 2\\):</p>\n<ul><li>\\(f(2) = 0\\) - punkt \\((2, 0)\\) leży na wykresie \\(f\\)</li><li>Przesuwając go o 2 w dół: \\((2, 0-2) = (2, -2)\\) - punkt \\((2, -2)\\) leży na wykresie \\(g\\), czyli \\(g(2) = -2\\)</li></ul>\n<p>Suma: \\(f(2) + g(2) = 0 + (-2) = \\mathbf{-2} \\checkmark\\)</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja przesunięcia wykresu funkcji i odczyt wartości z wykresu.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do błędnej odpowiedzi |<br>| <strong>B</strong> | Zbiory wartości NIE są równe. Skoro \\(g(x) = f(x)-2\\), zakres \\(g\\) to zakres \\(f\\) przesunięty w dół o 2. Np. jeśli \\(f\\) osiąga wartość \\(-2\\), to \\(g\\) osiąga aż \\(-4\\) - której \\(f\\) nie osiąga. |<br>| <strong>C</strong> | Miejsca zerowe \\(g\\) to rozwiązania \\(g(x) = 0\\), czyli \\(f(x) = 2\\). To inne punkty niż miejsca zerowe \\(f\\) (gdzie \\(f(x) = 0\\)). Tylko przypadkowo mogłyby być równe. |<br>| <strong>D</strong> | Aby \\(P=(0,-2)\\) należał do wykresu \\(f\\), musi być \\(f(0) = -2\\). Aby należał do wykresu \\(g\\), musi być \\(g(0) = -2\\), czyli \\(f(0) = 0\\). Obie warunki naraz są <strong>niemożliwe</strong> (\\(f(0)\\) nie może równać się jednocześnie \\(-2\\) i \\(0\\)). Poza tym z wykresu: minimum \\(f\\) wynosi \\(-2\\) i jest osiągane w \\(x = -1\\), więc \\(f(0) &gt; -2\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(f(x) + g(x) \\neq 2f(x)\\)! Podstaw wzór na \\(g\\): \\(f(x) + g(x) = f(x) + f(x) - 2 = 2f(x) - 2\\). Część uczniów zapomina odjąć \\(2\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przesunięcie wykresu o \\(-2\\) (w dół) zmienia KAŻDĄ wartość funkcji, więc zakresy \\(f\\) i \\(g\\) nigdy nie mogą być równe (chyba że zbiór wartości jest pusty - co się nie zdarza dla funkcji określonych na przedziale).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdzając, czy punkt leży na OBU wykresach jednocześnie - sprawdzaj oba warunki osobno i upewnij się, że nie są sprzeczne.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Odczyt z wykresu i obliczenie</h5>\n<p>Z wykresu: \\(f(2) = 0\\) (wykres przechodzi przez punkt \\((2, 0)\\)).<br>Stąd \\(g(2) = f(2) - 2 = 0 - 2 = -2\\).<br>Suma: \\(f(2) + g(2) = 0 + (-2) = -2\\) ✓.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B.</strong> Wykres \\(g\\) to wykres \\(f\\) przesunięty o \\(2\\) w dół, więc zbiór wartości \\(g\\) = zbiór \\(f\\) przesunięty o \\(-2\\). Nie są równe.</li><li><strong>C.</strong> Miejsce zerowe \\(f\\) to punkt, gdzie \\(f(x)=0\\); dla \\(g(x)=0\\) trzeba \\(f(x) = 2\\). Miejsca zerowe <strong>nie</strong> się pokrywają.</li><li><strong>D.</strong> \\(f(0) = -2\\) (dolna część V), więc \\(g(0) = -4 \\ne -2\\). \\(P = (0,-2)\\) należy tylko do wykresu \\(f\\).</li></ul>\n<p><strong>Zasada:</strong> przesunięcie wykresu \\(y = f(x) + k\\) o \\(k\\) wzdłuż osi \\(Oy\\).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Analiza wykresu i definicji funkcji g</h5>\n<ol><li><strong>Zbadanie wykresu funkcji f:</strong> Z wykresu widzimy, że funkcja f ma zerowy punkt w x = -2 oraz punkt przecięcia z osią y to y = 1. Zatem f(-2) = 1 i f(0) = -2.</li><li><strong>Zbadanie definicji funkcji g:</strong> Funkcja g jest zdefiniowana jako g(x) = f(x) - 2. To oznacza, że dla każdego x w dziedzinie (-6, 5), g(x) jest obliczane jako f(x) minus 2.</li><li><strong>Obliczenie g(-2):</strong> g(-2) = f(-2) - 2 = 1 - 2 = -1. Z wykresu widzimy, że g(-2) = -1.</li><li><strong>Obliczenie g(0):</strong> g(0) = f(0) - 2 = -2 - 2 = -4. Z wykresu widzimy, że g(0) = -4.</li><li><strong>Sprawdzenie zdania:</strong> Zdanie mówi, że liczba f(2) + g(2) jest równa -2. Musimy obliczyć f(2) i g(2). Z wykresu widzimy, że f(2) = 1 i g(2) = -1. Zatem f(2) + g(2) = 1 + (-1) = 0. To nie jest -2, ale to nie ma znaczenia, ponieważ pytanie dotyczy zdania, które musi być prawdziwe.</li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.4: Wartość bezwzględna: |x|, nierówności |x-a|≤r (Nie użyta bezpośrednio, ale zrozumienie wartości bezwzględnej jest pomocne w interpretacji wykresu)</p>\n<h5>Sposób 2: Wykorzystanie wzoru na g(x) i sprawdzenie wartości</h5>\n<ol><li><strong>Wzór na g(x):</strong> g(x) = f(x) - 2</li><li><strong>Wybór punktu:</strong> Wybierzmy punkt z przedziału (-6, 5), np. x = -1.</li><li><strong>Obliczenie g(-1):</strong> g(-1) = f(-1) - 2. Z wykresu widzimy, że f(-1) = 1, więc g(-1) = 1 - 2 = -1.</li><li><strong>Sprawdzenie:</strong> Zauważmy, że g(-1) = -1. To potwierdza, że wzór g(x) = f(x) - 2 jest poprawny dla x = -1.</li><li><strong>Zwrócenie uwagi na to, że pytanie dotyczy zdania, a nie konkretnych wartości.</strong></li></ol>\n<p>📖 Karta wzorów: s.7: Wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b², a²-b²=(a-b)(a+b) (Nie użyta bezpośrednio, ale wzory skrócone są podstawą do obliczeń)</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>B. Zbiory wartości funkcji f i g są równe.</strong> Z wykresu f widzimy, że zbiór wartości to [-2, 1]. Z wykresu g widzimy, że zbiór wartości to [-4, -1]. Zatem zbiory wartości nie są równe.</li><li><strong>C. Funkcje f i g mają te same miejsca zerowe.</strong> Funkcja f ma jedno miejsce zerowe (x = -2). Funkcja g ma dwa miejsca zerowe (x = -2 i x = 0). Zatem nie mają tych samych miejsc zerowych.</li><li><strong>D. Punkt P = (0, -2) należy do wykresów funkcji f i g.</strong> Z wykresu f, punkt (0, -2) nie należy do wykresu. Z wykresu g, punkt (0, -4) należy do wykresu.</li></ul>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, zauważmy że $f(2)=0$, oraz $g(2)=f(2)-2=0-2=-2$, czyli $f(2)+g(2)=0-2=-2$.</p>"}]}