{"id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nProste o równaniach 𝑦= 3𝑥-5 oraz 𝑦= 𝑚-3\n2\n𝑥+ 9\n2 są równoległe, gdy\nA. 𝑚= 1\nB. 𝑚= 3\nC. 𝑚= 6\nD. 𝑚= 9\nRozwiązanie zadania. Proste o równaniach y=3x-5 oraz y = m-3/2 x + 9/2 są równoległe, gdy A. m=1 B. m=3 C. m=6 D. m=9.","answer":"D","answer_text":"Zadanie 9. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\n4.7) interpretuje współczynniki\nwystępujące we wzorze funkcji liniowej.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nWersja A: D\nWersja B: A","solution":"## Poprawna odpowiedź: D (\\(m = 9\\))\n\n## Sposób 1 - Przyrównanie współczynników kierunkowych\n\nDwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są **równoległe**, gdy mają **równe współczynniki kierunkowe** (i różne wyrazy wolne).\n\n**Krok 1.** Wypisujemy współczynniki kierunkowe obu prostych.\n\nProsta 1: \\(y = 3x - 5\\) → współczynnik kierunkowy \\(a_1 = 3\\)\n\nProsta 2: \\(y = \\dfrac{m-3}{2}x + \\dfrac{9}{2}\\) → współczynnik kierunkowy \\(a_2 = \\dfrac{m-3}{2}\\)\n\n**Krok 2.** Warunek równoległości: \\(a_1 = a_2\\)\n\n\\[\\frac{m-3}{2} = 3\\]\n\n**Krok 3.** Rozwiązujemy równanie - mnożymy obie strony przez 2:\n\n\\[m - 3 = 6\\]\n\n\\[\\boxed{m = 9}\\]\n\n**Krok 4.** Sprawdzamy, czy proste nie są identyczne (bo równoległe ≠ pokrywające się).\n\nPrzy \\(m = 9\\): Prosta 2 to \\(y = 3x + \\dfrac{9}{2}\\). Wyraz wolny \\(\\dfrac{9}{2} \\neq -5\\), więc proste są różne. ✓\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nWstawiamy \\(m = 9\\) do równania prostej 2 i sprawdzamy, czy proste są równoległe.\n\nProsta 2 przy \\(m = 9\\):\n\\[y = \\frac{9-3}{2}x + \\frac{9}{2} = \\frac{6}{2}x + \\frac{9}{2} = 3x + \\frac{9}{2}\\]\n\nPorównujemy obie proste:\n\\[y = 3x - 5 \\quad \\text{i} \\quad y = 3x + \\frac{9}{2}\\]\n\nWspółczynniki kierunkowe: **oba równe 3** → proste równoległe.\n\nWyrazy wolne: \\(-5 \\neq \\dfrac{9}{2}\\) → proste się **nie pokrywają**.\n\nWniosek: proste są równoległe. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek równoległości prostych:\n\n> Proste \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są **równoległe**, gdy:\n> \\[a_1 = a_2 \\quad \\text{oraz} \\quad b_1 \\neq b_2\\]\n\nTego warunku użyliśmy bezpośrednio w Sposobie 1 do ustawienia równania \\(\\dfrac{m-3}{2} = 3\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Podstawienie | Współczynnik kierunkowy prostej 2 | Błąd |\n| A | \\(m = 1\\) | \\(\\dfrac{1-3}{2} = \\dfrac{-2}{2} = -1\\) | Pomylono znaki: wzięto \\(m+3\\) zamiast \\(m-3\\), lub pominięto minus |\n| B | \\(m = 3\\) | \\(\\dfrac{3-3}{2} = 0\\) | Wzięto wartość \\(m\\), przy której licznik zeruje się - \"intuicja\" że \\(m=3\\) coś upraszcza |\n| C | \\(m = 6\\) | \\(\\dfrac{6-3}{2} = \\dfrac{3}{2}\\) | Zapomniano podzielić przez 2 i rozwiązano \\(m - 3 = 3\\) zamiast \\(\\dfrac{m-3}{2} = 3\\) |\n| **D** | \\(m = 9\\) | \\(\\dfrac{9-3}{2} = 3\\) | **Poprawnie** |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równoległość to **dwa warunki**: równe współczynniki kierunkowe ORAZ różne wyrazy wolne. Gdyby wyrazy wolne też były równe, proste byłyby **identyczne** (pokrywające się), a nie równoległe.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwiązywaniu \\(\\dfrac{m-3}{2} = 3\\) łatwo zapomnieć pomnożyć przez 2 i wpisać \\(m - 3 = 3\\), co daje \\(m = 6\\) - to odpowiedź C, klasyczna pułapka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić warunku równoległości (\\(a_1 = a_2\\)) z warunkiem prostopadłości (\\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)). W tym zadaniu szukamy równoległości!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Równość współczynników kierunkowych\nProste są równoległe, gdy mają taki sam współczynnik kierunkowy.\n\\(\\dfrac{m-3}{2} = 3 \\Rightarrow m - 3 = 6 \\Rightarrow m = 9\\).\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi\nDla \\(m = 9\\): \\(\\tfrac{9-3}{2} = 3\\) ✓.\nDla \\(m = 3\\): \\(\\tfrac{0}{2} = 0 \\ne 3\\) ✗.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(m=1\\)** → współczynnik \\(-1 \\ne 3\\).\n- **B. \\(m=3\\)** → współczynnik \\(0\\).\n- **C. \\(m=6\\)** → współczynnik \\(\\tfrac{3}{2} \\ne 3\\).\n\n**Zasada:** \\(y = a_1 x + b_1 \\parallel y = a_2 x + b_2 \\iff a_1 = a_2\\) (i \\(b_1 \\ne b_2\\) dla różnych prostych).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Analiza równania prostej\n\nProste są równoległe, jeśli mają ten sam wierzchołek (tj. mają taki sam współczynnik kierunkowy). Współczynnik kierunkowy prostej y = 3x - 5 wynosi 3. Współczynnik kierunkowy prostej y = mx + 9 (gdzie m to szukana wartość) wynosi m. Aby proste były równoległe, muszą być równe, więc:\n\nm = 3\n\n### Sposób 2: Użycie warunku równoległości\n\nRównoległe proste mają ten sam wierzchołek. Wierzchołek prostej y = 3x - 5 to -5. Wierzchołek prostej y = mx + 9 to 9. Zatem:\n\n-5 = 9 (To jest błąd, który prowadzi do błędnego wyboru odpowiedzi. Zatem musimy wrócić do analizy współczynników kierunkowych)\n\nAby proste były równoległe, muszą mieć ten sam wierzchołek, czyli:\n\n3x - 5 = mx + 9\n\nPorównując współczynniki x, otrzymujemy:\n\n3 = m\n\n### Karta wzorów: s.4, strona 3\n\n📖\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n\n* **A. \\(m= 1\\)**: Jeśli m = 1, to prosta będzie miała równanie y = x + 9, co nie jest równoległe do y = 3x - 5.\n* **B. \\(m= 3\\)**: Jeśli m = 3, to prosta będzie miała równanie y = 3x + 9, co jest równoległe do y = 3x - 5, ale wierzchołek będzie inny (9 zamiast -5), a równoległość definiuje się przez współczynnik kierunkowy i wierzchołek.\n* **C. \\(m= 6\\)**: Jeśli m = 6, to prosta będzie miała równanie y = 6x + 9, co nie jest równoległe do y = 3x - 5.\n* **D. \\(m= 9\\)**: Jeśli m = 9, to prosta będzie miała równanie y = 9x + 9, co jest równoległe do y = 3x - 5. Wierzchołek będzie inny (9 zamiast -5), ale równoległość jest zachowana.\n\nPodsumowując, równoległość prostych zależy od tego, czy mają ten sam współczynnik kierunkowy. W tym przypadku współczynnik kierunkowy prostej y=3x-5 wynosi 3, więc m musi być równe 3.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg","topics":"analityczna","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>Proste o równaniach 𝑦= 3𝑥-5 oraz 𝑦= 𝑚-3<br>2<br>𝑥+ 9<br>2 są równoległe, gdy<br>A. 𝑚= 1<br>B. 𝑚= 3<br>C. 𝑚= 6<br>D. 𝑚= 9<br>Rozwiązanie zadania. Proste o równaniach y=3x-5 oraz y = m-3/2 x + 9/2 są równoległe, gdy A. m=1 B. m=3 C. m=6 D. m=9.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 9. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2021<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>4.7) interpretuje współczynniki<br>występujące we wzorze funkcji liniowej.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>Wersja A: D<br>Wersja B: A</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D (\\(m = 9\\))</h4>\n<h4>Sposób 1 - Przyrównanie współczynników kierunkowych</h4>\n<p>Dwie proste w postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) są <strong>równoległe</strong>, gdy mają <strong>równe współczynniki kierunkowe</strong> (i różne wyrazy wolne).</p>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Wypisujemy współczynniki kierunkowe obu prostych.</p>\n<p>Prosta 1: \\(y = 3x - 5\\) → współczynnik kierunkowy \\(a_1 = 3\\)</p>\n<p>Prosta 2: \\(y = \\dfrac{m-3}{2}x + \\dfrac{9}{2}\\) → współczynnik kierunkowy \\(a_2 = \\dfrac{m-3}{2}\\)</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Warunek równoległości: \\(a_1 = a_2\\)</p>\n<p>\\[\\frac{m-3}{2} = 3\\]</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Rozwiązujemy równanie - mnożymy obie strony przez 2:</p>\n<p>\\[m - 3 = 6\\]</p>\n<p>\\[\\boxed{m = 9}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4.</strong> Sprawdzamy, czy proste nie są identyczne (bo równoległe ≠ pokrywające się).</p>\n<p>Przy \\(m = 9\\): Prosta 2 to \\(y = 3x + \\dfrac{9}{2}\\). Wyraz wolny \\(\\dfrac{9}{2} \\neq -5\\), więc proste są różne. ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie</h4>\n<p>Wstawiamy \\(m = 9\\) do równania prostej 2 i sprawdzamy, czy proste są równoległe.</p>\n<p>Prosta 2 przy \\(m = 9\\):<br>\\[y = \\frac{9-3}{2}x + \\frac{9}{2} = \\frac{6}{2}x + \\frac{9}{2} = 3x + \\frac{9}{2}\\]</p>\n<p>Porównujemy obie proste:<br>\\[y = 3x - 5 \\quad \\text{i} \\quad y = 3x + \\frac{9}{2}\\]</p>\n<p>Współczynniki kierunkowe: <strong>oba równe 3</strong> → proste równoległe.</p>\n<p>Wyrazy wolne: \\(-5 \\neq \\dfrac{9}{2}\\) → proste się <strong>nie pokrywają</strong>.</p>\n<p>Wniosek: proste są równoległe. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - warunek równoległości prostych:</p>\n<blockquote>Proste \\(y = a_1 x + b_1\\) i \\(y = a_2 x + b_2\\) są <strong>równoległe</strong>, gdy:<br>\\[a_1 = a_2 \\quad \\text{oraz} \\quad b_1 \\neq b_2\\]</blockquote>\n<p>Tego warunku użyliśmy bezpośrednio w Sposobie 1 do ustawienia równania \\(\\dfrac{m-3}{2} = 3\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Podstawienie | Współczynnik kierunkowy prostej 2 | Błąd |<br>| A | \\(m = 1\\) | \\(\\dfrac{1-3}{2} = \\dfrac{-2}{2} = -1\\) | Pomylono znaki: wzięto \\(m+3\\) zamiast \\(m-3\\), lub pominięto minus |<br>| B | \\(m = 3\\) | \\(\\dfrac{3-3}{2} = 0\\) | Wzięto wartość \\(m\\), przy której licznik zeruje się - &quot;intuicja&quot; że \\(m=3\\) coś upraszcza |<br>| C | \\(m = 6\\) | \\(\\dfrac{6-3}{2} = \\dfrac{3}{2}\\) | Zapomniano podzielić przez 2 i rozwiązano \\(m - 3 = 3\\) zamiast \\(\\dfrac{m-3}{2} = 3\\) |<br>| <strong>D</strong> | \\(m = 9\\) | \\(\\dfrac{9-3}{2} = 3\\) | <strong>Poprawnie</strong> |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Równoległość to <strong>dwa warunki</strong>: równe współczynniki kierunkowe ORAZ różne wyrazy wolne. Gdyby wyrazy wolne też były równe, proste byłyby <strong>identyczne</strong> (pokrywające się), a nie równoległe.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy rozwiązywaniu \\(\\dfrac{m-3}{2} = 3\\) łatwo zapomnieć pomnożyć przez 2 i wpisać \\(m - 3 = 3\\), co daje \\(m = 6\\) - to odpowiedź C, klasyczna pułapka!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić warunku równoległości (\\(a_1 = a_2\\)) z warunkiem prostopadłości (\\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\)). W tym zadaniu szukamy równoległości!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Równość współczynników kierunkowych</h5>\n<p>Proste są równoległe, gdy mają taki sam współczynnik kierunkowy.<br>\\(\\dfrac{m-3}{2} = 3 \\Rightarrow m - 3 = 6 \\Rightarrow m = 9\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Sprawdzenie odpowiedzi</h5>\n<p>Dla \\(m = 9\\): \\(\\tfrac{9-3}{2} = 3\\) ✓.<br>Dla \\(m = 3\\): \\(\\tfrac{0}{2} = 0 \\ne 3\\) ✗.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(m=1\\)</strong> → współczynnik \\(-1 \\ne 3\\).</li><li><strong>B. \\(m=3\\)</strong> → współczynnik \\(0\\).</li><li><strong>C. \\(m=6\\)</strong> → współczynnik \\(\\tfrac{3}{2} \\ne 3\\).</li></ul>\n<p><strong>Zasada:</strong> \\(y = a_1 x + b_1 \\parallel y = a_2 x + b_2 \\iff a_1 = a_2\\) (i \\(b_1 \\ne b_2\\) dla różnych prostych).</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Analiza równania prostej</h5>\n<p>Proste są równoległe, jeśli mają ten sam wierzchołek (tj. mają taki sam współczynnik kierunkowy). Współczynnik kierunkowy prostej y = 3x - 5 wynosi 3. Współczynnik kierunkowy prostej y = mx + 9 (gdzie m to szukana wartość) wynosi m. Aby proste były równoległe, muszą być równe, więc:</p>\n<p>m = 3</p>\n<h5>Sposób 2: Użycie warunku równoległości</h5>\n<p>Równoległe proste mają ten sam wierzchołek. Wierzchołek prostej y = 3x - 5 to -5. Wierzchołek prostej y = mx + 9 to 9. Zatem:</p>\n<p>-5 = 9 (To jest błąd, który prowadzi do błędnego wyboru odpowiedzi. Zatem musimy wrócić do analizy współczynników kierunkowych)</p>\n<p>Aby proste były równoległe, muszą mieć ten sam wierzchołek, czyli:</p>\n<p>3x - 5 = mx + 9</p>\n<p>Porównując współczynniki x, otrzymujemy:</p>\n<p>3 = m</p>\n<h5>Karta wzorów: s.4, strona 3</h5>\n<p>📖</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(m= 1\\)</strong>: Jeśli m = 1, to prosta będzie miała równanie y = x + 9, co nie jest równoległe do y = 3x - 5.</li><li><strong>B. \\(m= 3\\)</strong>: Jeśli m = 3, to prosta będzie miała równanie y = 3x + 9, co jest równoległe do y = 3x - 5, ale wierzchołek będzie inny (9 zamiast -5), a równoległość definiuje się przez współczynnik kierunkowy i wierzchołek.</li><li><strong>C. \\(m= 6\\)</strong>: Jeśli m = 6, to prosta będzie miała równanie y = 6x + 9, co nie jest równoległe do y = 3x - 5.</li><li><strong>D. \\(m= 9\\)</strong>: Jeśli m = 9, to prosta będzie miała równanie y = 9x + 9, co jest równoległe do y = 3x - 5. Wierzchołek będzie inny (9 zamiast -5), ale równoległość jest zachowana.</li></ul>\n<p>Podsumowując, równoległość prostych zależy od tego, czy mają ten sam współczynnik kierunkowy. W tym przypadku współczynnik kierunkowy prostej y=3x-5 wynosi 3, więc m musi być równe 3.</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, dla $m = 9$ współczynnik kierunkowy drugiej prostej wynosi $3$, co jest równe temu dla pierwszej prostej. W związku z tym obie proste są równoległe.</p>"}]}