{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/1","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"1","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 1. (0-1)\nRóżnica cosଶ165° -sinଶ165° jest równa\nA. -1\nB. -\nඥ3\n2\nC. -1\n2\nD.\nඥ3\n2\nRozwiązanie zadania. Różnica cos²165° - sin²165° jest równa A. -1 B. -√3/2 C. -1/2 D. √3/2","answer":"D","answer_text":"Zadanie 1. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 20211\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nI. Wykorzystanie i tworzenie informacji.\nZdający:\nR6.2) wykorzystuje definicje i wyznacza\nwartości funkcji sinus, cosinus i tangens\ndowolnego kąta o mierze wyrażonej\nw stopniach lub radianach (przez\nsprowadzenie do przypadku kąta ostrego).\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nD","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\nRóżnica \\(\\cos^2 165° - \\sin^2 165°\\) jest równa \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n## Sposób 1 - wzór na cosinus podwojonego kąta\n\nZauważamy, że wyrażenie \\(\\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha\\) to dokładnie jeden ze wzorów na \\(\\cos 2\\alpha\\)!\n\n**Krok 1:** Rozpoznajemy wzór:\n\\[\\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha = \\cos 2\\alpha\\]\n\n**Krok 2:** Podstawiamy \\(\\alpha = 165°\\):\n\\[\\cos^2 165° - \\sin^2 165° = \\cos(2 \\cdot 165°) = \\cos 330°\\]\n\n**Krok 3:** Upraszczamy \\(\\cos 330°\\):\n\\[\\cos 330° = \\cos(360° - 30°) = \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - wzory redukcyjne bezpośrednio\n\nObliczamy wartości \\(\\cos 165°\\) i \\(\\sin 165°\\) osobno, korzystając z kąta \\(165° = 180° - 15°\\).\n\n**Krok 1:** Wzory redukcyjne dla kąta \\(180° - \\alpha\\):\n\\[\\cos(180° - \\alpha) = -\\cos\\alpha \\implies \\cos 165° = -\\cos 15°\\]\n\\[\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha \\implies \\sin 165° = \\sin 15°\\]\n\n**Krok 2:** Podnosimy do kwadratu - znak minus znika!\n\\[\\cos^2 165° = (-\\cos 15°)^2 = \\cos^2 15°\\]\n\\[\\sin^2 165° = \\sin^2 15°\\]\n\n**Krok 3:** Wyrażenie staje się:\n\\[\\cos^2 15° - \\sin^2 15° = \\cos(2 \\cdot 15°) = \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n**Wynik taki sam: \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 13-14)** - funkcje podwojonego kąta:\n\\[\\cos 2\\alpha = \\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha\\]\nTo jest kluczowy wzór w obu sposobach - pozwala natychmiast przekształcić różnicę kwadratów w cosinus.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 14)** - wzory redukcyjne:\n\\[\\cos(180° - \\alpha) = -\\cos\\alpha, \\quad \\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]\nUżyte w Sposobie 2 do rozbicia kąta \\(165°\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - wartości dla wybranych kątów:\n\\[\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Obliczono \\(\\cos(165°) - \\sin(165°)\\) zamiast różnicy **kwadratów** |\n| B | Użyto \\(\\cos 330° = -\\cos 30°\\) - błędny znak (330° jest w IV ćwiartce, gdzie cosinus jest **dodatni**) |\n| C | Pomylono wynik z \\(\\cos 60°\\) lub \\(\\sin 30°\\), czyli \\(\\frac{1}{2}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\cos(360° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\) - kąt w IV ćwiartce ma **dodatni** cosinus. Nie daj się zwieść, że \\(330°\\) jest \"dużym\" kątem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((-\\cos 15°)^2 = \\cos^2 15°\\) - minus znika przy podnoszeniu do kwadratu. To dlatego wartości \\(\\cos 165°\\) i \\(\\sin 165°\\) możemy zamienić na \\(\\cos 15°\\) i \\(\\sin 15°\\) bez zmiany wyniku.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(\\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha = \\cos 2\\alpha\\) warto mieć w pamięci na maturze - pojawia się bardzo często i skraca rachunki o połowę.\n\n### Sposob 1 (wzor na roznice kwadratow cos i sin)\nZe wzoru na cosinus podwojonego argumentu (karta wzorow, dzial Funkcje trygonometryczne): \\(\\cos 2\\alpha = \\cos^{2}\\alpha - \\sin^{2}\\alpha\\).\n\nZatem \\(\\cos^{2} 165^{\\circ} - \\sin^{2} 165^{\\circ} = \\cos(2 \\cdot 165^{\\circ}) = \\cos 330^{\\circ}\\).\n\nPoniewaz \\(330^{\\circ} = 360^{\\circ} - 30^{\\circ}\\), wiec \\(\\cos 330^{\\circ} = \\cos(-30^{\\circ}) = \\cos 30^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n### Sposob 2 (redukcja kata)\n\\(165^{\\circ} = 180^{\\circ} - 15^{\\circ}\\), wiec \\(\\cos 165^{\\circ} = -\\cos 15^{\\circ}\\) i \\(\\sin 165^{\\circ} = \\sin 15^{\\circ}\\).\n\nStad \\(\\cos^{2} 165^{\\circ} - \\sin^{2} 165^{\\circ} = \\cos^{2} 15^{\\circ} - \\sin^{2} 15^{\\circ} = \\cos 30^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\nZadanie zamkniete: 1 pkt za D, 0 pkt w pozostalych przypadkach.\n\n**Trik:** Rozpoznaj natychmiast wzor \\(\\cos^{2}x - \\sin^{2}x = \\cos 2x\\) bez rachunkow na potegach. Odpowiedz: **D**.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1: Użycie tożsamości trygonometrycznych i wartości bezwzględnych\nRozwińmy wyrażenie \\(cos^{} 165^{\\circ} - sin^{} 165^{\\circ}\\) korzystając z tożsamości:\n\\[cos(α - \\frac{\\pi}{2}) = cosα \\cdot cos(\\frac{\\pi}{2}) + sinα \\cdot sin(\\frac{\\pi}{2}) = cosα\\]\n\\[sin(α - \\frac{\\pi}{2}) = sinα \\cdot cos(\\frac{\\pi}{2}) - cosα \\cdot sin(\\frac{\\pi}{2}) = -cosα\\]\n\nZatem \\(cos^{} 165^{\\circ} - sin^{} 165^{\\circ} = cos(165^{\\circ} - \\frac{\\pi}{2}) - sin(165^{\\circ} - \\frac{\\pi}{2}) = cos(165^{\\circ}) + sin(165^{\\circ})\\)\n\nWiemy, że \\(165^{\\circ} = 180^{\\circ} - 15^{\\circ}\\). Zatem:\n\\[cos(165^{\\circ}) = cos(180^{\\circ} - 15^{\\circ}) = -cos(15^{\\circ})\\]\n\\[sin(165^{\\circ}) = sin(180^{\\circ} - 15^{\\circ}) = sin(15^{\\circ})\\]\n\nWartość \\(cos(15^{\\circ}) = cos(45^{\\circ} - 30^{\\circ}) = cos45^{\\circ}cos30^{\\circ} + sin45^{\\circ}sin30^{\\circ} = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{\\sqrt{6} + \\sqrt{2}}{4}\\)\nWartość \\(sin(15^{\\circ}) = sin(45^{\\circ} - 30^{\\circ}) = sin45^{\\circ}cos30^{\\circ} - cos45^{\\circ}sin30^{\\circ} = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} - \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{\\sqrt{6} - \\sqrt{2}}{4}\\)\n\nZatem \\(cos^{} 165^{\\circ} - sin^{} 165^{\\circ} = - \\frac{\\sqrt{6} + \\sqrt{2}}{4} - \\frac{\\sqrt{6} - \\sqrt{2}}{4} = \\frac{-2\\sqrt{6}}{4} = -\\frac{\\sqrt{6}}{2}\\)\n\nTeraz obliczamy wartość bezwzględną:\n\\[|-\\frac{\\sqrt{6}}{2}| = \\frac{\\sqrt{6}}{2} \\approx \\frac{2.449}{2} \\approx 1.2245\\]\nTo nie jest równy 1, 2 lub 3. Należy sprawdzić obliczenia.\n\nZamiast tożsamości, możemy użyć wzoru na \\(cos(α-β)\\) i \\(sin(α-β)\\)\n\\[cos(165^{\\circ} - 165^{\\circ}) - sin(165^{\\circ} - 165^{\\circ}) = cos(0) - sin(0) = 1 - 0 = 1\\]\nTo jest błędne.\n\nZamiast tożsamości, możemy skorzystać z tożsamości:\n\\(cos(α) - sin(α) = \\sqrt{2} \\cos(α + \\frac{\\pi}{4})\\)\n\\(cos(165^{\\circ}) - sin(165^{\\circ}) = \\sqrt{2} \\cos(165^{\\circ} + \\frac{\\pi}{4}) = \\sqrt{2} \\cos(165^{\\circ} + 45^{\\circ}) = \\sqrt{2} \\cos(210^{\\circ}) = \\sqrt{2} (-\\frac{\\sqrt{3}}{2}) = -\\frac{\\sqrt{6}}{2}\\)\n\\[|-\\frac{\\sqrt{6}}{2}| = \\frac{\\sqrt{6}}{2} \\approx 1.2247\\]\n\nMusimy wrócić do pierwotnego wyrażenia i użyć tożsamości:\n\\[cos(165^{\\circ}) = cos(180^{\\circ} - 15^{\\circ}) = -cos(15^{\\circ}) = -\\frac{\\sqrt{6} + \\sqrt{2}}{4}\\]\n\\[sin(165^{\\circ}) = sin(180^{\\circ} - 15^{\\circ}) = sin(15^{\\circ}) = \\frac{\\sqrt{6} - \\sqrt{2}}{4}\\]\n\\[cos(165^{\\circ}) - sin(165^{\\circ}) = -\\frac{\\sqrt{6} + \\sqrt{2}}{4} - \\frac{\\sqrt{6} - \\sqrt{2}}{4} = \\frac{-2\\sqrt{6}}{4} = -\\frac{\\sqrt{6}}{2}\\]\n\\[|-\\frac{\\sqrt{6}}{2}| = \\frac{\\sqrt{6}}{2} \\approx 1.2247\\]\n\n### Sposób 2: Użycie wzoru na różnicę cosinusów i sinusów\nUżyjemy wzoru: \\(cos(α) - cos(β) = -2sin(\\frac{α+β}{2})sin(\\frac{α-β}{2})\\) oraz \\(sin(α) - sin(β) = 2cos(\\frac{α+β}{2})sin(\\frac{α-β}{2})\\)\n\nW naszym przypadku: \\(α = 165^{\\circ}\\) i \\(β = 165^{\\circ}\\).\n\\(cos(165^{\\circ}) - sin(165^{\\circ}) = -2sin(\\frac{165^{\\circ}+165^{\\circ}}{2})sin(\\frac{165^{\\circ}-165^{\\circ}}{2}) = -2sin(165^{\\circ})sin(0) = 0\\)\nTo jest błędne.\n\nZamiast tego, możemy użyć wzoru:\n\\[cos(α) - sin(α) = \\sqrt{2} \\cos(α + \\frac{\\pi}{4})\\]\n\\[cos(165^{\\circ}) - sin(165^{\\circ}) = \\sqrt{2} \\cos(165^{\\circ} + \\frac{\\pi}{4}) = \\sqrt{2} \\cos(165^{\\circ} + 45^{\\circ}) = \\sqrt{2} \\cos(210^{\\circ}) = \\sqrt{2} (-\\frac{\\sqrt{3}}{2}) = -\\frac{\\sqrt{6}}{2}\\]\n\\[|-\\frac{\\sqrt{6}}{2}| = \\frac{\\sqrt{6}}{2} \\approx 1.2247\\]\n\n📖 Karta wzorów: s.15, strona 15\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\nA. |-1| - Wynik jest inny niż |-1|.\nB. |-|�3 2| - Wynik jest inny niż |√6/2|.\nC. |-1 2| - Wynik jest inny niż |√6/2|.\nD. |�3 2| - Wynik jest równy |√6/2|.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-1.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg","topics":"trygonometria","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Różnica cosଶ165° -sinଶ165° jest równa
A. -1
B. -
ඥ3
2
C. -1
2
D.
ඥ3
2
Rozwiązanie zadania. Różnica cos²165° - sin²165° jest równa A. -1 B. -√3/2 C. -1/2 D. √3/2

","answer_text_html":"

Zadanie 1. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 20211
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
I. Wykorzystanie i tworzenie informacji.
Zdający:
R6.2) wykorzystuje definicje i wyznacza
wartości funkcji sinus, cosinus i tangens
dowolnego kąta o mierze wyrażonej
w stopniach lub radianach (przez
sprowadzenie do przypadku kąta ostrego).
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
D

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-1.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D

\n

Różnica \\(\\cos^2 165° - \\sin^2 165°\\) jest równa \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).

\n

Sposób 1 - wzór na cosinus podwojonego kąta

\n

Zauważamy, że wyrażenie \\(\\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha\\) to dokładnie jeden ze wzorów na \\(\\cos 2\\alpha\\)!

\n

Krok 1: Rozpoznajemy wzór:
\\[\\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha = \\cos 2\\alpha\\]

\n

Krok 2: Podstawiamy \\(\\alpha = 165°\\):
\\[\\cos^2 165° - \\sin^2 165° = \\cos(2 \\cdot 165°) = \\cos 330°\\]

\n

Krok 3: Upraszczamy \\(\\cos 330°\\):
\\[\\cos 330° = \\cos(360° - 30°) = \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Wynik: \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)

\n

Sposób 2 - wzory redukcyjne bezpośrednio

\n

Obliczamy wartości \\(\\cos 165°\\) i \\(\\sin 165°\\) osobno, korzystając z kąta \\(165° = 180° - 15°\\).

\n

Krok 1: Wzory redukcyjne dla kąta \\(180° - \\alpha\\):
\\[\\cos(180° - \\alpha) = -\\cos\\alpha \\implies \\cos 165° = -\\cos 15°\\]
\\[\\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha \\implies \\sin 165° = \\sin 15°\\]

\n

Krok 2: Podnosimy do kwadratu - znak minus znika!
\\[\\cos^2 165° = (-\\cos 15°)^2 = \\cos^2 15°\\]
\\[\\sin^2 165° = \\sin^2 15°\\]

\n

Krok 3: Wyrażenie staje się:
\\[\\cos^2 15° - \\sin^2 15° = \\cos(2 \\cdot 15°) = \\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Wynik taki sam: \\(\\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 13-14) - funkcje podwojonego kąta:
\\[\\cos 2\\alpha = \\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha\\]
To jest kluczowy wzór w obu sposobach - pozwala natychmiast przekształcić różnicę kwadratów w cosinus.

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 14) - wzory redukcyjne:
\\[\\cos(180° - \\alpha) = -\\cos\\alpha, \\quad \\sin(180° - \\alpha) = \\sin\\alpha\\]
Użyte w Sposobie 2 do rozbicia kąta \\(165°\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 12) - wartości dla wybranych kątów:
\\[\\cos 30° = \\frac{\\sqrt{3}}{2}\\]

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A | Obliczono \\(\\cos(165°) - \\sin(165°)\\) zamiast różnicy kwadratów |
| B | Użyto \\(\\cos 330° = -\\cos 30°\\) - błędny znak (330° jest w IV ćwiartce, gdzie cosinus jest dodatni) |
| C | Pomylono wynik z \\(\\cos 60°\\) lub \\(\\sin 30°\\), czyli \\(\\frac{1}{2}\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: \\(\\cos(360° - \\alpha) = \\cos\\alpha\\) - kąt w IV ćwiartce ma dodatni cosinus. Nie daj się zwieść, że \\(330°\\) jest "dużym" kątem.
\n
⚠️ Uwaga: \\((-\\cos 15°)^2 = \\cos^2 15°\\) - minus znika przy podnoszeniu do kwadratu. To dlatego wartości \\(\\cos 165°\\) i \\(\\sin 165°\\) możemy zamienić na \\(\\cos 15°\\) i \\(\\sin 15°\\) bez zmiany wyniku.
\n
⚠️ Uwaga: Wzór \\(\\cos^2\\alpha - \\sin^2\\alpha = \\cos 2\\alpha\\) warto mieć w pamięci na maturze - pojawia się bardzo często i skraca rachunki o połowę.
\n
Sposob 1 (wzor na roznice kwadratow cos i sin)
\n

Ze wzoru na cosinus podwojonego argumentu (karta wzorow, dzial Funkcje trygonometryczne): \\(\\cos 2\\alpha = \\cos^{2}\\alpha - \\sin^{2}\\alpha\\).

\n

Zatem \\(\\cos^{2} 165^{\\circ} - \\sin^{2} 165^{\\circ} = \\cos(2 \\cdot 165^{\\circ}) = \\cos 330^{\\circ}\\).

\n

Poniewaz \\(330^{\\circ} = 360^{\\circ} - 30^{\\circ}\\), wiec \\(\\cos 330^{\\circ} = \\cos(-30^{\\circ}) = \\cos 30^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).

\n
Sposob 2 (redukcja kata)
\n

\\(165^{\\circ} = 180^{\\circ} - 15^{\\circ}\\), wiec \\(\\cos 165^{\\circ} = -\\cos 15^{\\circ}\\) i \\(\\sin 165^{\\circ} = \\sin 15^{\\circ}\\).

\n

Stad \\(\\cos^{2} 165^{\\circ} - \\sin^{2} 165^{\\circ} = \\cos^{2} 15^{\\circ} - \\sin^{2} 15^{\\circ} = \\cos 30^{\\circ} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{2}\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n

Zadanie zamkniete: 1 pkt za D, 0 pkt w pozostalych przypadkach.

\n

Trik: Rozpoznaj natychmiast wzor \\(\\cos^{2}x - \\sin^{2}x = \\cos 2x\\) bez rachunkow na potegach. Odpowiedz: D.

\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1: Użycie tożsamości trygonometrycznych i wartości bezwzględnych
\n

Rozwińmy wyrażenie \\(cos^{} 165^{\\circ} - sin^{} 165^{\\circ}\\) korzystając z tożsamości:
\\[cos(α - \\frac{\\pi}{2}) = cosα \\cdot cos(\\frac{\\pi}{2}) + sinα \\cdot sin(\\frac{\\pi}{2}) = cosα\\]
\\[sin(α - \\frac{\\pi}{2}) = sinα \\cdot cos(\\frac{\\pi}{2}) - cosα \\cdot sin(\\frac{\\pi}{2}) = -cosα\\]

\n

Zatem \\(cos^{} 165^{\\circ} - sin^{} 165^{\\circ} = cos(165^{\\circ} - \\frac{\\pi}{2}) - sin(165^{\\circ} - \\frac{\\pi}{2}) = cos(165^{\\circ}) + sin(165^{\\circ})\\)

\n

Wiemy, że \\(165^{\\circ} = 180^{\\circ} - 15^{\\circ}\\). Zatem:
\\[cos(165^{\\circ}) = cos(180^{\\circ} - 15^{\\circ}) = -cos(15^{\\circ})\\]
\\[sin(165^{\\circ}) = sin(180^{\\circ} - 15^{\\circ}) = sin(15^{\\circ})\\]

\n

Wartość \\(cos(15^{\\circ}) = cos(45^{\\circ} - 30^{\\circ}) = cos45^{\\circ}cos30^{\\circ} + sin45^{\\circ}sin30^{\\circ} = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} + \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{\\sqrt{6} + \\sqrt{2}}{4}\\)
Wartość \\(sin(15^{\\circ}) = sin(45^{\\circ} - 30^{\\circ}) = sin45^{\\circ}cos30^{\\circ} - cos45^{\\circ}sin30^{\\circ} = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{2} - \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{1}{2} = \\frac{\\sqrt{6} - \\sqrt{2}}{4}\\)

\n

Zatem \\(cos^{} 165^{\\circ} - sin^{} 165^{\\circ} = - \\frac{\\sqrt{6} + \\sqrt{2}}{4} - \\frac{\\sqrt{6} - \\sqrt{2}}{4} = \\frac{-2\\sqrt{6}}{4} = -\\frac{\\sqrt{6}}{2}\\)

\n

Teraz obliczamy wartość bezwzględną:
\\[|-\\frac{\\sqrt{6}}{2}| = \\frac{\\sqrt{6}}{2} \\approx \\frac{2.449}{2} \\approx 1.2245\\]
To nie jest równy 1, 2 lub 3. Należy sprawdzić obliczenia.

\n

Zamiast tożsamości, możemy użyć wzoru na \\(cos(α-β)\\) i \\(sin(α-β)\\)
\\[cos(165^{\\circ} - 165^{\\circ}) - sin(165^{\\circ} - 165^{\\circ}) = cos(0) - sin(0) = 1 - 0 = 1\\]
To jest błędne.

\n

Zamiast tożsamości, możemy skorzystać z tożsamości:
\\(cos(α) - sin(α) = \\sqrt{2} \\cos(α + \\frac{\\pi}{4})\\)
\\(cos(165^{\\circ}) - sin(165^{\\circ}) = \\sqrt{2} \\cos(165^{\\circ} + \\frac{\\pi}{4}) = \\sqrt{2} \\cos(165^{\\circ} + 45^{\\circ}) = \\sqrt{2} \\cos(210^{\\circ}) = \\sqrt{2} (-\\frac{\\sqrt{3}}{2}) = -\\frac{\\sqrt{6}}{2}\\)
\\[|-\\frac{\\sqrt{6}}{2}| = \\frac{\\sqrt{6}}{2} \\approx 1.2247\\]

\n

Musimy wrócić do pierwotnego wyrażenia i użyć tożsamości:
\\[cos(165^{\\circ}) = cos(180^{\\circ} - 15^{\\circ}) = -cos(15^{\\circ}) = -\\frac{\\sqrt{6} + \\sqrt{2}}{4}\\]
\\[sin(165^{\\circ}) = sin(180^{\\circ} - 15^{\\circ}) = sin(15^{\\circ}) = \\frac{\\sqrt{6} - \\sqrt{2}}{4}\\]
\\[cos(165^{\\circ}) - sin(165^{\\circ}) = -\\frac{\\sqrt{6} + \\sqrt{2}}{4} - \\frac{\\sqrt{6} - \\sqrt{2}}{4} = \\frac{-2\\sqrt{6}}{4} = -\\frac{\\sqrt{6}}{2}\\]
\\[|-\\frac{\\sqrt{6}}{2}| = \\frac{\\sqrt{6}}{2} \\approx 1.2247\\]

\n
Sposób 2: Użycie wzoru na różnicę cosinusów i sinusów
\n

Użyjemy wzoru: \\(cos(α) - cos(β) = -2sin(\\frac{α+β}{2})sin(\\frac{α-β}{2})\\) oraz \\(sin(α) - sin(β) = 2cos(\\frac{α+β}{2})sin(\\frac{α-β}{2})\\)

\n

W naszym przypadku: \\(α = 165^{\\circ}\\) i \\(β = 165^{\\circ}\\).
\\(cos(165^{\\circ}) - sin(165^{\\circ}) = -2sin(\\frac{165^{\\circ}+165^{\\circ}}{2})sin(\\frac{165^{\\circ}-165^{\\circ}}{2}) = -2sin(165^{\\circ})sin(0) = 0\\)
To jest błędne.

\n

Zamiast tego, możemy użyć wzoru:
\\[cos(α) - sin(α) = \\sqrt{2} \\cos(α + \\frac{\\pi}{4})\\]
\\[cos(165^{\\circ}) - sin(165^{\\circ}) = \\sqrt{2} \\cos(165^{\\circ} + \\frac{\\pi}{4}) = \\sqrt{2} \\cos(165^{\\circ} + 45^{\\circ}) = \\sqrt{2} \\cos(210^{\\circ}) = \\sqrt{2} (-\\frac{\\sqrt{3}}{2}) = -\\frac{\\sqrt{6}}{2}\\]
\\[|-\\frac{\\sqrt{6}}{2}| = \\frac{\\sqrt{6}}{2} \\approx 1.2247\\]

\n

📖 Karta wzorów: s.15, strona 15

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n

A. |-1| - Wynik jest inny niż |-1|.
B. |-|�3 2| - Wynik jest inny niż |√6/2|.
C. |-1 2| - Wynik jest inny niż |√6/2|.
D. |�3 2| - Wynik jest równy |√6/2|.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, korzystamy ze wzoru na cosinus podwojonego kąta: $\\cos(2\\alpha)=\\cos^2 \\alpha - \\sin^2 \\alpha$.
Różnica $\\cos^2 165^\\circ - \\sin^2 165^\\circ$ można obliczyć jako $\\cos(2 \\cdot 165^\\circ) = \\cos(330^\\circ)$, co daje wartość $\\cos(330^\\circ-360^\\circ)=\\cos(-30^\\circ)=\\cos(30^\\circ) = \\displaystyle\\small\\frac{\\sqrt{3}}{2}$.

"}]}