{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/10","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"10","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 10. (0-4)\nProsta przechodząca przez punkty 𝐴= (8, -6) i 𝐵= (5, 15) jest styczna do okręgu\no środku w punkcie 𝑂= (0, 0). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego\nokręgu z prostą 𝐴𝐵.\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n10.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Prosta przechodząca przez punkty A=(8,-6) i B=(5,15) jest styczna do okręgu o środku w punkcie O=(0,0). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 10. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymagania szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nP8.1) wyznacza równanie prostej\nprzechodzącej przez dwa dane punkty\n(w postaci kierunkowej lub ogólnej);\nR8.1) oblicza odległość punktu od prostej.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nwyznaczy równanie prostej 𝐴𝐵, np.: 𝑦= -7𝑥+ 50\nALBO\n\nobliczy długość odcinka 𝐴𝐵 oraz pole trójkąta 𝐴𝑂𝐵: |𝐴𝐵| = 15√2, 𝑃Δ𝐴𝑂𝐵= 75\nALBO\n\nwyznaczy równanie prostej prostopadłej do 𝐴𝐵: 𝑦= 1\n7 𝑥\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\nzapisze układ równań złożony z równań dwóch prostych: { 𝑦= 1\n7 𝑥\n𝑦= -7𝑥+ 50\nALBO\n\nobliczy promień okręgu, korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej lub\nobliczając wysokość trójkąta 𝐴𝑂𝐵: 𝑟= 5√2\nALBO\n\nzapisze, że punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu ma współrzędne 𝑃= (𝑥0, 𝑓(𝑥0))\ni 𝑓′(𝑥0) = -7, gdzie 𝑓(𝑥) = √50 -𝑥2 i 50 -𝑥2 > 0\nALBO\n\nzapisze odległość 𝑔 (lub kwadrat odległości) punktu (0, 0) od dowolnego punktu\nprostej 𝐴𝐵 w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑔(𝑥) = √𝑥2 + (-7𝑥+ 50)2\nALBO\n\nwyznaczy równanie prostej 𝐴𝐵 oraz poda współrzędne wektora prostopadłego do\nprostej 𝐴𝐵\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy zapisze równanie z jedną niewiadomą, prowadzące do obliczenia współrzędnych punktu\nstyczności, np.: 1\n7 𝑥= -7𝑥+ 50 lub 𝑥2 + (1\n7 𝑥 )\n2\n= 50, lub 𝑥2 + (-7𝑥+ 50)2 = 50, lub\n-2𝑥\n2√50-𝑥2\n= -7, lub √(𝑥2 + (-7𝑥+ 50)2) =\n|7⋅0+0-50|\n√72+12\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę i obliczy promień okręgu oraz współrzędne punktu styczności\nprostej 𝐴𝐵 do okręgu: 𝑟= 5√2, 𝑃= (7, 1).\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i jedynym błędem zdającego, który jednak nie\nułatwia zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania, jest błąd polegający na:\na) zastosowaniu nieistniejącego wzoru √𝑎2 ± 𝑏2 = 𝑎± 𝑏 lub (𝑎± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 𝑏2\nb) niepoprawnym użyciu współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵 przy wyznaczaniu równania prostej 𝐴𝐵\nc) niepoprawnym zastosowaniu wzoru na odległość punktu od prostej lub na odległość\ndwóch punktów, lub wzoru na pole trójkąta, lub równania okręgu\nd) niepoprawnym wyznaczeniu współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do danej\nprostej\ne) wyznaczeniu jednej z niewiadomych z równania 𝑥2 + 𝑦2 = 50 bez koniecznych założeń\nto zdający otrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli zdający wyznaczy równanie prostej 𝐴𝐵 i obliczy promień okręgu stycznego do\nprostej 𝐴𝐵, a następnie poda (bez obliczeń) współrzędne punktu styczności, to otrzymuje:\n- 3 punkty za całe rozwiązanie, jeśli nie sprawdzi rachunkiem, że punkt 𝑃= (7, 1) należy\ndo prostej 𝐴𝐵 oraz do prostej prostopadłej (lub do prostej 𝐴𝐵 i okręgu)\n- 4 punkty za całe rozwiązanie, jeśli sprawdzi, wykonując stosowne obliczenia, że punkt\n𝑃= (7, 1) należy do prostej 𝐴𝐵 oraz do prostej prostopadłej (lub do prostej 𝐴𝐵 i okręgu).\n3. Jeżeli zdający odczyta z rysunku współrzędne punktu styczności 𝑃= (7,1) (bez obliczeń)\ni obliczy długość promienia, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. Jeżeli zdający nie\nsporządzi rysunku i poda bez stosownych obliczeń współrzędne punktu styczności\n𝑃= (7,1) i obliczy długość promienia, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵.\nNiech 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 będzie równaniem kierunkowym prostej 𝐴𝐵.\nPunkty 𝐴 i 𝐵 leżą na tej prostej, więc:\n-6 = 8𝑎+ 𝑏 i 15 = 5𝑎+ 𝑏\nStąd 𝑎= -7 i 𝑏= 50.\nProsta 𝐴𝐵 ma równanie:\n- w postaci kierunkowej: 𝑦= -7𝑥+ 50;\n- w postaci ogólnej: 7𝑥+ 𝑦-50 = 0.\nObliczamy odległość punktu 𝑂 od prostej 𝐴𝐵:\n𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = |7 ⋅0 + 0 -50|\n√72 + 12\n= 50\n√50\n= √50 = 5√2\nObliczona odległość jest długością promienia okręgu: 𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = 𝑟= 5√2.\nPrzez 𝑃 oznaczmy punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu.\nProsta 𝑂𝑃 przechodzi przez punkt 𝑂= (0, 0) i jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, więc ma\nrównanie: 𝑦= 1\n7 𝑥.\nObliczamy współrzędne punktu 𝑃:\n{ 𝑦= 1\n7 𝑥\n𝑦= -7𝑥+ 50\nRozwiązaniem tego układu jest para liczb 𝑥= 7 i 𝑦= 1, więc 𝑃= (7, 1).\nSposób 2. Przez układ z okręgiem (1)\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵 jak w sposobie 1.\nProsta 𝐴𝐵 ma równanie:\n- w postaci kierunkowej: 𝑦= -7𝑥+ 50;\n- w postaci ogólnej: 7𝑥+ 𝑦-50 = 0.\nObliczamy odległość punktu 𝑂 od prostej 𝐴𝐵:\n𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = |7 ⋅0 + 0 -50|\n√72 + 12\n= 50\n√50\n= √50 = 5√2\nObliczona odległość jest długością promienia okręgu: 𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = 𝑟= 5√2.\nRównanie okręgu o środku w punkcie 𝑂= (0, 0) i promieniu 𝑟= 5√2 ma postać 𝑥2 + 𝑦2 = 50.\nPrzez 𝑃 oznaczmy punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu 𝑥2 + 𝑦2 = 50.\nObliczamy współrzędne punktu 𝑃:\n{𝑦= -7𝑥+ 50\n𝑥2 + 𝑦2 = 50\nRozwiązaniem tego układu jest para liczb 𝑥= 7 i 𝑦= 1, więc 𝑃= (7, 1).\nSposób 3. Przez układ z okręgiem (2)\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵 jak w sposobie 1.\nProsta 𝐴𝐵 ma równanie:\n- w postaci kierunkowej: 𝑦= -7𝑥+ 50;\n- w postaci ogólnej: 7𝑥+ 𝑦-50 = 0.\nObliczamy odległość punktu 𝑂 od prostej 𝐴𝐵:\n𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = |7 ⋅0 + 0 -50|\n√72 + 12\n= 50\n√50\n= √50 = 5√2\nObliczona odległość jest długością promienia okręgu: 𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = 𝑟= 5√2.\nRównanie okręgu o środku w punkcie 𝑂= (0, 0) i promieniu 𝑟= 5√2 ma postać 𝑥2 + 𝑦2 = 50.\nPrzez 𝑃 oznaczmy punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu 𝑥2 + 𝑦2 = 50.\nProsta 𝑂𝑃 przechodzi przez punkt 𝑂= (0, 0) i jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, więc ma\nrównanie: 𝑦= 1\n7 𝑥.\nObliczamy współrzędne punktu 𝑃:\n{𝑦= 1\n7 𝑥\n𝑥2 + 𝑦2 = 50\nRozwiązaniami tego układu są pary liczb: {𝑥= 7\n𝑦= 1 oraz {𝑥= -7\n𝑦= -1 . Ponieważ punkt\no współrzędnych (-7, -1) nie należy do prostej o równaniu 𝑦= -7𝑥+ 50, więc 𝑃= (7, 1).\nSposób 4.\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵: 𝑦= -7𝑥+ 50 (np. jak w sposobie 1.).\nObliczamy długość odcinka 𝐴𝐵:\n|𝐴𝐵| = √(8 -5)2 + (-6 -15)2 = √9 + 441 = √450 = 15√2\nObliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝑂:\n𝑃= 1\n2 |(5 -8)(0 + 6) -(15 + 6)(0 -8)| = 1\n2 |-18 + 168| = 1\n2 ∙150 = 75\nPromień okręgu jest wysokością tego trójkąta poprowadzoną na bok 𝐴𝐵, więc\n𝑟= 2 ∙𝑃\n|𝐴𝐵| = 2 ∙75\n15√2\n= 150\n15√2\n= 10\n√2\n= 5√2\nPrzez 𝑃 oznaczmy punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu 𝑥2 + 𝑦2 = 50.\nObliczamy współrzędne punktu 𝑃:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n{𝑦= -7𝑥+ 50\n𝑥2 + 𝑦2 = 50\nRozwiązaniem tego układu jest para liczb 𝑥= 7 i 𝑦= 1, więc 𝑃= (7, 1).\nSposób 5. Punkt styczności przez pochodną\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵 jak w sposobie 1.\nProsta 𝐴𝐵 ma równanie:\n- w postaci kierunkowej: 𝑦= -7𝑥+ 50;\n- w postaci ogólnej: 7𝑥+ 𝑦-50 = 0.\nObliczamy odległość punktu 𝑂 od prostej 𝐴𝐵:\n𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = |7 ⋅0 + 0 -50|\n√72 + 12\n= 50\n√50\n= √50 = 5√2\nObliczona odległość jest długością promienia okręgu: 𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = 𝑟= 5√2.\nRównanie okręgu o środku w punkcie 𝑂= (0, 0) i promieniu 𝑟= 5√2 ma postać 𝑥2 + 𝑦2 = 50.\nPrzez 𝑃 oznaczmy punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu 𝑥2 + 𝑦2 = 50. Punkt 𝑃 leży\nw I ćwiartce układu współrzędnych (ponieważ prosta 𝐴𝐵 przechodzi przez I, II i IV ćwiartkę\nukładu współrzędnych), więc punkt 𝑃 należy do wykresu funkcji 𝑓 określonej wzorem\n𝑓(𝑥) = √50 -𝑥2 , gdzie 50 -𝑥2 > 0. Zatem 𝑃= (𝑥0, 𝑓(𝑥0)), przy pewnym 𝑥0 takim, że\n50 -𝑥0\n2 > 0 oraz 𝑓′(𝑥0) = -7.\nObliczamy współrzędne punktu 𝑃:\n𝑓′(𝑥) =\n-2𝑥\n2√50 -𝑥2\n-7 =\n-𝑥\n√50 -𝑥2 i 50 -𝑥2 > 0\nStąd otrzymujemy 𝑥= 7. Zatem 𝑃= (7, 𝑓(7)) = (7, 1).\nSposób 6.\nWyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵 jak w sposobie 1.\nPrzez 𝑃 oznaczmy punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu.\nWektor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ jest wektorem prostopadłym do prostej 𝐴𝐵, więc jest postaci [7𝑡, 𝑡], przy pewnym\n𝑡≠0. Zatem punkt 𝑃 ma współrzędne 𝑃= (7𝑡, 𝑡).\nPunkt 𝑃 należy do prostej 𝐴𝐵, więc 7 ⋅7𝑡+ 𝑡-50 = 0. Stąd 𝑡= 1 i 𝑃= (7, 1). Promień\nokręgu jest zatem równy 𝑟= |𝑂𝑃| = √72 + 12 = 5√2.","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(r = 5\\sqrt{2}\\), punkt styczności \\(P = (7, 1)\\)\n\n## Sposób 1 - Odległość punktu od prostej\n\n### Krok 1: Wyznacz równanie prostej AB\n\nObliczamy współczynnik kierunkowy:\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{15 - (-6)}{5 - 8} = \\frac{21}{-3} = -7\\]\n\nRównanie prostej przez \\(A = (8, -6)\\):\n\\[y - (-6) = -7(x - 8)\\]\n\\[y + 6 = -7x + 56\\]\n\\[7x + y - 50 = 0\\]\n\n**Sprawdzenie:** dla \\(B = (5, 15)\\): \\(7 \\cdot 5 + 15 - 50 = 35 + 15 - 50 = 0\\) ✓\n\n### Krok 2: Oblicz promień jako odległość O od prostej\n\nProsta jest styczna do okręgu, więc odległość środka \\(O = (0, 0)\\) od prostej **równa się promieniowi**:\n\\[r = d(O, AB) = \\frac{|A \\cdot x_0 + B \\cdot y_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}} = \\frac{|7 \\cdot 0 + 1 \\cdot 0 - 50|}{\\sqrt{7^2 + 1^2}}\\]\n\\[r = \\frac{50}{\\sqrt{50}} = \\frac{50}{5\\sqrt{2}} = \\frac{10}{\\sqrt{2}} = \\frac{10\\sqrt{2}}{2} = \\boxed{5\\sqrt{2}}\\]\n\n### Krok 3: Wyznacz punkt styczności - rzut prostokątny O na prostą AB\n\nPunkt styczności \\(P\\) to **stopa prostopadłej** opuszczonej z \\(O\\) na prostą \\(AB\\).\n\nWektor normalny do prostej \\(7x + y - 50 = 0\\) ma kierunek \\((7, 1)\\). Prosta prostopadła przez \\(O\\) ma zatem postać parametryczną:\n\\[\\begin{cases} x = 7t \\\\ y = t \\end{cases}\\]\n\nPodstawiamy do równania prostej \\(AB\\):\n\\[7(7t) + t - 50 = 0\\]\n\\[49t + t = 50\\]\n\\[50t = 50 \\implies t = 1\\]\n\nStąd:\n\\[\\boxed{P = (7 \\cdot 1,\\ 1) = (7, 1)}\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(|OP| = \\sqrt{7^2 + 1^2} = \\sqrt{49 + 1} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\) ✓\n\n## Sposób 2 - Warunek prostopadłości OP ⊥ AB\n\nZamiast wzoru na odległość, szukamy punktu \\(P\\) **wprost** korzystając z warunku prostopadłości.\n\n### Krok 1: Parametryzacja prostej AB\n\nWektor kierunkowy \\(AB\\):\n\\[\\vec{AB} = [5 - 8,\\ 15 - (-6)] = [-3,\\ 21]\\]\n\nPunkt na prostej: \\(P = A + s \\cdot \\vec{AB} = (8 - 3s,\\ -6 + 21s)\\)\n\n### Krok 2: Warunek \\(OP \\perp AB\\)\n\nWektor \\(\\vec{OP} = (8 - 3s,\\ -6 + 21s)\\). Prostopadłość:\n\\[\\vec{OP} \\cdot \\vec{AB} = 0\\]\n\\[(8 - 3s) \\cdot (-3) + (-6 + 21s) \\cdot 21 = 0\\]\n\\[-24 + 9s - 126 + 441s = 0\\]\n\\[450s = 150 \\implies s = \\frac{1}{3}\\]\n\n### Krok 3: Oblicz współrzędne P i promień\n\n\\[P = \\left(8 - 3 \\cdot \\frac{1}{3},\\ -6 + 21 \\cdot \\frac{1}{3}\\right) = (8 - 1,\\ -6 + 7) = \\boxed{(7, 1)}\\]\n\n\\[r = |OP| = \\sqrt{7^2 + 1^2} = \\sqrt{50} = \\boxed{5\\sqrt{2}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)**\n\n**1) Odległość punktu od prostej** (użyta w Sposobie 1):\n\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]\nŚrodek \\(O = (0,0)\\) do prostej \\(7x + y - 50 = 0\\): kluczowy wzór do wyznaczenia promienia.\n\n**2) Długość odcinka / wektora** (użyta w Sposobie 2 do weryfikacji):\n\\[|OP| = \\sqrt{(x_P - x_O)^2 + (y_P - y_O)^2} = \\sqrt{7^2 + 1^2} = \\sqrt{50}\\]\n\n**3) Równanie kierunkowe prostej** (wyznaczanie równania AB):\n\\[y = ax + b, \\quad a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prosta styczna do okręgu jest **prostopadła do promienia** w punkcie styczności - to kluczowa własność. Bez niej nie można znaleźć ani \\(r\\), ani \\(P\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\sqrt{50}\\) łatwo zostawić wynik w tej postaci. Pamiętaj upraszczać: \\(\\sqrt{50} = \\sqrt{25 \\cdot 2} = 5\\sqrt{2}\\). Egzaminatorzy oczekują uproszczonej formy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W wzorze na odległość punktu od prostej \\(\\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2+B^2}}\\) musisz mieć prostą w postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\). Często uczniowie podstawiają do postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) - to błąd, bo wzór nie zadziała.\n\n### Sposob 1 (odleglosc punktu od prostej + prosta prostopadla)\nWyznaczamy rownanie prostej AB. Z \\(y = ax + b\\): \\(-6 = 8a + b\\), \\(15 = 5a + b\\). Odejmowanie: \\(-21 = 3a \\Rightarrow a = -7\\), \\(b = 50\\). Rownanie ogolne: \\(7x + y - 50 = 0\\).\n\n**Promien**: \\(r = d(O, AB) = \\dfrac{|7 \\cdot 0 + 0 - 50|}{\\sqrt{49 + 1}} = \\dfrac{50}{\\sqrt{50}} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\) (karta wzorow: odleglosc punktu od prostej).\n\n**Punkt stycznosci P**: lezy na prostej OP, ktora jest prostopadla do AB i przechodzi przez O. Wspolczynnik kierunkowy prostej prostopadlej: \\(-\\tfrac{1}{-7} = \\tfrac{1}{7}\\). Rownanie: \\(y = \\tfrac{1}{7}x\\).\n\nUklad: \\(\\begin{cases} y = \\tfrac{1}{7}x \\\\ y = -7x + 50 \\end{cases}\\). Z tego \\(\\tfrac{1}{7}x = -7x + 50 \\Rightarrow x + 49x = 350 \\Rightarrow 50x = 350 \\Rightarrow x = 7\\), \\(y = 1\\).\n\n\\(P = (7, 1)\\), \\(r = 5\\sqrt{2}\\).\n\n### Sposob 2 (pole trojkata AOB)\n\\(|AB| = \\sqrt{(8-5)^{2} + (-6-15)^{2}} = \\sqrt{9 + 441} = \\sqrt{450} = 15\\sqrt{2}\\).\n\nPole \\(AOB\\): \\(P = \\tfrac{1}{2}|x_{A}y_{B} - x_{B}y_{A}| = \\tfrac{1}{2}|8 \\cdot 15 - 5 \\cdot (-6)| = \\tfrac{1}{2}|120 + 30| = 75\\).\n\nPromien jest wysokoscia na bok \\(AB\\): \\(r = \\dfrac{2P}{|AB|} = \\dfrac{150}{15\\sqrt{2}} = \\dfrac{10}{\\sqrt{2}} = 5\\sqrt{2}\\).\n\nPunkt stycznosci jak w Sposobie 1: \\(P = (7, 1)\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: rownanie prostej AB \\(y = -7x + 50\\) lub \\(|AB| = 15\\sqrt{2}\\) i \\(P_{AOB} = 75\\), lub prosta prostopadla \\(y = \\tfrac{1}{7}x\\).\n- 2 pkt: uklad rownan lub promien \\(r = 5\\sqrt{2}\\).\n- 3 pkt: rownanie z jedna niewiadoma prowadzace do P.\n- 4 pkt: pelne rozwiazanie \\(r = 5\\sqrt{2}, P = (7,1)\\).\n\n**Trik:** Punkt stycznosci to przeciecie AB z prosta prostopadla przez srodek - najszybsza droga.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Prosta przechodząca przez punkty 𝐴= (8, -6) i 𝐵= (5, 15) jest styczna do okręgu
o środku w punkcie 𝑂= (0, 0). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego
okręgu z prostą 𝐴𝐵.

\n

EMAP-R0_100
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
10.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100
Rozwiązanie zadania. Prosta przechodząca przez punkty A=(8,-6) i B=(5,15) jest styczna do okręgu o środku w punkcie O=(0,0). Oblicz promień tego okręgu i współrzędne punktu styczności tego okręgu z prostą AB.

","answer_text_html":"

Zadanie 10. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymagania szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
P8.1) wyznacza równanie prostej
przechodzącej przez dwa dane punkty
(w postaci kierunkowej lub ogólnej);
R8.1) oblicza odległość punktu od prostej.
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:

wyznaczy równanie prostej 𝐴𝐵, np.: 𝑦= -7𝑥+ 50
ALBO

obliczy długość odcinka 𝐴𝐵 oraz pole trójkąta 𝐴𝑂𝐵: |𝐴𝐵| = 15√2, 𝑃Δ𝐴𝑂𝐵= 75
ALBO

wyznaczy równanie prostej prostopadłej do 𝐴𝐵: 𝑦= 1
7 𝑥
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:

zapisze układ równań złożony z równań dwóch prostych: { 𝑦= 1
7 𝑥
𝑦= -7𝑥+ 50
ALBO

obliczy promień okręgu, korzystając ze wzoru na odległość punktu od prostej lub
obliczając wysokość trójkąta 𝐴𝑂𝐵: 𝑟= 5√2
ALBO

zapisze, że punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu ma współrzędne 𝑃= (𝑥0, 𝑓(𝑥0))
i 𝑓′(𝑥0) = -7, gdzie 𝑓(𝑥) = √50 -𝑥2 i 50 -𝑥2 > 0
ALBO

zapisze odległość 𝑔 (lub kwadrat odległości) punktu (0, 0) od dowolnego punktu
prostej 𝐴𝐵 w zależności od jednej zmiennej, np. 𝑔(𝑥) = √𝑥2 + (-7𝑥+ 50)2
ALBO

wyznaczy równanie prostej 𝐴𝐵 oraz poda współrzędne wektora prostopadłego do
prostej 𝐴𝐵
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy zapisze równanie z jedną niewiadomą, prowadzące do obliczenia współrzędnych punktu
styczności, np.: 1
7 𝑥= -7𝑥+ 50 lub 𝑥2 + (1
7 𝑥 )
2
= 50, lub 𝑥2 + (-7𝑥+ 50)2 = 50, lub
-2𝑥
2√50-𝑥2
= -7, lub √(𝑥2 + (-7𝑥+ 50)2) =
|7⋅0+0-50|
√72+12
Zdający otrzymuje 4 p.
gdy zastosuje poprawną metodę i obliczy promień okręgu oraz współrzędne punktu styczności
prostej 𝐴𝐵 do okręgu: 𝑟= 5√2, 𝑃= (7, 1).
Uwagi:

\n
  1. Jeżeli zdający realizuje strategię rozwiązania i jedynym błędem zdającego, który jednak nie
\n

ułatwia zagadnienia na żadnym etapie rozwiązania, jest błąd polegający na:
a) zastosowaniu nieistniejącego wzoru √𝑎2 ± 𝑏2 = 𝑎± 𝑏 lub (𝑎± 𝑏)2 = 𝑎2 ± 𝑏2
b) niepoprawnym użyciu współrzędnych punktów 𝐴 i 𝐵 przy wyznaczaniu równania prostej 𝐴𝐵
c) niepoprawnym zastosowaniu wzoru na odległość punktu od prostej lub na odległość
dwóch punktów, lub wzoru na pole trójkąta, lub równania okręgu
d) niepoprawnym wyznaczeniu współczynnika kierunkowego prostej prostopadłej do danej
prostej
e) wyznaczeniu jednej z niewiadomych z równania 𝑥2 + 𝑦2 = 50 bez koniecznych założeń
to zdający otrzymuje co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeżeli zdający wyznaczy równanie prostej 𝐴𝐵 i obliczy promień okręgu stycznego do
\n

prostej 𝐴𝐵, a następnie poda (bez obliczeń) współrzędne punktu styczności, to otrzymuje:

\n\n

do prostej 𝐴𝐵 oraz do prostej prostopadłej (lub do prostej 𝐴𝐵 i okręgu)

\n\n

𝑃= (7, 1) należy do prostej 𝐴𝐵 oraz do prostej prostopadłej (lub do prostej 𝐴𝐵 i okręgu).

\n
  1. Jeżeli zdający odczyta z rysunku współrzędne punktu styczności 𝑃= (7,1) (bez obliczeń)
\n

i obliczy długość promienia, to otrzymuje 1 punkt za całe rozwiązanie. Jeżeli zdający nie
sporządzi rysunku i poda bez stosownych obliczeń współrzędne punktu styczności
𝑃= (7,1) i obliczy długość promienia, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵.
Niech 𝑦= 𝑎𝑥+ 𝑏 będzie równaniem kierunkowym prostej 𝐴𝐵.
Punkty 𝐴 i 𝐵 leżą na tej prostej, więc:
-6 = 8𝑎+ 𝑏 i 15 = 5𝑎+ 𝑏
Stąd 𝑎= -7 i 𝑏= 50.
Prosta 𝐴𝐵 ma równanie:

\n\n

Obliczamy odległość punktu 𝑂 od prostej 𝐴𝐵:
𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = |7 ⋅0 + 0 -50|
√72 + 12
= 50
√50
= √50 = 5√2
Obliczona odległość jest długością promienia okręgu: 𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = 𝑟= 5√2.
Przez 𝑃 oznaczmy punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu.
Prosta 𝑂𝑃 przechodzi przez punkt 𝑂= (0, 0) i jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, więc ma
równanie: 𝑦= 1
7 𝑥.
Obliczamy współrzędne punktu 𝑃:
{ 𝑦= 1
7 𝑥
𝑦= -7𝑥+ 50
Rozwiązaniem tego układu jest para liczb 𝑥= 7 i 𝑦= 1, więc 𝑃= (7, 1).
Sposób 2. Przez układ z okręgiem (1)
Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵 jak w sposobie 1.
Prosta 𝐴𝐵 ma równanie:

\n\n

Obliczamy odległość punktu 𝑂 od prostej 𝐴𝐵:
𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = |7 ⋅0 + 0 -50|
√72 + 12
= 50
√50
= √50 = 5√2
Obliczona odległość jest długością promienia okręgu: 𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = 𝑟= 5√2.
Równanie okręgu o środku w punkcie 𝑂= (0, 0) i promieniu 𝑟= 5√2 ma postać 𝑥2 + 𝑦2 = 50.
Przez 𝑃 oznaczmy punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu 𝑥2 + 𝑦2 = 50.
Obliczamy współrzędne punktu 𝑃:
{𝑦= -7𝑥+ 50
𝑥2 + 𝑦2 = 50
Rozwiązaniem tego układu jest para liczb 𝑥= 7 i 𝑦= 1, więc 𝑃= (7, 1).
Sposób 3. Przez układ z okręgiem (2)
Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵 jak w sposobie 1.
Prosta 𝐴𝐵 ma równanie:

\n\n

Obliczamy odległość punktu 𝑂 od prostej 𝐴𝐵:
𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = |7 ⋅0 + 0 -50|
√72 + 12
= 50
√50
= √50 = 5√2
Obliczona odległość jest długością promienia okręgu: 𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = 𝑟= 5√2.
Równanie okręgu o środku w punkcie 𝑂= (0, 0) i promieniu 𝑟= 5√2 ma postać 𝑥2 + 𝑦2 = 50.
Przez 𝑃 oznaczmy punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu 𝑥2 + 𝑦2 = 50.
Prosta 𝑂𝑃 przechodzi przez punkt 𝑂= (0, 0) i jest prostopadła do prostej 𝐴𝐵, więc ma
równanie: 𝑦= 1
7 𝑥.
Obliczamy współrzędne punktu 𝑃:
{𝑦= 1
7 𝑥
𝑥2 + 𝑦2 = 50
Rozwiązaniami tego układu są pary liczb: {𝑥= 7
𝑦= 1 oraz {𝑥= -7
𝑦= -1 . Ponieważ punkt
o współrzędnych (-7, -1) nie należy do prostej o równaniu 𝑦= -7𝑥+ 50, więc 𝑃= (7, 1).
Sposób 4.
Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵: 𝑦= -7𝑥+ 50 (np. jak w sposobie 1.).
Obliczamy długość odcinka 𝐴𝐵:
|𝐴𝐵| = √(8 -5)2 + (-6 -15)2 = √9 + 441 = √450 = 15√2
Obliczamy pole trójkąta 𝐴𝐵𝑂:
𝑃= 1
2 |(5 -8)(0 + 6) -(15 + 6)(0 -8)| = 1
2 |-18 + 168| = 1
2 ∙150 = 75
Promień okręgu jest wysokością tego trójkąta poprowadzoną na bok 𝐴𝐵, więc
𝑟= 2 ∙𝑃
|𝐴𝐵| = 2 ∙75
15√2
= 150
15√2
= 10
√2
= 5√2
Przez 𝑃 oznaczmy punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu 𝑥2 + 𝑦2 = 50.
Obliczamy współrzędne punktu 𝑃:
Zasady oceniania rozwiązań zadań
{𝑦= -7𝑥+ 50
𝑥2 + 𝑦2 = 50
Rozwiązaniem tego układu jest para liczb 𝑥= 7 i 𝑦= 1, więc 𝑃= (7, 1).
Sposób 5. Punkt styczności przez pochodną
Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵 jak w sposobie 1.
Prosta 𝐴𝐵 ma równanie:

\n\n

Obliczamy odległość punktu 𝑂 od prostej 𝐴𝐵:
𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = |7 ⋅0 + 0 -50|
√72 + 12
= 50
√50
= √50 = 5√2
Obliczona odległość jest długością promienia okręgu: 𝑑(𝑂, 𝐴𝐵) = 𝑟= 5√2.
Równanie okręgu o środku w punkcie 𝑂= (0, 0) i promieniu 𝑟= 5√2 ma postać 𝑥2 + 𝑦2 = 50.
Przez 𝑃 oznaczmy punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu 𝑥2 + 𝑦2 = 50. Punkt 𝑃 leży
w I ćwiartce układu współrzędnych (ponieważ prosta 𝐴𝐵 przechodzi przez I, II i IV ćwiartkę
układu współrzędnych), więc punkt 𝑃 należy do wykresu funkcji 𝑓 określonej wzorem
𝑓(𝑥) = √50 -𝑥2 , gdzie 50 -𝑥2 > 0. Zatem 𝑃= (𝑥0, 𝑓(𝑥0)), przy pewnym 𝑥0 takim, że
50 -𝑥0
2 > 0 oraz 𝑓′(𝑥0) = -7.
Obliczamy współrzędne punktu 𝑃:
𝑓′(𝑥) =
-2𝑥
2√50 -𝑥2
-7 =
-𝑥
√50 -𝑥2 i 50 -𝑥2 > 0
Stąd otrzymujemy 𝑥= 7. Zatem 𝑃= (7, 𝑓(7)) = (7, 1).
Sposób 6.
Wyznaczamy równanie prostej 𝐴𝐵 jak w sposobie 1.
Przez 𝑃 oznaczmy punkt styczności prostej 𝐴𝐵 do okręgu.
Wektor 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗ jest wektorem prostopadłym do prostej 𝐴𝐵, więc jest postaci [7𝑡, 𝑡], przy pewnym
𝑡≠0. Zatem punkt 𝑃 ma współrzędne 𝑃= (7𝑡, 𝑡).
Punkt 𝑃 należy do prostej 𝐴𝐵, więc 7 ⋅7𝑡+ 𝑡-50 = 0. Stąd 𝑡= 1 i 𝑃= (7, 1). Promień
okręgu jest zatem równy 𝑟= |𝑂𝑃| = √72 + 12 = 5√2.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(r = 5\\sqrt{2}\\), punkt styczności \\(P = (7, 1)\\)

\n

Sposób 1 - Odległość punktu od prostej

\n
Krok 1: Wyznacz równanie prostej AB
\n

Obliczamy współczynnik kierunkowy:
\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \\frac{15 - (-6)}{5 - 8} = \\frac{21}{-3} = -7\\]

\n

Równanie prostej przez \\(A = (8, -6)\\):
\\[y - (-6) = -7(x - 8)\\]
\\[y + 6 = -7x + 56\\]
\\[7x + y - 50 = 0\\]

\n

Sprawdzenie: dla \\(B = (5, 15)\\): \\(7 \\cdot 5 + 15 - 50 = 35 + 15 - 50 = 0\\) ✓

\n
Krok 2: Oblicz promień jako odległość O od prostej
\n

Prosta jest styczna do okręgu, więc odległość środka \\(O = (0, 0)\\) od prostej równa się promieniowi:
\\[r = d(O, AB) = \\frac{|A \\cdot x_0 + B \\cdot y_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}} = \\frac{|7 \\cdot 0 + 1 \\cdot 0 - 50|}{\\sqrt{7^2 + 1^2}}\\]
\\[r = \\frac{50}{\\sqrt{50}} = \\frac{50}{5\\sqrt{2}} = \\frac{10}{\\sqrt{2}} = \\frac{10\\sqrt{2}}{2} = \\boxed{5\\sqrt{2}}\\]

\n
Krok 3: Wyznacz punkt styczności - rzut prostokątny O na prostą AB
\n

Punkt styczności \\(P\\) to stopa prostopadłej opuszczonej z \\(O\\) na prostą \\(AB\\).

\n

Wektor normalny do prostej \\(7x + y - 50 = 0\\) ma kierunek \\((7, 1)\\). Prosta prostopadła przez \\(O\\) ma zatem postać parametryczną:
\\[\\begin{cases} x = 7t \\\\ y = t \\end{cases}\\]

\n

Podstawiamy do równania prostej \\(AB\\):
\\[7(7t) + t - 50 = 0\\]
\\[49t + t = 50\\]
\\[50t = 50 \\implies t = 1\\]

\n

Stąd:
\\[\\boxed{P = (7 \\cdot 1,\\ 1) = (7, 1)}\\]

\n

Sprawdzenie: \\(|OP| = \\sqrt{7^2 + 1^2} = \\sqrt{49 + 1} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\) ✓

\n

Sposób 2 - Warunek prostopadłości OP ⊥ AB

\n

Zamiast wzoru na odległość, szukamy punktu \\(P\\) wprost korzystając z warunku prostopadłości.

\n
Krok 1: Parametryzacja prostej AB
\n

Wektor kierunkowy \\(AB\\):
\\[\\vec{AB} = [5 - 8,\\ 15 - (-6)] = [-3,\\ 21]\\]

\n

Punkt na prostej: \\(P = A + s \\cdot \\vec{AB} = (8 - 3s,\\ -6 + 21s)\\)

\n
Krok 2: Warunek \\(OP \\perp AB\\)
\n

Wektor \\(\\vec{OP} = (8 - 3s,\\ -6 + 21s)\\). Prostopadłość:
\\[\\vec{OP} \\cdot \\vec{AB} = 0\\]
\\[(8 - 3s) \\cdot (-3) + (-6 + 21s) \\cdot 21 = 0\\]
\\[-24 + 9s - 126 + 441s = 0\\]
\\[450s = 150 \\implies s = \\frac{1}{3}\\]

\n
Krok 3: Oblicz współrzędne P i promień
\n

\\[P = \\left(8 - 3 \\cdot \\frac{1}{3},\\ -6 + 21 \\cdot \\frac{1}{3}\\right) = (8 - 1,\\ -6 + 7) = \\boxed{(7, 1)}\\]

\n

\\[r = |OP| = \\sqrt{7^2 + 1^2} = \\sqrt{50} = \\boxed{5\\sqrt{2}}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)

\n

1) Odległość punktu od prostej (użyta w Sposobie 1):
\\[d = \\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2 + B^2}}\\]
Środek \\(O = (0,0)\\) do prostej \\(7x + y - 50 = 0\\): kluczowy wzór do wyznaczenia promienia.

\n

2) Długość odcinka / wektora (użyta w Sposobie 2 do weryfikacji):
\\[|OP| = \\sqrt{(x_P - x_O)^2 + (y_P - y_O)^2} = \\sqrt{7^2 + 1^2} = \\sqrt{50}\\]

\n

3) Równanie kierunkowe prostej (wyznaczanie równania AB):
\\[y = ax + b, \\quad a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Prosta styczna do okręgu jest prostopadła do promienia w punkcie styczności - to kluczowa własność. Bez niej nie można znaleźć ani \\(r\\), ani \\(P\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy obliczaniu \\(\\sqrt{50}\\) łatwo zostawić wynik w tej postaci. Pamiętaj upraszczać: \\(\\sqrt{50} = \\sqrt{25 \\cdot 2} = 5\\sqrt{2}\\). Egzaminatorzy oczekują uproszczonej formy.
\n
⚠️ Uwaga: W wzorze na odległość punktu od prostej \\(\\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\\sqrt{A^2+B^2}}\\) musisz mieć prostą w postaci ogólnej \\(Ax + By + C = 0\\). Często uczniowie podstawiają do postaci kierunkowej \\(y = ax + b\\) - to błąd, bo wzór nie zadziała.
\n
Sposob 1 (odleglosc punktu od prostej + prosta prostopadla)
\n

Wyznaczamy rownanie prostej AB. Z \\(y = ax + b\\): \\(-6 = 8a + b\\), \\(15 = 5a + b\\). Odejmowanie: \\(-21 = 3a \\Rightarrow a = -7\\), \\(b = 50\\). Rownanie ogolne: \\(7x + y - 50 = 0\\).

\n

Promien: \\(r = d(O, AB) = \\dfrac{|7 \\cdot 0 + 0 - 50|}{\\sqrt{49 + 1}} = \\dfrac{50}{\\sqrt{50}} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\) (karta wzorow: odleglosc punktu od prostej).

\n

Punkt stycznosci P: lezy na prostej OP, ktora jest prostopadla do AB i przechodzi przez O. Wspolczynnik kierunkowy prostej prostopadlej: \\(-\\tfrac{1}{-7} = \\tfrac{1}{7}\\). Rownanie: \\(y = \\tfrac{1}{7}x\\).

\n

Uklad: \\(\\begin{cases} y = \\tfrac{1}{7}x \\\\ y = -7x + 50 \\end{cases}\\). Z tego \\(\\tfrac{1}{7}x = -7x + 50 \\Rightarrow x + 49x = 350 \\Rightarrow 50x = 350 \\Rightarrow x = 7\\), \\(y = 1\\).

\n

\\(P = (7, 1)\\), \\(r = 5\\sqrt{2}\\).

\n
Sposob 2 (pole trojkata AOB)
\n

\\(|AB| = \\sqrt{(8-5)^{2} + (-6-15)^{2}} = \\sqrt{9 + 441} = \\sqrt{450} = 15\\sqrt{2}\\).

\n

Pole \\(AOB\\): \\(P = \\tfrac{1}{2}|x_{A}y_{B} - x_{B}y_{A}| = \\tfrac{1}{2}|8 \\cdot 15 - 5 \\cdot (-6)| = \\tfrac{1}{2}|120 + 30| = 75\\).

\n

Promien jest wysokoscia na bok \\(AB\\): \\(r = \\dfrac{2P}{|AB|} = \\dfrac{150}{15\\sqrt{2}} = \\dfrac{10}{\\sqrt{2}} = 5\\sqrt{2}\\).

\n

Punkt stycznosci jak w Sposobie 1: \\(P = (7, 1)\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Trik: Punkt stycznosci to przeciecie AB z prosta prostopadla przez srodek - najszybsza droga.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$r = 5\\sqrt{2}$, $P = (7, 1)$

"}]}