{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/12","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"12","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 12. (0-5)\nRozwiąż równanie cos 2𝑥=\nඥ2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) w przedziale 〈0, 𝜋〉.\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n12.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż równanie cos 2x = √2/2(cos x - sin x) w przedziale <0,π>.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 12. (0-5)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR6.6) rozwiązuje równania\ntrygonometryczne […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nzapisze alternatywę równań cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2\nALBO\n\nzastosuje\nwzór\nna\ncosinus\npodwojonego\nargumentu\ni\nzapisze\nrównanie\ncos 2𝑥=\n√2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) w postaci\n(cos 𝑥-sin 𝑥)(cos 𝑥+ sin 𝑥) = √2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥)\nALBO\n\nzapisze równanie cos 2𝑥=\n√2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) w postaci\ncos 2𝑥= cos 𝑥⋅cos 𝜋\n4 -sin 𝑥⋅sin 𝜋\n4 lub cos 2𝑥= cos 𝑥⋅sin 𝜋\n4 -sin 𝑥⋅cos 𝜋\n4\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\nzapisze alternatywę równań cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 i spełni jeden\nz poniższych warunków:\n1) rozwiąże równanie cos 𝑥-sin 𝑥= 0: 𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą,\nlub 𝑥= 𝜋\n4,\n2) przekształci równanie cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 do postaci cos (𝜋\n4 -𝑥) = 1\n2 ,\n3) skorzysta z „jedynki trygonometrycznej”, zapisze układ równań { cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2\nsin2 𝑥+ cos2 𝑥= 1\ni przekształci go do równania, w którym występuje jedna funkcja trygonometryczna\nzmiennej 𝑥:\n(\n√2\n2 -cos 𝑥)\n2\n+ cos2 𝑥= 1 lub sin2 𝑥+ (\n√2\n2 -sin𝑥)\n2\n= 1\nlub 2 cos2 𝑥-√2 cos 𝑥-1\n2 = 0 lub 2 sin2 𝑥-√2 sin 𝑥-1\n2 = 0\nALBO\n\nprzekształci równanie cos 2𝑥=\n√2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) do postaci cos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋\n4)\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy:\n\nrozwiąże równanie cos 𝑥-sin 𝑥= 0: 𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą, lub\n𝑥= 𝜋\n4 oraz spełni jeden z poniższych warunków:\n1) przekształci równanie cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 do postaci cos (𝜋\n4 -𝑥) = 1\n2\n2) skorzysta z „jedynki trygonometrycznej”, zapisze układ równań { cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2\nsin2 𝑥+ cos2 𝑥= 1\ni przekształci go do równania, w którym występuje jedna funkcja trygonometryczna\nzmiennej 𝑥:\n(\n√2\n2 -cos 𝑥)\n2\n+ cos2 𝑥= 1 lub sin2 𝑥+ (\n√2\n2 -sin𝑥)\n2\n= 1\nlub 2 cos2 𝑥-√2 cos 𝑥-1\n2 = 0 lub 2 sin2 𝑥-√2 sin 𝑥-1\n2 = 0\nALBO\n\nzapisze alternatywę równań cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 oraz zapisze\npoprawnie\njedną\nserię\nrozwiązań\nrównania\ncos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 :\n𝜋\n4 -𝑥= 𝜋\n3 + 2𝑘𝜋 lub 𝜋\n4 -𝑥= -𝜋\n3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą\nALBO\n\nzapisze poprawnie jedną serię rozwiązań równania cos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋\n4):\n2𝑥= 𝑥+ 𝜋\n4 + 2𝑘𝜋 lub 2𝑥= -(𝑥+ 𝜋\n4) + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą (bez\nwyznaczenia rozwiązań z danego przedziału), albo zapisze poprawnie jedno\nrozwiązanie w przedziale 〈0, 𝜋〉: 𝜋\n4 lub 7𝜋\n12 .\nALBO\n\nzastosuje wzór na różnicę cosinusów i przekształci równanie cos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋\n4)\ndo postaci:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n-2 sin (\n2𝑥+ 𝑥+ 𝜋\n4\n2\n) ⋅sin (\n2𝑥-𝑥-𝜋\n4\n2\n) = 0\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy:\n\nrozwiąże równanie cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉: 𝜋\n4 i spełni jeden\nz poniższych warunków:\n1) rozwiąże równanie cos (𝜋\n4 -𝑥) = 1\n2 i poda dwie serie rozwiązań:\n𝜋\n4 -𝑥= 𝜋\n3 + 2𝑘𝜋 oraz 𝜋\n4 -𝑥= -𝜋\n3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą (bez\nwyznaczenia rozwiązań z danego przedziału)\n2) przekształci równanie 2 sin2 𝑥-√2 sin 𝑥-1\n2 = 0 do alternatywy:\nsin 𝑥=\n√2+√6\n4\nlub sin 𝑥=\n√2-√6\n4\nALBO\nprzekształci równanie 2 cos2 𝑥-√2 cos 𝑥-1\n2 = 0 do alternatywy:\ncos 𝑥=\n√2+√6\n4\nlub cos 𝑥=\n√2-√6\n4\nALBO\n\nzapisze poprawnie dwie serie rozwiązań równania cos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋\n4):\n2𝑥= 𝑥+ 𝜋\n4 + 2𝑘𝜋 oraz 2𝑥= -(𝑥+ 𝜋\n4) + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą (bez\nwyznaczenia rozwiązań z danego przedziału)\nALBO\n\nrozwiąże równanie sin (3\n2 𝑥+ 𝜋\n8) = 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉: 7𝜋\n12\nALBO\n\nrozwiąże równanie sin (1\n2 𝑥-𝜋\n8) = 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉: 𝜋\n4\nALBO\n\nzapisze poprawnie dwie serie rozwiązań równań sin (3\n2 𝑥+ 𝜋\n8) = 0 i sin (1\n2 𝑥-𝜋\n8) = 0:\n𝑥= -𝜋\n12 + 2\n3 𝑘𝜋 oraz 𝑥= 𝜋\n4 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą\nZdający otrzymuje 5 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania cos 2𝑥=\n√2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) i poda\nprawidłowe rozwiązania w przedziale 〈0, 𝜋〉: 𝜋\n4 , 7𝜋\n12 .\nUwagi:\n1. Jeśli zdający zapisze równanie\n(cos 𝑥-sin 𝑥)(cos 𝑥+ sin 𝑥) = √2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥)\ni podzieli obie strony równania przez cos 𝑥-sin 𝑥 (bez rozstrzygania sytuacji, gdy\ncos 𝑥= sin 𝑥), otrzyma równanie cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 i doprowadzi rozwiązanie do końca,\nto traktujemy to jako błąd merytoryczny, nie przekreślający całości rozwiązania i zdający\nmoże otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeżeli jedynym błędem zdającego jest błąd przy przepisywaniu wzoru trygonometrycznego,\nnp. zapisuje sinus sumy argumentów zamiast sinusa ich różnicy, i konsekwentnie\ndoprowadzi rozwiązanie do końca, to zdający może otrzymać 3 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Jeżeli zdający, rozwiązując jedno z otrzymanych równań, stosuje metodę analizy\nstarożytnych, np. podnosi obie strony równania cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 do kwadratu i nie\nodrzuci rozwiązań obcych, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPonieważ\n√2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) = cos 𝑥⋅√2\n2 -sin 𝑥⋅√2\n2 = cos 𝑥⋅cos 𝜋\n4 -sin 𝑥⋅sin 𝜋\n4 = cos (𝑥+ 𝜋\n4),\nwięc równanie cos 2𝑥=\n√2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) można zapisać w postaci równoważnej\ncos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋\n4)\nJego rozwiązaniami są liczby 𝑥 spełniające warunek\n2𝑥= 𝑥+ 𝜋\n4 + 2𝑘𝜋 lub 2𝑥= -(𝑥+ 𝜋\n4) + 2𝑘𝜋\ngdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.\nStąd 𝑥= 𝜋\n4 + 2𝑘𝜋 lub 3𝑥= -𝜋\n4 + 2𝑘𝜋, czyli 𝑥= 𝜋\n4 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥= -𝜋\n12 + 2\n3 𝑘𝜋.\nZatem rozwiązaniami równania cos 2𝑥=\n√2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) w przedziale 〈0, 𝜋〉 są liczby:\n𝜋\n4 oraz 7𝜋\n12 .\nSposób 2.\nPo skorzystaniu ze wzoru na cosinus podwojonego argumentu otrzymujemy równanie\n(cos 𝑥-sin 𝑥)(cos 𝑥+ sin 𝑥) = √2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥)\nJest ono równoważne alternatywie dwóch równań:\ncos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub cos 𝑥+ sin 𝑥= √2\n2\nRównanie cos 𝑥-sin 𝑥= 0 można rozwiązać graficznie albo algebraicznie, zapisując je\nz wykorzystaniem wzoru redukcyjnego np. w postaci cos 𝑥= cos (𝜋\n2 -𝑥) . Rozwiązaniami\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nostatniego równania są liczby spełniające warunek 𝑥= 𝜋\n2 -𝑥+ 2𝑘𝜋 lub 𝑥= -(𝜋\n2 -𝑥) + 2𝑘𝜋,\ngdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą. Stąd 𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest dowolną liczbą\ncałkowitą, więc rozwiązaniem równania cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉 jest liczba 𝜋\n4.\nRównanie cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 rozwiązujemy, stosując wzory redukcyjne oraz wzór na sumę\nsinusów. Otrzymujemy kolejno:\nsin (𝜋\n2 -𝑥) + sin 𝑥= √2\n2\n2 sin (\n𝜋\n2 -𝑥+ 𝑥\n2\n) ⋅cos (\n𝜋\n2 -𝑥-𝑥\n2\n) = √2\n2\n2 sin (𝜋\n4) ⋅cos (𝜋\n4 -𝑥) = √2\n2\ncos (𝜋\n4 -𝑥) = 1\n2\nRozwiązaniami otrzymanego równania są liczby spełniające warunek\n𝜋\n4 -𝑥= 𝜋\n3 + 2𝑘𝜋 lub 𝜋\n4 -𝑥= -𝜋\n3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą.\nStąd 𝑥= -𝜋\n12 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥= 7𝜋\n12 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą.\nZatem rozwiązaniem równania cos (𝜋\n4 -𝑥) = 1\n2 w przedziale 〈0, 𝜋〉 jest liczba 7𝜋\n12.\nOstatecznie, rozwiązaniami równania cos 2𝑥=\n√2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) w przedziale 〈0, 𝜋〉 są\nliczby 𝜋\n4 oraz 7𝜋\n12.\nSposób 3. Po skorzystaniu ze wzoru na cosinus podwojonego argumentu otrzymujemy\nrównanie\n(cos 𝑥-sin 𝑥)(cos 𝑥+ sin 𝑥) = √2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥)\nJest ono równoważne alternatywie dwóch równań:\ncos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub cos 𝑥+ sin 𝑥= √2\n2\nRównanie cos 𝑥-sin 𝑥= 0 można rozwiązać graficznie albo algebraicznie, zapisując je\nz wykorzystaniem wzoru redukcyjnego np. w postaci cos 𝑥= cos (𝜋\n2 -𝑥) . Rozwiązaniami\nostatniego równania są liczby spełniające warunek 𝑥= 𝜋\n2 -𝑥+ 2𝑘𝜋 lub 𝑥= -(𝜋\n2 -𝑥) + 2𝑘𝜋,\ngdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą. Stąd 𝑥= 𝜋\n4 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest dowolną liczbą\ncałkowitą, więc rozwiązaniem równania cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉 jest liczba 𝜋\n4.\nRównanie cos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 rozwiązujemy, stosując wzór cos2 𝑥+ sin2𝑥= 1.\nZapisujemy układ równań\n{cos 𝑥+ sin 𝑥= √2\n2\ncos2 𝑥+ sin2𝑥= 1\nStąd otrzymujemy kolejno\n(√2\n2 -sin 𝑥)\n2\n+ sin2𝑥-1 = 0\n2sin2𝑥-√2 sin 𝑥-1\n2 = 0\nPodstawiamy sin 𝑥= 𝑡 i wtedy 2𝑡2 -√2𝑡-1\n2 = 0.\nRozwiązaniami tego równania są 𝑡=\n√2+√6\n4\nlub 𝑡=\n√2-√6\n4\nPonieważ\n√2 + √6\n4\n= √2\n2 ⋅1\n2 + √2\n2 ⋅√3\n2 = sin 45° ⋅cos 60° + cos 45° ⋅sin 60° = sin 105°\ni sin 105° + cos 105° =\n√2\n2 , więc 𝑥= 105° = 7𝜋\n12 jest rozwiązaniem równania\ncos 𝑥+ sin 𝑥=\n√2\n2 w przedziale ⟨0, 𝜋⟩.\nPonieważ\n√2-√6\n4\n< 0, więc równanie sin 𝑥=\n√2-√6\n4\nnie ma rozwiązań w przedziale ⟨0, 𝜋⟩.\nOstatecznie, rozwiązaniami równania cos 2𝑥=\n√2\n2 (cos 𝑥-sin 𝑥) w przedziale 〈0, 𝜋〉 są\nliczby 𝜋\n4 oraz 7𝜋\n12.\nSposób 4.\nPrzekształcamy równanie jak w sposobie 1. do postaci cos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋\n4), skąd\ncos 2𝑥-cos (𝑥+ 𝜋\n4) = 0\nStosujemy wzór na różnicę cosinusów i otrzymujemy:\n-2 sin (\n2𝑥+ 𝑥+ 𝜋\n4\n2\n) ⋅sin (\n2𝑥-𝑥-𝜋\n4\n2\n) = 0\nStąd\nsin (3\n2 𝑥+ 𝜋\n8) = 0 lub sin (1\n2 𝑥-𝜋\n8) = 0\nwięc 3\n2 𝑥+ 𝜋\n8 = 𝑘𝜋 lub 1\n2 𝑥-𝜋\n8 = 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą, czyli 𝑥= -𝜋\n12 + 2\n3 𝑘𝜋\nlub 𝑥= 𝜋\n4 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.\nRozwiązaniami równania cos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋\n4) w przedziale 〈0, 𝜋〉 są liczby 7𝜋\n12 oraz 𝜋\n4 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = \\dfrac{\\pi}{4}\\) lub \\(x = \\dfrac{7\\pi}{12}\\)\n\n## Sposób 1 - Faktoryzacja przez różnicę kwadratów\n\n**Kluczowa obserwacja:** lewa strona to różnica kwadratów.\n\n\\[\\cos 2x = \\cos^2 x - \\sin^2 x = (\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x)\\]\n\nPodstawiamy do równania:\n\n\\[(\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos x - \\sin x)\\]\n\nPrzenosimy wszystko na lewą stronę:\n\n\\[(\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x) - \\frac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos x - \\sin x) = 0\\]\n\n**Wyłączamy $(\\cos x - \\sin x)$ przed nawias:**\n\n\\[(\\cos x - \\sin x)\\left(\\cos x + \\sin x - \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right) = 0\\]\n\nIloczyn równy zero, więc rozpatrujemy dwa przypadki.\n\n**Przypadek 1:** \\(\\cos x - \\sin x = 0\\)\n\n\\[\\cos x = \\sin x \\implies \\operatorname{tg} x = 1 \\implies x = \\frac{\\pi}{4} + k\\pi, \\quad k \\in \\mathbb{Z}\\]\n\nW przedziale \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\): \\(\\boxed{x = \\frac{\\pi}{4}}\\) ✓ (kolejne: \\(\\frac{5\\pi}{4} > \\pi\\) - odpada)\n\n**Przypadek 2:** \\(\\cos x + \\sin x = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)\n\nKorzystamy ze wzoru pomocniczego: \\(\\cos x + \\sin x = \\sqrt{2}\\cos\\!\\left(x - \\frac{\\pi}{4}\\right)\\)\n\n\\[\\sqrt{2}\\cos\\!\\left(x - \\frac{\\pi}{4}\\right) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]\n\n\\[\\cos\\!\\left(x - \\frac{\\pi}{4}\\right) = \\frac{1}{2}\\]\n\n\\[x - \\frac{\\pi}{4} = \\pm\\frac{\\pi}{3} + 2k\\pi\\]\n\n- Plus: \\(x = \\frac{\\pi}{4} + \\frac{\\pi}{3} = \\frac{3\\pi + 4\\pi}{12} = \\boxed{\\frac{7\\pi}{12}}\\) ✓\n- Minus: \\(x = \\frac{\\pi}{4} - \\frac{\\pi}{3} = \\frac{3\\pi - 4\\pi}{12} = -\\frac{\\pi}{12}\\) - poza przedziałem, odpada\n\n**Odpowiedź:** \\(x = \\dfrac{\\pi}{4}\\) lub \\(x = \\dfrac{7\\pi}{12}\\)\n\n## Sposób 2 - Sprowadzenie do równania \\(\\cos A = \\cos B\\)\n\nUżywamy wzoru pomocniczego na $\\cos x - \\sin x$:\n\n\\[\\cos x - \\sin x = \\sqrt{2}\\cos\\!\\left(x + \\frac{\\pi}{4}\\right)\\]\n\nPodstawiamy do prawej strony:\n\n\\[\\frac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos x - \\sin x) = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\sqrt{2}\\cos\\!\\left(x + \\frac{\\pi}{4}\\right) = \\cos\\!\\left(x + \\frac{\\pi}{4}\\right)\\]\n\nRównanie przyjmuje elegancką postać:\n\n\\[\\cos 2x = \\cos\\!\\left(x + \\frac{\\pi}{4}\\right)\\]\n\nZ zasady \\(\\cos A = \\cos B \\iff A = \\pm B + 2k\\pi\\):\n\n**Przypadek 1:** \\(2x = x + \\dfrac{\\pi}{4} + 2k\\pi\\)\n\n\\[x = \\frac{\\pi}{4} + 2k\\pi\\]\n\nW \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\): \\(\\boxed{x = \\frac{\\pi}{4}}\\) ✓\n\n**Przypadek 2:** \\(2x = -\\!\\left(x + \\dfrac{\\pi}{4}\\right) + 2k\\pi\\)\n\n\\[2x = -x - \\frac{\\pi}{4} + 2k\\pi \\implies 3x = -\\frac{\\pi}{4} + 2k\\pi \\implies x = -\\frac{\\pi}{12} + \\frac{2k\\pi}{3}\\]\n\n- \\(k = 0\\): \\(x = -\\frac{\\pi}{12}\\) - poza przedziałem\n- \\(k = 1\\): \\(x = -\\frac{\\pi}{12} + \\frac{2\\pi}{3} = \\frac{-\\pi + 8\\pi}{12} = \\boxed{\\frac{7\\pi}{12}}\\) ✓\n- \\(k = 2\\): \\(x = -\\frac{\\pi}{12} + \\frac{4\\pi}{3} = \\frac{15\\pi}{12} > \\pi\\) - odpada\n\n**Odpowiedź:** \\(x = \\dfrac{\\pi}{4}\\) lub \\(x = \\dfrac{7\\pi}{12}\\)\n\n**Weryfikacja \\(x = \\frac{7\\pi}{12}\\):**\n\n\\(\\cos\\!\\frac{7\\pi}{6} = \\cos 210° = -\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)\n\n\\(\\cos\\!\\frac{7\\pi}{12} = \\cos 105° = \\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}{4}\\), \\quad \\(\\sin\\!\\frac{7\\pi}{12} = \\sin 105° = \\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}\\)\n\n\\[\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\!\\left(\\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}{4} - \\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}\\right) = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{-2\\sqrt{6}}{4} = \\frac{-\\sqrt{12}}{4} = -\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)**\n\nWzór na cosinus podwojonego kąta (różnica kwadratów):\n\\[\\cos 2x = \\cos^2 x - \\sin^2 x = (\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x)\\]\nUżyty w Sposobie 1 do faktoryzacji lewej strony.\n\nWzór pomocniczy (wynika z funkcji sumy kątów):\n\\[\\cos x - \\sin x = \\sqrt{2}\\cos\\!\\left(x + \\frac{\\pi}{4}\\right)\\]\n\\[\\cos x + \\sin x = \\sqrt{2}\\cos\\!\\left(x - \\frac{\\pi}{4}\\right)\\]\nOba użyte - w Sposobie 1 (przypadek 2) i w Sposobie 2.\n\nWartości: \\(\\cos\\frac{\\pi}{3} = \\frac{1}{2}\\) (tablica, s. 12) - do rozwiązania \\(\\cos\\left(x - \\frac{\\pi}{4}\\right) = \\frac{1}{2}\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nigdy nie dziel obu stron przez \\((\\cos x - \\sin x)\\)! Jeśli to zrobisz, gubisz rozwiązanie \\(x = \\frac{\\pi}{4}\\) (bo wtedy \\(\\cos x - \\sin x = 0\\)). Zawsze przenoś na jedną stronę i **wyłączaj przed nawias**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W przypadku \\(\\cos A = \\cos B\\) pamiętaj o **obu** przypadkach: \\(A = B + 2k\\pi\\) oraz \\(A = -B + 2k\\pi\\). Pominięcie drugiego przypadku oznacza utratę rozwiązania \\(x = \\frac{7\\pi}{12}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdzaj przynależność do przedziału! Podstawienie do oryginalnego równania na koniec jest zawsze dobrą praktyką - szczególnie gdy pojawia się podejrzanie \"brzydka\" wartość jak \\(-\\frac{\\pi}{12}\\).\n\n### Sposob 1 (wzor na cosinus roznicy + redukcja)\nZauwazamy (karta wzorow, trygonometria): \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos x - \\sin x) = \\cos x \\cos\\tfrac{\\pi}{4} - \\sin x \\sin\\tfrac{\\pi}{4} = \\cos\\left(x + \\tfrac{\\pi}{4}\\right)\\).\n\nRownanie: \\(\\cos 2x = \\cos\\left(x + \\tfrac{\\pi}{4}\\right)\\).\n\nRozwiazania: \\(2x = x + \\tfrac{\\pi}{4} + 2k\\pi\\) lub \\(2x = -(x + \\tfrac{\\pi}{4}) + 2k\\pi\\).\n\nPierwsze: \\(x = \\tfrac{\\pi}{4} + 2k\\pi\\). W \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\): \\(x = \\tfrac{\\pi}{4}\\).\n\nDrugie: \\(3x = -\\tfrac{\\pi}{4} + 2k\\pi \\Rightarrow x = -\\tfrac{\\pi}{12} + \\tfrac{2k\\pi}{3}\\). Dla \\(k=1\\): \\(x = -\\tfrac{\\pi}{12} + \\tfrac{2\\pi}{3} = \\tfrac{-\\pi + 8\\pi}{12} = \\tfrac{7\\pi}{12}\\). W \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\) - OK.\n\nRozwiazania: \\(x = \\dfrac{\\pi}{4}\\) oraz \\(x = \\dfrac{7\\pi}{12}\\).\n\n### Sposob 2 (wzor na cosinus podwojonego argumentu + rozklad)\n\\(\\cos 2x = \\cos^{2}x - \\sin^{2}x = (\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x)\\).\n\nRownanie: \\((\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x) = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos x - \\sin x)\\).\n\n\\((\\cos x - \\sin x)\\left[(\\cos x + \\sin x) - \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right] = 0\\).\n\n**Alternatywa 1**: \\(\\cos x = \\sin x \\Rightarrow \\tan x = 1 \\Rightarrow x = \\tfrac{\\pi}{4} + k\\pi\\). W \\(\\langle 0, \\pi\\rangle\\): \\(x = \\tfrac{\\pi}{4}\\).\n\n**Alternatywa 2**: \\(\\cos x + \\sin x = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\). Sprowadzamy do postaci \\(\\sqrt{2}\\sin(x + \\tfrac{\\pi}{4}) = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\), czyli \\(\\sin(x + \\tfrac{\\pi}{4}) = \\tfrac{1}{2}\\).\n\n\\(x + \\tfrac{\\pi}{4} = \\tfrac{\\pi}{6} + 2k\\pi\\) (daje x ujemne poza \\(\\langle 0, \\pi\\rangle\\)) lub \\(x + \\tfrac{\\pi}{4} = \\tfrac{5\\pi}{6} + 2k\\pi \\Rightarrow x = \\tfrac{7\\pi}{12}\\). W \\(\\langle 0, \\pi\\rangle\\) OK.\n\nSprawdzenie: \\(\\cos\\tfrac{7\\pi}{6} = -\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), \\(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos\\tfrac{7\\pi}{12} - \\sin\\tfrac{7\\pi}{12})\\) pasuje.\n\nRozwiazania: \\(x = \\dfrac{\\pi}{4}, x = \\dfrac{7\\pi}{12}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: rozklad lewej strony \\(\\cos 2x = (\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x)\\) lub zapisanie rownania w postaci \\(\\cos 2x = \\cos(x + \\tfrac{\\pi}{4})\\).\n- 2 pkt: alternatywa \\(\\cos x - \\sin x = 0\\) lub \\(\\cos x + \\sin x = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\) + spelnienie jednego z warunkow dalszych.\n- 3 pkt: rozwiaze rownanie \\(\\cos x - \\sin x = 0\\) w przedziale.\n- 4 pkt: dwie serie rozwiazan z cos(x+π/4) = 1/2.\n- 5 pkt: \\(x = \\tfrac{\\pi}{4}, \\tfrac{7\\pi}{12}\\).\n\nUwaga CKE: dzielenie obu stron przez \\((\\cos x - \\sin x)\\) bez rozstrzygania = max 3 pkt.\n\n**Trik:** Rozpoznaj \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos x - \\sin x) = \\cos(x + \\tfrac{\\pi}{4})\\) - dyskretny wzor na cosinus sumy.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg","topics":"trygonometria","page_from":16,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 12. (0-5)<br>Rozwiąż równanie cos 2𝑥=<br>ඥ2<br>2 (cos 𝑥-sin 𝑥) w przedziale 〈0, 𝜋〉.</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Odpowiedź:<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>12.<br>Maks. liczba pkt<br>5<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Rozwiązanie zadania. Rozwiąż równanie cos 2x = √2/2(cos x - sin x) w przedziale &lt;0,π&gt;.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 12. (0-5)<br>Wymagania egzaminacyjne 2021<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>IV. Użycie i tworzenie strategii.<br>Zdający:<br>R6.6) rozwiązuje równania<br>trygonometryczne […].<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy:<br><br>zapisze alternatywę równań cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub cos 𝑥+ sin 𝑥=<br>√2<br>2<br>ALBO<br><br>zastosuje<br>wzór<br>na<br>cosinus<br>podwojonego<br>argumentu<br>i<br>zapisze<br>równanie<br>cos 2𝑥=<br>√2<br>2 (cos 𝑥-sin 𝑥) w postaci<br>(cos 𝑥-sin 𝑥)(cos 𝑥+ sin 𝑥) = √2<br>2 (cos 𝑥-sin 𝑥)<br>ALBO<br><br>zapisze równanie cos 2𝑥=<br>√2<br>2 (cos 𝑥-sin 𝑥) w postaci<br>cos 2𝑥= cos 𝑥⋅cos 𝜋<br>4 -sin 𝑥⋅sin 𝜋<br>4 lub cos 2𝑥= cos 𝑥⋅sin 𝜋<br>4 -sin 𝑥⋅cos 𝜋<br>4<br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy:<br><br>zapisze alternatywę równań cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub cos 𝑥+ sin 𝑥=<br>√2<br>2 i spełni jeden<br>z poniższych warunków:</p>\n<ol><li>rozwiąże równanie cos 𝑥-sin 𝑥= 0: 𝑥= 𝜋</li></ol>\n<p>4 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą,<br>lub 𝑥= 𝜋<br>4,</p>\n<ol><li>przekształci równanie cos 𝑥+ sin 𝑥=</li></ol>\n<p>√2<br>2 do postaci cos (𝜋<br>4 -𝑥) = 1<br>2 ,</p>\n<ol><li>skorzysta z „jedynki trygonometrycznej”, zapisze układ równań { cos 𝑥+ sin 𝑥=</li></ol>\n<p>√2<br>2<br>sin2 𝑥+ cos2 𝑥= 1<br>i przekształci go do równania, w którym występuje jedna funkcja trygonometryczna<br>zmiennej 𝑥:<br>(<br>√2<br>2 -cos 𝑥)<br>2</p>\n<ul><li>cos2 𝑥= 1 lub sin2 𝑥+ (</li></ul>\n<p>√2<br>2 -sin𝑥)<br>2<br>= 1<br>lub 2 cos2 𝑥-√2 cos 𝑥-1<br>2 = 0 lub 2 sin2 𝑥-√2 sin 𝑥-1<br>2 = 0<br>ALBO<br><br>przekształci równanie cos 2𝑥=<br>√2<br>2 (cos 𝑥-sin 𝑥) do postaci cos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋<br>4)<br>Zdający otrzymuje 3 p.<br>gdy:<br><br>rozwiąże równanie cos 𝑥-sin 𝑥= 0: 𝑥= 𝜋<br>4 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą, lub<br>𝑥= 𝜋<br>4 oraz spełni jeden z poniższych warunków:</p>\n<ol><li>przekształci równanie cos 𝑥+ sin 𝑥=</li></ol>\n<p>√2<br>2 do postaci cos (𝜋<br>4 -𝑥) = 1<br>2</p>\n<ol><li>skorzysta z „jedynki trygonometrycznej”, zapisze układ równań { cos 𝑥+ sin 𝑥=</li></ol>\n<p>√2<br>2<br>sin2 𝑥+ cos2 𝑥= 1<br>i przekształci go do równania, w którym występuje jedna funkcja trygonometryczna<br>zmiennej 𝑥:<br>(<br>√2<br>2 -cos 𝑥)<br>2</p>\n<ul><li>cos2 𝑥= 1 lub sin2 𝑥+ (</li></ul>\n<p>√2<br>2 -sin𝑥)<br>2<br>= 1<br>lub 2 cos2 𝑥-√2 cos 𝑥-1<br>2 = 0 lub 2 sin2 𝑥-√2 sin 𝑥-1<br>2 = 0<br>ALBO<br><br>zapisze alternatywę równań cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub cos 𝑥+ sin 𝑥=<br>√2<br>2 oraz zapisze<br>poprawnie<br>jedną<br>serię<br>rozwiązań<br>równania<br>cos 𝑥+ sin 𝑥=<br>√2<br>2 :<br>𝜋<br>4 -𝑥= 𝜋<br>3 + 2𝑘𝜋 lub 𝜋<br>4 -𝑥= -𝜋<br>3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą<br>ALBO<br><br>zapisze poprawnie jedną serię rozwiązań równania cos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋<br>4):<br>2𝑥= 𝑥+ 𝜋<br>4 + 2𝑘𝜋 lub 2𝑥= -(𝑥+ 𝜋</p>\n<ol><li>+ 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą (bez</li></ol>\n<p>wyznaczenia rozwiązań z danego przedziału), albo zapisze poprawnie jedno<br>rozwiązanie w przedziale 〈0, 𝜋〉: 𝜋<br>4 lub 7𝜋<br>12 .<br>ALBO<br><br>zastosuje wzór na różnicę cosinusów i przekształci równanie cos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋<br>4)<br>do postaci:<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>-2 sin (<br>2𝑥+ 𝑥+ 𝜋<br>4<br>2<br>) ⋅sin (<br>2𝑥-𝑥-𝜋<br>4<br>2<br>) = 0<br>Zdający otrzymuje 4 p.<br>gdy:<br><br>rozwiąże równanie cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉: 𝜋<br>4 i spełni jeden<br>z poniższych warunków:</p>\n<ol><li>rozwiąże równanie cos (𝜋</li></ol>\n<p>4 -𝑥) = 1<br>2 i poda dwie serie rozwiązań:<br>𝜋<br>4 -𝑥= 𝜋<br>3 + 2𝑘𝜋 oraz 𝜋<br>4 -𝑥= -𝜋<br>3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą (bez<br>wyznaczenia rozwiązań z danego przedziału)</p>\n<ol><li>przekształci równanie 2 sin2 𝑥-√2 sin 𝑥-1</li></ol>\n<p>2 = 0 do alternatywy:<br>sin 𝑥=<br>√2+√6<br>4<br>lub sin 𝑥=<br>√2-√6<br>4<br>ALBO<br>przekształci równanie 2 cos2 𝑥-√2 cos 𝑥-1<br>2 = 0 do alternatywy:<br>cos 𝑥=<br>√2+√6<br>4<br>lub cos 𝑥=<br>√2-√6<br>4<br>ALBO<br><br>zapisze poprawnie dwie serie rozwiązań równania cos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋<br>4):<br>2𝑥= 𝑥+ 𝜋<br>4 + 2𝑘𝜋 oraz 2𝑥= -(𝑥+ 𝜋</p>\n<ol><li>+ 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą (bez</li></ol>\n<p>wyznaczenia rozwiązań z danego przedziału)<br>ALBO<br><br>rozwiąże równanie sin (3<br>2 𝑥+ 𝜋</p>\n<ol><li>= 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉: 7𝜋</li></ol>\n<p>12<br>ALBO<br><br>rozwiąże równanie sin (1<br>2 𝑥-𝜋</p>\n<ol><li>= 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉: 𝜋</li></ol>\n<p>4<br>ALBO<br><br>zapisze poprawnie dwie serie rozwiązań równań sin (3<br>2 𝑥+ 𝜋</p>\n<ol><li>= 0 i sin (1</li></ol>\n<p>2 𝑥-𝜋</p>\n<ol><li>= 0:</li></ol>\n<p>𝑥= -𝜋<br>12 + 2<br>3 𝑘𝜋 oraz 𝑥= 𝜋<br>4 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą<br>Zdający otrzymuje 5 p.<br>gdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania równania cos 2𝑥=<br>√2<br>2 (cos 𝑥-sin 𝑥) i poda<br>prawidłowe rozwiązania w przedziale 〈0, 𝜋〉: 𝜋<br>4 , 7𝜋<br>12 .<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeśli zdający zapisze równanie</li></ol>\n<p>(cos 𝑥-sin 𝑥)(cos 𝑥+ sin 𝑥) = √2<br>2 (cos 𝑥-sin 𝑥)<br>i podzieli obie strony równania przez cos 𝑥-sin 𝑥 (bez rozstrzygania sytuacji, gdy<br>cos 𝑥= sin 𝑥), otrzyma równanie cos 𝑥+ sin 𝑥=<br>√2<br>2 i doprowadzi rozwiązanie do końca,<br>to traktujemy to jako błąd merytoryczny, nie przekreślający całości rozwiązania i zdający<br>może otrzymać co najwyżej 3 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli jedynym błędem zdającego jest błąd przy przepisywaniu wzoru trygonometrycznego,</li></ol>\n<p>np. zapisuje sinus sumy argumentów zamiast sinusa ich różnicy, i konsekwentnie<br>doprowadzi rozwiązanie do końca, to zdający może otrzymać 3 punkty za całe rozwiązanie.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający, rozwiązując jedno z otrzymanych równań, stosuje metodę analizy</li></ol>\n<p>starożytnych, np. podnosi obie strony równania cos 𝑥+ sin 𝑥=<br>√2<br>2 do kwadratu i nie<br>odrzuci rozwiązań obcych, to za całe rozwiązanie może otrzymać co najwyżej 3 punkty.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Ponieważ<br>√2<br>2 (cos 𝑥-sin 𝑥) = cos 𝑥⋅√2<br>2 -sin 𝑥⋅√2<br>2 = cos 𝑥⋅cos 𝜋<br>4 -sin 𝑥⋅sin 𝜋<br>4 = cos (𝑥+ 𝜋<br>4),<br>więc równanie cos 2𝑥=<br>√2<br>2 (cos 𝑥-sin 𝑥) można zapisać w postaci równoważnej<br>cos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋<br>4)<br>Jego rozwiązaniami są liczby 𝑥 spełniające warunek<br>2𝑥= 𝑥+ 𝜋<br>4 + 2𝑘𝜋 lub 2𝑥= -(𝑥+ 𝜋</p>\n<ol><li>+ 2𝑘𝜋</li></ol>\n<p>gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.<br>Stąd 𝑥= 𝜋<br>4 + 2𝑘𝜋 lub 3𝑥= -𝜋<br>4 + 2𝑘𝜋, czyli 𝑥= 𝜋<br>4 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥= -𝜋<br>12 + 2<br>3 𝑘𝜋.<br>Zatem rozwiązaniami równania cos 2𝑥=<br>√2<br>2 (cos 𝑥-sin 𝑥) w przedziale 〈0, 𝜋〉 są liczby:<br>𝜋<br>4 oraz 7𝜋<br>12 .<br>Sposób 2.<br>Po skorzystaniu ze wzoru na cosinus podwojonego argumentu otrzymujemy równanie<br>(cos 𝑥-sin 𝑥)(cos 𝑥+ sin 𝑥) = √2<br>2 (cos 𝑥-sin 𝑥)<br>Jest ono równoważne alternatywie dwóch równań:<br>cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub cos 𝑥+ sin 𝑥= √2<br>2<br>Równanie cos 𝑥-sin 𝑥= 0 można rozwiązać graficznie albo algebraicznie, zapisując je<br>z wykorzystaniem wzoru redukcyjnego np. w postaci cos 𝑥= cos (𝜋<br>2 -𝑥) . Rozwiązaniami<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>ostatniego równania są liczby spełniające warunek 𝑥= 𝜋<br>2 -𝑥+ 2𝑘𝜋 lub 𝑥= -(𝜋<br>2 -𝑥) + 2𝑘𝜋,<br>gdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą. Stąd 𝑥= 𝜋<br>4 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest dowolną liczbą<br>całkowitą, więc rozwiązaniem równania cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉 jest liczba 𝜋<br>4.<br>Równanie cos 𝑥+ sin 𝑥=<br>√2<br>2 rozwiązujemy, stosując wzory redukcyjne oraz wzór na sumę<br>sinusów. Otrzymujemy kolejno:<br>sin (𝜋<br>2 -𝑥) + sin 𝑥= √2<br>2<br>2 sin (<br>𝜋<br>2 -𝑥+ 𝑥<br>2<br>) ⋅cos (<br>𝜋<br>2 -𝑥-𝑥<br>2<br>) = √2<br>2<br>2 sin (𝜋</p>\n<ol><li>⋅cos (𝜋</li></ol>\n<p>4 -𝑥) = √2<br>2<br>cos (𝜋<br>4 -𝑥) = 1<br>2<br>Rozwiązaniami otrzymanego równania są liczby spełniające warunek<br>𝜋<br>4 -𝑥= 𝜋<br>3 + 2𝑘𝜋 lub 𝜋<br>4 -𝑥= -𝜋<br>3 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą.<br>Stąd 𝑥= -𝜋<br>12 + 2𝑘𝜋 lub 𝑥= 7𝜋<br>12 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą.<br>Zatem rozwiązaniem równania cos (𝜋<br>4 -𝑥) = 1<br>2 w przedziale 〈0, 𝜋〉 jest liczba 7𝜋<br>12.<br>Ostatecznie, rozwiązaniami równania cos 2𝑥=<br>√2<br>2 (cos 𝑥-sin 𝑥) w przedziale 〈0, 𝜋〉 są<br>liczby 𝜋<br>4 oraz 7𝜋<br>12.<br>Sposób 3. Po skorzystaniu ze wzoru na cosinus podwojonego argumentu otrzymujemy<br>równanie<br>(cos 𝑥-sin 𝑥)(cos 𝑥+ sin 𝑥) = √2<br>2 (cos 𝑥-sin 𝑥)<br>Jest ono równoważne alternatywie dwóch równań:<br>cos 𝑥-sin 𝑥= 0 lub cos 𝑥+ sin 𝑥= √2<br>2<br>Równanie cos 𝑥-sin 𝑥= 0 można rozwiązać graficznie albo algebraicznie, zapisując je<br>z wykorzystaniem wzoru redukcyjnego np. w postaci cos 𝑥= cos (𝜋<br>2 -𝑥) . Rozwiązaniami<br>ostatniego równania są liczby spełniające warunek 𝑥= 𝜋<br>2 -𝑥+ 2𝑘𝜋 lub 𝑥= -(𝜋<br>2 -𝑥) + 2𝑘𝜋,<br>gdzie 𝑘 jest dowolną liczbą całkowitą. Stąd 𝑥= 𝜋<br>4 + 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest dowolną liczbą<br>całkowitą, więc rozwiązaniem równania cos 𝑥-sin 𝑥= 0 w przedziale 〈0, 𝜋〉 jest liczba 𝜋<br>4.<br>Równanie cos 𝑥+ sin 𝑥=<br>√2<br>2 rozwiązujemy, stosując wzór cos2 𝑥+ sin2𝑥= 1.<br>Zapisujemy układ równań<br>{cos 𝑥+ sin 𝑥= √2<br>2<br>cos2 𝑥+ sin2𝑥= 1<br>Stąd otrzymujemy kolejno<br>(√2<br>2 -sin 𝑥)<br>2</p>\n<ul><li>sin2𝑥-1 = 0</li></ul>\n<p>2sin2𝑥-√2 sin 𝑥-1<br>2 = 0<br>Podstawiamy sin 𝑥= 𝑡 i wtedy 2𝑡2 -√2𝑡-1<br>2 = 0.<br>Rozwiązaniami tego równania są 𝑡=<br>√2+√6<br>4<br>lub 𝑡=<br>√2-√6<br>4<br>Ponieważ<br>√2 + √6<br>4<br>= √2<br>2 ⋅1<br>2 + √2<br>2 ⋅√3<br>2 = sin 45° ⋅cos 60° + cos 45° ⋅sin 60° = sin 105°<br>i sin 105° + cos 105° =<br>√2<br>2 , więc 𝑥= 105° = 7𝜋<br>12 jest rozwiązaniem równania<br>cos 𝑥+ sin 𝑥=<br>√2<br>2 w przedziale ⟨0, 𝜋⟩.<br>Ponieważ<br>√2-√6<br>4<br>&lt; 0, więc równanie sin 𝑥=<br>√2-√6<br>4<br>nie ma rozwiązań w przedziale ⟨0, 𝜋⟩.<br>Ostatecznie, rozwiązaniami równania cos 2𝑥=<br>√2<br>2 (cos 𝑥-sin 𝑥) w przedziale 〈0, 𝜋〉 są<br>liczby 𝜋<br>4 oraz 7𝜋<br>12.<br>Sposób 4.<br>Przekształcamy równanie jak w sposobie 1. do postaci cos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋<br>4), skąd<br>cos 2𝑥-cos (𝑥+ 𝜋</p>\n<ol><li>= 0</li></ol>\n<p>Stosujemy wzór na różnicę cosinusów i otrzymujemy:<br>-2 sin (<br>2𝑥+ 𝑥+ 𝜋<br>4<br>2<br>) ⋅sin (<br>2𝑥-𝑥-𝜋<br>4<br>2<br>) = 0<br>Stąd<br>sin (3<br>2 𝑥+ 𝜋</p>\n<ol><li>= 0 lub sin (1</li></ol>\n<p>2 𝑥-𝜋</p>\n<ol><li>= 0</li></ol>\n<p>więc 3<br>2 𝑥+ 𝜋<br>8 = 𝑘𝜋 lub 1<br>2 𝑥-𝜋<br>8 = 𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą, czyli 𝑥= -𝜋<br>12 + 2<br>3 𝑘𝜋<br>lub 𝑥= 𝜋<br>4 + 2𝑘𝜋, gdzie 𝑘 jest liczbą całkowitą.<br>Rozwiązaniami równania cos 2𝑥= cos (𝑥+ 𝜋</p>\n<ol><li>w przedziale 〈0, 𝜋〉 są liczby 7𝜋</li></ol>\n<p>12 oraz 𝜋<br>4 .<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(x = \\dfrac{\\pi}{4}\\) lub \\(x = \\dfrac{7\\pi}{12}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Faktoryzacja przez różnicę kwadratów</h4>\n<p><strong>Kluczowa obserwacja:</strong> lewa strona to różnica kwadratów.</p>\n<p>\\[\\cos 2x = \\cos^2 x - \\sin^2 x = (\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x)\\]</p>\n<p>Podstawiamy do równania:</p>\n<p>\\[(\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos x - \\sin x)\\]</p>\n<p>Przenosimy wszystko na lewą stronę:</p>\n<p>\\[(\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x) - \\frac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos x - \\sin x) = 0\\]</p>\n<p><strong>Wyłączamy $(\\cos x - \\sin x)$ przed nawias:</strong></p>\n<p>\\[(\\cos x - \\sin x)\\left(\\cos x + \\sin x - \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\right) = 0\\]</p>\n<p>Iloczyn równy zero, więc rozpatrujemy dwa przypadki.</p>\n<p><strong>Przypadek 1:</strong> \\(\\cos x - \\sin x = 0\\)</p>\n<p>\\[\\cos x = \\sin x \\implies \\operatorname{tg} x = 1 \\implies x = \\frac{\\pi}{4} + k\\pi, \\quad k \\in \\mathbb{Z}\\]</p>\n<p>W przedziale \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\): \\(\\boxed{x = \\frac{\\pi}{4}}\\) ✓ (kolejne: \\(\\frac{5\\pi}{4} &gt; \\pi\\) - odpada)</p>\n<p><strong>Przypadek 2:</strong> \\(\\cos x + \\sin x = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)</p>\n<p>Korzystamy ze wzoru pomocniczego: \\(\\cos x + \\sin x = \\sqrt{2}\\cos\\!\\left(x - \\frac{\\pi}{4}\\right)\\)</p>\n<p>\\[\\sqrt{2}\\cos\\!\\left(x - \\frac{\\pi}{4}\\right) = \\frac{\\sqrt{2}}{2}\\]</p>\n<p>\\[\\cos\\!\\left(x - \\frac{\\pi}{4}\\right) = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>\\[x - \\frac{\\pi}{4} = \\pm\\frac{\\pi}{3} + 2k\\pi\\]</p>\n<ul><li>Plus: \\(x = \\frac{\\pi}{4} + \\frac{\\pi}{3} = \\frac{3\\pi + 4\\pi}{12} = \\boxed{\\frac{7\\pi}{12}}\\) ✓</li><li>Minus: \\(x = \\frac{\\pi}{4} - \\frac{\\pi}{3} = \\frac{3\\pi - 4\\pi}{12} = -\\frac{\\pi}{12}\\) - poza przedziałem, odpada</li></ul>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> \\(x = \\dfrac{\\pi}{4}\\) lub \\(x = \\dfrac{7\\pi}{12}\\)</p>\n<h4>Sposób 2 - Sprowadzenie do równania \\(\\cos A = \\cos B\\)</h4>\n<p>Używamy wzoru pomocniczego na $\\cos x - \\sin x$:</p>\n<p>\\[\\cos x - \\sin x = \\sqrt{2}\\cos\\!\\left(x + \\frac{\\pi}{4}\\right)\\]</p>\n<p>Podstawiamy do prawej strony:</p>\n<p>\\[\\frac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos x - \\sin x) = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\sqrt{2}\\cos\\!\\left(x + \\frac{\\pi}{4}\\right) = \\cos\\!\\left(x + \\frac{\\pi}{4}\\right)\\]</p>\n<p>Równanie przyjmuje elegancką postać:</p>\n<p>\\[\\cos 2x = \\cos\\!\\left(x + \\frac{\\pi}{4}\\right)\\]</p>\n<p>Z zasady \\(\\cos A = \\cos B \\iff A = \\pm B + 2k\\pi\\):</p>\n<p><strong>Przypadek 1:</strong> \\(2x = x + \\dfrac{\\pi}{4} + 2k\\pi\\)</p>\n<p>\\[x = \\frac{\\pi}{4} + 2k\\pi\\]</p>\n<p>W \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\): \\(\\boxed{x = \\frac{\\pi}{4}}\\) ✓</p>\n<p><strong>Przypadek 2:</strong> \\(2x = -\\!\\left(x + \\dfrac{\\pi}{4}\\right) + 2k\\pi\\)</p>\n<p>\\[2x = -x - \\frac{\\pi}{4} + 2k\\pi \\implies 3x = -\\frac{\\pi}{4} + 2k\\pi \\implies x = -\\frac{\\pi}{12} + \\frac{2k\\pi}{3}\\]</p>\n<ul><li>\\(k = 0\\): \\(x = -\\frac{\\pi}{12}\\) - poza przedziałem</li><li>\\(k = 1\\): \\(x = -\\frac{\\pi}{12} + \\frac{2\\pi}{3} = \\frac{-\\pi + 8\\pi}{12} = \\boxed{\\frac{7\\pi}{12}}\\) ✓</li><li>\\(k = 2\\): \\(x = -\\frac{\\pi}{12} + \\frac{4\\pi}{3} = \\frac{15\\pi}{12} &gt; \\pi\\) - odpada</li></ul>\n<p><strong>Odpowiedź:</strong> \\(x = \\dfrac{\\pi}{4}\\) lub \\(x = \\dfrac{7\\pi}{12}\\)</p>\n<p><strong>Weryfikacja \\(x = \\frac{7\\pi}{12}\\):</strong></p>\n<p>\\(\\cos\\!\\frac{7\\pi}{6} = \\cos 210° = -\\frac{\\sqrt{3}}{2}\\)</p>\n<p>\\(\\cos\\!\\frac{7\\pi}{12} = \\cos 105° = \\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}{4}\\), \\quad \\(\\sin\\!\\frac{7\\pi}{12} = \\sin 105° = \\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}\\)</p>\n<p>\\[\\frac{\\sqrt{2}}{2}\\!\\left(\\frac{\\sqrt{2}-\\sqrt{6}}{4} - \\frac{\\sqrt{6}+\\sqrt{2}}{4}\\right) = \\frac{\\sqrt{2}}{2} \\cdot \\frac{-2\\sqrt{6}}{4} = \\frac{-\\sqrt{12}}{4} = -\\frac{\\sqrt{3}}{2} \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)</strong></p>\n<p>Wzór na cosinus podwojonego kąta (różnica kwadratów):<br>\\[\\cos 2x = \\cos^2 x - \\sin^2 x = (\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x)\\]<br>Użyty w Sposobie 1 do faktoryzacji lewej strony.</p>\n<p>Wzór pomocniczy (wynika z funkcji sumy kątów):<br>\\[\\cos x - \\sin x = \\sqrt{2}\\cos\\!\\left(x + \\frac{\\pi}{4}\\right)\\]<br>\\[\\cos x + \\sin x = \\sqrt{2}\\cos\\!\\left(x - \\frac{\\pi}{4}\\right)\\]<br>Oba użyte - w Sposobie 1 (przypadek 2) i w Sposobie 2.</p>\n<p>Wartości: \\(\\cos\\frac{\\pi}{3} = \\frac{1}{2}\\) (tablica, s. 12) - do rozwiązania \\(\\cos\\left(x - \\frac{\\pi}{4}\\right) = \\frac{1}{2}\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nigdy nie dziel obu stron przez \\((\\cos x - \\sin x)\\)! Jeśli to zrobisz, gubisz rozwiązanie \\(x = \\frac{\\pi}{4}\\) (bo wtedy \\(\\cos x - \\sin x = 0\\)). Zawsze przenoś na jedną stronę i <strong>wyłączaj przed nawias</strong>.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W przypadku \\(\\cos A = \\cos B\\) pamiętaj o <strong>obu</strong> przypadkach: \\(A = B + 2k\\pi\\) oraz \\(A = -B + 2k\\pi\\). Pominięcie drugiego przypadku oznacza utratę rozwiązania \\(x = \\frac{7\\pi}{12}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdzaj przynależność do przedziału! Podstawienie do oryginalnego równania na koniec jest zawsze dobrą praktyką - szczególnie gdy pojawia się podejrzanie &quot;brzydka&quot; wartość jak \\(-\\frac{\\pi}{12}\\).</blockquote>\n<h5>Sposob 1 (wzor na cosinus roznicy + redukcja)</h5>\n<p>Zauwazamy (karta wzorow, trygonometria): \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos x - \\sin x) = \\cos x \\cos\\tfrac{\\pi}{4} - \\sin x \\sin\\tfrac{\\pi}{4} = \\cos\\left(x + \\tfrac{\\pi}{4}\\right)\\).</p>\n<p>Rownanie: \\(\\cos 2x = \\cos\\left(x + \\tfrac{\\pi}{4}\\right)\\).</p>\n<p>Rozwiazania: \\(2x = x + \\tfrac{\\pi}{4} + 2k\\pi\\) lub \\(2x = -(x + \\tfrac{\\pi}{4}) + 2k\\pi\\).</p>\n<p>Pierwsze: \\(x = \\tfrac{\\pi}{4} + 2k\\pi\\). W \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\): \\(x = \\tfrac{\\pi}{4}\\).</p>\n<p>Drugie: \\(3x = -\\tfrac{\\pi}{4} + 2k\\pi \\Rightarrow x = -\\tfrac{\\pi}{12} + \\tfrac{2k\\pi}{3}\\). Dla \\(k=1\\): \\(x = -\\tfrac{\\pi}{12} + \\tfrac{2\\pi}{3} = \\tfrac{-\\pi + 8\\pi}{12} = \\tfrac{7\\pi}{12}\\). W \\(\\langle 0, \\pi \\rangle\\) - OK.</p>\n<p>Rozwiazania: \\(x = \\dfrac{\\pi}{4}\\) oraz \\(x = \\dfrac{7\\pi}{12}\\).</p>\n<h5>Sposob 2 (wzor na cosinus podwojonego argumentu + rozklad)</h5>\n<p>\\(\\cos 2x = \\cos^{2}x - \\sin^{2}x = (\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x)\\).</p>\n<p>Rownanie: \\((\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x) = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos x - \\sin x)\\).</p>\n<p>\\((\\cos x - \\sin x)\\left[(\\cos x + \\sin x) - \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\right] = 0\\).</p>\n<p><strong>Alternatywa 1</strong>: \\(\\cos x = \\sin x \\Rightarrow \\tan x = 1 \\Rightarrow x = \\tfrac{\\pi}{4} + k\\pi\\). W \\(\\langle 0, \\pi\\rangle\\): \\(x = \\tfrac{\\pi}{4}\\).</p>\n<p><strong>Alternatywa 2</strong>: \\(\\cos x + \\sin x = \\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\). Sprowadzamy do postaci \\(\\sqrt{2}\\sin(x + \\tfrac{\\pi}{4}) = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\), czyli \\(\\sin(x + \\tfrac{\\pi}{4}) = \\tfrac{1}{2}\\).</p>\n<p>\\(x + \\tfrac{\\pi}{4} = \\tfrac{\\pi}{6} + 2k\\pi\\) (daje x ujemne poza \\(\\langle 0, \\pi\\rangle\\)) lub \\(x + \\tfrac{\\pi}{4} = \\tfrac{5\\pi}{6} + 2k\\pi \\Rightarrow x = \\tfrac{7\\pi}{12}\\). W \\(\\langle 0, \\pi\\rangle\\) OK.</p>\n<p>Sprawdzenie: \\(\\cos\\tfrac{7\\pi}{6} = -\\tfrac{\\sqrt{3}}{2}\\), \\(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos\\tfrac{7\\pi}{12} - \\sin\\tfrac{7\\pi}{12})\\) pasuje.</p>\n<p>Rozwiazania: \\(x = \\dfrac{\\pi}{4}, x = \\dfrac{7\\pi}{12}\\).</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<ul><li>1 pkt: rozklad lewej strony \\(\\cos 2x = (\\cos x - \\sin x)(\\cos x + \\sin x)\\) lub zapisanie rownania w postaci \\(\\cos 2x = \\cos(x + \\tfrac{\\pi}{4})\\).</li><li>2 pkt: alternatywa \\(\\cos x - \\sin x = 0\\) lub \\(\\cos x + \\sin x = \\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\) + spelnienie jednego z warunkow dalszych.</li><li>3 pkt: rozwiaze rownanie \\(\\cos x - \\sin x = 0\\) w przedziale.</li><li>4 pkt: dwie serie rozwiazan z cos(x+π/4) = 1/2.</li><li>5 pkt: \\(x = \\tfrac{\\pi}{4}, \\tfrac{7\\pi}{12}\\).</li></ul>\n<p>Uwaga CKE: dzielenie obu stron przez \\((\\cos x - \\sin x)\\) bez rozstrzygania = max 3 pkt.</p>\n<p><strong>Trik:</strong> Rozpoznaj \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}(\\cos x - \\sin x) = \\cos(x + \\tfrac{\\pi}{4})\\) - dyskretny wzor na cosinus sumy.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$\\dfrac{\\pi}{4}$, $\\dfrac{7\\pi}{12}$</p>"}]}