{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/15","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"15","points":7,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 15. (0-7)\nPewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika\n(całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 mଷ. Dno zbiornika ma być kwadratem.\nŻaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów.\nCałkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:\n- 100 zł za 1 mଶ dna\n- 75 zł za 1 mଶ ściany bocznej.\nOblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.\n\nEMAP-R0_100\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n15.\nMaks. liczba pkt\n7\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\nRozwiązanie zadania. Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m^3 . Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób: - 100 zl za 1 m^2 dna - 75 zl za 1 m^2 ściany bocznej. Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 15. (0-7)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nR11.6) stosuje pochodne do rozwiązywania\nzagadnień optymalizacyjnych.\nZasady oceniania\nRozwiązanie zadania optymalizacyjnego składa się z trzech etapów:\n- zbudowanie modelu opisującego sytuację podaną w zadaniu\n- zbadanie modelu i jego własności\n- przeprowadzenie końcowych obliczeń.\nPierwszy etap składa się z trzech kroków.\nKrok pierwszy: przyjęcie jednego z wymiarów zbiornika (𝑥 - długość krawędzi podstawy\nzbiornika, ℎ - wysokość zbiornika) za zmienną badanej funkcji i obliczenie drugiego wymiaru\nzbiornika:\nℎ= 144\n𝑥2\nlub\n𝑥= √144\nℎ\nKrok drugi: zapisanie funkcji kosztu wykonania 𝑓 zbiornika za pomocą jednej zmiennej:\n𝑓(𝑥) = 100𝑥2 + 4𝑥⋅144\n𝑥2 ⋅75\nlub\n𝑓(ℎ) = 100 ⋅144\nℎ+ 4 ⋅√144\nℎ⋅ℎ⋅75\nKrok trzeci: ustalenie dziedziny funkcji 𝑓: 𝐷𝑥= [4,9] lub 𝐷ℎ= [16\n9 , 9].\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nDrugi etap składa się z trzech kroków.\nKrok pierwszy: wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = 200𝑥-43200\n𝑥2\n= 200 (𝑥-216\n𝑥2 )\nlub\n𝑓′(ℎ) = -14400\nℎ2\n+ 1800\n√ℎ\nKrok drugi: zastosowanie warunku koniecznego istnienia ekstremum funkcji 𝑓 - obliczenie\nmiejsc zerowych pochodnej: 𝑥= 6 (lub ℎ= 4)\nKrok trzeci: zbadanie znaku pochodnej funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(6, 9),\n𝑓′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(4, 6)\nlub\n𝑓′(ℎ) > 0 dla ℎ∈(4, 9),\n𝑓′(ℎ) < 0 dla ℎ∈(16\n9 , 4)\noraz wyznaczenie (z uzasadnieniem) wartości zmiennej 𝑥 (lub zmiennej ℎ), dla której\nfunkcja 𝑓 przyjmuje wartość najmniejszą, np.:\nfunkcja 𝑓 zmiennej 𝑥 (określona na przedziale [4, 9]) jest malejąca w przedziale [4, 6]\noraz rosnąca w przedziale [6, 9], więc w punkcie 𝑥= 6 funkcja 𝑓 osiąga najmniejszą\nwartość.\nLUB\nfunkcja 𝑓 zmiennej ℎ (określona na przedziale [16\n9 , 9])jest malejąca w przedziale [16\n9 , 4]\noraz rosnąca w przedziale [4, 9], więc w punkcie ℎ= 4 funkcja 𝑓 osiąga najmniejszą\nwartość.\nZa poprawne wykonanie każdego z tych kroków zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednie\nkroki też były wykonane poprawnie.\nEtap trzeci polega na obliczeniu wymiarów zbiornika, przy których koszt wykonania zbiornika\njest najmniejszy:\n𝑥= 6, ℎ= 4.\nZa poprawne wykonanie trzeciego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.\nUwagi:\n1. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji,\nktóra w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak.\n2. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą\ndla wyznaczonej wartości 𝑥 (czy też ℎ), przy której pochodna się zeruje, można uznać\nsytuacje, gdy zdający:\na) opisuje słownie lub graficznie (np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑓;\nLUB\nb) zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 (czy też ℎ) funkcja 𝑓 ma minimum lokalne\ni jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość.\nJeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za II etap może otrzymać co\nnajwyżej 2 punkty.\n3. Jeżeli zdający wyznacza metodą prób i błędów wymiary zbiornika, przy których koszt\nwykonania zbiornika będzie najmniejszy, to otrzymuje 0 punktów za II i III etap\n4. Jeżeli zdający rozpatruje funkcję kosztów postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏\n𝑥 (gdzie 𝑎> 0, 𝑏> 0),\nnie uwzględniając wszystkich ścian bocznych lub uwzględniając dwie podstawy, to może\notrzymać co najwyżej 5 punktów za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktów za drugi krok\npierwszego etapu oraz za trzeci etap).\n5. Jeżeli zdający rozpatruje funkcję pola zamiast funkcji kosztów, to może otrzymać co\nnajwyżej 5 punktów za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktów za drugi krok pierwszego\netapu oraz za trzeci etap). Jeżeli zdający rozpatruje funkcję pola postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏\n𝑥\n(gdzie 𝑎> 0, 𝑏> 0), nie uwzględniając wszystkich ścian bocznych lub uwzględniając dwie\npodstawy, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje\npunktów za drugi krok pierwszego etapu, trzeci krok drugiego etapu oraz za trzeci etap).\n6. Jeżeli zdający uzasadnia istnienie najmniejszej wartości funkcji kosztów w zbiorze 𝑅\\{0} ,\nto nie otrzymuje punktu za trzeci krok drugiego etapu.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzyjmujemy następujące oznaczenia:\n𝑥- długość krawędzi podstawy zbiornika (w metrach),\nℎ - wysokość zbiornika (w metrach).\nPojemność zbiornika ma wynosić 144 m3, więc 144 = 𝑥2 ⋅ℎ. Stąd ℎ= 144\n𝑥2 .\nKoszt 𝑓 wykonania zbiornika jest równy 𝑓= 100𝑥2 + 75 ⋅4𝑥ℎ, więc\n𝑓(𝑥) = 100𝑥2 + 4𝑥⋅144\n𝑥2 ⋅75,\ngdzie 𝑥∈[4, 9].\nObliczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(𝑥) = 200𝑥-43200\n𝑥2\nMiejscem zerowym pochodnej funkcji 𝑓 jest 𝑥= 6.\nBadamy monotoniczność funkcji 𝑓:\nZasady oceniania rozwiązań zadań\n𝑓′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(6, 9),\n𝑓′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(4, 6).\nZatem\nfunkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale 𝑥∈[4, 6],\nfunkcja 𝑓 jest rosnąca w przedziale 𝑥∈[6, 9].\nStąd funkcja 𝑓 przyjmuje najmniejszą wartość dla argumentu 6. Wtedy ℎ= 4.\nWymiary zbiornika dla którego koszt wykonania jest najmniejszy: 6 m x 6 m x 4 m.\nSposób 2.\nPrzyjmujemy następujące oznaczenia:\n𝑥 - długość krawędzi podstawy zbiornika (w metrach),\nℎ - wysokość zbiornika (w metrach).\nPojemność zbiornika ma wynosić 144 m3, więc 144 = 𝑥2 ⋅ℎ. Stąd 𝑥= √144\nℎ.\nKoszt 𝑓 wykonania zbiornika jest równy 𝑓= 100𝑥2 + 75 ⋅4𝑥ℎ, więc\n𝑓(ℎ) = 100 ∙144\nℎ+ 4ℎ⋅√144\nℎ⋅75,\ngdzie ℎ∈[16\n9 , 9].\nObliczamy pochodną funkcji 𝑓:\n𝑓′(ℎ) = -14400\nℎ2\n+ 3600\n2√ℎ\n= -14400\nℎ2\n+ 1800\n√ℎ\nMiejscem zerowym pochodnej funkcji 𝑓 jest ℎ= 4.\nBadamy monotoniczność funkcji 𝑓:\n𝑓′(ℎ) > 0 dla ℎ∈(4, 9),\n𝑓′(ℎ) < 0 dla ℎ∈(16\n9 , 4).\nZatem\nfunkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale ℎ∈[16\n9 , 4],\nfunkcja 𝑓 jest rosnąca w przedziale ℎ∈[4, 9].\nStąd funkcja 𝑓 przyjmuje najmniejszą wartość dla argumentu ℎ= 4. Wtedy 𝑥= 6.\nWymiary zbiornika, dla których koszt wykonania jest najmniejszy: 6 m x 6 m x 4 m.\nUwaga:\nZdający może rozwiązywać zadanie sposobem - za pomocą nierówności między średnią\narytmetyczną i geometryczną, np.:\n𝑓(𝑥) = 100𝑥2 + 4𝑥⋅144\n𝑥2 ⋅75 = 100𝑥2 + 43200\n𝑥\n𝑓(𝑥) = 100 (𝑥2 + 432\n𝑥) = 100 (𝑥2 + 216\n𝑥\n+ 216\n𝑥)\n𝑥2 +\n216\n𝑥+\n216\n𝑥\n3\n≥√𝑥2 ⋅216\n𝑥⋅216\n𝑥\n3\n= √63 ⋅63\n3\n= 36\nStąd 𝑓(𝑥) ≥100 ⋅3 ⋅36 i funkcja 𝑓(𝑥) osiąga wartość najmniejszą, gdy 𝑥2 = 216\n𝑥, tj. dla\n𝑥= 6. Wtedy ℎ= 4.","solution":"## Poprawna odpowiedź: 6 m × 6 m × 4 m (koszt minimalny: 10 800 zł)\n\n## Sposób 1 - Pochodna funkcji kosztu\n\n**Oznaczenia:** niech \\(a\\) = bok kwadratowego dna [m], \\(h\\) = wysokość zbiornika [m].\n\n**Ograniczenia** (żaden wymiar nie przekracza 9 m):\n\\[a \\leq 9, \\quad h \\leq 9\\]\n\nZ warunku objętości:\n\\[a^2 \\cdot h = 144 \\implies h = \\frac{144}{a^2}\\]\n\nWarunek \\(h \\leq 9\\) daje: \\(\\frac{144}{a^2} \\leq 9 \\implies a^2 \\geq 16 \\implies a \\geq 4\\).\n\n**Dziedzina:** \\(a \\in [4,\\, 9]\\).\n\n**Funkcja kosztu:**\n- dno: pole \\(a^2\\), stawka 100 zł/m² → koszt dna = \\(100a^2\\)\n- 4 ściany boczne: łączne pole \\(4 \\cdot a \\cdot h\\), stawka 75 zł/m² → koszt ścian = \\(300ah\\)\n\n\\[K(a) = 100a^2 + 300 \\cdot a \\cdot \\frac{144}{a^2} = 100a^2 + \\frac{43200}{a}\\]\n\n**Szukamy minimum** - liczymy pochodną:\n\\[K'(a) = 200a - \\frac{43200}{a^2}\\]\n\nPrzyrównujemy do zera:\n\\[200a - \\frac{43200}{a^2} = 0\\]\n\\[200a = \\frac{43200}{a^2}\\]\n\\[200a^3 = 43200\\]\n\\[a^3 = 216\\]\n\\[\\boxed{a = 6}\\]\n\n**Sprawdzenie drugiej pochodnej** (warunek minimum):\n\\[K''(a) = 200 + \\frac{86400}{a^3}\\]\n\\[K''(6) = 200 + \\frac{86400}{216} = 200 + 400 = 600 > 0 \\checkmark\\]\n\nPunkt \\(a = 6\\) jest minimum funkcji. Leży w dziedzinie \\([4, 9]\\). ✓\n\n**Wyznaczamy wysokość:**\n\\[h = \\frac{144}{6^2} = \\frac{144}{36} = 4 \\text{ m}\\]\n\nSprawdzenie: \\(a = 6 \\leq 9\\), \\(h = 4 \\leq 9\\) - oba ograniczenia spełnione. ✓\n\n**Minimalny koszt:**\n\\[K(6) = 100 \\cdot 36 + \\frac{43200}{6} = 3600 + 7200 = 10\\,800 \\text{ zł}\\]\n\n**Wymiary zbiornika o najmniejszym koszcie: \\(6\\text{ m} \\times 6\\text{ m} \\times 4\\text{ m}\\)** (koszt: 10 800 zł).\n\n## Sposób 2 - Nierówność między średnimi (AM-GM)\n\nRozpisujemy funkcję kosztu jako sumę **trzech składników**:\n\\[K(a) = 100a^2 + \\frac{43200}{a} = 100a^2 + \\frac{21600}{a} + \\frac{21600}{a}\\]\n\nStosujemy nierówność AM-GM dla trzech liczb dodatnich:\n\\[\\frac{x + y + z}{3} \\geq \\sqrt[3]{xyz} \\implies x + y + z \\geq 3\\sqrt[3]{xyz}\\]\n\nTutaj \\(x = 100a^2\\), \\(y = \\frac{21600}{a}\\), \\(z = \\frac{21600}{a}\\):\n\\[K(a) \\geq 3\\sqrt[3]{100a^2 \\cdot \\frac{21600}{a} \\cdot \\frac{21600}{a}}\\]\n\nUpraszczamy wyrażenie pod pierwiastkiem:\n\\[100a^2 \\cdot \\frac{21600}{a} \\cdot \\frac{21600}{a} = 100 \\cdot 21600^2 = 100 \\cdot 466\\,560\\,000 = 46\\,656\\,000\\,000\\]\n\nObliczamy pierwiastek sześcienny:\n\\[\\sqrt[3]{46\\,656\\,000\\,000} = \\sqrt[3]{46656 \\cdot 10^6} = \\sqrt[3]{46656} \\cdot 100\\]\n\nZauważamy, że \\(36^3 = 36 \\cdot 36 \\cdot 36 = 1296 \\cdot 36 = 46\\,656\\), zatem:\n\\[K(a) \\geq 3 \\cdot 36 \\cdot 100 = 10\\,800 \\text{ zł}\\]\n\n**Równość w AM-GM zachodzi wtedy i tylko wtedy**, gdy wszystkie trzy składniki są równe:\n\\[100a^2 = \\frac{21600}{a} \\implies a^3 = 216 \\implies a = 6\\]\n\nSprawdzamy, że \\(a = 6\\) leży w dziedzinie \\([4, 9]\\) ✓, i potwierdzamy \\(K(6) = 10\\,800\\) zł - dokładnie tak samo jak w Sposobie 1.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)**\n\nPochodna potęgi i ilorazu:\n\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}\\]\n\nW Sposobie 1 różniczkowaliśmy:\n\\[K(a) = 100a^2 + 43200 \\cdot a^{-1} \\implies K'(a) = 200a - 43200 \\cdot a^{-2} = 200a - \\frac{43200}{a^2}\\]\n\nWarunek konieczny minimum lokalnego: \\(K'(a) = 0\\) oraz \\(K''(a) > 0\\).\n\n## Dlaczego inne wymiary byłyby droższe\n\nZadanie jest otwarte, ale warto sprawdzić wartości na końcach dziedziny, żeby uczeń widział, że wewnętrzne minimum naprawdę jest najlepsze:\n\n| Wymiary | \\(K\\) [zł] |\n| \\(a = 4\\text{ m},\\ h = 9\\text{ m}\\) | \\(100 \\cdot 16 + 300 \\cdot 4 \\cdot 9 = 1600 + 10800 = 12\\,400\\) |\n| \\(a = 6\\text{ m},\\ h = 4\\text{ m}\\) | \\(100 \\cdot 36 + 300 \\cdot 6 \\cdot 4 = 3600 + 7200 = \\mathbf{10\\,800}\\) |\n| \\(a = 9\\text{ m},\\ h \\approx 1{,}78\\text{ m}\\) | \\(100 \\cdot 81 + 43200/9 = 8100 + 4800 = 12\\,900\\) |\n\nMinimum \\(K = 10\\,800\\) zł jest wyraźnie osiągane dla \\(a = 6\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zbiornik jest **otwarty od góry** - nie liczymy pola wieka! Łatwo przez nieuwagę dodać jeszcze jedno \\(a^2\\) i dostać złą funkcję kosztu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Ograniczenie \\(h \\leq 9\\) zawęża dziedzinę do \\(a \\geq 4\\). Bez wyznaczenia dziedziny można zaproponować np. \\(a = 3\\) (wtedy \\(h = 16 > 9\\)) - takie rozwiązanie jest **niedopuszczalne**.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, że punkt krytyczny \\(a = 6\\) **leży wewnątrz dziedziny** \\([4, 9]\\), i zweryfikuj warunek \\(K'' > 0\\) - samo zerowanie pochodnej nie wystarczy do stwierdzenia, że to minimum, a nie maksimum lub punkt przegięcia.\n\n### Sposob 1 (optymalizacja przez pochodna funkcji zmiennej x)\n**I etap.** Niech \\(x\\) - krawedz podstawy, \\(h\\) - wysokosc. Objetosc: \\(x^{2}h = 144 \\Rightarrow h = \\dfrac{144}{x^{2}}\\).\n\nKoszt: 1 dno \\(x^{2}\\) m\\(^{2}\\) po 100 zl + 4 sciany \\(xh\\) m\\(^{2}\\) po 75 zl.\n\\[f(x) = 100x^{2} + 4xh \\cdot 75 = 100x^{2} + 300 \\cdot \\dfrac{144}{x} = 100x^{2} + \\dfrac{43200}{x}.\\]\n\nDziedzina: \\(x \\in [4, 9]\\) (bo \\(h \\leq 9 \\Rightarrow \\tfrac{144}{x^{2}} \\leq 9 \\Rightarrow x^{2} \\geq 16 \\Rightarrow x \\geq 4\\), oraz \\(x \\leq 9\\)).\n\n**II etap (pochodna).** (karta wzorow: pochodna):\n\\[f'(x) = 200x - \\dfrac{43200}{x^{2}} = \\dfrac{200x^{3} - 43200}{x^{2}} = \\dfrac{200(x^{3} - 216)}{x^{2}}.\\]\n\n\\(f'(x) = 0 \\Leftrightarrow x^{3} = 216 \\Leftrightarrow x = 6\\).\n\nZnak pochodnej:\n- \\(x \\in (4, 6)\\): \\(x^{3} < 216\\), \\(f'(x) < 0\\) - funkcja malejaca.\n- \\(x \\in (6, 9)\\): \\(f'(x) > 0\\) - funkcja rosnaca.\n\nZatem minimum dla \\(x = 6\\), \\(h = \\dfrac{144}{36} = 4\\).\n\n**III etap.** Wymiary: **6 m × 6 m × 4 m**.\n\nKoszt minimalny: \\(f(6) = 100 \\cdot 36 + \\tfrac{43200}{6} = 3600 + 7200 = 10800\\) zl.\n\n### Sposob 2 (nierownosc miedzy srednia arytmetyczna i geometryczna)\n\\[f(x) = 100x^{2} + \\dfrac{43200}{x} = 100\\left(x^{2} + \\dfrac{216}{x} + \\dfrac{216}{x}\\right).\\]\n\nStosujemy nier. AM-GM dla trzech skladnikow:\n\\[\\dfrac{x^{2} + \\tfrac{216}{x} + \\tfrac{216}{x}}{3} \\geq \\sqrt[3]{x^{2} \\cdot \\tfrac{216}{x} \\cdot \\tfrac{216}{x}} = \\sqrt[3]{216^{2}} = \\sqrt[3]{46656} = 36.\\]\n\nStad \\(f(x) \\geq 100 \\cdot 3 \\cdot 36 = 10800\\). Rownosc gdy \\(x^{2} = \\tfrac{216}{x}\\), czyli \\(x^{3} = 216\\), \\(x = 6\\). Wtedy \\(h = 4\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE - 3 etapy)\n**Etap I** (budowa modelu - 3 kroki):\n- Krok 1: \\(h = \\tfrac{144}{x^{2}}\\).\n- Krok 2: \\(f(x) = 100x^{2} + \\tfrac{43200}{x}\\).\n- Krok 3: dziedzina \\(x \\in [4, 9]\\).\n\n**Etap II** (badanie modelu - 3 kroki):\n- Krok 1: pochodna \\(f'(x) = 200x - \\tfrac{43200}{x^{2}}\\).\n- Krok 2: miejsce zerowe \\(x = 6\\).\n- Krok 3: zbadanie znaku pochodnej i uzasadnienie minimum.\n\n**Etap III**: wymiary zbiornika 6m × 6m × 4m (1 pkt).\n\nUwagi CKE:\n- Metoda prob i bledow = 0 pkt za etap II i III.\n- Jesli nie uwzgledniony warunek dziedziny \\([4, 9]\\) - tylko 5 pkt.\n- Jesli rozpatruje funkcje pola zamiast kosztu - max 5 pkt.\n\n**Trik:** Standardowa optymalizacja - w funkcji kosztu \\(ax^{2} + b/x\\) minimum w \\(x = \\sqrt[3]{b/(2a)}\\). Tutaj \\(x = \\sqrt[3]{43200/200} = \\sqrt[3]{216} = 6\\).","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-15.svg","topics":"optymalizacja","page_from":24,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 15. (0-7)
Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika
(całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 mଷ. Dno zbiornika ma być kwadratem.
Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów.
Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób:

\n\n

Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

\n

EMAP-R0_100

\n

EMAP-R0_100
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
15.
Maks. liczba pkt
7
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)
Rozwiązanie zadania. Pewien zakład otrzymał zamówienie na wykonanie prostopadłościennego zbiornika (całkowicie otwartego od góry) o pojemności 144 m^3 . Dno zbiornika ma być kwadratem. Żaden z wymiarów zbiornika (krawędzi prostopadłościanu) nie może przekraczać 9 metrów. Całkowity koszt wykonania zbiornika ustalono w następujący sposób: - 100 zl za 1 m^2 dna - 75 zl za 1 m^2 ściany bocznej. Oblicz wymiary zbiornika, dla którego tak ustalony koszt wykonania będzie najmniejszy.

","answer_text_html":"

Zadanie 15. (0-7)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
R11.6) stosuje pochodne do rozwiązywania
zagadnień optymalizacyjnych.
Zasady oceniania
Rozwiązanie zadania optymalizacyjnego składa się z trzech etapów:

\n\n

Pierwszy etap składa się z trzech kroków.
Krok pierwszy: przyjęcie jednego z wymiarów zbiornika (𝑥 - długość krawędzi podstawy
zbiornika, ℎ - wysokość zbiornika) za zmienną badanej funkcji i obliczenie drugiego wymiaru
zbiornika:
ℎ= 144
𝑥2
lub
𝑥= √144
ℎ
Krok drugi: zapisanie funkcji kosztu wykonania 𝑓 zbiornika za pomocą jednej zmiennej:
𝑓(𝑥) = 100𝑥2 + 4𝑥⋅144
𝑥2 ⋅75
lub
𝑓(ℎ) = 100 ⋅144
ℎ+ 4 ⋅√144
ℎ⋅ℎ⋅75
Krok trzeci: ustalenie dziedziny funkcji 𝑓: 𝐷𝑥= [4,9] lub 𝐷ℎ= [16
9 , 9].
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Drugi etap składa się z trzech kroków.
Krok pierwszy: wyznaczenie pochodnej funkcji 𝑓:
𝑓′(𝑥) = 200𝑥-43200
𝑥2
= 200 (𝑥-216
𝑥2 )
lub
𝑓′(ℎ) = -14400
ℎ2

\n\n

√ℎ
Krok drugi: zastosowanie warunku koniecznego istnienia ekstremum funkcji 𝑓 - obliczenie
miejsc zerowych pochodnej: 𝑥= 6 (lub ℎ= 4)
Krok trzeci: zbadanie znaku pochodnej funkcji 𝑓:
𝑓′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(6, 9),
𝑓′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(4, 6)
lub
𝑓′(ℎ) > 0 dla ℎ∈(4, 9),
𝑓′(ℎ) < 0 dla ℎ∈(16
9 , 4)
oraz wyznaczenie (z uzasadnieniem) wartości zmiennej 𝑥 (lub zmiennej ℎ), dla której
funkcja 𝑓 przyjmuje wartość najmniejszą, np.:
funkcja 𝑓 zmiennej 𝑥 (określona na przedziale [4, 9]) jest malejąca w przedziale [4, 6]
oraz rosnąca w przedziale [6, 9], więc w punkcie 𝑥= 6 funkcja 𝑓 osiąga najmniejszą
wartość.
LUB
funkcja 𝑓 zmiennej ℎ (określona na przedziale [16
9 , 9])jest malejąca w przedziale [16
9 , 4]
oraz rosnąca w przedziale [4, 9], więc w punkcie ℎ= 4 funkcja 𝑓 osiąga najmniejszą
wartość.
Za poprawne wykonanie każdego z tych kroków zdający otrzymuje 1 punkt, o ile poprzednie
kroki też były wykonane poprawnie.
Etap trzeci polega na obliczeniu wymiarów zbiornika, przy których koszt wykonania zbiornika
jest najmniejszy:
𝑥= 6, ℎ= 4.
Za poprawne wykonanie trzeciego etapu zdający otrzymuje 1 punkt.
Uwagi:

\n
  1. Badanie znaku pochodnej zdający może opisać w inny sposób, np. szkicując wykres funkcji,
\n

która w ten sam sposób jak pochodna zmienia znak.

\n
  1. Za poprawne uzasadnienie, że rozważana funkcja posiada wartość najmniejszą
\n

dla wyznaczonej wartości 𝑥 (czy też ℎ), przy której pochodna się zeruje, można uznać
sytuacje, gdy zdający:
a) opisuje słownie lub graficznie (np. przy użyciu strzałek) monotoniczność funkcji 𝑓;
LUB
b) zapisuje, że dla wyznaczonej wartości 𝑥 (czy też ℎ) funkcja 𝑓 ma minimum lokalne
i jest to jednocześnie jej najmniejsza wartość.
Jeżeli zdający nie przedstawi takiego uzasadnienia, to za II etap może otrzymać co
najwyżej 2 punkty.

\n
  1. Jeżeli zdający wyznacza metodą prób i błędów wymiary zbiornika, przy których koszt
\n

wykonania zbiornika będzie najmniejszy, to otrzymuje 0 punktów za II i III etap

\n
  1. Jeżeli zdający rozpatruje funkcję kosztów postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏
\n

𝑥 (gdzie 𝑎> 0, 𝑏> 0),
nie uwzględniając wszystkich ścian bocznych lub uwzględniając dwie podstawy, to może
otrzymać co najwyżej 5 punktów za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktów za drugi krok
pierwszego etapu oraz za trzeci etap).

\n
  1. Jeżeli zdający rozpatruje funkcję pola zamiast funkcji kosztów, to może otrzymać co
\n

najwyżej 5 punktów za całe rozwiązanie (nie otrzymuje punktów za drugi krok pierwszego
etapu oraz za trzeci etap). Jeżeli zdający rozpatruje funkcję pola postaci 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏
𝑥
(gdzie 𝑎> 0, 𝑏> 0), nie uwzględniając wszystkich ścian bocznych lub uwzględniając dwie
podstawy, to może otrzymać co najwyżej 4 punkty za całe rozwiązanie (nie otrzymuje
punktów za drugi krok pierwszego etapu, trzeci krok drugiego etapu oraz za trzeci etap).

\n
  1. Jeżeli zdający uzasadnia istnienie najmniejszej wartości funkcji kosztów w zbiorze 𝑅\\{0} ,
\n

to nie otrzymuje punktu za trzeci krok drugiego etapu.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Przyjmujemy następujące oznaczenia:
𝑥- długość krawędzi podstawy zbiornika (w metrach),
ℎ - wysokość zbiornika (w metrach).
Pojemność zbiornika ma wynosić 144 m3, więc 144 = 𝑥2 ⋅ℎ. Stąd ℎ= 144
𝑥2 .
Koszt 𝑓 wykonania zbiornika jest równy 𝑓= 100𝑥2 + 75 ⋅4𝑥ℎ, więc
𝑓(𝑥) = 100𝑥2 + 4𝑥⋅144
𝑥2 ⋅75,
gdzie 𝑥∈[4, 9].
Obliczamy pochodną funkcji 𝑓:
𝑓′(𝑥) = 200𝑥-43200
𝑥2
Miejscem zerowym pochodnej funkcji 𝑓 jest 𝑥= 6.
Badamy monotoniczność funkcji 𝑓:
Zasady oceniania rozwiązań zadań
𝑓′(𝑥) > 0 dla 𝑥∈(6, 9),
𝑓′(𝑥) < 0 dla 𝑥∈(4, 6).
Zatem
funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale 𝑥∈[4, 6],
funkcja 𝑓 jest rosnąca w przedziale 𝑥∈[6, 9].
Stąd funkcja 𝑓 przyjmuje najmniejszą wartość dla argumentu 6. Wtedy ℎ= 4.
Wymiary zbiornika dla którego koszt wykonania jest najmniejszy: 6 m x 6 m x 4 m.
Sposób 2.
Przyjmujemy następujące oznaczenia:
𝑥 - długość krawędzi podstawy zbiornika (w metrach),
ℎ - wysokość zbiornika (w metrach).
Pojemność zbiornika ma wynosić 144 m3, więc 144 = 𝑥2 ⋅ℎ. Stąd 𝑥= √144
ℎ.
Koszt 𝑓 wykonania zbiornika jest równy 𝑓= 100𝑥2 + 75 ⋅4𝑥ℎ, więc
𝑓(ℎ) = 100 ∙144
ℎ+ 4ℎ⋅√144
ℎ⋅75,
gdzie ℎ∈[16
9 , 9].
Obliczamy pochodną funkcji 𝑓:
𝑓′(ℎ) = -14400
ℎ2

\n\n

2√ℎ
= -14400
ℎ2

\n\n

√ℎ
Miejscem zerowym pochodnej funkcji 𝑓 jest ℎ= 4.
Badamy monotoniczność funkcji 𝑓:
𝑓′(ℎ) > 0 dla ℎ∈(4, 9),
𝑓′(ℎ) < 0 dla ℎ∈(16
9 , 4).
Zatem
funkcja 𝑓 jest malejąca w przedziale ℎ∈[16
9 , 4],
funkcja 𝑓 jest rosnąca w przedziale ℎ∈[4, 9].
Stąd funkcja 𝑓 przyjmuje najmniejszą wartość dla argumentu ℎ= 4. Wtedy 𝑥= 6.
Wymiary zbiornika, dla których koszt wykonania jest najmniejszy: 6 m x 6 m x 4 m.
Uwaga:
Zdający może rozwiązywać zadanie sposobem - za pomocą nierówności między średnią
arytmetyczną i geometryczną, np.:
𝑓(𝑥) = 100𝑥2 + 4𝑥⋅144
𝑥2 ⋅75 = 100𝑥2 + 43200
𝑥
𝑓(𝑥) = 100 (𝑥2 + 432
𝑥) = 100 (𝑥2 + 216
𝑥

\n\n

𝑥)
𝑥2 +
216
𝑥+
216
𝑥
3
≥√𝑥2 ⋅216
𝑥⋅216
𝑥
3
= √63 ⋅63
3
= 36
Stąd 𝑓(𝑥) ≥100 ⋅3 ⋅36 i funkcja 𝑓(𝑥) osiąga wartość najmniejszą, gdy 𝑥2 = 216
𝑥, tj. dla
𝑥= 6. Wtedy ℎ= 4.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: 6 m × 6 m × 4 m (koszt minimalny: 10 800 zł)

\n

Sposób 1 - Pochodna funkcji kosztu

\n

Oznaczenia: niech \\(a\\) = bok kwadratowego dna [m], \\(h\\) = wysokość zbiornika [m].

\n

Ograniczenia (żaden wymiar nie przekracza 9 m):
\\[a \\leq 9, \\quad h \\leq 9\\]

\n

Z warunku objętości:
\\[a^2 \\cdot h = 144 \\implies h = \\frac{144}{a^2}\\]

\n

Warunek \\(h \\leq 9\\) daje: \\(\\frac{144}{a^2} \\leq 9 \\implies a^2 \\geq 16 \\implies a \\geq 4\\).

\n

Dziedzina: \\(a \\in [4,\\, 9]\\).

\n

Funkcja kosztu:

\n\n

\\[K(a) = 100a^2 + 300 \\cdot a \\cdot \\frac{144}{a^2} = 100a^2 + \\frac{43200}{a}\\]

\n

Szukamy minimum - liczymy pochodną:
\\[K'(a) = 200a - \\frac{43200}{a^2}\\]

\n

Przyrównujemy do zera:
\\[200a - \\frac{43200}{a^2} = 0\\]
\\[200a = \\frac{43200}{a^2}\\]
\\[200a^3 = 43200\\]
\\[a^3 = 216\\]
\\[\\boxed{a = 6}\\]

\n

Sprawdzenie drugiej pochodnej (warunek minimum):
\\[K''(a) = 200 + \\frac{86400}{a^3}\\]
\\[K''(6) = 200 + \\frac{86400}{216} = 200 + 400 = 600 > 0 \\checkmark\\]

\n

Punkt \\(a = 6\\) jest minimum funkcji. Leży w dziedzinie \\([4, 9]\\). ✓

\n

Wyznaczamy wysokość:
\\[h = \\frac{144}{6^2} = \\frac{144}{36} = 4 \\text{ m}\\]

\n

Sprawdzenie: \\(a = 6 \\leq 9\\), \\(h = 4 \\leq 9\\) - oba ograniczenia spełnione. ✓

\n

Minimalny koszt:
\\[K(6) = 100 \\cdot 36 + \\frac{43200}{6} = 3600 + 7200 = 10\\,800 \\text{ zł}\\]

\n

Wymiary zbiornika o najmniejszym koszcie: \\(6\\text{ m} \\times 6\\text{ m} \\times 4\\text{ m}\\) (koszt: 10 800 zł).

\n

Sposób 2 - Nierówność między średnimi (AM-GM)

\n

Rozpisujemy funkcję kosztu jako sumę trzech składników:
\\[K(a) = 100a^2 + \\frac{43200}{a} = 100a^2 + \\frac{21600}{a} + \\frac{21600}{a}\\]

\n

Stosujemy nierówność AM-GM dla trzech liczb dodatnich:
\\[\\frac{x + y + z}{3} \\geq \\sqrt[3]{xyz} \\implies x + y + z \\geq 3\\sqrt[3]{xyz}\\]

\n

Tutaj \\(x = 100a^2\\), \\(y = \\frac{21600}{a}\\), \\(z = \\frac{21600}{a}\\):
\\[K(a) \\geq 3\\sqrt[3]{100a^2 \\cdot \\frac{21600}{a} \\cdot \\frac{21600}{a}}\\]

\n

Upraszczamy wyrażenie pod pierwiastkiem:
\\[100a^2 \\cdot \\frac{21600}{a} \\cdot \\frac{21600}{a} = 100 \\cdot 21600^2 = 100 \\cdot 466\\,560\\,000 = 46\\,656\\,000\\,000\\]

\n

Obliczamy pierwiastek sześcienny:
\\[\\sqrt[3]{46\\,656\\,000\\,000} = \\sqrt[3]{46656 \\cdot 10^6} = \\sqrt[3]{46656} \\cdot 100\\]

\n

Zauważamy, że \\(36^3 = 36 \\cdot 36 \\cdot 36 = 1296 \\cdot 36 = 46\\,656\\), zatem:
\\[K(a) \\geq 3 \\cdot 36 \\cdot 100 = 10\\,800 \\text{ zł}\\]

\n

Równość w AM-GM zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie trzy składniki są równe:
\\[100a^2 = \\frac{21600}{a} \\implies a^3 = 216 \\implies a = 6\\]

\n

Sprawdzamy, że \\(a = 6\\) leży w dziedzinie \\([4, 9]\\) ✓, i potwierdzamy \\(K(6) = 10\\,800\\) zł - dokładnie tak samo jak w Sposobie 1.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 16 (Pochodna funkcji, s. 32-33)

\n

Pochodna potęgi i ilorazu:
\\[(x^r)' = r \\cdot x^{r-1}\\]

\n

W Sposobie 1 różniczkowaliśmy:
\\[K(a) = 100a^2 + 43200 \\cdot a^{-1} \\implies K'(a) = 200a - 43200 \\cdot a^{-2} = 200a - \\frac{43200}{a^2}\\]

\n

Warunek konieczny minimum lokalnego: \\(K'(a) = 0\\) oraz \\(K''(a) > 0\\).

\n

Dlaczego inne wymiary byłyby droższe

\n

Zadanie jest otwarte, ale warto sprawdzić wartości na końcach dziedziny, żeby uczeń widział, że wewnętrzne minimum naprawdę jest najlepsze:

\n

| Wymiary | \\(K\\) [zł] |
| \\(a = 4\\text{ m},\\ h = 9\\text{ m}\\) | \\(100 \\cdot 16 + 300 \\cdot 4 \\cdot 9 = 1600 + 10800 = 12\\,400\\) |
| \\(a = 6\\text{ m},\\ h = 4\\text{ m}\\) | \\(100 \\cdot 36 + 300 \\cdot 6 \\cdot 4 = 3600 + 7200 = \\mathbf{10\\,800}\\) |
| \\(a = 9\\text{ m},\\ h \\approx 1{,}78\\text{ m}\\) | \\(100 \\cdot 81 + 43200/9 = 8100 + 4800 = 12\\,900\\) |

\n

Minimum \\(K = 10\\,800\\) zł jest wyraźnie osiągane dla \\(a = 6\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zbiornik jest otwarty od góry - nie liczymy pola wieka! Łatwo przez nieuwagę dodać jeszcze jedno \\(a^2\\) i dostać złą funkcję kosztu.
\n
⚠️ Uwaga: Ograniczenie \\(h \\leq 9\\) zawęża dziedzinę do \\(a \\geq 4\\). Bez wyznaczenia dziedziny można zaproponować np. \\(a = 3\\) (wtedy \\(h = 16 > 9\\)) - takie rozwiązanie jest niedopuszczalne.
\n
⚠️ Uwaga: Sprawdź, że punkt krytyczny \\(a = 6\\) leży wewnątrz dziedziny \\([4, 9]\\), i zweryfikuj warunek \\(K'' > 0\\) - samo zerowanie pochodnej nie wystarczy do stwierdzenia, że to minimum, a nie maksimum lub punkt przegięcia.
\n
Sposob 1 (optymalizacja przez pochodna funkcji zmiennej x)
\n

I etap. Niech \\(x\\) - krawedz podstawy, \\(h\\) - wysokosc. Objetosc: \\(x^{2}h = 144 \\Rightarrow h = \\dfrac{144}{x^{2}}\\).

\n

Koszt: 1 dno \\(x^{2}\\) m\\(^{2}\\) po 100 zl + 4 sciany \\(xh\\) m\\(^{2}\\) po 75 zl.
\\[f(x) = 100x^{2} + 4xh \\cdot 75 = 100x^{2} + 300 \\cdot \\dfrac{144}{x} = 100x^{2} + \\dfrac{43200}{x}.\\]

\n

Dziedzina: \\(x \\in [4, 9]\\) (bo \\(h \\leq 9 \\Rightarrow \\tfrac{144}{x^{2}} \\leq 9 \\Rightarrow x^{2} \\geq 16 \\Rightarrow x \\geq 4\\), oraz \\(x \\leq 9\\)).

\n

II etap (pochodna). (karta wzorow: pochodna):
\\[f'(x) = 200x - \\dfrac{43200}{x^{2}} = \\dfrac{200x^{3} - 43200}{x^{2}} = \\dfrac{200(x^{3} - 216)}{x^{2}}.\\]

\n

\\(f'(x) = 0 \\Leftrightarrow x^{3} = 216 \\Leftrightarrow x = 6\\).

\n

Znak pochodnej:

\n\n

Zatem minimum dla \\(x = 6\\), \\(h = \\dfrac{144}{36} = 4\\).

\n

III etap. Wymiary: 6 m × 6 m × 4 m.

\n

Koszt minimalny: \\(f(6) = 100 \\cdot 36 + \\tfrac{43200}{6} = 3600 + 7200 = 10800\\) zl.

\n
Sposob 2 (nierownosc miedzy srednia arytmetyczna i geometryczna)
\n

\\[f(x) = 100x^{2} + \\dfrac{43200}{x} = 100\\left(x^{2} + \\dfrac{216}{x} + \\dfrac{216}{x}\\right).\\]

\n

Stosujemy nier. AM-GM dla trzech skladnikow:
\\[\\dfrac{x^{2} + \\tfrac{216}{x} + \\tfrac{216}{x}}{3} \\geq \\sqrt[3]{x^{2} \\cdot \\tfrac{216}{x} \\cdot \\tfrac{216}{x}} = \\sqrt[3]{216^{2}} = \\sqrt[3]{46656} = 36.\\]

\n

Stad \\(f(x) \\geq 100 \\cdot 3 \\cdot 36 = 10800\\). Rownosc gdy \\(x^{2} = \\tfrac{216}{x}\\), czyli \\(x^{3} = 216\\), \\(x = 6\\). Wtedy \\(h = 4\\).

\n
Uwagi o punktacji (CKE - 3 etapy)
\n

Etap I (budowa modelu - 3 kroki):

\n\n

Etap II (badanie modelu - 3 kroki):

\n\n

Etap III: wymiary zbiornika 6m × 6m × 4m (1 pkt).

\n

Uwagi CKE:

\n\n

Trik: Standardowa optymalizacja - w funkcji kosztu \\(ax^{2} + b/x\\) minimum w \\(x = \\sqrt[3]{b/(2a)}\\). Tutaj \\(x = \\sqrt[3]{43200/200} = \\sqrt[3]{216} = 6\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$6 \\text{ m} \\times 6 \\text{ m} \\times 4 \\text{ m}$

"}]}