{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/3","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"3","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 3. (0-1)\nWielomian 𝑊(𝑥) = 𝑥ସ+ 81 jest podzielny przez\nA. 𝑥-3\nB. 𝑥ଶ+ 9\nC. 𝑥ଶ-3√2𝑥+ 9\nD. 𝑥ଶ+ 3√2𝑥-9\nRozwiązanie zadania. Wielomian W(x) = x^4 + 81 jest podzielny przez A. x-3 B. x^2+9 C. x^2 - 3√2 x + 9 D. x^2 + 3√2 x - 9","answer":"C","answer_text":"Zadanie 3. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR2.6) dzieli wyrażenia wymierne.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nC","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nWielomian \\(W(x) = x^4 + 81\\) jest podzielny przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9\\).\n\n## Sposób 1 - Uzupełnienie do różnicy kwadratów\n\nWiemy, że \\(x^4 + 81\\) nie ma rzeczywistych pierwiastków (bo \\(x^4 \\geq 0\\), więc \\(x^4 + 81 \\geq 81 > 0\\)), więc **nie rozkłada się na liniowe czynniki rzeczywiste**. Szukamy rozkładu na czynniki kwadratowe.\n\n**Krok 1 - Dodaj i odejmij ten sam wyraz, żeby \"wymusić\" różnicę kwadratów:**\n\n\\[x^4 + 81 = x^4 + 18x^2 + 81 - 18x^2\\]\n\n**Krok 2 - Zauważ pełny kwadrat w pierwszej części:**\n\n\\[= (x^2 + 9)^2 - 18x^2\\]\n\n**Krok 3 - Zapisz \\(18x^2\\) jako kwadrat:**\n\n\\[18x^2 = \\left(3\\sqrt{2}\\,x\\right)^2\\]\n\nwięc:\n\n\\[x^4 + 81 = (x^2 + 9)^2 - \\left(3\\sqrt{2}\\,x\\right)^2\\]\n\n**Krok 4 - Zastosuj wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):**\n\n\\[= \\left(x^2 + 9 - 3\\sqrt{2}\\,x\\right)\\left(x^2 + 9 + 3\\sqrt{2}\\,x\\right)\\]\n\n**Wynik rozkładu:**\n\n\\[\\boxed{x^4 + 81 = \\left(x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9\\right)\\left(x^2 + 3\\sqrt{2}\\,x + 9\\right)}\\]\n\nZatem \\(W(x)\\) jest **podzielny przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9\\)**.\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez dzielenie wielomianów\n\nSprawdźmy bezpośrednio, że \\(x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9\\) dzieli \\(x^4 + 81\\).\n\nWykonujemy dzielenie \\(x^4 + 81\\) przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9\\):\n\n\\[x^4 + 0 \\cdot x^3 + 0 \\cdot x^2 + 0 \\cdot x + 81 \\div (x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9)\\]\n\n**Krok 1:** \\(x^4 \\div x^2 = x^2\\). Mnożymy: \\(x^2 \\cdot (x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9) = x^4 - 3\\sqrt{2}\\,x^3 + 9x^2\\). Odejmujemy:\n\n\\[(x^4) - (x^4 - 3\\sqrt{2}\\,x^3 + 9x^2) = 3\\sqrt{2}\\,x^3 - 9x^2\\]\n\n**Krok 2:** \\(3\\sqrt{2}\\,x^3 \\div x^2 = 3\\sqrt{2}\\,x\\). Mnożymy: \\(3\\sqrt{2}\\,x \\cdot (x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9) = 3\\sqrt{2}\\,x^3 - 18x^2 + 27\\sqrt{2}\\,x\\). Odejmujemy:\n\n\\[(3\\sqrt{2}\\,x^3 - 9x^2) - (3\\sqrt{2}\\,x^3 - 18x^2 + 27\\sqrt{2}\\,x) = 9x^2 - 27\\sqrt{2}\\,x\\]\n\n**Krok 3:** \\(9x^2 \\div x^2 = 9\\). Mnożymy: \\(9 \\cdot (x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9) = 9x^2 - 27\\sqrt{2}\\,x + 81\\). Odejmujemy:\n\n\\[(9x^2 - 27\\sqrt{2}\\,x + 81) - (9x^2 - 27\\sqrt{2}\\,x + 81) = 0\\]\n\nReszta wynosi \\(0\\) - **potwierdzamy**, że:\n\n\\[x^4 + 81 = (x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9) \\cdot (x^2 + 3\\sqrt{2}\\,x + 9)\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)** - wzór na różnicę kwadratów:\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1, gdzie \\(a = x^2 + 9\\) i \\(b = 3\\sqrt{2}\\,x\\).\n\n**Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)** - \\(\\left(\\sqrt{2}\\right)^2 = 2\\), co pozwoliło zapisać \\(18x^2 = (3\\sqrt{2}\\,x)^2\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A | Uczeń próbuje rozkładu \\(x^4 + 81 = (x^2)^2 + 9^2\\) i \"faktoryzuje sumę kwadratów\" - ale **suma kwadratów nie rozkłada się** nad \\(\\mathbb{R}\\) na liniowe czynniki, a kandydat A to np. \\(x^2 + 9\\) - sprawdzamy: \\((x^2+9)^2 = x^4 + 18x^2 + 81 \\neq x^4 + 81\\). |\n| B | Pomyłka z podobnym wzorem - np. kandydat \\(x^2 + 3x + 9\\) pochodzi ze wzoru \\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\\), ale tu mamy \\(x^4\\), nie \\(x^3\\). Ten wzór tu nie pasuje. |\n| D | Kandydat np. \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\) - sprawdzamy: \\(W(3) = 81 + 81 = 162 \\neq 0\\), więc \\(x=3\\) nie jest pierwiastkiem \\(W\\), więc \\((x-3)\\) nie dzieli \\(W(x)\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sumy kwadratów \\(a^2 + b^2\\) **nie rozkładają się** nad liczbami rzeczywistymi. Wielu uczniów błędnie próbuje napisać \\(x^4 + 81 = (x^2 + 9)^2\\) - to nieprawda, bo \\((x^2+9)^2 = x^4 + 18x^2 + 81\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kluczowy trick to \"dodaj zero\" w postaci \\(+18x^2 - 18x^2\\). To klasyczna technika - szukamy liczby, której kwadrat pozwoli nam zamknąć pełny kwadrat. Tu \\(18x^2 = (3\\sqrt{2}\\,x)^2\\) - i właśnie dlatego w odpowiedzi pojawia się \\(\\sqrt{2}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić z \\(a^3 + b^3\\) - wzór \\(x^3 + 27 = (x+3)(x^2-3x+9)\\) wygląda podobnie, ale dotyczy sześcianów, nie czwartych potęg.\n\n### Sposob 1 (uzupelnienie do pelnego kwadratu)\n\\(x^{4} + 81 = (x^{2})^{2} + 2 \\cdot x^{2} \\cdot 9 + 81 - 18x^{2} = (x^{2} + 9)^{2} - (3\\sqrt{2}\\,x)^{2}\\).\n\nStosujemy wzor \\(a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b)\\) (karta wzorow, wzory skroconego mnozenia):\n\\(x^{4} + 81 = (x^{2} + 9 - 3\\sqrt{2}x)(x^{2} + 9 + 3\\sqrt{2}x) = (x^{2} - 3\\sqrt{2}x + 9)(x^{2} + 3\\sqrt{2}x + 9)\\).\n\nPodzielnikiem jest wiec \\(x^{2} - 3\\sqrt{2}x + 9\\), co odpowiada C.\n\n### Sposob 2 (analiza odpowiedzi)\nA: \\(W(3) = 81 + 81 = 162 \\neq 0\\) - nie.\nB: gdyby \\(x^{2} + 9\\) dzielilo, to dla \\(x^{2} = -9\\) byloby \\(81 + 81 = 162 \\neq 0\\) - nie.\nD: wyroznik \\(= 18 + 36 > 0\\) ma pierwiastki rzeczywiste, a \\(W(x) > 0\\) dla \\(x \\in \\mathbb{R}\\) - nie.\nC pasuje jak wyzej.\n\n### Uwagi o punktacji\n1 pkt za C.\n\n**Trik:** Zauwaz \\(x^{4} + 81 = (x^{2} + 9)^{2} - (3\\sqrt{2}x)^{2}\\). Odpowiedz: **C**.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1: Rozkład na czynniki\nRozważmy wielomian W(x) = \\(x^{}\\) + 81. Chcemy znaleźć, który z podanych wielomianów jest jego dzielnikiem. Zauważmy, że \\(x^{}\\) + 81 to wielomian stopnia 2. Możemy spróbować rozłożyć go na czynniki. Szukamy dwóch wyrażeń, których iloczyn daje \\(x^{}\\) + 81. W tym przypadku, \\(x^{}\\) + 81 można zapisać jako \\((x+9)(x-9) + 81 + 9(x-9) = (x+9)(x-9) + 81 + 9x - 81 = (x+9)(x-9) + 9x\\). To nie prowadzi do prostego rozwiązania.\n\nJednakże, jeśli przyjmiemy, że \\(x^{}\\) oznacza \\(x^2\\), to mamy:\nW(x) = \\(x^2\\) + 81. Wtedy szukamy wielomianu postaci \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\). To nie jest możliwe, ponieważ nie można rozłożyć \\(x^2 + 81\\) na czynniki w ten sposób. Zatem, musimy przyjąć, że \\(x^{}\\) oznacza coś innego.\n\nZauważmy, że \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) to wielomian stopnia 2. Spróbujmy zidentyfikować, czy \\(x^2 + 81\\) jest dzielnikiem \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\). To nie wydaje się dobrym podejściem.\n\nZauważmy, że \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) to wielomian stopnia 2. Możemy spróbować rozłożyć go na czynniki, ale nie jest to łatwe.\n\nJednakże, jeśli \\(x^{}\\) oznacza \\(x^2\\), to możemy spróbować rozłożyć \\(x^2 + 81\\) na czynniki. W tym przypadku, \\(x^2 + 81\\) nie jest rozkładalne na czynniki rzeczywiste, ponieważ nie ma pierwiastków rzeczywistych.\n\nZauważmy, że \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) to wielomian stopnia 2. Możemy spróbować znaleźć jego pierwiastki. Jeśli \\(x^2 + 81\\) jest podzielne przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\), to musi istnieć taka stała liczba, że \\(x^2 + 81 = k(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9)\\) dla pewnego k. To nie prowadzi do żadnych wniosków.\n\nW tym przypadku, jeśli \\(x^{}\\) oznacza \\(x^2\\), to \\(x^2 + 81\\) jest podzielne przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\), jeśli \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) jest dzielnikiem \\(x^2 + 81\\). To nie jest prawdą.\n\nZauważmy, że \\(x^2 + 81 = (x+9)(x-9) + 81 + 9(x-9)\\). To nie prowadzi do żadnych wniosków.\n\n**Sposób 2: Analiza wzorów i znanych wzorów**\n\nWielomian W(x) = \\(x^{}\\) + 81. Z karty wzorów (s.7) wiemy, że wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b². Możemy spróbować znaleźć wielomian, który pasuje do tego wzoru. Jeśli \\(x^{}\\) oznacza \\(x^2\\), to W(x) = \\(x^2\\) + 81. Wtedy szukamy wielomianu \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\). To nie jest poprawny wzór.\n\nJeśli \\(x^{}\\) oznacza \\(x^2\\), to \\(x^2 + 81\\) jest podzielne przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\), jeśli \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) jest dzielnikiem \\(x^2 + 81\\). To nie jest prawdą.\n\nZauważmy, że \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) to wielomian stopnia 2. Możemy spróbować znaleźć jego pierwiastki. Jeśli \\(x^2 + 81\\) jest podzielne przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\), to musi istnieć taka stała liczba, że \\(x^2 + 81 = k(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9)\\) dla pewnego k. To nie prowadzi do żadnych wniosków.\n\n📖 Karta wzorów: s.7, strona 9\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** (na zdjęciu) - To jest wielomian stopnia 3, a W(x) jest stopnia 2.\n* **B:** (na zdjęciu) - To jest wielomian stopnia 3, a W(x) jest stopnia 2.\n* **D:** (na zdjęciu) - To jest wielomian stopnia 2, ale nie jest dzielnikiem W(x).\n\nW tym przypadku, ponieważ \\(x^{}\\) oznacza \\(x^2\\), to \\(x^2 + 81\\) jest wielomianem stopnia 2. Wielomian \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) również jest wielomianem stopnia 2. Jednakże, nie jest to dzielnik \\(x^2 + 81\\).","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-3.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg","topics":"wielomiany","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 3. (0-1)<br>Wielomian 𝑊(𝑥) = 𝑥ସ+ 81 jest podzielny przez<br>A. 𝑥-3<br>B. 𝑥ଶ+ 9<br>C. 𝑥ଶ-3√2𝑥+ 9<br>D. 𝑥ଶ+ 3√2𝑥-9<br>Rozwiązanie zadania. Wielomian W(x) = x^4 + 81 jest podzielny przez A. x-3 B. x^2+9 C. x^2 - 3√2 x + 9 D. x^2 + 3√2 x - 9</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 3. (0-1)<br>Wymagania egzaminacyjne 2021<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>R2.6) dzieli wyrażenia wymierne.<br>Zasady oceniania<br>1 pkt - odpowiedź poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>C</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-3.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>Wielomian \\(W(x) = x^4 + 81\\) jest podzielny przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Uzupełnienie do różnicy kwadratów</h4>\n<p>Wiemy, że \\(x^4 + 81\\) nie ma rzeczywistych pierwiastków (bo \\(x^4 \\geq 0\\), więc \\(x^4 + 81 \\geq 81 &gt; 0\\)), więc <strong>nie rozkłada się na liniowe czynniki rzeczywiste</strong>. Szukamy rozkładu na czynniki kwadratowe.</p>\n<p><strong>Krok 1 - Dodaj i odejmij ten sam wyraz, żeby &quot;wymusić&quot; różnicę kwadratów:</strong></p>\n<p>\\[x^4 + 81 = x^4 + 18x^2 + 81 - 18x^2\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - Zauważ pełny kwadrat w pierwszej części:</strong></p>\n<p>\\[= (x^2 + 9)^2 - 18x^2\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - Zapisz \\(18x^2\\) jako kwadrat:</strong></p>\n<p>\\[18x^2 = \\left(3\\sqrt{2}\\,x\\right)^2\\]</p>\n<p>więc:</p>\n<p>\\[x^4 + 81 = (x^2 + 9)^2 - \\left(3\\sqrt{2}\\,x\\right)^2\\]</p>\n<p><strong>Krok 4 - Zastosuj wzór \\(a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\):</strong></p>\n<p>\\[= \\left(x^2 + 9 - 3\\sqrt{2}\\,x\\right)\\left(x^2 + 9 + 3\\sqrt{2}\\,x\\right)\\]</p>\n<p><strong>Wynik rozkładu:</strong></p>\n<p>\\[\\boxed{x^4 + 81 = \\left(x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9\\right)\\left(x^2 + 3\\sqrt{2}\\,x + 9\\right)}\\]</p>\n<p>Zatem \\(W(x)\\) jest <strong>podzielny przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9\\)</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - Weryfikacja przez dzielenie wielomianów</h4>\n<p>Sprawdźmy bezpośrednio, że \\(x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9\\) dzieli \\(x^4 + 81\\).</p>\n<p>Wykonujemy dzielenie \\(x^4 + 81\\) przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9\\):</p>\n<p>\\[x^4 + 0 \\cdot x^3 + 0 \\cdot x^2 + 0 \\cdot x + 81 \\div (x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9)\\]</p>\n<p><strong>Krok 1:</strong> \\(x^4 \\div x^2 = x^2\\). Mnożymy: \\(x^2 \\cdot (x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9) = x^4 - 3\\sqrt{2}\\,x^3 + 9x^2\\). Odejmujemy:</p>\n<p>\\[(x^4) - (x^4 - 3\\sqrt{2}\\,x^3 + 9x^2) = 3\\sqrt{2}\\,x^3 - 9x^2\\]</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> \\(3\\sqrt{2}\\,x^3 \\div x^2 = 3\\sqrt{2}\\,x\\). Mnożymy: \\(3\\sqrt{2}\\,x \\cdot (x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9) = 3\\sqrt{2}\\,x^3 - 18x^2 + 27\\sqrt{2}\\,x\\). Odejmujemy:</p>\n<p>\\[(3\\sqrt{2}\\,x^3 - 9x^2) - (3\\sqrt{2}\\,x^3 - 18x^2 + 27\\sqrt{2}\\,x) = 9x^2 - 27\\sqrt{2}\\,x\\]</p>\n<p><strong>Krok 3:</strong> \\(9x^2 \\div x^2 = 9\\). Mnożymy: \\(9 \\cdot (x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9) = 9x^2 - 27\\sqrt{2}\\,x + 81\\). Odejmujemy:</p>\n<p>\\[(9x^2 - 27\\sqrt{2}\\,x + 81) - (9x^2 - 27\\sqrt{2}\\,x + 81) = 0\\]</p>\n<p>Reszta wynosi \\(0\\) - <strong>potwierdzamy</strong>, że:</p>\n<p>\\[x^4 + 81 = (x^2 - 3\\sqrt{2}\\,x + 9) \\cdot (x^2 + 3\\sqrt{2}\\,x + 9)\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7)</strong> - wzór na różnicę kwadratów:<br>\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1, gdzie \\(a = x^2 + 9\\) i \\(b = 3\\sqrt{2}\\,x\\).</p>\n<p><strong>Dział 2 (Potęgi i pierwiastki, s. 4-5)</strong> - \\(\\left(\\sqrt{2}\\right)^2 = 2\\), co pozwoliło zapisać \\(18x^2 = (3\\sqrt{2}\\,x)^2\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A | Uczeń próbuje rozkładu \\(x^4 + 81 = (x^2)^2 + 9^2\\) i &quot;faktoryzuje sumę kwadratów&quot; - ale <strong>suma kwadratów nie rozkłada się</strong> nad \\(\\mathbb{R}\\) na liniowe czynniki, a kandydat A to np. \\(x^2 + 9\\) - sprawdzamy: \\((x^2+9)^2 = x^4 + 18x^2 + 81 \\neq x^4 + 81\\). |<br>| B | Pomyłka z podobnym wzorem - np. kandydat \\(x^2 + 3x + 9\\) pochodzi ze wzoru \\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2)\\), ale tu mamy \\(x^4\\), nie \\(x^3\\). Ten wzór tu nie pasuje. |<br>| D | Kandydat np. \\(x^2 - 9 = (x-3)(x+3)\\) - sprawdzamy: \\(W(3) = 81 + 81 = 162 \\neq 0\\), więc \\(x=3\\) nie jest pierwiastkiem \\(W\\), więc \\((x-3)\\) nie dzieli \\(W(x)\\). |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sumy kwadratów \\(a^2 + b^2\\) <strong>nie rozkładają się</strong> nad liczbami rzeczywistymi. Wielu uczniów błędnie próbuje napisać \\(x^4 + 81 = (x^2 + 9)^2\\) - to nieprawda, bo \\((x^2+9)^2 = x^4 + 18x^2 + 81\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kluczowy trick to &quot;dodaj zero&quot; w postaci \\(+18x^2 - 18x^2\\). To klasyczna technika - szukamy liczby, której kwadrat pozwoli nam zamknąć pełny kwadrat. Tu \\(18x^2 = (3\\sqrt{2}\\,x)^2\\) - i właśnie dlatego w odpowiedzi pojawia się \\(\\sqrt{2}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić z \\(a^3 + b^3\\) - wzór \\(x^3 + 27 = (x+3)(x^2-3x+9)\\) wygląda podobnie, ale dotyczy sześcianów, nie czwartych potęg.</blockquote>\n<h5>Sposob 1 (uzupelnienie do pelnego kwadratu)</h5>\n<p>\\(x^{4} + 81 = (x^{2})^{2} + 2 \\cdot x^{2} \\cdot 9 + 81 - 18x^{2} = (x^{2} + 9)^{2} - (3\\sqrt{2}\\,x)^{2}\\).</p>\n<p>Stosujemy wzor \\(a^{2} - b^{2} = (a-b)(a+b)\\) (karta wzorow, wzory skroconego mnozenia):<br>\\(x^{4} + 81 = (x^{2} + 9 - 3\\sqrt{2}x)(x^{2} + 9 + 3\\sqrt{2}x) = (x^{2} - 3\\sqrt{2}x + 9)(x^{2} + 3\\sqrt{2}x + 9)\\).</p>\n<p>Podzielnikiem jest wiec \\(x^{2} - 3\\sqrt{2}x + 9\\), co odpowiada C.</p>\n<h5>Sposob 2 (analiza odpowiedzi)</h5>\n<p>A: \\(W(3) = 81 + 81 = 162 \\neq 0\\) - nie.<br>B: gdyby \\(x^{2} + 9\\) dzielilo, to dla \\(x^{2} = -9\\) byloby \\(81 + 81 = 162 \\neq 0\\) - nie.<br>D: wyroznik \\(= 18 + 36 &gt; 0\\) ma pierwiastki rzeczywiste, a \\(W(x) &gt; 0\\) dla \\(x \\in \\mathbb{R}\\) - nie.<br>C pasuje jak wyzej.</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<p>1 pkt za C.</p>\n<p><strong>Trik:</strong> Zauwaz \\(x^{4} + 81 = (x^{2} + 9)^{2} - (3\\sqrt{2}x)^{2}\\). Odpowiedz: <strong>C</strong>.</p>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1: Rozkład na czynniki</h5>\n<p>Rozważmy wielomian W(x) = \\(x^{}\\) + 81. Chcemy znaleźć, który z podanych wielomianów jest jego dzielnikiem. Zauważmy, że \\(x^{}\\) + 81 to wielomian stopnia 2. Możemy spróbować rozłożyć go na czynniki. Szukamy dwóch wyrażeń, których iloczyn daje \\(x^{}\\) + 81. W tym przypadku, \\(x^{}\\) + 81 można zapisać jako \\((x+9)(x-9) + 81 + 9(x-9) = (x+9)(x-9) + 81 + 9x - 81 = (x+9)(x-9) + 9x\\). To nie prowadzi do prostego rozwiązania.</p>\n<p>Jednakże, jeśli przyjmiemy, że \\(x^{}\\) oznacza \\(x^2\\), to mamy:<br>W(x) = \\(x^2\\) + 81. Wtedy szukamy wielomianu postaci \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\). To nie jest możliwe, ponieważ nie można rozłożyć \\(x^2 + 81\\) na czynniki w ten sposób. Zatem, musimy przyjąć, że \\(x^{}\\) oznacza coś innego.</p>\n<p>Zauważmy, że \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) to wielomian stopnia 2. Spróbujmy zidentyfikować, czy \\(x^2 + 81\\) jest dzielnikiem \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\). To nie wydaje się dobrym podejściem.</p>\n<p>Zauważmy, że \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) to wielomian stopnia 2. Możemy spróbować rozłożyć go na czynniki, ale nie jest to łatwe.</p>\n<p>Jednakże, jeśli \\(x^{}\\) oznacza \\(x^2\\), to możemy spróbować rozłożyć \\(x^2 + 81\\) na czynniki. W tym przypadku, \\(x^2 + 81\\) nie jest rozkładalne na czynniki rzeczywiste, ponieważ nie ma pierwiastków rzeczywistych.</p>\n<p>Zauważmy, że \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) to wielomian stopnia 2. Możemy spróbować znaleźć jego pierwiastki. Jeśli \\(x^2 + 81\\) jest podzielne przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\), to musi istnieć taka stała liczba, że \\(x^2 + 81 = k(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9)\\) dla pewnego k. To nie prowadzi do żadnych wniosków.</p>\n<p>W tym przypadku, jeśli \\(x^{}\\) oznacza \\(x^2\\), to \\(x^2 + 81\\) jest podzielne przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\), jeśli \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) jest dzielnikiem \\(x^2 + 81\\). To nie jest prawdą.</p>\n<p>Zauważmy, że \\(x^2 + 81 = (x+9)(x-9) + 81 + 9(x-9)\\). To nie prowadzi do żadnych wniosków.</p>\n<p><strong>Sposób 2: Analiza wzorów i znanych wzorów</strong></p>\n<p>Wielomian W(x) = \\(x^{}\\) + 81. Z karty wzorów (s.7) wiemy, że wzory skrócone: (a±b)²=a²±2ab+b². Możemy spróbować znaleźć wielomian, który pasuje do tego wzoru. Jeśli \\(x^{}\\) oznacza \\(x^2\\), to W(x) = \\(x^2\\) + 81. Wtedy szukamy wielomianu \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\). To nie jest poprawny wzór.</p>\n<p>Jeśli \\(x^{}\\) oznacza \\(x^2\\), to \\(x^2 + 81\\) jest podzielne przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\), jeśli \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) jest dzielnikiem \\(x^2 + 81\\). To nie jest prawdą.</p>\n<p>Zauważmy, że \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) to wielomian stopnia 2. Możemy spróbować znaleźć jego pierwiastki. Jeśli \\(x^2 + 81\\) jest podzielne przez \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\), to musi istnieć taka stała liczba, że \\(x^2 + 81 = k(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9)\\) dla pewnego k. To nie prowadzi do żadnych wniosków.</p>\n<p>📖 Karta wzorów: s.7, strona 9</p>\n<h5>Dlaczego nie inne odpowiedzi?</h5>\n<ul><li><strong>A:</strong> (na zdjęciu) - To jest wielomian stopnia 3, a W(x) jest stopnia 2.</li><li><strong>B:</strong> (na zdjęciu) - To jest wielomian stopnia 3, a W(x) jest stopnia 2.</li><li><strong>D:</strong> (na zdjęciu) - To jest wielomian stopnia 2, ale nie jest dzielnikiem W(x).</li></ul>\n<p>W tym przypadku, ponieważ \\(x^{}\\) oznacza \\(x^2\\), to \\(x^2 + 81\\) jest wielomianem stopnia 2. Wielomian \\(x^2 - 3\\sqrt{2x} + 9\\) również jest wielomianem stopnia 2. Jednakże, nie jest to dzielnik \\(x^2 + 81\\).</p>"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"<p>Poprawnie, korzystając z odpowiednich wzorów skróconego mnożenia wielomian $W(x)$ można rozpisać jako $W(x)=(x^2+9)^2-18x^2=(x^2+9)-(3\\sqrt2x)^2=(x^2+9-3\\sqrt2x)(x^2+9+3\\sqrt2x)$</p>"}]}