{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/4","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"4","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 4. (0-1)\nLiczba różnych pierwiastków równania 3𝑥+ |𝑥-4| = 0 jest równa\nA. 0\nB. 1\nC. 2\nD. 3\n-3𝜋\n-2𝜋\n-𝜋\n0\n𝜋\n2𝜋\n3𝜋\n𝑥\n𝑦\n3\n2\n1\n\nEMAP-R0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Liczba różnych pierwiastków równania 3x + |x-4| = 0 jest równa A. 0 B. 1 C. 2 D. 3","answer":"B","answer_text":"Zadanie 4. (0-1)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Użycie i tworzenie strategii.\nZdający:\nR3.8) rozwiązuje równania […] z wartością\nbezwzględną, o poziomie trudności nie\nwyższym niż\n||𝑥+ 1| -2| = 3, |𝑥+ 3| + |𝑥-5| > 12.\nZasady oceniania\n1 pkt - odpowiedź poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\nB\nZADANIE OTWARTE (KODOWANE)","solution":"## Poprawna odpowiedź: B (jedna różna liczba)\n\nRównanie \\(3x + |x - 4| = 0\\) ma dokładnie **jeden pierwiastek**: \\(x = -2\\).\n\n## Sposób 1 - Rozważenie przypadków (definicja wartości bezwzględnej)\n\nWartość bezwzględna \\(|x - 4|\\) zmienia definicję zależnie od znaku wyrażenia \\(x - 4\\). Dzielimy na dwa przypadki.\n\n**Przypadek 1: \\(x \\geq 4\\)**\n\nWtedy \\(|x - 4| = x - 4\\), więc równanie przyjmuje postać:\n\\[3x + (x - 4) = 0\\]\n\\[4x - 4 = 0\\]\n\\[4x = 4\\]\n\\[x = 1\\]\n\nSprawdzamy założenie: czy \\(x = 1 \\geq 4\\)? **Nie!**\n\nWynik \\(x = 1\\) nie spełnia założenia przypadku 1, więc **odrzucamy** go.\n\n**Przypadek 2: \\(x < 4\\)**\n\nWtedy \\(|x - 4| = -(x - 4) = -x + 4\\), więc równanie przyjmuje postać:\n\\[3x + (-x + 4) = 0\\]\n\\[2x + 4 = 0\\]\n\\[2x = -4\\]\n\\[x = -2\\]\n\nSprawdzamy założenie: czy \\(x = -2 < 4\\)? **Tak!**\n\nWynik \\(x = -2\\) spełnia założenie, więc **przyjmujemy** to rozwiązanie.\n\n**Wniosek:** Jedynym pierwiastkiem jest \\(x = -2\\). Liczba różnych pierwiastków = **1**.\n\n## Sposób 2 - Analiza graficzna (weryfikacja)\n\nRównanie \\(3x + |x - 4| = 0\\) możemy zapisać jako:\n\\[|x - 4| = -3x\\]\n\nTo pytanie o to, ile punktów wspólnych mają wykresy:\n- \\(y = |x - 4|\\) - funkcja wartości bezwzględnej z wierzchołkiem w \\((4, 0)\\), rosnąca dla \\(x > 4\\), malejąca dla \\(x < 4\\)\n- \\(y = -3x\\) - prosta malejąca przechodząca przez \\((0, 0)\\)\n\nProsta \\(y = -3x\\) jest ujemna dla \\(x > 0\\) i dodatnia dla \\(x < 0\\). Funkcja \\(|x-4|\\) jest zawsze nieujemna. Zatem szukamy przecięcia jedynie dla \\(x \\leq 0\\) (gdzie \\(-3x \\geq 0\\)).\n\nDla \\(x < 4\\): \\(|x - 4| = -x + 4\\), więc szukamy:\n\\[-x + 4 = -3x \\implies 2x = -4 \\implies x = -2\\]\n\nSprawdzamy: \\(|-2 - 4| = |-6| = 6\\) oraz \\(-3 \\cdot (-2) = 6\\). ✓\n\nJeden punkt przecięcia → **jeden pierwiastek**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4)** - definicja:\n\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]\n\nZastosowanie: rozbicie na przypadki \\(x \\geq 4\\) i \\(x < 4\\) wynika bezpośrednio z tej definicji zastosowanej do wyrażenia \\(x - 4\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A (0) | Uczeń odrzuca oba wyniki bez sprawdzenia założeń, lub twierdzi, że równanie nie ma rozwiązań bo \"suma nie może być zerem\" |\n| C (2) | Uczeń przyjmuje **oba** wyniki: \\(x = 1\\) i \\(x = -2\\), zapominając sprawdzić, czy \\(x = 1\\) spełnia założenie \\(x \\geq 4\\) |\n| D (3) | Błędne rozbicie na więcej przypadków lub rachunkowy błąd arytmetyczny |\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po rozwiązaniu każdego przypadku **zawsze sprawdzaj założenie**! Wynik \\(x = 1\\) z Przypadku 1 wygląda poprawnie algebraicznie, ale nie spełnia warunku \\(x \\geq 4\\) - to klasyczna pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wpisuj rozwiązania z powrotem do oryginału tylko \"wzrokowo\" - zawsze podstaw: \\(3(-2) + |-2 - 4| = -6 + 6 = 0\\). ✓ Nawyk weryfikacji ratuje od głupich błędów na egzaminie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkt podziału to **\\(x = 4\\)** (gdzie \\(x - 4 = 0\\)), nie \\(x = 0\\). Mylenie punktu podziału to częsty błąd przy wartości bezwzględnej wyrażenia liniowego.\n\n### Sposob 1 (definicja wartosci bezwzglednej)\n**Przypadek 1**: \\(x \\geq 4\\). Wtedy \\(|x-4| = x-4\\). Rownanie: \\(3x + x - 4 = 0 \\Rightarrow 4x = 4 \\Rightarrow x = 1\\). Ale \\(1 < 4\\), wiec nie nalezy do przypadku.\n\n**Przypadek 2**: \\(x < 4\\). Wtedy \\(|x-4| = -(x-4) = 4-x\\). Rownanie: \\(3x + 4 - x = 0 \\Rightarrow 2x = -4 \\Rightarrow x = -2\\). Sprawdzamy: \\(-2 < 4\\). OK.\n\nJest jeden pierwiastek: \\(x = -2\\).\n\n### Sposob 2 (graficznie)\n\\(|x-4| = -3x\\) oznacza przeciecie wykresu \\(y = |x-4|\\) z prosta \\(y = -3x\\). Prawa strona musi byc \\(\\geq 0\\), wiec \\(x \\leq 0\\). Dla \\(x \\leq 0\\): \\(|x-4| = 4-x\\), wiec \\(4 - x = -3x \\Rightarrow 2x = -4 \\Rightarrow x = -2\\).\n\nJeden pierwiastek.\n\n### Uwagi o punktacji\n1 pkt za B.\n\n**Trik:** Sprawdz zgodnosc rozwiazania z zalozeniem kazdego przypadku. Odpowiedz: **B**.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1: Rozwiązanie równania za pomocą wzoru na pierwiastki równania kwadratowego\nRozważmy równanie postaci \\(3x + a = 0\\). To jest równanie kwadratowe, które można zapisać w postaci \\(3x = -a\\), a następnie \\(x = -\\frac{a}{3}\\). Ponieważ równanie ma dwa pierwiastki, to znaczy, że równanie ma rozwiązanie. Równanie \\(3x + a = 0\\) ma dokładnie jeden pierwiastek, który jest równy \\(x = -\\frac{a}{3}\\). Zatem liczba różnych pierwiastków równania jest równa 1.\n\n\\[x = -\\frac{a}{3}\\]\n📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, Newton (n nad k)=n!/(k!(n-k)!), strona 6\n\n### Sposób 2: Rozwiązanie równania za pomocą wzoru na pierwiastki równania kwadratowego\nRównanie \\(3x + a = 0\\) można zapisać jako \\(3x = -a\\). Dzieląc obie strony przez 3, otrzymujemy \\(x = -\\frac{a}{3}\\). Ponieważ mamy jedno równanie z jedną niewiadomą, to mamy jeden pierwiastek. Zatem liczba różnych pierwiastków równania jest równa 1.\n\n\\[x = -\\frac{a}{3}\\]\n📖 Karta wzorów: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b, strona 13\n\n### Dlaczego nie inne odpowiedzi?\n* **A:** Równanie \\(3x + a = 0\\) ma jeden pierwiastek, a nie wiele.\n* **C:** Równanie \\(a2 z 27\\) to po prostu liczba 27, a nie liczba pierwiastków równania.\n* **D:** Równanie \\(3x + a = 0\\) nie ma związku z logarytmami.\n\n**Wyjaśnienie:**\nRównanie \\(3x + a = 0\\) jest równaniem kwadratowym, gdzie \\(x\\) jest niewiadomą, a \\(a\\) jest stałą. Równanie kwadratowe ma zawsze dwa pierwiastki (lub jeden, jeśli pierwiastki są takie same). W tym przypadku, rozwiązując równanie, otrzymujemy \\(x = -\\frac{a}{3}\\). Ponieważ mamy jedno rozwiązanie, liczba różnych pierwiastków równania jest równa 1.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-4.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg","topics":"bezwgledna","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":"ocr","answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Liczba różnych pierwiastków równania 3𝑥+ |𝑥-4| = 0 jest równa
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
-3𝜋
-2𝜋
-𝜋
0
𝜋
2𝜋
3𝜋
𝑥
𝑦
3
2
1

\n

EMAP-R0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-R0_100
Rozwiązanie zadania. Liczba różnych pierwiastków równania 3x + |x-4| = 0 jest równa A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

","answer_text_html":"

Zadanie 4. (0-1)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Użycie i tworzenie strategii.
Zdający:
R3.8) rozwiązuje równania […] z wartością
bezwzględną, o poziomie trudności nie
wyższym niż
||𝑥+ 1| -2| = 3, |𝑥+ 3| + |𝑥-5| > 12.
Zasady oceniania
1 pkt - odpowiedź poprawna.
0 pkt - odpowiedź niepoprawna albo brak odpowiedzi.
Rozwiązanie
B
ZADANIE OTWARTE (KODOWANE)

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-4.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B (jedna różna liczba)

\n

Równanie \\(3x + |x - 4| = 0\\) ma dokładnie jeden pierwiastek: \\(x = -2\\).

\n

Sposób 1 - Rozważenie przypadków (definicja wartości bezwzględnej)

\n

Wartość bezwzględna \\(|x - 4|\\) zmienia definicję zależnie od znaku wyrażenia \\(x - 4\\). Dzielimy na dwa przypadki.

\n

Przypadek 1: \\(x \\geq 4\\)

\n

Wtedy \\(|x - 4| = x - 4\\), więc równanie przyjmuje postać:
\\[3x + (x - 4) = 0\\]
\\[4x - 4 = 0\\]
\\[4x = 4\\]
\\[x = 1\\]

\n

Sprawdzamy założenie: czy \\(x = 1 \\geq 4\\)? Nie!

\n

Wynik \\(x = 1\\) nie spełnia założenia przypadku 1, więc odrzucamy go.

\n

Przypadek 2: \\(x < 4\\)

\n

Wtedy \\(|x - 4| = -(x - 4) = -x + 4\\), więc równanie przyjmuje postać:
\\[3x + (-x + 4) = 0\\]
\\[2x + 4 = 0\\]
\\[2x = -4\\]
\\[x = -2\\]

\n

Sprawdzamy założenie: czy \\(x = -2 < 4\\)? Tak!

\n

Wynik \\(x = -2\\) spełnia założenie, więc przyjmujemy to rozwiązanie.

\n

Wniosek: Jedynym pierwiastkiem jest \\(x = -2\\). Liczba różnych pierwiastków = 1.

\n

Sposób 2 - Analiza graficzna (weryfikacja)

\n

Równanie \\(3x + |x - 4| = 0\\) możemy zapisać jako:
\\[|x - 4| = -3x\\]

\n

To pytanie o to, ile punktów wspólnych mają wykresy:

\n\n

Prosta \\(y = -3x\\) jest ujemna dla \\(x > 0\\) i dodatnia dla \\(x < 0\\). Funkcja \\(|x-4|\\) jest zawsze nieujemna. Zatem szukamy przecięcia jedynie dla \\(x \\leq 0\\) (gdzie \\(-3x \\geq 0\\)).

\n

Dla \\(x < 4\\): \\(|x - 4| = -x + 4\\), więc szukamy:
\\[-x + 4 = -3x \\implies 2x = -4 \\implies x = -2\\]

\n

Sprawdzamy: \\(|-2 - 4| = |-6| = 6\\) oraz \\(-3 \\cdot (-2) = 6\\). ✓

\n

Jeden punkt przecięcia → jeden pierwiastek.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 1 (Wartość bezwzględna, s. 4) - definicja:
\\[|x| = \\begin{cases} x & \\text{dla } x \\geq 0 \\\\ -x & \\text{dla } x < 0 \\end{cases}\\]

\n

Zastosowanie: rozbicie na przypadki \\(x \\geq 4\\) i \\(x < 4\\) wynika bezpośrednio z tej definicji zastosowanej do wyrażenia \\(x - 4\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Typowy błąd |
| A (0) | Uczeń odrzuca oba wyniki bez sprawdzenia założeń, lub twierdzi, że równanie nie ma rozwiązań bo "suma nie może być zerem" |
| C (2) | Uczeń przyjmuje oba wyniki: \\(x = 1\\) i \\(x = -2\\), zapominając sprawdzić, czy \\(x = 1\\) spełnia założenie \\(x \\geq 4\\) |
| D (3) | Błędne rozbicie na więcej przypadków lub rachunkowy błąd arytmetyczny |

\n

Typowe pułapki

\n
⚠️ Uwaga: Po rozwiązaniu każdego przypadku zawsze sprawdzaj założenie! Wynik \\(x = 1\\) z Przypadku 1 wygląda poprawnie algebraicznie, ale nie spełnia warunku \\(x \\geq 4\\) - to klasyczna pułapka.
\n
⚠️ Uwaga: Nie wpisuj rozwiązania z powrotem do oryginału tylko "wzrokowo" - zawsze podstaw: \\(3(-2) + |-2 - 4| = -6 + 6 = 0\\). ✓ Nawyk weryfikacji ratuje od głupich błędów na egzaminie.
\n
⚠️ Uwaga: Punkt podziału to \\(x = 4\\) (gdzie \\(x - 4 = 0\\)), nie \\(x = 0\\). Mylenie punktu podziału to częsty błąd przy wartości bezwzględnej wyrażenia liniowego.
\n
Sposob 1 (definicja wartosci bezwzglednej)
\n

Przypadek 1: \\(x \\geq 4\\). Wtedy \\(|x-4| = x-4\\). Rownanie: \\(3x + x - 4 = 0 \\Rightarrow 4x = 4 \\Rightarrow x = 1\\). Ale \\(1 < 4\\), wiec nie nalezy do przypadku.

\n

Przypadek 2: \\(x < 4\\). Wtedy \\(|x-4| = -(x-4) = 4-x\\). Rownanie: \\(3x + 4 - x = 0 \\Rightarrow 2x = -4 \\Rightarrow x = -2\\). Sprawdzamy: \\(-2 < 4\\). OK.

\n

Jest jeden pierwiastek: \\(x = -2\\).

\n
Sposob 2 (graficznie)
\n

\\(|x-4| = -3x\\) oznacza przeciecie wykresu \\(y = |x-4|\\) z prosta \\(y = -3x\\). Prawa strona musi byc \\(\\geq 0\\), wiec \\(x \\leq 0\\). Dla \\(x \\leq 0\\): \\(|x-4| = 4-x\\), wiec \\(4 - x = -3x \\Rightarrow 2x = -4 \\Rightarrow x = -2\\).

\n

Jeden pierwiastek.

\n
Uwagi o punktacji
\n

1 pkt za B.

\n

Trik: Sprawdz zgodnosc rozwiazania z zalozeniem kazdego przypadku. Odpowiedz: B.

\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1: Rozwiązanie równania za pomocą wzoru na pierwiastki równania kwadratowego
\n

Rozważmy równanie postaci \\(3x + a = 0\\). To jest równanie kwadratowe, które można zapisać w postaci \\(3x = -a\\), a następnie \\(x = -\\frac{a}{3}\\). Ponieważ równanie ma dwa pierwiastki, to znaczy, że równanie ma rozwiązanie. Równanie \\(3x + a = 0\\) ma dokładnie jeden pierwiastek, który jest równy \\(x = -\\frac{a}{3}\\). Zatem liczba różnych pierwiastków równania jest równa 1.

\n

\\[x = -\\frac{a}{3}\\]
📖 Karta wzorów: Silnia n!=1·2 n, Newton (n nad k)=n!/(k!(n-k)!), strona 6

\n
Sposób 2: Rozwiązanie równania za pomocą wzoru na pierwiastki równania kwadratowego
\n

Równanie \\(3x + a = 0\\) można zapisać jako \\(3x = -a\\). Dzieląc obie strony przez 3, otrzymujemy \\(x = -\\frac{a}{3}\\). Ponieważ mamy jedno równanie z jedną niewiadomą, to mamy jeden pierwiastek. Zatem liczba różnych pierwiastków równania jest równa 1.

\n

\\[x = -\\frac{a}{3}\\]
📖 Karta wzorów: Logarytmy: log_a(b)=c ↔ a^c=b, strona 13

\n
Dlaczego nie inne odpowiedzi?
\n\n

Wyjaśnienie:
Równanie \\(3x + a = 0\\) jest równaniem kwadratowym, gdzie \\(x\\) jest niewiadomą, a \\(a\\) jest stałą. Równanie kwadratowe ma zawsze dwa pierwiastki (lub jeden, jeśli pierwiastki są takie same). W tym przypadku, rozwiązując równanie, otrzymujemy \\(x = -\\frac{a}{3}\\). Ponieważ mamy jedno rozwiązanie, liczba różnych pierwiastków równania jest równa 1.

"},{"source":"odrabiamy","label":"odrabiamy.pl","kind":"text","html":"

Poprawnie, rozbijmy równanie $3x + |x - 4| = 0$ na dwa przypadki.

\n\n

$3x+x-4=0 \\Rightarrow x=1$ - nie należy do rozpatrywanego przedziału.

\n\n

$3x-x+4=0 \\Rightarrow x=-2$
A więc równanie ma jedno rozwiązanie.

"}]}