{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/5","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"5","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 5. (0-2)\nOblicz granicę lim\n௡→ஶ\n൫3𝑛+2൯2-൫1-2𝑛൯2\n൫2𝑛-1൯2\nW poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po\nprzecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Oblicz granicę lim_n→∞ (3n+2)^2 - (1-2n)^2 / (2n-1)^2. W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.","answer":"1","answer_text":"Zadanie 5. (0-2)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR5.1) oblicza granice ciągów, korzystając\nz granic ciągów typu 1/n, 1/n2 oraz\nz twierdzeń o działaniach na granicach\nciągów.\nZasady oceniania\n2 pkt - odpowiedź całkowicie poprawna.\n0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.\nRozwiązanie\n1\n2\n5\nZADANIA OTWARTE (NIEKODOWANE)\n1. Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki\nzadania.\n2. Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie\nupraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę\ni konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może\notrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania\nliczbą punktów za dane zadanie).","solution":"## Poprawna odpowiedź: 1,25\n\nWynik granicy to \\(\\frac{5}{4} = 1{,}25\\). Cyfra jedności: **1**, pierwsze dwie cyfry po przecinku: **25**.\n\n## Sposób 1 - Rozwinięcie i uproszczenie wyrażenia\n\n**Krok 1: Rozwijamy licznik.**\n\n\\[(3n+2)^2 - (1-2n)^2\\]\n\nKorzystamy z wzoru \\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\\), czyli różnica kwadratów:\n\n\\[(3n+2)^2 - (1-2n)^2 = \\bigl[(3n+2) - (1-2n)\\bigr]\\bigl[(3n+2) + (1-2n)\\bigr]\\]\n\nObliczamy każdy nawias:\n\n\\[(3n+2) - (1-2n) = 3n+2-1+2n = 5n+1\\]\n\n\\[(3n+2) + (1-2n) = 3n+2+1-2n = n+3\\]\n\nZatem licznik:\n\n\\[(5n+1)(n+3) = 5n^2 + 15n + n + 3 = 5n^2 + 16n + 3\\]\n\n**Krok 2: Rozwijamy mianownik.**\n\n\\[(2n-1)^2 = 4n^2 - 4n + 1\\]\n\n**Krok 3: Mamy ułamek.**\n\n\\[\\frac{5n^2 + 16n + 3}{4n^2 - 4n + 1}\\]\n\n**Krok 4: Wyciągamy \\(n^2\\) z licznika i mianownika** (standardowa technika dla granic \\(\\frac{\\text{wielomian}}{\\text{wielomian}}\\) tego samego stopnia):\n\n\\[\\frac{n^2\\left(5 + \\dfrac{16}{n} + \\dfrac{3}{n^2}\\right)}{n^2\\left(4 - \\dfrac{4}{n} + \\dfrac{1}{n^2}\\right)} = \\frac{5 + \\dfrac{16}{n} + \\dfrac{3}{n^2}}{4 - \\dfrac{4}{n} + \\dfrac{1}{n^2}}\\]\n\n**Krok 5: Przechodzimy do granicy.** Gdy \\(n \\to \\infty\\): \\(\\dfrac{16}{n} \\to 0\\), \\(\\dfrac{3}{n^2} \\to 0\\), \\(\\dfrac{4}{n} \\to 0\\), \\(\\dfrac{1}{n^2} \\to 0\\).\n\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{5 + \\dfrac{16}{n} + \\dfrac{3}{n^2}}{4 - \\dfrac{4}{n} + \\dfrac{1}{n^2}} = \\frac{5 + 0 + 0}{4 - 0 + 0} = \\frac{5}{4}\\]\n\n**Wynik: \\(\\dfrac{5}{4} = 1{,}25\\)**\n\n## Sposób 2 - Zasada dominującego wyrazu (najszybsza metoda)\n\nDla granic wielomianów stopnia \\(n\\) najważniejszy jest **najwyższy stopień** - reszta \"znika\" przy \\(n \\to \\infty\\).\n\n**Licznik:** \\((3n+2)^2 - (1-2n)^2\\)\n\n- \\((3n)^2 = 9n^2\\) - dominujący wyraz z pierwszego kwadratu\n- \\((-2n)^2 = 4n^2\\) - dominujący wyraz z drugiego kwadratu\n\nZatem licznik \\(\\approx 9n^2 - 4n^2 = 5n^2\\) dla dużych \\(n\\).\n\n**Mianownik:** \\((2n-1)^2 \\approx (2n)^2 = 4n^2\\) dla dużych \\(n\\).\n\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{5n^2 + \\ldots}{4n^2 + \\ldots} = \\frac{5}{4}\\]\n\n**To potwierdza wynik z Metody 1.**\n\n> Uwaga: ta metoda działa tylko gdy licznik i mianownik są tego samego stopnia - wtedy granica = iloraz współczynników przy najwyższych potęgach.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do faktoryzacji licznika - to szybszy sposób niż rozwijanie obu kwadratów osobno.\n\n\\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy przy rozwijaniu \\((2n-1)^2\\) w mianowniku.\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-11):**\n\\[\\lim_{n \\to \\infty} q^n = 0 \\quad \\text{dla } q \\in (-1,1)\\]\nZasada ta uzasadnia, że \\(\\dfrac{1}{n} \\to 0\\) i \\(\\dfrac{1}{n^2} \\to 0\\) gdy \\(n \\to \\infty\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wstawiaj \\(n = \\infty\\) bezpośrednio do wyrażenia! Dostaniesz \\(\\frac{\\infty}{\\infty}\\) - to **symbol nieoznaczony**, który nic nie mówi o wartości granicy. Trzeba najpierw uprościć wyrażenie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy rozwijaniu \\((1-2n)^2\\) uważaj na kolejność: \\((1-2n)^2 = 1 - 4n + 4n^2\\), a nie \\((2n-1)^2\\) - choć wynik ten sam, bo kwadrat \"pochłania\" zmianę znaku. Błędy przy odejmowaniu licznika to najczęstsze źródło pomyłek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wyciąganiu \\(n^2\\) przed nawias upewnij się, że wyciągasz je zarówno z licznika **i** z mianownika - tylko wtedy możesz je skrócić.\n\n### Sposob 1 (wymnozenie i podzielenie przez najwyzsza potege)\nLicznik: \\((3n+2)^{2} - (1-2n)^{2} = (9n^{2} + 12n + 4) - (1 - 4n + 4n^{2}) = 5n^{2} + 16n + 3\\).\n\nMianownik: \\((2n-1)^{2} = 4n^{2} - 4n + 1\\).\n\nDzielimy licznik i mianownik przez \\(n^{2}\\):\n\\[\n\\lim_{n \\to \\infty} \\dfrac{5 + \\tfrac{16}{n} + \\tfrac{3}{n^{2}}}{4 - \\tfrac{4}{n} + \\tfrac{1}{n^{2}}} = \\dfrac{5 + 0 + 0}{4 - 0 + 0} = \\dfrac{5}{4} = 1{,}25.\n\\]\n\nKorzystamy z twierdzen o dzialaniach na granicach oraz granicy \\(\\lim \\tfrac{1}{n} = 0\\) (karta wzorow, Granice ciagow).\n\nKratki: **1, 2, 5**.\n\n### Sposob 2 (wzor na roznice kwadratow w liczniku)\n\\((3n+2)^{2} - (1-2n)^{2} = [(3n+2)-(1-2n)][(3n+2)+(1-2n)] = (5n+1)(n+3) = 5n^{2} + 16n + 3\\). Dalej jak wyzej.\n\n### Uwagi o punktacji\n2 pkt - odpowiedz calkowicie poprawna (kratki 1, 2, 5).\n0 pkt - odpowiedz niepelna lub niepoprawna.\n\n**Trik:** Stopien licznika i mianownika rowny 2 - iloraz wspolczynnikow wiodacych: \\(\\tfrac{5}{4} = 1{,}25\\). Odpowiedz: **1,25**.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg","topics":"granice","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"<p>Zadanie 5. (0-2)<br>Oblicz granicę lim<br>௡→ஶ<br>൫3𝑛+2൯2-൫1-2𝑛൯2<br>൫2𝑛-1൯2<br>W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po<br>przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.</p>\n<p>EMAP-R0_100<br>Rozwiązanie zadania. Oblicz granicę lim_n→∞ (3n+2)^2 - (1-2n)^2 / (2n-1)^2. W poniższe kratki wpisz kolejno - od lewej do prawej - cyfrę jedności i pierwsze dwie cyfry po przecinku skończonego rozwinięcia dziesiętnego otrzymanego wyniku.</p>","answer_text_html":"<p>Zadanie 5. (0-2)<br>Wymagania egzaminacyjne 2021<br>Wymaganie ogólne<br>Wymaganie szczegółowe<br>II. Wykorzystanie i interpretowanie<br>reprezentacji.<br>Zdający:<br>R5.1) oblicza granice ciągów, korzystając<br>z granic ciągów typu 1/n, 1/n2 oraz<br>z twierdzeń o działaniach na granicach<br>ciągów.<br>Zasady oceniania<br>2 pkt - odpowiedź całkowicie poprawna.<br>0 pkt - odpowiedź niepełna lub niepoprawna albo brak odpowiedzi.<br>Rozwiązanie<br>1<br>2<br>5<br>ZADANIA OTWARTE (NIEKODOWANE)</p>\n<ol><li>Akceptowane są wszystkie rozwiązania merytorycznie poprawne i spełniające warunki</li></ol>\n<p>zadania.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający popełni błędy rachunkowe, które na żadnym etapie rozwiązania nie</li></ol>\n<p>upraszczają i nie zmieniają danego zagadnienia, lecz stosuje poprawną metodę<br>i konsekwentnie do popełnionych błędów rachunkowych rozwiązuje zadanie, to może<br>otrzymać co najwyżej (𝑛-1) punktów (gdzie 𝑛 jest maksymalną możliwą do uzyskania<br>liczbą punktów za dane zadanie).</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-5.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: 1,25</h4>\n<p>Wynik granicy to \\(\\frac{5}{4} = 1{,}25\\). Cyfra jedności: <strong>1</strong>, pierwsze dwie cyfry po przecinku: <strong>25</strong>.</p>\n<h4>Sposób 1 - Rozwinięcie i uproszczenie wyrażenia</h4>\n<p><strong>Krok 1: Rozwijamy licznik.</strong></p>\n<p>\\[(3n+2)^2 - (1-2n)^2\\]</p>\n<p>Korzystamy z wzoru \\((a-b)(a+b) = a^2 - b^2\\), czyli różnica kwadratów:</p>\n<p>\\[(3n+2)^2 - (1-2n)^2 = \\bigl[(3n+2) - (1-2n)\\bigr]\\bigl[(3n+2) + (1-2n)\\bigr]\\]</p>\n<p>Obliczamy każdy nawias:</p>\n<p>\\[(3n+2) - (1-2n) = 3n+2-1+2n = 5n+1\\]</p>\n<p>\\[(3n+2) + (1-2n) = 3n+2+1-2n = n+3\\]</p>\n<p>Zatem licznik:</p>\n<p>\\[(5n+1)(n+3) = 5n^2 + 15n + n + 3 = 5n^2 + 16n + 3\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Rozwijamy mianownik.</strong></p>\n<p>\\[(2n-1)^2 = 4n^2 - 4n + 1\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Mamy ułamek.</strong></p>\n<p>\\[\\frac{5n^2 + 16n + 3}{4n^2 - 4n + 1}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4: Wyciągamy \\(n^2\\) z licznika i mianownika</strong> (standardowa technika dla granic \\(\\frac{\\text{wielomian}}{\\text{wielomian}}\\) tego samego stopnia):</p>\n<p>\\[\\frac{n^2\\left(5 + \\dfrac{16}{n} + \\dfrac{3}{n^2}\\right)}{n^2\\left(4 - \\dfrac{4}{n} + \\dfrac{1}{n^2}\\right)} = \\frac{5 + \\dfrac{16}{n} + \\dfrac{3}{n^2}}{4 - \\dfrac{4}{n} + \\dfrac{1}{n^2}}\\]</p>\n<p><strong>Krok 5: Przechodzimy do granicy.</strong> Gdy \\(n \\to \\infty\\): \\(\\dfrac{16}{n} \\to 0\\), \\(\\dfrac{3}{n^2} \\to 0\\), \\(\\dfrac{4}{n} \\to 0\\), \\(\\dfrac{1}{n^2} \\to 0\\).</p>\n<p>\\[\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{5 + \\dfrac{16}{n} + \\dfrac{3}{n^2}}{4 - \\dfrac{4}{n} + \\dfrac{1}{n^2}} = \\frac{5 + 0 + 0}{4 - 0 + 0} = \\frac{5}{4}\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(\\dfrac{5}{4} = 1{,}25\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Zasada dominującego wyrazu (najszybsza metoda)</h4>\n<p>Dla granic wielomianów stopnia \\(n\\) najważniejszy jest <strong>najwyższy stopień</strong> - reszta &quot;znika&quot; przy \\(n \\to \\infty\\).</p>\n<p><strong>Licznik:</strong> \\((3n+2)^2 - (1-2n)^2\\)</p>\n<ul><li>\\((3n)^2 = 9n^2\\) - dominujący wyraz z pierwszego kwadratu</li><li>\\((-2n)^2 = 4n^2\\) - dominujący wyraz z drugiego kwadratu</li></ul>\n<p>Zatem licznik \\(\\approx 9n^2 - 4n^2 = 5n^2\\) dla dużych \\(n\\).</p>\n<p><strong>Mianownik:</strong> \\((2n-1)^2 \\approx (2n)^2 = 4n^2\\) dla dużych \\(n\\).</p>\n<p>\\[\\lim_{n \\to \\infty} \\frac{5n^2 + \\ldots}{4n^2 + \\ldots} = \\frac{5}{4}\\]</p>\n<p><strong>To potwierdza wynik z Metody 1.</strong></p>\n<blockquote>Uwaga: ta metoda działa tylko gdy licznik i mianownik są tego samego stopnia - wtedy granica = iloraz współczynników przy najwyższych potęgach.</blockquote>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):</strong><br>\\[a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 1 do faktoryzacji licznika - to szybszy sposób niż rozwijanie obu kwadratów osobno.</p>\n<p>\\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]<br>Użyliśmy przy rozwijaniu \\((2n-1)^2\\) w mianowniku.</p>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-11):</strong><br>\\[\\lim_{n \\to \\infty} q^n = 0 \\quad \\text{dla } q \\in (-1,1)\\]<br>Zasada ta uzasadnia, że \\(\\dfrac{1}{n} \\to 0\\) i \\(\\dfrac{1}{n^2} \\to 0\\) gdy \\(n \\to \\infty\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie wstawiaj \\(n = \\infty\\) bezpośrednio do wyrażenia! Dostaniesz \\(\\frac{\\infty}{\\infty}\\) - to <strong>symbol nieoznaczony</strong>, który nic nie mówi o wartości granicy. Trzeba najpierw uprościć wyrażenie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy rozwijaniu \\((1-2n)^2\\) uważaj na kolejność: \\((1-2n)^2 = 1 - 4n + 4n^2\\), a nie \\((2n-1)^2\\) - choć wynik ten sam, bo kwadrat &quot;pochłania&quot; zmianę znaku. Błędy przy odejmowaniu licznika to najczęstsze źródło pomyłek.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy wyciąganiu \\(n^2\\) przed nawias upewnij się, że wyciągasz je zarówno z licznika <strong>i</strong> z mianownika - tylko wtedy możesz je skrócić.</blockquote>\n<h5>Sposob 1 (wymnozenie i podzielenie przez najwyzsza potege)</h5>\n<p>Licznik: \\((3n+2)^{2} - (1-2n)^{2} = (9n^{2} + 12n + 4) - (1 - 4n + 4n^{2}) = 5n^{2} + 16n + 3\\).</p>\n<p>Mianownik: \\((2n-1)^{2} = 4n^{2} - 4n + 1\\).</p>\n<p>Dzielimy licznik i mianownik przez \\(n^{2}\\):<br>\\[<br>\\lim_{n \\to \\infty} \\dfrac{5 + \\tfrac{16}{n} + \\tfrac{3}{n^{2}}}{4 - \\tfrac{4}{n} + \\tfrac{1}{n^{2}}} = \\dfrac{5 + 0 + 0}{4 - 0 + 0} = \\dfrac{5}{4} = 1{,}25.<br>\\]</p>\n<p>Korzystamy z twierdzen o dzialaniach na granicach oraz granicy \\(\\lim \\tfrac{1}{n} = 0\\) (karta wzorow, Granice ciagow).</p>\n<p>Kratki: <strong>1, 2, 5</strong>.</p>\n<h5>Sposob 2 (wzor na roznice kwadratow w liczniku)</h5>\n<p>\\((3n+2)^{2} - (1-2n)^{2} = [(3n+2)-(1-2n)][(3n+2)+(1-2n)] = (5n+1)(n+3) = 5n^{2} + 16n + 3\\). Dalej jak wyzej.</p>\n<h5>Uwagi o punktacji</h5>\n<p>2 pkt - odpowiedz calkowicie poprawna (kratki 1, 2, 5).<br>0 pkt - odpowiedz niepelna lub niepoprawna.</p>\n<p><strong>Trik:</strong> Stopien licznika i mianownika rowny 2 - iloraz wspolczynnikow wiodacych: \\(\\tfrac{5}{4} = 1{,}25\\). Odpowiedz: <strong>1,25</strong>.</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>1 2 5</p>"}]}