{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/6","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"6","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 6. (0-3)\nNiech logଶ18 = 𝑐. Wykaż, że logଷ4 =\n4\n𝑐-1 .\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n5.\n6.\nMaks. liczba pkt\n2\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Niech log_2 18 = c. Wykaż, że log_3 4 = 4 / c-1.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 6. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nV. Rozumowanie i argumentacja.\nZdający:\nR1.2) stosuje w obliczeniach wzór na\nlogarytm potęgi oraz wzór na zamianę\npodstawy logarytmu.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy podczas przekształcenia wyrażenia log3 4 lub\n4\nlog2 18-1 poprawnie zastosuje wzór na\nzamianę podstaw logarytmu lub logarytm ilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi, np.:\nlog3 4 = log2 4\nlog2 3 ,\n4\nlog2 18 -1 =\n4\nlog2\n18\n2\n, log3 4 = 2log3 2 , log2 18 = log2 2 + log2 9\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\nprzekształci wyrażenie log3 4 lub\n4\nlog2 18-1 lub oba te wyrażenia do takiej postaci,\nz której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na zamianę podstaw logarytmu lub\nlogarytm ilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi oraz ewentualne kilkukrotne\nprzekształcenie wyrażenia wymiernego uzyskuje się tezę\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n\nwyznaczy log2 3 w zależności od 𝑐: log2 3 = 𝑐-1\n2\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy, stosując poprawną metodę, przeprowadzi pełny dowód.\nUwaga:\nJeżeli zdający, przy rozpoczęciu przekształcania wyrażenia log3 4 lub\n4\nlog2 18-1 , popełnia\nbłąd rzeczowy (niepoprawnie zastosuje wzór na zamianę podstaw logarytmu lub logarytm\nilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi), lecz w dalszej części rozwiązania każdorazowo stosuje\nte wzory poprawnie, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzekształcamy wyrażenie log3 4, stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu:\nlog3 4 = log2 4\nlog2 3\nAby doprowadzić do uzyskania w liczniku liczby 4, mnożymy licznik i mianownik ułamka\nprzez 2. Otrzymujemy:\n2 ⋅log2 4\n2 ⋅log2 3 = 2 ⋅log2 4\nlog2 9\n4\nlog2 9\nStosujemy wzór na różnicę logarytmów o tych samych podstawach i otrzymujemy:\n4\nlog2 9 =\n4\nlog2\n18\n2\n4\nlog2 18 -log2 2 =\n4\n𝑐-1\nZatem log3 4 =\n4\n𝑐-1 . To należało wykazać.\nSposób 2.\nPodstawiamy log2 18 = 𝑐 do wyrażenia\n4\n𝑐-1 i zapisujemy mianownik jako różnicę\nlogarytmów o podstawie 2:\n4\n𝑐-1 =\n4\nlog2 18 -log2 2\nPrzekształcamy wyrażenie w mianowniku:\n4\nlog2 18 -log2 2 =\n4\nlog2 9 =\n4\n2 log2 3 =\n2\nlog2 3\nStosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu:\n2\nlog2 3 =\n2\n1\nlog3 2\n= 2 log3 2 = log3 4\nZatem 4\n𝑐-1 = log3 4 . To należało wykazać.\nSposób 3.\nPrzekształcamy log2 18 = log2(9 ∙2) = log2 9 + log2 2 = log2 9 + 1 = 2 log2 3 + 1 = 𝑐\nObliczamy log2 3 = 𝑐-1\n2 . Stąd\nlog3 4 = log2 4\nlog2 3 = 2\n𝑐-1\n2\n4\n𝑐-1\nTo należało wykazać.","solution":"## Poprawna odpowiedź: wykazanie tożsamości\n\nZadanie polega na **udowodnieniu**, że \\(\\log_3 4 = \\dfrac{4}{c-1}\\), gdzie \\(c = \\log_2 18\\). Nie ma gotowej odpowiedzi ABCD - pokazujemy łańcuch równości.\n\n## Sposób 1 - wyłuskanie \\(\\log_2 3\\) z definicji \\(c\\)\n\n**Krok 1.** Rozkładamy \\(18\\) na czynniki i upraszczamy \\(c\\).\n\n\\[c = \\log_2 18 = \\log_2(2 \\cdot 3^2) = \\log_2 2 + \\log_2 3^2 = 1 + 2\\log_2 3\\]\n\n**Krok 2.** Wyznaczamy \\(\\log_2 3\\) z powyższego.\n\n\\[c - 1 = 2\\log_2 3 \\implies \\log_2 3 = \\frac{c-1}{2}\\]\n\n**Krok 3.** Upraszczamy \\(\\log_3 4\\) - zamieniamy podstawę na 2.\n\n\\[\\log_3 4 = \\log_3 2^2 = 2\\log_3 2 = \\frac{2}{\\log_2 3}\\]\n\n(skorzystaliśmy ze wzoru \\(\\log_a b = \\dfrac{1}{\\log_b a}\\))\n\n**Krok 4.** Podstawiamy wynik z Kroku 2.\n\n\\[\\log_3 4 = \\frac{2}{\\log_2 3} = \\frac{2}{\\dfrac{c-1}{2}} = \\frac{2 \\cdot 2}{c-1} = \\frac{4}{c-1}\\]\n\n**Co chcieliśmy pokazać. \\(\\blacksquare\\)**\n\n## Sposób 2 - od prawej strony: upraszczamy \\(\\dfrac{4}{c-1}\\)\n\nZaczynamy od prawej strony i pokazujemy, że równa się \\(\\log_3 4\\).\n\n\\[\\frac{4}{c-1} = \\frac{4}{\\log_2 18 - 1}\\]\n\nZamieniamy \\(1 = \\log_2 2\\):\n\n\\[= \\frac{4}{\\log_2 18 - \\log_2 2} = \\frac{4}{\\log_2\\!\\left(\\dfrac{18}{2}\\right)} = \\frac{4}{\\log_2 9}\\]\n\nPonieważ \\(\\log_2 9 = \\log_2 3^2 = 2\\log_2 3\\):\n\n\\[= \\frac{4}{2\\log_2 3} = \\frac{2}{\\log_2 3}\\]\n\nStosując zamianę podstawy \\(\\dfrac{1}{\\log_2 3} = \\log_3 2\\):\n\n\\[= 2\\log_3 2 = \\log_3 2^2 = \\log_3 4 \\qquad \\blacksquare\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6)** - używamy trzech własności:\n\n1. **Logarytm iloczynu:**\n\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]\nDzięki temu rozkładamy \\(\\log_2 18 = \\log_2 2 + \\log_2 9\\).\n\n2. **Logarytm potęgi:**\n\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]\nDzięki temu \\(\\log_2 3^2 = 2\\log_2 3\\) oraz \\(\\log_3 2^2 = 2\\log_3 2\\).\n\n3. **Zamiana podstawy / odwrócenie:**\n\\[\\log_a b = \\frac{1}{\\log_b a}\\]\nDzięki temu \\(\\log_3 2 = \\dfrac{1}{\\log_2 3}\\) - kluczowy krok łączący obie strony.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie można „przestawić\" podstawy swobodnie - \\(\\log_3 4 \\neq \\log_4 3\\). Zamiana podstawy wymaga wzoru z karty: \\(\\log_a b = \\dfrac{1}{\\log_b a}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy upraszczaniu \\(c - 1 = \\log_2 18 - 1\\) pamiętaj, że \\(1 = \\log_2 2\\) (jedynkę trzeba zamienić na logarytm o tej samej podstawie, żeby skorzystać z własności logarytmu ilorazu).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Typowy błąd to próba obliczenia \\(\\log_3 4\\) wprost z \\(c\\) bez pośredniego wyznaczenia \\(\\log_2 3\\). Zawsze szukaj, **jaką wspólną „cegiełkę\"** (tu: \\(\\log_2 3\\)) da się wydobyć z obu wyrażeń.\n\n### Sposob 1 (zamiana podstawy + wzor na roznice logarytmow)\nKorzystamy ze wzorow z karty wzorow (dzial Logarytmy): \\(\\log_{a}b = \\dfrac{\\log_{c}b}{\\log_{c}a}\\), \\(\\log_{a}(b/c) = \\log_{a}b - \\log_{a}c\\).\n\n\\[\\log_{3} 4 = \\dfrac{\\log_{2}4}{\\log_{2}3} = \\dfrac{2}{\\log_{2}3}.\\]\n\nMnozymy licznik i mianownik przez 2:\n\\[\\log_{3} 4 = \\dfrac{4}{2\\log_{2}3} = \\dfrac{4}{\\log_{2} 9} = \\dfrac{4}{\\log_{2}(18/2)} = \\dfrac{4}{\\log_{2}18 - \\log_{2}2} = \\dfrac{4}{c-1}.\\]\n\nKoniec dowodu.\n\n### Sposob 2 (wyznaczenie \\(\\log_{2} 3\\) z \\(c\\))\n\\(c = \\log_{2}18 = \\log_{2}(9 \\cdot 2) = \\log_{2}9 + 1 = 2\\log_{2}3 + 1\\).\nStad \\(\\log_{2}3 = \\dfrac{c-1}{2}\\).\n\nZatem \\(\\log_{3}4 = \\dfrac{\\log_{2}4}{\\log_{2}3} = \\dfrac{2}{(c-1)/2} = \\dfrac{4}{c-1}\\). CBDU.\n\n### Uwagi o punktacji (wedlug CKE)\n- **1 pkt**: poprawnie zastosuje wzor na zamiane podstaw lub logarytm ilorazu/iloczynu albo logarytm potegi, np. \\(\\log_{3}4 = \\tfrac{\\log_{2}4}{\\log_{2}3}\\) lub \\(\\log_{2}18 = \\log_{2}2 + \\log_{2}9\\), ALBO wyznaczy \\(\\log_{2}3 = \\tfrac{c-1}{2}\\).\n- **2 pkt**: doprowadzi wyrazenie do postaci z teza przez jednokrotne zastosowanie zamiany podstaw logarytmu.\n- **3 pkt**: pelny dowod.\n\n**Trik:** Rozpisz 18 = 2·9 i wykorzystaj \\(\\log_{2}4 = 2\\log_{2}2 = 2\\).","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg","topics":"logarytmy","page_from":5,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 6. (0-3)
Niech logଶ18 = 𝑐. Wykaż, że logଷ4 =
4
𝑐-1 .
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
5.
6.
Maks. liczba pkt
2
3
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100
Rozwiązanie zadania. Niech log_2 18 = c. Wykaż, że log_3 4 = 4 / c-1.

","answer_text_html":"

Zadanie 6. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
V. Rozumowanie i argumentacja.
Zdający:
R1.2) stosuje w obliczeniach wzór na
logarytm potęgi oraz wzór na zamianę
podstawy logarytmu.
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy podczas przekształcenia wyrażenia log3 4 lub
4
log2 18-1 poprawnie zastosuje wzór na
zamianę podstaw logarytmu lub logarytm ilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi, np.:
log3 4 = log2 4
log2 3 ,
4
log2 18 -1 =
4
log2
18
2
, log3 4 = 2log3 2 , log2 18 = log2 2 + log2 9
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:

przekształci wyrażenie log3 4 lub
4
log2 18-1 lub oba te wyrażenia do takiej postaci,
z której poprzez jednokrotne zastosowanie wzoru na zamianę podstaw logarytmu lub
logarytm ilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi oraz ewentualne kilkukrotne
przekształcenie wyrażenia wymiernego uzyskuje się tezę
Zasady oceniania rozwiązań zadań
ALBO

wyznaczy log2 3 w zależności od 𝑐: log2 3 = 𝑐-1
2
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy, stosując poprawną metodę, przeprowadzi pełny dowód.
Uwaga:
Jeżeli zdający, przy rozpoczęciu przekształcania wyrażenia log3 4 lub
4
log2 18-1 , popełnia
błąd rzeczowy (niepoprawnie zastosuje wzór na zamianę podstaw logarytmu lub logarytm
ilorazu/iloczynu, lub logarytm potęgi), lecz w dalszej części rozwiązania każdorazowo stosuje
te wzory poprawnie, to może otrzymać za całe rozwiązanie co najwyżej 1 punkt.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Przekształcamy wyrażenie log3 4, stosując wzór na zamianę podstawy logarytmu:
log3 4 = log2 4
log2 3
Aby doprowadzić do uzyskania w liczniku liczby 4, mnożymy licznik i mianownik ułamka
przez 2. Otrzymujemy:
2 ⋅log2 4
2 ⋅log2 3 = 2 ⋅log2 4
log2 9
4
log2 9
Stosujemy wzór na różnicę logarytmów o tych samych podstawach i otrzymujemy:
4
log2 9 =
4
log2
18
2
4
log2 18 -log2 2 =
4
𝑐-1
Zatem log3 4 =
4
𝑐-1 . To należało wykazać.
Sposób 2.
Podstawiamy log2 18 = 𝑐 do wyrażenia
4
𝑐-1 i zapisujemy mianownik jako różnicę
logarytmów o podstawie 2:
4
𝑐-1 =
4
log2 18 -log2 2
Przekształcamy wyrażenie w mianowniku:
4
log2 18 -log2 2 =
4
log2 9 =
4
2 log2 3 =
2
log2 3
Stosujemy wzór na zamianę podstawy logarytmu:
2
log2 3 =
2
1
log3 2
= 2 log3 2 = log3 4
Zatem 4
𝑐-1 = log3 4 . To należało wykazać.
Sposób 3.
Przekształcamy log2 18 = log2(9 ∙2) = log2 9 + log2 2 = log2 9 + 1 = 2 log2 3 + 1 = 𝑐
Obliczamy log2 3 = 𝑐-1
2 . Stąd
log3 4 = log2 4
log2 3 = 2
𝑐-1
2
4
𝑐-1
To należało wykazać.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: wykazanie tożsamości

\n

Zadanie polega na udowodnieniu, że \\(\\log_3 4 = \\dfrac{4}{c-1}\\), gdzie \\(c = \\log_2 18\\). Nie ma gotowej odpowiedzi ABCD - pokazujemy łańcuch równości.

\n

Sposób 1 - wyłuskanie \\(\\log_2 3\\) z definicji \\(c\\)

\n

Krok 1. Rozkładamy \\(18\\) na czynniki i upraszczamy \\(c\\).

\n

\\[c = \\log_2 18 = \\log_2(2 \\cdot 3^2) = \\log_2 2 + \\log_2 3^2 = 1 + 2\\log_2 3\\]

\n

Krok 2. Wyznaczamy \\(\\log_2 3\\) z powyższego.

\n

\\[c - 1 = 2\\log_2 3 \\implies \\log_2 3 = \\frac{c-1}{2}\\]

\n

Krok 3. Upraszczamy \\(\\log_3 4\\) - zamieniamy podstawę na 2.

\n

\\[\\log_3 4 = \\log_3 2^2 = 2\\log_3 2 = \\frac{2}{\\log_2 3}\\]

\n

(skorzystaliśmy ze wzoru \\(\\log_a b = \\dfrac{1}{\\log_b a}\\))

\n

Krok 4. Podstawiamy wynik z Kroku 2.

\n

\\[\\log_3 4 = \\frac{2}{\\log_2 3} = \\frac{2}{\\dfrac{c-1}{2}} = \\frac{2 \\cdot 2}{c-1} = \\frac{4}{c-1}\\]

\n

Co chcieliśmy pokazać. \\(\\blacksquare\\)

\n

Sposób 2 - od prawej strony: upraszczamy \\(\\dfrac{4}{c-1}\\)

\n

Zaczynamy od prawej strony i pokazujemy, że równa się \\(\\log_3 4\\).

\n

\\[\\frac{4}{c-1} = \\frac{4}{\\log_2 18 - 1}\\]

\n

Zamieniamy \\(1 = \\log_2 2\\):

\n

\\[= \\frac{4}{\\log_2 18 - \\log_2 2} = \\frac{4}{\\log_2\\!\\left(\\dfrac{18}{2}\\right)} = \\frac{4}{\\log_2 9}\\]

\n

Ponieważ \\(\\log_2 9 = \\log_2 3^2 = 2\\log_2 3\\):

\n

\\[= \\frac{4}{2\\log_2 3} = \\frac{2}{\\log_2 3}\\]

\n

Stosując zamianę podstawy \\(\\dfrac{1}{\\log_2 3} = \\log_3 2\\):

\n

\\[= 2\\log_3 2 = \\log_3 2^2 = \\log_3 4 \\qquad \\blacksquare\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 3 (Logarytmy, s. 5-6) - używamy trzech własności:

\n
  1. Logarytm iloczynu:
\n

\\[\\log_a(x \\cdot y) = \\log_a x + \\log_a y\\]
Dzięki temu rozkładamy \\(\\log_2 18 = \\log_2 2 + \\log_2 9\\).

\n
  1. Logarytm potęgi:
\n

\\[\\log_a x^r = r \\cdot \\log_a x\\]
Dzięki temu \\(\\log_2 3^2 = 2\\log_2 3\\) oraz \\(\\log_3 2^2 = 2\\log_3 2\\).

\n
  1. Zamiana podstawy / odwrócenie:
\n

\\[\\log_a b = \\frac{1}{\\log_b a}\\]
Dzięki temu \\(\\log_3 2 = \\dfrac{1}{\\log_2 3}\\) - kluczowy krok łączący obie strony.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie można „przestawić" podstawy swobodnie - \\(\\log_3 4 \\neq \\log_4 3\\). Zamiana podstawy wymaga wzoru z karty: \\(\\log_a b = \\dfrac{1}{\\log_b a}\\).
\n
⚠️ Uwaga: Przy upraszczaniu \\(c - 1 = \\log_2 18 - 1\\) pamiętaj, że \\(1 = \\log_2 2\\) (jedynkę trzeba zamienić na logarytm o tej samej podstawie, żeby skorzystać z własności logarytmu ilorazu).
\n
⚠️ Uwaga: Typowy błąd to próba obliczenia \\(\\log_3 4\\) wprost z \\(c\\) bez pośredniego wyznaczenia \\(\\log_2 3\\). Zawsze szukaj, jaką wspólną „cegiełkę" (tu: \\(\\log_2 3\\)) da się wydobyć z obu wyrażeń.
\n
Sposob 1 (zamiana podstawy + wzor na roznice logarytmow)
\n

Korzystamy ze wzorow z karty wzorow (dzial Logarytmy): \\(\\log_{a}b = \\dfrac{\\log_{c}b}{\\log_{c}a}\\), \\(\\log_{a}(b/c) = \\log_{a}b - \\log_{a}c\\).

\n

\\[\\log_{3} 4 = \\dfrac{\\log_{2}4}{\\log_{2}3} = \\dfrac{2}{\\log_{2}3}.\\]

\n

Mnozymy licznik i mianownik przez 2:
\\[\\log_{3} 4 = \\dfrac{4}{2\\log_{2}3} = \\dfrac{4}{\\log_{2} 9} = \\dfrac{4}{\\log_{2}(18/2)} = \\dfrac{4}{\\log_{2}18 - \\log_{2}2} = \\dfrac{4}{c-1}.\\]

\n

Koniec dowodu.

\n
Sposob 2 (wyznaczenie \\(\\log_{2} 3\\) z \\(c\\))
\n

\\(c = \\log_{2}18 = \\log_{2}(9 \\cdot 2) = \\log_{2}9 + 1 = 2\\log_{2}3 + 1\\).
Stad \\(\\log_{2}3 = \\dfrac{c-1}{2}\\).

\n

Zatem \\(\\log_{3}4 = \\dfrac{\\log_{2}4}{\\log_{2}3} = \\dfrac{2}{(c-1)/2} = \\dfrac{4}{c-1}\\). CBDU.

\n
Uwagi o punktacji (wedlug CKE)
\n\n

Trik: Rozpisz 18 = 2·9 i wykorzystaj \\(\\log_{2}4 = 2\\log_{2}2 = 2\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}