{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/7","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"7","points":3,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 7. (0-3)\nRozwiąż nierówność:\n2𝑥-1\n1 -𝑥≤2 + 2𝑥\n5𝑥\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n7.\nMaks. liczba pkt\n3\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż nierówność: 2x-1 / 1-x ≤\\xle 2+2x / 5x","answer":null,"answer_text":"Zadanie 7. (0-3)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nII. Wykorzystanie i interpretowanie\nreprezentacji.\nZdający:\nR3.7) rozwiązuje proste nierówności\nwymierne […].\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nprzekształci nierówność 2𝑥-1\n1-𝑥≤2+2𝑥\n5𝑥 do postaci 12𝑥\n2-5𝑥-2\n(1-𝑥)⋅5𝑥\n≤0 lub\n(2𝑥-1)⋅5𝑥-(2+2𝑥)(1-𝑥)\n(1-𝑥)⋅5𝑥\n≤0\nALBO\n\nprzekształci nierówność 2𝑥-1\n1-𝑥≤2+2𝑥\n5𝑥 , mnożąc obie strony tej nierówności przez\niloczyn (1 -𝑥)2(5𝑥)2 , do postaci\n5𝑥⋅(1 -𝑥)[(2𝑥-1) ⋅5𝑥-(2 + 2𝑥) ⋅(1 -𝑥)] ≤0, gdzie 𝑥≠0 i 𝑥≠1\nALBO\n\nprzyjmie, że 𝑥∈(-∞, 0) ∪(1, +∞) i przekształci nierówność 2𝑥-1\n1-𝑥≤2+2𝑥\n5𝑥\n{mnożąc obie strony nierówności przez iloczyn (1 -𝑥)5𝑥 } do postaci\n(2𝑥-1) ⋅5𝑥≥(2 + 2𝑥)(1 -𝑥)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nALBO\n\nprzyjmie, że 𝑥∈(0, 1) i przekształci nierówność 2𝑥-1\n1-𝑥≤2+2𝑥\n5𝑥 {mnożąc obie strony\nnierówności przez iloczyn (1 -𝑥)5𝑥 } do postaci\n(2𝑥-1) ⋅5𝑥≤(2 + 2𝑥)(1 -𝑥)\nZdający otrzymuje 2p.\ngdy:\n\nprzekształci nierówność 12𝑥2-5𝑥-2\n(1-𝑥)⋅5𝑥\n≤0 lub\n5𝑥⋅(1 -𝑥)[(2𝑥-1) ⋅5𝑥-(2 + 2𝑥) ⋅(1 -𝑥)] ≤0\ndo postaci iloczynowej i zapisze\n12 (𝑥-2\n3) (𝑥+ 1\n4) (1 -𝑥) ⋅5𝑥≤0, gdzie 𝑥≠0 i 𝑥≠1\nALBO\n\nrozwiąże nierówność (2𝑥-1)5𝑥≥(2 + 2𝑥)(1 -𝑥) dla 𝑥∈(-∞, 0) ∪(1, +∞)\ni zapisze:\n𝑥∈(-∞, -1\n4 ⟩∪(1, +∞)\nALBO\n\nrozwiąże nierówność (2𝑥-1)5𝑥≤(2 + 2𝑥)(1 -𝑥) dla 𝑥∈(0, 1) i zapisze:\n𝑥∈(0, 2\n3 ⟩\nALBO\n\nspełni wymagania za 1 punkt oraz obliczy wszystkie pierwiastki wielomianów\n12𝑥2 -5𝑥-2 i 5𝑥(1 -𝑥) {albo wielomianów 5𝑥(2𝑥-1) i (2 + 2𝑥)(1 -𝑥) }\nZdający otrzymuje 3p.\ngdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania nierówności i otrzyma poprawny wynik:\n𝑥∈(-∞, -1\n4 ⟩∪(0, 2\n3 ⟩∪(1, +∞).\nUwagi:\n1. Jeśli zdający mnoży obie strony nierówności przez iloczyn mianowników bez rozpatrzenia\nznaków tego iloczynu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli zdający nie wyłączy ze zbioru rozwiązań nierówności liczb 𝑥= 0 i 𝑥= 1, to otrzymuje\nza całe rozwiązanie co najwyżej 2 punkty.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nZakładamy, że 𝑥≠0 i 𝑥≠1. Przekształcamy równoważnie podaną nierówność:\n2𝑥-1\n1 -𝑥-2 + 2𝑥\n5𝑥\n≤0\n10𝑥2 -5𝑥-2 -2𝑥+ 2𝑥+ 2𝑥2\n5𝑥(1 -𝑥)\n≤0\n12𝑥2 -5𝑥-2\n5𝑥(1 -𝑥)\n≤0\nStąd dostajemy\n12 (𝑥-2\n3) (𝑥+ 1\n4) (1 -𝑥) ⋅5𝑥≤0 i 𝑥≠0 i 𝑥≠1.\nZatem 𝑥∈(-∞, -1\n4⟩∪(0, 2\n3⟩∪(1, +∞).\nSposób 2.\nZakładamy, że 𝑥≠0 i 𝑥≠1. Przekształcamy równoważnie podaną nierówność:\n2𝑥-1\n1 -𝑥-2 + 2𝑥\n5𝑥\n≤0/∙(1 -𝑥)2(5𝑥)2\n5𝑥(1 -𝑥)[10𝑥2 -5𝑥-(2 + 2𝑥-2𝑥-2𝑥2)] ≤0,\n5𝑥(1 -𝑥)[10𝑥2 -5𝑥-2 + 2𝑥2] ≤0,\n12(1 -𝑥) (𝑥+ 1\n4) (𝑥-2\n3) 5𝑥≤0 i 𝑥≠0 i 𝑥≠1.\nZatem 𝑥∈(-∞, -1\n4⟩∪(0, 2\n3⟩∪(1, +∞).\nSposób 3.\n1. Rozwiązujemy nierówność 2𝑥-1\n1-𝑥≤2+2𝑥\n5𝑥 w zbiorze (-∞, 0) ∪(1, +∞).\nPrzekształcamy równoważnie podaną nierówność:\n2𝑥-1\n1 -𝑥-2 + 2𝑥\n5𝑥\n≤0 /∙(1 -𝑥)5𝑥\n(2𝑥-1)5𝑥≥(2 + 2𝑥)(1 -𝑥)\n12𝑥2 -5𝑥-2 ≥0\nOtrzymujemy 𝑥1 = -1\n4, 𝑥2 = 2\n3 oraz 𝑥∈(-∞, -1\n4⟩∪(1, +∞).\n2. Rozwiązujemy nierówność 2𝑥-1\n1-𝑥≤2+2𝑥\n5𝑥 w zbiorze (0,1).\nPrzekształcamy równoważnie podaną nierówność:\n2𝑥-1\n1 -𝑥-2 + 2𝑥\n5𝑥\n≤0 /∙(1 -𝑥)5𝑥\n(2𝑥-1)5𝑥≤(2 + 2𝑥)(1 -𝑥)\n12𝑥2 -5𝑥-2 ≤0\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOtrzymujemy 𝑥1 = -1\n4, 𝑥2 = 2\n3 oraz 𝑥∈(0, 2\n3⟩.\nZatem zbiorem rozwiązań nierówności 2𝑥-1\n1-𝑥≤2+2𝑥\n5𝑥 jest (-∞, -1\n4⟩∪(0, 2\n3⟩∪(1, +∞).","solution":"## Poprawna odpowiedź:\n\n\\[x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{1}{4}\\right] \\cup \\left(0,\\ \\frac{2}{3}\\right] \\cup (1,\\ +\\infty)\\]\n\n## Sposób 1 - Przeniesienie na jedną stronę i tabelka znaków\n\n**Dziedzina:** mianowniki niezerowe, więc \\(x \\neq 0\\) i \\(x \\neq 1\\).\n\n**Krok 1.** Przenosimy wszystko na lewą stronę:\n\n\\[\\frac{2x-1}{1-x} - \\frac{2+2x}{5x} \\leq 0\\]\n\n**Krok 2.** Sprowadzamy do wspólnego mianownika \\(5x(1-x)\\):\n\n\\[\\frac{5x(2x-1) - (2+2x)(1-x)}{5x(1-x)} \\leq 0\\]\n\n**Krok 3.** Rozwijamy licznik:\n\\[5x(2x-1) = 10x^2 - 5x\\]\n\\[(2+2x)(1-x) = 2 - 2x + 2x - 2x^2 = 2 - 2x^2\\]\n\nLicznik:\n\\[10x^2 - 5x - (2 - 2x^2) = 12x^2 - 5x - 2\\]\n\n**Krok 4.** Rozkładamy licznik na czynniki - liczymy deltę:\n\\[\\Delta = (-5)^2 - 4 \\cdot 12 \\cdot (-2) = 25 + 96 = 121, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 11\\]\n\\[x_1 = \\frac{5 - 11}{24} = -\\frac{1}{4}, \\qquad x_2 = \\frac{5 + 11}{24} = \\frac{2}{3}\\]\n\nSprawdzenie rozkładu: \\((4x+1)(3x-2) = 12x^2 - 8x + 3x - 2 = 12x^2 - 5x - 2\\) ✓\n\n**Krok 5.** Nierówność przyjmuje postać:\n\\[\\frac{(4x+1)(3x-2)}{5x(1-x)} \\leq 0\\]\n\nKorzystamy z \\(1-x = -(x-1)\\) oraz \\(5 > 0\\), więc możemy upraszczamy i **odwracamy** nierówność:\n\n\\[\\frac{(4x+1)(3x-2)}{x(x-1)} \\geq 0\\]\n\n**Krok 6.** Punkty krytyczne w kolejności: \\(-\\dfrac{1}{4},\\ 0,\\ \\dfrac{2}{3},\\ 1\\)\n\nTabelka znaków wyrażenia \\(\\dfrac{(4x+1)(3x-2)}{x(x-1)}\\):\n\n| Przedział | \\(4x+1\\) | \\(3x-2\\) | \\(x\\) | \\(x-1\\) | Wynik |\n|---|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|\n| \\(x < -\\tfrac{1}{4}\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(\\dfrac{(+)}{(+)} = +\\) ✓ |\n| \\(x = -\\tfrac{1}{4}\\) | \\(0\\) | | | | \\(0\\) ✓ |\n| \\(-\\tfrac{1}{4} < x < 0\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(\\dfrac{(-)}{(+)} = -\\) ✗ |\n| \\(x = 0\\) | | | | | niezdef. ✗ |\n| \\(0 < x < \\tfrac{2}{3}\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(\\dfrac{(-)}{(-)} = +\\) ✓ |\n| \\(x = \\tfrac{2}{3}\\) | | \\(0\\) | | | \\(0\\) ✓ |\n| \\(\\tfrac{2}{3} < x < 1\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(\\dfrac{(+)}{(-)} = -\\) ✗ |\n| \\(x = 1\\) | | | | | niezdef. ✗ |\n| \\(x > 1\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(\\dfrac{(+)}{(+)} = +\\) ✓ |\n\n**Rozwiązanie:**\n\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{1}{4}\\right] \\cup \\left(0,\\ \\frac{2}{3}\\right] \\cup (1,\\ +\\infty)}\\]\n\n## Sposób 2 - Metoda przypadków (mnożenie przez mianownik ze zmiennym znakiem)\n\nZamiast przenosić na jedną stronę, mnożymy przez \\(5x(1-x)\\), ale rozpatrujemy dwa przypadki zależnie od jego znaku.\n\nPrzypomnijmy: po uproszczeniu licznika mamy do zbadania nierówność\n\\[\\frac{(4x+1)(3x-2)}{5x(1-x)} \\leq 0\\]\n\n**Przypadek 1:** \\(5x(1-x) > 0\\), czyli \\(x \\in (0, 1)\\)\n\nMnożymy obie strony przez \\(5x(1-x) > 0\\) - **kierunek nierówności bez zmian**:\n\\[(4x+1)(3x-2) \\leq 0\\]\n\nNa przedziale \\((0, 1)\\) mamy \\(4x + 1 > 0\\) zawsze. Zatem warunek redukuje się do:\n\\[3x - 2 \\leq 0 \\implies x \\leq \\frac{2}{3}\\]\n\nPo przecięciu z \\((0, 1)\\): \\(\\quad x \\in \\left(0,\\ \\frac{2}{3}\\right]\\)\n\n**Przypadek 2:** \\(5x(1-x) < 0\\), czyli \\(x < 0\\) lub \\(x > 1\\)\n\nMnożymy przez \\(5x(1-x) < 0\\) - **kierunek nierówności się odwraca**:\n\\[(4x+1)(3x-2) \\geq 0\\]\n\nTo jest spełnione gdy \\(x \\leq -\\dfrac{1}{4}\\) lub \\(x \\geq \\dfrac{2}{3}\\).\n\nTeraz przecinamy z dziedziną przypadku (\\(x < 0\\) lub \\(x > 1\\)):\n- \\(x < 0\\) i \\(\\left(x \\leq -\\tfrac{1}{4}\\text{ lub }x \\geq \\tfrac{2}{3}\\right)\\) → \\(x \\leq -\\dfrac{1}{4}\\)\n- \\(x > 1\\) i \\(\\left(x \\leq -\\tfrac{1}{4}\\text{ lub }x \\geq \\tfrac{2}{3}\\right)\\) → \\(x > 1\\)\n\nStąd: \\(\\quad x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\dfrac{1}{4}\\right] \\cup (1,\\ +\\infty)\\)\n\n**Łączymy oba przypadki:**\n\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{1}{4}\\right] \\cup \\left(0,\\ \\frac{2}{3}\\right] \\cup (1,\\ +\\infty)}\\]\n\nWynik zgodny ze Sposobem 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - rozwiązanie opiera się na:\n- upraszczaniu ułamków algebraicznych,\n- rozwiązaniu trójmianu kwadratowego \\(12x^2 - 5x - 2 = 0\\) (wzór na pierwiastki jest w **Dziale 7, s. 7-8**):\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n- analizie znaków iloczynu/ilorazu wyrażeń liniowych.\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Największy błąd to mnożenie obu stron nierówności przez mianownik **bez sprawdzenia jego znaku**. Mnożenie przez wyrażenie ujemne odwraca kierunek nierówności - pominięcie tego prowadzi do całkowicie błędnego rozwiązania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Punkty \\(x = 0\\) i \\(x = 1\\) są wykluczone z dziedziny (zerują mianowniki) - nie należą do rozwiązania, stąd przedziały \\((0, \\ldots)\\) i \\((\\ldots, 1)\\) są **otwarte** po ich stronie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy odwracaniu kroku \\(\\frac{(4x+1)(3x-2)}{5x(1-x)} \\leq 0\\) na \\(\\frac{(4x+1)(3x-2)}{x(x-1)} \\geq 0\\) - sign zmienia się bo \\(1-x = -(x-1)\\), a \\(\\frac{\\ldots}{-(x-1)} \\leq 0\\) odpowiada \\(\\frac{\\ldots}{(x-1)} \\geq 0\\). Łatwo tu zgubić zmianę kierunku nierówności.\n\n### Sposob 1 (wspolny mianownik + postac iloczynowa)\nZakladamy \\(x \\neq 0\\) i \\(x \\neq 1\\). Przeksztalcamy rownowaznie:\n\\[\\dfrac{2x-1}{1-x} - \\dfrac{2+2x}{5x} \\leq 0 \\quad / \\cdot (1-x)^{2}(5x)^{2}.\\]\nPo sprowadzeniu do wspolnego mianownika (bez mnozenia zmieniajacego kierunek):\n\\[\\dfrac{(2x-1)\\cdot 5x - (2+2x)(1-x)}{5x(1-x)} \\leq 0 \\Rightarrow \\dfrac{10x^{2} - 5x - 2 + 2x - 2x + 2x^{2}}{5x(1-x)} \\leq 0 \\Rightarrow \\dfrac{12x^{2} - 5x - 2}{5x(1-x)} \\leq 0.\\]\n\nPierwiastki licznika \\(12x^{2} - 5x - 2 = 0\\): \\(\\Delta = 25 + 96 = 121\\), \\(x = \\dfrac{5 \\pm 11}{24}\\), czyli \\(x_{1} = \\dfrac{2}{3}\\), \\(x_{2} = -\\dfrac{1}{4}\\). Zatem \\(12x^{2} - 5x - 2 = 12(x - \\tfrac{2}{3})(x + \\tfrac{1}{4})\\).\n\nMnozymy obie strony przez \\([5x(1-x)]^{2} > 0\\):\n\\[12\\left(x - \\tfrac{2}{3}\\right)\\left(x + \\tfrac{1}{4}\\right) \\cdot 5x \\cdot (1-x) \\leq 0, \\quad x \\neq 0, x \\neq 1.\\]\n\nZera: \\(-\\tfrac{1}{4}, 0, \\tfrac{2}{3}, 1\\). Analiza znakow (wielomian stopnia 4 ze wspolczynnikiem \\(-60\\) dodatnim po zmianie znaku \\((1-x)\\)): rozwiazanie:\n\\[x \\in \\left(-\\infty, -\\tfrac{1}{4}\\right] \\cup \\left(0, \\tfrac{2}{3}\\right] \\cup (1, +\\infty).\\]\n\n### Sposob 2 (podzial przedzialow wedlug znaku mianownika)\nZakladamy \\(x \\neq 0, x \\neq 1\\). Rozpatrujemy dwa przypadki.\n\n**Przypadek A**: \\(x \\in (-\\infty, 0) \\cup (1, +\\infty)\\), wtedy \\(5x(1-x) < 0\\). Mnozenie odwraca nierownosc:\n\\((2x-1)\\cdot 5x \\geq (2+2x)(1-x) \\Rightarrow 12x^{2} - 5x - 2 \\geq 0 \\Rightarrow x \\leq -\\tfrac{1}{4}\\) lub \\(x \\geq \\tfrac{2}{3}\\).\n\nCzesc wspolna: \\((-\\infty, -\\tfrac{1}{4}] \\cup (1, +\\infty)\\).\n\n**Przypadek B**: \\(x \\in (0, 1)\\), wtedy \\(5x(1-x) > 0\\). Bez zmiany kierunku:\n\\(12x^{2} - 5x - 2 \\leq 0 \\Rightarrow x \\in [-\\tfrac{1}{4}, \\tfrac{2}{3}]\\).\n\nCzesc wspolna: \\((0, \\tfrac{2}{3}]\\).\n\n**Suma**: \\(x \\in (-\\infty, -\\tfrac{1}{4}] \\cup (0, \\tfrac{2}{3}] \\cup (1, +\\infty)\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: przeksztalci do postaci \\(\\tfrac{12x^{2}-5x-2}{5x(1-x)} \\leq 0\\) lub rozpatrzy przypadek znaku mianownika.\n- 2 pkt: postac iloczynowa lub rozwiazanie jednego z przypadkow.\n- 3 pkt: pelne rozwiazanie.\n\nUwagi CKE: przemnozenie obu stron przez iloczyn mianownikow bez rozpatrzenia znakow = 0 pkt. Niewylaczenie \\(x = 0\\) lub \\(x = 1\\) z rozwiazan = max 2 pkt.\n\n**Trik:** Pomnoz przez kwadrat mianownika \\([5x(1-x)]^{2}\\) - zawsze dodatni, nie zmienia kierunku.","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 7. (0-3)
Rozwiąż nierówność:
2𝑥-1
1 -𝑥≤2 + 2𝑥
5𝑥

\n

EMAP-R0_100
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
7.
Maks. liczba pkt
3
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100
Rozwiązanie zadania. Rozwiąż nierówność: 2x-1 / 1-x ≤\\xle 2+2x / 5x

","answer_text_html":"

Zadanie 7. (0-3)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
II. Wykorzystanie i interpretowanie
reprezentacji.
Zdający:
R3.7) rozwiązuje proste nierówności
wymierne […].
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:

przekształci nierówność 2𝑥-1
1-𝑥≤2+2𝑥
5𝑥 do postaci 12𝑥
2-5𝑥-2
(1-𝑥)⋅5𝑥
≤0 lub
(2𝑥-1)⋅5𝑥-(2+2𝑥)(1-𝑥)
(1-𝑥)⋅5𝑥
≤0
ALBO

przekształci nierówność 2𝑥-1
1-𝑥≤2+2𝑥
5𝑥 , mnożąc obie strony tej nierówności przez
iloczyn (1 -𝑥)2(5𝑥)2 , do postaci
5𝑥⋅(1 -𝑥)[(2𝑥-1) ⋅5𝑥-(2 + 2𝑥) ⋅(1 -𝑥)] ≤0, gdzie 𝑥≠0 i 𝑥≠1
ALBO

przyjmie, że 𝑥∈(-∞, 0) ∪(1, +∞) i przekształci nierówność 2𝑥-1
1-𝑥≤2+2𝑥
5𝑥
{mnożąc obie strony nierówności przez iloczyn (1 -𝑥)5𝑥 } do postaci
(2𝑥-1) ⋅5𝑥≥(2 + 2𝑥)(1 -𝑥)
Zasady oceniania rozwiązań zadań
ALBO

przyjmie, że 𝑥∈(0, 1) i przekształci nierówność 2𝑥-1
1-𝑥≤2+2𝑥
5𝑥 {mnożąc obie strony
nierówności przez iloczyn (1 -𝑥)5𝑥 } do postaci
(2𝑥-1) ⋅5𝑥≤(2 + 2𝑥)(1 -𝑥)
Zdający otrzymuje 2p.
gdy:

przekształci nierówność 12𝑥2-5𝑥-2
(1-𝑥)⋅5𝑥
≤0 lub
5𝑥⋅(1 -𝑥)[(2𝑥-1) ⋅5𝑥-(2 + 2𝑥) ⋅(1 -𝑥)] ≤0
do postaci iloczynowej i zapisze
12 (𝑥-2

\n
  1. (𝑥+ 1
  2. (1 -𝑥) ⋅5𝑥≤0, gdzie 𝑥≠0 i 𝑥≠1
\n

ALBO

rozwiąże nierówność (2𝑥-1)5𝑥≥(2 + 2𝑥)(1 -𝑥) dla 𝑥∈(-∞, 0) ∪(1, +∞)
i zapisze:
𝑥∈(-∞, -1
4 ⟩∪(1, +∞)
ALBO

rozwiąże nierówność (2𝑥-1)5𝑥≤(2 + 2𝑥)(1 -𝑥) dla 𝑥∈(0, 1) i zapisze:
𝑥∈(0, 2
3 ⟩
ALBO

spełni wymagania za 1 punkt oraz obliczy wszystkie pierwiastki wielomianów
12𝑥2 -5𝑥-2 i 5𝑥(1 -𝑥) {albo wielomianów 5𝑥(2𝑥-1) i (2 + 2𝑥)(1 -𝑥) }
Zdający otrzymuje 3p.
gdy zastosuje poprawną metodę rozwiązania nierówności i otrzyma poprawny wynik:
𝑥∈(-∞, -1
4 ⟩∪(0, 2
3 ⟩∪(1, +∞).
Uwagi:

\n
  1. Jeśli zdający mnoży obie strony nierówności przez iloczyn mianowników bez rozpatrzenia
\n

znaków tego iloczynu, to otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeśli zdający nie wyłączy ze zbioru rozwiązań nierówności liczb 𝑥= 0 i 𝑥= 1, to otrzymuje
\n

za całe rozwiązanie co najwyżej 2 punkty.
Przykładowe pełne rozwiązania
Sposób 1.
Zakładamy, że 𝑥≠0 i 𝑥≠1. Przekształcamy równoważnie podaną nierówność:
2𝑥-1
1 -𝑥-2 + 2𝑥
5𝑥
≤0
10𝑥2 -5𝑥-2 -2𝑥+ 2𝑥+ 2𝑥2
5𝑥(1 -𝑥)
≤0
12𝑥2 -5𝑥-2
5𝑥(1 -𝑥)
≤0
Stąd dostajemy
12 (𝑥-2

\n
  1. (𝑥+ 1
  2. (1 -𝑥) ⋅5𝑥≤0 i 𝑥≠0 i 𝑥≠1.
\n

Zatem 𝑥∈(-∞, -1
4⟩∪(0, 2
3⟩∪(1, +∞).
Sposób 2.
Zakładamy, że 𝑥≠0 i 𝑥≠1. Przekształcamy równoważnie podaną nierówność:
2𝑥-1
1 -𝑥-2 + 2𝑥
5𝑥
≤0/∙(1 -𝑥)2(5𝑥)2
5𝑥(1 -𝑥)[10𝑥2 -5𝑥-(2 + 2𝑥-2𝑥-2𝑥2)] ≤0,
5𝑥(1 -𝑥)[10𝑥2 -5𝑥-2 + 2𝑥2] ≤0,
12(1 -𝑥) (𝑥+ 1

\n
  1. (𝑥-2
  2. 5𝑥≤0 i 𝑥≠0 i 𝑥≠1.
\n

Zatem 𝑥∈(-∞, -1
4⟩∪(0, 2
3⟩∪(1, +∞).
Sposób 3.

\n
  1. Rozwiązujemy nierówność 2𝑥-1
\n

1-𝑥≤2+2𝑥
5𝑥 w zbiorze (-∞, 0) ∪(1, +∞).
Przekształcamy równoważnie podaną nierówność:
2𝑥-1
1 -𝑥-2 + 2𝑥
5𝑥
≤0 /∙(1 -𝑥)5𝑥
(2𝑥-1)5𝑥≥(2 + 2𝑥)(1 -𝑥)
12𝑥2 -5𝑥-2 ≥0
Otrzymujemy 𝑥1 = -1
4, 𝑥2 = 2
3 oraz 𝑥∈(-∞, -1
4⟩∪(1, +∞).

\n
  1. Rozwiązujemy nierówność 2𝑥-1
\n

1-𝑥≤2+2𝑥
5𝑥 w zbiorze (0,1).
Przekształcamy równoważnie podaną nierówność:
2𝑥-1
1 -𝑥-2 + 2𝑥
5𝑥
≤0 /∙(1 -𝑥)5𝑥
(2𝑥-1)5𝑥≤(2 + 2𝑥)(1 -𝑥)
12𝑥2 -5𝑥-2 ≤0
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Otrzymujemy 𝑥1 = -1
4, 𝑥2 = 2
3 oraz 𝑥∈(0, 2
3⟩.
Zatem zbiorem rozwiązań nierówności 2𝑥-1
1-𝑥≤2+2𝑥
5𝑥 jest (-∞, -1
4⟩∪(0, 2
3⟩∪(1, +∞).

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź:

\n

\\[x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{1}{4}\\right] \\cup \\left(0,\\ \\frac{2}{3}\\right] \\cup (1,\\ +\\infty)\\]

\n

Sposób 1 - Przeniesienie na jedną stronę i tabelka znaków

\n

Dziedzina: mianowniki niezerowe, więc \\(x \\neq 0\\) i \\(x \\neq 1\\).

\n

Krok 1. Przenosimy wszystko na lewą stronę:

\n

\\[\\frac{2x-1}{1-x} - \\frac{2+2x}{5x} \\leq 0\\]

\n

Krok 2. Sprowadzamy do wspólnego mianownika \\(5x(1-x)\\):

\n

\\[\\frac{5x(2x-1) - (2+2x)(1-x)}{5x(1-x)} \\leq 0\\]

\n

Krok 3. Rozwijamy licznik:
\\[5x(2x-1) = 10x^2 - 5x\\]
\\[(2+2x)(1-x) = 2 - 2x + 2x - 2x^2 = 2 - 2x^2\\]

\n

Licznik:
\\[10x^2 - 5x - (2 - 2x^2) = 12x^2 - 5x - 2\\]

\n

Krok 4. Rozkładamy licznik na czynniki - liczymy deltę:
\\[\\Delta = (-5)^2 - 4 \\cdot 12 \\cdot (-2) = 25 + 96 = 121, \\quad \\sqrt{\\Delta} = 11\\]
\\[x_1 = \\frac{5 - 11}{24} = -\\frac{1}{4}, \\qquad x_2 = \\frac{5 + 11}{24} = \\frac{2}{3}\\]

\n

Sprawdzenie rozkładu: \\((4x+1)(3x-2) = 12x^2 - 8x + 3x - 2 = 12x^2 - 5x - 2\\) ✓

\n

Krok 5. Nierówność przyjmuje postać:
\\[\\frac{(4x+1)(3x-2)}{5x(1-x)} \\leq 0\\]

\n

Korzystamy z \\(1-x = -(x-1)\\) oraz \\(5 > 0\\), więc możemy upraszczamy i odwracamy nierówność:

\n

\\[\\frac{(4x+1)(3x-2)}{x(x-1)} \\geq 0\\]

\n

Krok 6. Punkty krytyczne w kolejności: \\(-\\dfrac{1}{4},\\ 0,\\ \\dfrac{2}{3},\\ 1\\)

\n

Tabelka znaków wyrażenia \\(\\dfrac{(4x+1)(3x-2)}{x(x-1)}\\):

\n
Przedział\\(4x+1\\)\\(3x-2\\)\\(x\\)\\(x-1\\)Wynik
\\(x < -\\tfrac{1}{4}\\)\\(-\\)\\(-\\)\\(-\\)\\(-\\)\\(\\dfrac{(+)}{(+)} = +\\) ✓
\\(x = -\\tfrac{1}{4}\\)\\(0\\)\\(0\\) ✓
\\(-\\tfrac{1}{4} < x < 0\\)\\(+\\)\\(-\\)\\(-\\)\\(-\\)\\(\\dfrac{(-)}{(+)} = -\\) ✗
\\(x = 0\\)niezdef. ✗
\\(0 < x < \\tfrac{2}{3}\\)\\(+\\)\\(-\\)\\(+\\)\\(-\\)\\(\\dfrac{(-)}{(-)} = +\\) ✓
\\(x = \\tfrac{2}{3}\\)\\(0\\)\\(0\\) ✓
\\(\\tfrac{2}{3} < x < 1\\)\\(+\\)\\(+\\)\\(+\\)\\(-\\)\\(\\dfrac{(+)}{(-)} = -\\) ✗
\\(x = 1\\)niezdef. ✗
\\(x > 1\\)\\(+\\)\\(+\\)\\(+\\)\\(+\\)\\(\\dfrac{(+)}{(+)} = +\\) ✓
\n

Rozwiązanie:
\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{1}{4}\\right] \\cup \\left(0,\\ \\frac{2}{3}\\right] \\cup (1,\\ +\\infty)}\\]

\n

Sposób 2 - Metoda przypadków (mnożenie przez mianownik ze zmiennym znakiem)

\n

Zamiast przenosić na jedną stronę, mnożymy przez \\(5x(1-x)\\), ale rozpatrujemy dwa przypadki zależnie od jego znaku.

\n

Przypomnijmy: po uproszczeniu licznika mamy do zbadania nierówność
\\[\\frac{(4x+1)(3x-2)}{5x(1-x)} \\leq 0\\]

\n

Przypadek 1: \\(5x(1-x) > 0\\), czyli \\(x \\in (0, 1)\\)

\n

Mnożymy obie strony przez \\(5x(1-x) > 0\\) - kierunek nierówności bez zmian:
\\[(4x+1)(3x-2) \\leq 0\\]

\n

Na przedziale \\((0, 1)\\) mamy \\(4x + 1 > 0\\) zawsze. Zatem warunek redukuje się do:
\\[3x - 2 \\leq 0 \\implies x \\leq \\frac{2}{3}\\]

\n

Po przecięciu z \\((0, 1)\\): \\(\\quad x \\in \\left(0,\\ \\frac{2}{3}\\right]\\)

\n

Przypadek 2: \\(5x(1-x) < 0\\), czyli \\(x < 0\\) lub \\(x > 1\\)

\n

Mnożymy przez \\(5x(1-x) < 0\\) - kierunek nierówności się odwraca:
\\[(4x+1)(3x-2) \\geq 0\\]

\n

To jest spełnione gdy \\(x \\leq -\\dfrac{1}{4}\\) lub \\(x \\geq \\dfrac{2}{3}\\).

\n

Teraz przecinamy z dziedziną przypadku (\\(x < 0\\) lub \\(x > 1\\)):

\n\n

Stąd: \\(\\quad x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\dfrac{1}{4}\\right] \\cup (1,\\ +\\infty)\\)

\n

Łączymy oba przypadki:
\\[\\boxed{x \\in \\left(-\\infty,\\ -\\frac{1}{4}\\right] \\cup \\left(0,\\ \\frac{2}{3}\\right] \\cup (1,\\ +\\infty)}\\]

\n

Wynik zgodny ze Sposobem 1. ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - rozwiązanie opiera się na:

\n\n

\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Największy błąd to mnożenie obu stron nierówności przez mianownik bez sprawdzenia jego znaku. Mnożenie przez wyrażenie ujemne odwraca kierunek nierówności - pominięcie tego prowadzi do całkowicie błędnego rozwiązania.
\n
⚠️ Uwaga: Punkty \\(x = 0\\) i \\(x = 1\\) są wykluczone z dziedziny (zerują mianowniki) - nie należą do rozwiązania, stąd przedziały \\((0, \\ldots)\\) i \\((\\ldots, 1)\\) są otwarte po ich stronie.
\n
⚠️ Uwaga: Przy odwracaniu kroku \\(\\frac{(4x+1)(3x-2)}{5x(1-x)} \\leq 0\\) na \\(\\frac{(4x+1)(3x-2)}{x(x-1)} \\geq 0\\) - sign zmienia się bo \\(1-x = -(x-1)\\), a \\(\\frac{\\ldots}{-(x-1)} \\leq 0\\) odpowiada \\(\\frac{\\ldots}{(x-1)} \\geq 0\\). Łatwo tu zgubić zmianę kierunku nierówności.
\n
Sposob 1 (wspolny mianownik + postac iloczynowa)
\n

Zakladamy \\(x \\neq 0\\) i \\(x \\neq 1\\). Przeksztalcamy rownowaznie:
\\[\\dfrac{2x-1}{1-x} - \\dfrac{2+2x}{5x} \\leq 0 \\quad / \\cdot (1-x)^{2}(5x)^{2}.\\]
Po sprowadzeniu do wspolnego mianownika (bez mnozenia zmieniajacego kierunek):
\\[\\dfrac{(2x-1)\\cdot 5x - (2+2x)(1-x)}{5x(1-x)} \\leq 0 \\Rightarrow \\dfrac{10x^{2} - 5x - 2 + 2x - 2x + 2x^{2}}{5x(1-x)} \\leq 0 \\Rightarrow \\dfrac{12x^{2} - 5x - 2}{5x(1-x)} \\leq 0.\\]

\n

Pierwiastki licznika \\(12x^{2} - 5x - 2 = 0\\): \\(\\Delta = 25 + 96 = 121\\), \\(x = \\dfrac{5 \\pm 11}{24}\\), czyli \\(x_{1} = \\dfrac{2}{3}\\), \\(x_{2} = -\\dfrac{1}{4}\\). Zatem \\(12x^{2} - 5x - 2 = 12(x - \\tfrac{2}{3})(x + \\tfrac{1}{4})\\).

\n

Mnozymy obie strony przez \\([5x(1-x)]^{2} > 0\\):
\\[12\\left(x - \\tfrac{2}{3}\\right)\\left(x + \\tfrac{1}{4}\\right) \\cdot 5x \\cdot (1-x) \\leq 0, \\quad x \\neq 0, x \\neq 1.\\]

\n

Zera: \\(-\\tfrac{1}{4}, 0, \\tfrac{2}{3}, 1\\). Analiza znakow (wielomian stopnia 4 ze wspolczynnikiem \\(-60\\) dodatnim po zmianie znaku \\((1-x)\\)): rozwiazanie:
\\[x \\in \\left(-\\infty, -\\tfrac{1}{4}\\right] \\cup \\left(0, \\tfrac{2}{3}\\right] \\cup (1, +\\infty).\\]

\n
Sposob 2 (podzial przedzialow wedlug znaku mianownika)
\n

Zakladamy \\(x \\neq 0, x \\neq 1\\). Rozpatrujemy dwa przypadki.

\n

Przypadek A: \\(x \\in (-\\infty, 0) \\cup (1, +\\infty)\\), wtedy \\(5x(1-x) < 0\\). Mnozenie odwraca nierownosc:
\\((2x-1)\\cdot 5x \\geq (2+2x)(1-x) \\Rightarrow 12x^{2} - 5x - 2 \\geq 0 \\Rightarrow x \\leq -\\tfrac{1}{4}\\) lub \\(x \\geq \\tfrac{2}{3}\\).

\n

Czesc wspolna: \\((-\\infty, -\\tfrac{1}{4}] \\cup (1, +\\infty)\\).

\n

Przypadek B: \\(x \\in (0, 1)\\), wtedy \\(5x(1-x) > 0\\). Bez zmiany kierunku:
\\(12x^{2} - 5x - 2 \\leq 0 \\Rightarrow x \\in [-\\tfrac{1}{4}, \\tfrac{2}{3}]\\).

\n

Czesc wspolna: \\((0, \\tfrac{2}{3}]\\).

\n

Suma: \\(x \\in (-\\infty, -\\tfrac{1}{4}] \\cup (0, \\tfrac{2}{3}] \\cup (1, +\\infty)\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Uwagi CKE: przemnozenie obu stron przez iloczyn mianownikow bez rozpatrzenia znakow = 0 pkt. Niewylaczenie \\(x = 0\\) lub \\(x = 1\\) z rozwiazan = max 2 pkt.

\n

Trik: Pomnoz przez kwadrat mianownika \\([5x(1-x)]^{2}\\) - zawsze dodatni, nie zmienia kierunku.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\in \\left(-\\infty, -\\dfrac{1}{4}\\right\\rangle \\cup \\left(0, \\dfrac{2}{3}\\right\\rangle \\cup (1, +\\infty)$

"}]}