{"id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad/9","paper_id":"matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona","number":"9","points":4,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"matura","year":2021,"month":"maj","level":"rozszerzona","text":"Zadanie 9. (0-4)\nZe zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz\nprawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna\nprzez 15, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 18.\n\nEMAP-R0_100\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n9.\nMaks. liczba pkt\n4\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-R0_100\nRozwiązanie zadania. Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 15, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 18.","answer":null,"answer_text":"Zadanie 9. (0-4)\nWymagania egzaminacyjne 2021\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIII. Modelowanie matematyczne.\nZdający:\nR10.2) oblicza prawdopodobieństwo\nwarunkowe.\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nzapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: |Ω| = 9000\nALBO\n\nzastosuje poprawną metodę zliczania elementów zbioru 𝐵, zawierającego wszystkie\nliczby naturalne czterocyfrowe podzielne przez 18 (np. poprzez wykorzystanie\nwłasności ciągu arytmetycznego, stosowanie cech podzielności liczb całkowitych)\nALBO\n\nzastosuje poprawną metodę zliczania elementów zbioru 𝐴∩𝐵 (np. poprzez\nwykorzystanie własności ciągu arytmetycznego, stosowanie cech podzielności liczb\ncałkowitych)\nALBO\n\nzapisze, że jeżeli 𝐴 jest zdarzeniem polegającym na wylosowaniu liczby podzielnej\nprzez 15, to iloczyn zdarzeń 𝐴∩𝐵 oznacza wylosowanie liczby podzielnej przez 90\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\nobliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐵: |𝐵| = 500\nALBO\n\nobliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴∩𝐵: |𝐴∩𝐵| = 100\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy:\n\nobliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐵 oraz obliczy liczbę\nzdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴∩𝐵: |𝐵| = 500, |𝐴∩𝐵| = 100\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę i obliczy szukane prawdopodobieństwo warunkowe:\n𝑃(𝐴|𝐵) = 18\n90 = 1\n5 .\nUwagi:\n1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie, rozpatrując wszystkie liczby naturalne spełniające warunek\n1 ≤𝑥≤9999, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n2. Jeśli zdający, wyznaczając, ile jest liczb podzielnych przez 18 lub 15, rozważa, że są one\nmniejsze niż 9000, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.\n3. Ignorujemy zapis 𝑃(𝐴|𝐵) =\n|𝐴∪𝐵|\n|𝐵| , jeżeli z rozwiązania zdającego jednoznacznie wynika,\nże zliczał wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające iloczynowi tych zdarzeń.\n4. Jeżeli w sposobie zliczania elementów zbioru |𝐵| (lub |𝐴∩𝐵|) opartym na kolejnych\nwyrazach ciągu arytmetycznego zdający poprawnie ustala pierwszy i ostatni wyraz ciągu\noraz różnicę tego ciągu, to przyjmujemy ten sposób zliczania jest poprawny. Jeżeli\nnatomiast błędnie ustali pierwszy lub ostatni wyraz ciągu, lub różnicę tego ciągu, to sposób\nuznajemy za niepoprawny. Jeżeli zdający podzieli zbiór wszystkich liczb całkowitych\nczterocyfrowych na rozłączne niepuste podzbiory i zlicza liczby podzielne przez 18 (lub 90)\nw każdym z tych podzbiorów, to ten sposób uznajemy za poprawny tylko wtedy, gdy popełni\nbłąd w zliczaniu co najwyżej w jednym z tych podzbiorów.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nNiech 𝐴 oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba jest podzielna przez 15.\nNiech 𝐵 oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba jest podzielna przez 18.\nW zadaniu mamy obliczyć prawdopodobieństwo 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵)\n𝑃(𝐵) .\nZbiór liczb naturalnych czterocyfrowych zawiera 9000 elementów, zatem |Ω| = 9000.\nDo zbioru 𝐵 należą liczby: 1008, 1026, 1044, …, 1008 + (𝑛-1) ⋅18 (gdzie\n1008 + (𝑛-1) ⋅18 ≤9999, a liczba naturalna 𝑛 jest liczbą elementów zbioru 𝐵).\nPonieważ\n𝑛≤9999 -1008\n18\n+ 1 = 500,5\nwięc 𝑛= 500.\nZatem\n𝑃(𝐵) = 500\n9000 = 5\n90 = 1\n18 .\nZdarzenie 𝐴∩𝐵 zachodzi tylko wtedy, gdy wylosowana liczba jest jednocześnie podzielna\nprzez 15 i przez 18, czyli przez 90.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nDo zbioru 𝐴∩𝐵 należą zatem liczby: 1080, 1170, 1260, …, 1080 + (𝑚-1) ⋅90 (gdzie\n1080 + (𝑚-1) ⋅90 ≤9999, a liczba naturalna 𝑚 jest liczbą elementów zbioru 𝐴∩𝐵).\nPonieważ\n𝑚≤9999 -1080\n90\n+ 1 = 100,1\nwięc 𝑚= 100.\nZatem\n𝑃(𝐴∩𝐵) = 100\n9000 = 1\n90 .\nZ definicji prawdopodobieństwa warunkowego otrzymujemy\n𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵)\n𝑃(𝐵)\n1\n90\n1\n18\n= 18\n90 = 1\n5 .","solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{5}\\)\n\n## Sposób 1 - Definicja prawdopodobieństwa warunkowego (zliczanie)\n\n**Ustalamy przestrzeń i zdarzenia:**\n\nZbiór wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych to \\(\\{1000, 1001, \\ldots, 9999\\}\\), czyli \\(|\\Omega| = 9000\\) liczb.\n\nOznaczamy:\n- zdarzenie \\(B\\) - wylosowana liczba jest podzielna przez \\(18\\),\n- zdarzenie \\(A\\) - wylosowana liczba jest podzielna przez \\(15\\).\n\nSzukamy \\(P(A|B)\\), czyli prawdopodobieństwa warunkowego.\n\n**Krok 1: Wyznaczamy \\(|B|\\) - liczby czterocyfrowe podzielne przez 18.**\n\n\\[1000 \\div 18 = 55{,}5\\overline{5} \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{najmniejsza: } 56 \\cdot 18 = 1008\\]\n\\[9999 \\div 18 = 555{,}5 \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{największa: } 555 \\cdot 18 = 9990\\]\n\n\\[|B| = 555 - 56 + 1 = 500\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy \\(|A \\cap B|\\) - liczby czterocyfrowe podzielne przez 15 i przez 18.**\n\nPodzielność przez obie liczby jednocześnie oznacza podzielność przez ich **NWW**.\n\n\\[15 = 3 \\cdot 5, \\quad 18 = 2 \\cdot 3^2\\]\n\\[\\operatorname{NWW}(15, 18) = 2 \\cdot 3^2 \\cdot 5 = 90\\]\n\nSzukamy liczb czterocyfrowych podzielnych przez \\(90\\):\n\n\\[1000 \\div 90 = 11{,}1\\overline{1} \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{najmniejsza: } 12 \\cdot 90 = 1080\\]\n\\[9999 \\div 90 = 111{,}1 \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{największa: } 111 \\cdot 90 = 9990\\]\n\n\\[|A \\cap B| = 111 - 12 + 1 = 100\\]\n\n**Krok 3: Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo warunkowe.**\n\n\\[P(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)} = \\frac{|A \\cap B|}{|B|} = \\frac{100}{500} = \\boxed{\\frac{1}{5}}\\]\n\n## Sposób 2 - Algebraiczny (bez zliczania)\n\n**Kluczowa obserwacja:** każdą liczbę podzielną przez \\(18\\) możemy zapisać jako \\(18k\\), gdzie \\(k\\) jest liczbą naturalną.\n\nPytamy: kiedy \\(18k\\) jest podzielne przez \\(15\\)?\n\n\\[15 = 3 \\cdot 5, \\quad 18k = 2 \\cdot 3^2 \\cdot k\\]\n\nLiczba \\(18k\\) jest już podzielna przez \\(3\\) (bo \\(18 = 2 \\cdot 3^2\\)). Brakuje tylko podzielności przez \\(5\\).\n\n**Warunek:** \\(18k\\) podzielne przez \\(15\\) \\(\\iff\\) \\(k\\) podzielne przez \\(5\\).\n\nWśród kolejnych wartości \\(k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, \\ldots\\) dokładnie co piąta jest podzielna przez \\(5\\), zatem:\n\n\\[P(A|B) = \\frac{1}{5}\\]\n\nNie potrzebujemy nawet wiedzieć, że chodzi o liczby czterocyfrowe - wynik wynika ze struktury podzielności!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo warunkowe:\n\\[P(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1, gdzie \\(P(A \\cap B) = \\frac{100}{9000}\\) i \\(P(B) = \\frac{500}{9000}\\).\n\n**Dział 14 - prawdopodobieństwo klasyczne:**\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nPosłużyło do wyznaczenia obu prawdopodobieństw przez zliczanie sprzyjających przypadków.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wielu uczniów liczy NWW błędnie, mnożąc \\(15 \\cdot 18 = 270\\) zamiast wyznaczać \\(\\operatorname{NWW}(15, 18) = 90\\). Pamiętaj: \\(\\operatorname{NWW}(a,b) = \\frac{a \\cdot b}{\\operatorname{NWD}(a,b)}\\), a \\(\\operatorname{NWD}(15, 18) = 3\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o prawdopodobieństwo **warunkowe** - warunkiem jest podzielność przez 18. Nie dzielimy więc przez \\(9000\\), lecz przez \\(500\\) (liczność zdarzenia warunkującego).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy liczeniu wielokrotności w przedziale \\(\\langle 1000, 9999 \\rangle\\) stosuj wzór: liczba wielokrotności \\(d\\) = \\(\\lfloor 9999 / d \\rfloor - \\lfloor 999 / d \\rfloor\\). Tutaj: \\(\\lfloor 9999/18 \\rfloor - \\lfloor 999/18 \\rfloor = 555 - 55 = 500\\). To szybsza droga niż szukanie pierwszej i ostatniej wielokrotności.\n\n### Sposob 1 (prawdopodobienstwo warunkowe przez ciagi arytmetyczne)\nNiech \\(A\\): liczba podzielna przez 15, \\(B\\): liczba podzielna przez 18. Szukamy \\(P(A|B) = \\dfrac{P(A\\cap B)}{P(B)}\\) (karta wzorow).\n\nZbior wszystkich czterocyfrowych liczb: \\(|\\Omega| = 9000\\) (od 1000 do 9999).\n\n**Moc B (podzielne przez 18)**: najmniejsza \\(\\geq 1000\\) to \\(1008 = 56 \\cdot 18\\), najwieksza \\(\\leq 9999\\) to \\(9990 = 555 \\cdot 18\\). Liczba wyrazow ciagu arytmetycznego: \\(n = \\dfrac{9990 - 1008}{18} + 1 = 500\\).\n\n**Moc A∩B**: liczba podzielna jednoczesnie przez 15 i 18, czyli przez NWW(15,18) = 90. Najmniejsza \\(\\geq 1000\\): \\(1080 = 12 \\cdot 90\\), najwieksza \\(\\leq 9999\\): \\(9990 = 111 \\cdot 90\\). Liczba wyrazow: \\(m = \\dfrac{9990 - 1080}{90} + 1 = 100\\).\n\n\\[P(B) = \\dfrac{500}{9000} = \\dfrac{1}{18}, \\quad P(A \\cap B) = \\dfrac{100}{9000} = \\dfrac{1}{90}.\\]\n\n\\[P(A|B) = \\dfrac{1/90}{1/18} = \\dfrac{18}{90} = \\dfrac{1}{5}.\\]\n\n### Sposob 2 (bezposrednio na zbiorze B)\nW zbiorze B jest 500 liczb. Sprawdzamy, ile z nich jest podzielnych przez 5 (bo liczba podzielna przez 18 i 15 rowna z 18 i 5, gdyz 3 juz zapewnia 18). Co 5-ty wyraz ciagu 1008, 1026, 9990 (roznica 18) jest podzielny przez 5 - dokladnie \\(500/5 = 100\\) wyrazow.\n\n\\(P(A|B) = \\dfrac{100}{500} = \\dfrac{1}{5}\\).\n\n### Uwagi o punktacji\n- 1 pkt: \\(|\\Omega| = 9000\\) lub poprawnie zastosuje metode zliczania B lub A∩B albo stwierdzi NWW(15,18) = 90.\n- 2 pkt: obliczy \\(|B| = 500\\) lub \\(|A \\cap B| = 100\\).\n- 3 pkt: obliczy oba zbiory.\n- 4 pkt: obliczy \\(P(A|B) = \\tfrac{1}{5}\\).\n\nUwaga: jesli zdajacy rozpatruje \\(1 \\leq x \\leq 9999\\) zamiast 4-cyfrowych, max 2 pkt.\n\n**Trik:** \\(P(A|B) = \\dfrac{|A \\cap B|}{|B|}\\) - mozna policzyc bez \\(|\\Omega|\\).","image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":10,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Matura · maj 2021 (rozszerzona)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Matura","text_html":"

Zadanie 9. (0-4)
Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz
prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna
przez 15, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 18.

\n

EMAP-R0_100
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
9.
Maks. liczba pkt
4
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-R0_100
Rozwiązanie zadania. Ze zbioru wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych losujemy jedną liczbę. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że wylosowana liczba jest podzielna przez 15, jeśli wiadomo, że jest ona podzielna przez 18.

","answer_text_html":"

Zadanie 9. (0-4)
Wymagania egzaminacyjne 2021
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
III. Modelowanie matematyczne.
Zdający:
R10.2) oblicza prawdopodobieństwo
warunkowe.
Zasady oceniania
Zdający otrzymuje 1 p.
gdy:

zapisze liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: |Ω| = 9000
ALBO

zastosuje poprawną metodę zliczania elementów zbioru 𝐵, zawierającego wszystkie
liczby naturalne czterocyfrowe podzielne przez 18 (np. poprzez wykorzystanie
własności ciągu arytmetycznego, stosowanie cech podzielności liczb całkowitych)
ALBO

zastosuje poprawną metodę zliczania elementów zbioru 𝐴∩𝐵 (np. poprzez
wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego, stosowanie cech podzielności liczb
całkowitych)
ALBO

zapisze, że jeżeli 𝐴 jest zdarzeniem polegającym na wylosowaniu liczby podzielnej
przez 15, to iloczyn zdarzeń 𝐴∩𝐵 oznacza wylosowanie liczby podzielnej przez 90
Zdający otrzymuje 2 p.
gdy:

obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐵: |𝐵| = 500
ALBO

obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴∩𝐵: |𝐴∩𝐵| = 100
Zdający otrzymuje 3 p.
gdy:

obliczy liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐵 oraz obliczy liczbę
zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴∩𝐵: |𝐵| = 500, |𝐴∩𝐵| = 100
Zdający otrzymuje 4 p.
gdy zastosuje poprawną metodę i obliczy szukane prawdopodobieństwo warunkowe:
𝑃(𝐴|𝐵) = 18
90 = 1
5 .
Uwagi:

\n
  1. Jeśli zdający rozwiąże zadanie, rozpatrując wszystkie liczby naturalne spełniające warunek
\n

1 ≤𝑥≤9999, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Jeśli zdający, wyznaczając, ile jest liczb podzielnych przez 18 lub 15, rozważa, że są one
\n

mniejsze niż 9000, to może otrzymać co najwyżej 2 punkty za całe rozwiązanie.

\n
  1. Ignorujemy zapis 𝑃(𝐴|𝐵) =
\n

|𝐴∪𝐵|
|𝐵| , jeżeli z rozwiązania zdającego jednoznacznie wynika,
że zliczał wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające iloczynowi tych zdarzeń.

\n
  1. Jeżeli w sposobie zliczania elementów zbioru |𝐵| (lub |𝐴∩𝐵|) opartym na kolejnych
\n

wyrazach ciągu arytmetycznego zdający poprawnie ustala pierwszy i ostatni wyraz ciągu
oraz różnicę tego ciągu, to przyjmujemy ten sposób zliczania jest poprawny. Jeżeli
natomiast błędnie ustali pierwszy lub ostatni wyraz ciągu, lub różnicę tego ciągu, to sposób
uznajemy za niepoprawny. Jeżeli zdający podzieli zbiór wszystkich liczb całkowitych
czterocyfrowych na rozłączne niepuste podzbiory i zlicza liczby podzielne przez 18 (lub 90)
w każdym z tych podzbiorów, to ten sposób uznajemy za poprawny tylko wtedy, gdy popełni
błąd w zliczaniu co najwyżej w jednym z tych podzbiorów.
Przykładowe pełne rozwiązanie
Niech 𝐴 oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba jest podzielna przez 15.
Niech 𝐵 oznacza zdarzenie, że wylosowana liczba jest podzielna przez 18.
W zadaniu mamy obliczyć prawdopodobieństwo 𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵) .
Zbiór liczb naturalnych czterocyfrowych zawiera 9000 elementów, zatem |Ω| = 9000.
Do zbioru 𝐵 należą liczby: 1008, 1026, 1044, …, 1008 + (𝑛-1) ⋅18 (gdzie
1008 + (𝑛-1) ⋅18 ≤9999, a liczba naturalna 𝑛 jest liczbą elementów zbioru 𝐵).
Ponieważ
𝑛≤9999 -1008
18

\n\n

więc 𝑛= 500.
Zatem
𝑃(𝐵) = 500
9000 = 5
90 = 1
18 .
Zdarzenie 𝐴∩𝐵 zachodzi tylko wtedy, gdy wylosowana liczba jest jednocześnie podzielna
przez 15 i przez 18, czyli przez 90.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Do zbioru 𝐴∩𝐵 należą zatem liczby: 1080, 1170, 1260, …, 1080 + (𝑚-1) ⋅90 (gdzie
1080 + (𝑚-1) ⋅90 ≤9999, a liczba naturalna 𝑚 jest liczbą elementów zbioru 𝐴∩𝐵).
Ponieważ
𝑚≤9999 -1080
90

\n\n

więc 𝑚= 100.
Zatem
𝑃(𝐴∩𝐵) = 100
9000 = 1
90 .
Z definicji prawdopodobieństwa warunkowego otrzymujemy
𝑃(𝐴|𝐵) = 𝑃(𝐴∩𝐵)
𝑃(𝐵)
1
90
1
18
= 18
90 = 1
5 .

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-maj-matura-rozszerzona/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{1}{5}\\)

\n

Sposób 1 - Definicja prawdopodobieństwa warunkowego (zliczanie)

\n

Ustalamy przestrzeń i zdarzenia:

\n

Zbiór wszystkich liczb naturalnych czterocyfrowych to \\(\\{1000, 1001, \\ldots, 9999\\}\\), czyli \\(|\\Omega| = 9000\\) liczb.

\n

Oznaczamy:

\n\n

Szukamy \\(P(A|B)\\), czyli prawdopodobieństwa warunkowego.

\n

Krok 1: Wyznaczamy \\(|B|\\) - liczby czterocyfrowe podzielne przez 18.

\n

\\[1000 \\div 18 = 55{,}5\\overline{5} \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{najmniejsza: } 56 \\cdot 18 = 1008\\]
\\[9999 \\div 18 = 555{,}5 \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{największa: } 555 \\cdot 18 = 9990\\]

\n

\\[|B| = 555 - 56 + 1 = 500\\]

\n

Krok 2: Wyznaczamy \\(|A \\cap B|\\) - liczby czterocyfrowe podzielne przez 15 i przez 18.

\n

Podzielność przez obie liczby jednocześnie oznacza podzielność przez ich NWW.

\n

\\[15 = 3 \\cdot 5, \\quad 18 = 2 \\cdot 3^2\\]
\\[\\operatorname{NWW}(15, 18) = 2 \\cdot 3^2 \\cdot 5 = 90\\]

\n

Szukamy liczb czterocyfrowych podzielnych przez \\(90\\):

\n

\\[1000 \\div 90 = 11{,}1\\overline{1} \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{najmniejsza: } 12 \\cdot 90 = 1080\\]
\\[9999 \\div 90 = 111{,}1 \\quad \\Rightarrow \\quad \\text{największa: } 111 \\cdot 90 = 9990\\]

\n

\\[|A \\cap B| = 111 - 12 + 1 = 100\\]

\n

Krok 3: Stosujemy wzór na prawdopodobieństwo warunkowe.

\n

\\[P(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)} = \\frac{|A \\cap B|}{|B|} = \\frac{100}{500} = \\boxed{\\frac{1}{5}}\\]

\n

Sposób 2 - Algebraiczny (bez zliczania)

\n

Kluczowa obserwacja: każdą liczbę podzielną przez \\(18\\) możemy zapisać jako \\(18k\\), gdzie \\(k\\) jest liczbą naturalną.

\n

Pytamy: kiedy \\(18k\\) jest podzielne przez \\(15\\)?

\n

\\[15 = 3 \\cdot 5, \\quad 18k = 2 \\cdot 3^2 \\cdot k\\]

\n

Liczba \\(18k\\) jest już podzielna przez \\(3\\) (bo \\(18 = 2 \\cdot 3^2\\)). Brakuje tylko podzielności przez \\(5\\).

\n

Warunek: \\(18k\\) podzielne przez \\(15\\) \\(\\iff\\) \\(k\\) podzielne przez \\(5\\).

\n

Wśród kolejnych wartości \\(k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, \\ldots\\) dokładnie co piąta jest podzielna przez \\(5\\), zatem:

\n

\\[P(A|B) = \\frac{1}{5}\\]

\n

Nie potrzebujemy nawet wiedzieć, że chodzi o liczby czterocyfrowe - wynik wynika ze struktury podzielności!

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30) - prawdopodobieństwo warunkowe:
\\[P(A|B) = \\frac{P(A \\cap B)}{P(B)}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1, gdzie \\(P(A \\cap B) = \\frac{100}{9000}\\) i \\(P(B) = \\frac{500}{9000}\\).

\n

Dział 14 - prawdopodobieństwo klasyczne:
\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]
Posłużyło do wyznaczenia obu prawdopodobieństw przez zliczanie sprzyjających przypadków.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wielu uczniów liczy NWW błędnie, mnożąc \\(15 \\cdot 18 = 270\\) zamiast wyznaczać \\(\\operatorname{NWW}(15, 18) = 90\\). Pamiętaj: \\(\\operatorname{NWW}(a,b) = \\frac{a \\cdot b}{\\operatorname{NWD}(a,b)}\\), a \\(\\operatorname{NWD}(15, 18) = 3\\).
\n
⚠️ Uwaga: Zadanie pyta o prawdopodobieństwo warunkowe - warunkiem jest podzielność przez 18. Nie dzielimy więc przez \\(9000\\), lecz przez \\(500\\) (liczność zdarzenia warunkującego).
\n
⚠️ Uwaga: Przy liczeniu wielokrotności w przedziale \\(\\langle 1000, 9999 \\rangle\\) stosuj wzór: liczba wielokrotności \\(d\\) = \\(\\lfloor 9999 / d \\rfloor - \\lfloor 999 / d \\rfloor\\). Tutaj: \\(\\lfloor 9999/18 \\rfloor - \\lfloor 999/18 \\rfloor = 555 - 55 = 500\\). To szybsza droga niż szukanie pierwszej i ostatniej wielokrotności.
\n
Sposob 1 (prawdopodobienstwo warunkowe przez ciagi arytmetyczne)
\n

Niech \\(A\\): liczba podzielna przez 15, \\(B\\): liczba podzielna przez 18. Szukamy \\(P(A|B) = \\dfrac{P(A\\cap B)}{P(B)}\\) (karta wzorow).

\n

Zbior wszystkich czterocyfrowych liczb: \\(|\\Omega| = 9000\\) (od 1000 do 9999).

\n

Moc B (podzielne przez 18): najmniejsza \\(\\geq 1000\\) to \\(1008 = 56 \\cdot 18\\), najwieksza \\(\\leq 9999\\) to \\(9990 = 555 \\cdot 18\\). Liczba wyrazow ciagu arytmetycznego: \\(n = \\dfrac{9990 - 1008}{18} + 1 = 500\\).

\n

Moc A∩B: liczba podzielna jednoczesnie przez 15 i 18, czyli przez NWW(15,18) = 90. Najmniejsza \\(\\geq 1000\\): \\(1080 = 12 \\cdot 90\\), najwieksza \\(\\leq 9999\\): \\(9990 = 111 \\cdot 90\\). Liczba wyrazow: \\(m = \\dfrac{9990 - 1080}{90} + 1 = 100\\).

\n

\\[P(B) = \\dfrac{500}{9000} = \\dfrac{1}{18}, \\quad P(A \\cap B) = \\dfrac{100}{9000} = \\dfrac{1}{90}.\\]

\n

\\[P(A|B) = \\dfrac{1/90}{1/18} = \\dfrac{18}{90} = \\dfrac{1}{5}.\\]

\n
Sposob 2 (bezposrednio na zbiorze B)
\n

W zbiorze B jest 500 liczb. Sprawdzamy, ile z nich jest podzielnych przez 5 (bo liczba podzielna przez 18 i 15 rowna z 18 i 5, gdyz 3 juz zapewnia 18). Co 5-ty wyraz ciagu 1008, 1026, 9990 (roznica 18) jest podzielny przez 5 - dokladnie \\(500/5 = 100\\) wyrazow.

\n

\\(P(A|B) = \\dfrac{100}{500} = \\dfrac{1}{5}\\).

\n
Uwagi o punktacji
\n\n

Uwaga: jesli zdajacy rozpatruje \\(1 \\leq x \\leq 9999\\) zamiast 4-cyfrowych, max 2 pkt.

\n

Trik: \\(P(A|B) = \\dfrac{|A \\cap B|}{|B|}\\) - mozna policzyc bez \\(|\\Omega|\\).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$\\dfrac{1}{5}$

"}]}