{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/10","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"10","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 10. (0-1)\nFunkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -2(𝑥+ 3)(𝑥-5). Wierzchołek\nparaboli, która jest wykresem funkcji 𝑓, ma współrzędną 𝑥 równą\nA. (-3)\nB. (-1)\nC. 1\nD. 5\nRozwiązanie zadania. Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=-2(x+3)(x-5). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, ma współrzędną x równą A. (-3) B. (-1) C. 1 D. 5","answer":"C","answer_text":"10 września 2021 r.\nZADANIA ZAMKNIĘTE\nNr\nzadania\n1.\n2.\n3.\n4.\n5.\n6.\n7.\n8.\n9.\n10.\n11.\n12.\n13.\n14.\nOdp.\nD\nC\nA\nA\nD\nC\nB\nC\nA\nC\nD\nD\nC\nB\nNr\nzadania\n15.\n16.\n17.\n18.\n19.\n20.\n21.\n22.\n23.\n24.\n25.\n26.\n27.\n28.\nOdp.\nC\nB\nD\nA\nD\nB\nD\nA\nC\nC\nA\nB\nC\nB\nZADANIA OTWARTE","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(x = 1\\)\n\n## Sposób 1 - Symetria postaci iloczynowej\n\nFunkcja jest zapisana w **postaci iloczynowej**: \\(f(x) = -2(x+3)(x-5)\\).\n\nMiejsca zerowe to punkty, gdzie \\(f(x) = 0\\):\n\\[x + 3 = 0 \\implies x_1 = -3\\]\n\\[x - 5 = 0 \\implies x_2 = 5\\]\n\nParabola jest **symetryczna względem swojej osi**, która przechodzi przez wierzchołek. Oś symetrii leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi:\n\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-3 + 5}{2} = \\frac{2}{2} = \\mathbf{1}\\]\n\n**Współrzędna \\(x\\) wierzchołka wynosi \\(1\\).**\n\n## Sposób 2 - Rozwinięcie do postaci ogólnej i wzór na wierzchołek\n\nRozwijamy nawiasy:\n\\[f(x) = -2(x+3)(x-5) = -2(x^2 - 5x + 3x - 15) = -2(x^2 - 2x - 15)\\]\n\\[f(x) = -2x^2 + 4x + 30\\]\n\nMamy \\(a = -2\\), \\(b = 4\\), \\(c = 30\\). Stosujemy wzór na współrzędną \\(x\\) wierzchołka:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{4}{2 \\cdot (-2)} = -\\frac{4}{-4} = \\mathbf{1}\\]\n\nWynik zgodny - **wierzchołek ma współrzędną \\(x = 1\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - współrzędna \\(x\\) wierzchołka paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 po rozwinięciu do postaci ogólnej.\n\n**Dział 7 - wzory Viète'a** (użyte pośrednio w Sposobie 1):\n\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\]\nŚrodek między miejscami zerowymi to \\(\\frac{x_1 + x_2}{2} = -\\frac{b}{2a} = p\\) - to ten sam wzór, tylko w innej formie.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A \\((-3)\\) | Uczeń bierze jedno z miejsc zerowych (\\(x_1 = -3\\)) za wierzchołek |\n| B \\((-1)\\) | Błąd znaku przy obliczaniu środka: \\(\\frac{-3+5}{2}\\) liczone jako \\(\\frac{-3-5}{2} = -4\\), albo błędne odejmowanie zamiast dodawania |\n| D \\(5\\) | Uczeń bierze drugie miejsce zerowe (\\(x_2 = 5\\)) za wierzchołek |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsca zerowe to **NIE** wierzchołek - to punkty, gdzie parabola przecina oś \\(OX\\). Wierzchołek leży **między** nimi!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy wzorze \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) łatwo zgubić znak. Po rozwinięciu nawiasów uważaj, że \\(a = -2\\) (współczynnik przy \\(x^2\\)), i nie zapomnij o minusie przed ułamkiem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sposób 1 (środek między miejscami zerowymi) jest **szybszy i mniej podatny na błędy** - warto go znać jako metodę \"na skróty\" dla postaci iloczynowej.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Średnia arytmetyczna miejsc zerowych\nMiejsca zerowe: \\(x_{1}=-3\\), \\(x_{2}=5\\).\n\\(x_{w} = \\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} = \\dfrac{-3+5}{2} = \\dfrac{2}{2} = 1\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór \\(x_{w} = -\\dfrac{b}{2a}\\) (karta wzorów)\nRozwijamy: \\(f(x) = -2(x^{2}-2x-15) = -2x^{2}+4x+30\\), więc \\(a=-2\\), \\(b=4\\).\n\\(x_{w} = -\\dfrac{4}{2\\cdot(-2)} = -\\dfrac{4}{-4} = 1\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-3\\)**, **D. \\(5\\)** - miejsca zerowe, nie wierzchołek.\n- **B. \\(-1\\)** - błędna średnia.\n\n**Trik:** Wierzchołek paraboli leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-10.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 10. (0-1)<br>Funkcja kwadratowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -2(𝑥+ 3)(𝑥-5). Wierzchołek<br>paraboli, która jest wykresem funkcji 𝑓, ma współrzędną 𝑥 równą<br>A. (-3)<br>B. (-1)<br>C. 1<br>D. 5<br>Rozwiązanie zadania. Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=-2(x+3)(x-5). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, ma współrzędną x równą A. (-3) B. (-1) C. 1 D. 5</p>","answer_text_html":"<p>10 września 2021 r.<br>ZADANIA ZAMKNIĘTE<br>Nr<br>zadania<br>1.<br>2.<br>3.<br>4.<br>5.<br>6.<br>7.<br>8.<br>9.<br>10.<br>11.<br>12.<br>13.<br>14.<br>Odp.<br>D<br>C<br>A<br>A<br>D<br>C<br>B<br>C<br>A<br>C<br>D<br>D<br>C<br>B<br>Nr<br>zadania<br>15.<br>16.<br>17.<br>18.<br>19.<br>20.<br>21.<br>22.<br>23.<br>24.<br>25.<br>26.<br>27.<br>28.<br>Odp.<br>C<br>B<br>D<br>A<br>D<br>B<br>D<br>A<br>C<br>C<br>A<br>B<br>C<br>B<br>ZADANIA OTWARTE</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-10.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(x = 1\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Symetria postaci iloczynowej</h4>\n<p>Funkcja jest zapisana w <strong>postaci iloczynowej</strong>: \\(f(x) = -2(x+3)(x-5)\\).</p>\n<p>Miejsca zerowe to punkty, gdzie \\(f(x) = 0\\):<br>\\[x + 3 = 0 \\implies x_1 = -3\\]<br>\\[x - 5 = 0 \\implies x_2 = 5\\]</p>\n<p>Parabola jest <strong>symetryczna względem swojej osi</strong>, która przechodzi przez wierzchołek. Oś symetrii leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi:<br>\\[p = \\frac{x_1 + x_2}{2} = \\frac{-3 + 5}{2} = \\frac{2}{2} = \\mathbf{1}\\]</p>\n<p><strong>Współrzędna \\(x\\) wierzchołka wynosi \\(1\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Rozwinięcie do postaci ogólnej i wzór na wierzchołek</h4>\n<p>Rozwijamy nawiasy:<br>\\[f(x) = -2(x+3)(x-5) = -2(x^2 - 5x + 3x - 15) = -2(x^2 - 2x - 15)\\]<br>\\[f(x) = -2x^2 + 4x + 30\\]</p>\n<p>Mamy \\(a = -2\\), \\(b = 4\\), \\(c = 30\\). Stosujemy wzór na współrzędną \\(x\\) wierzchołka:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{4}{2 \\cdot (-2)} = -\\frac{4}{-4} = \\mathbf{1}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - <strong>wierzchołek ma współrzędną \\(x = 1\\)</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - współrzędna \\(x\\) wierzchołka paraboli:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 2 po rozwinięciu do postaci ogólnej.</p>\n<p><strong>Dział 7 - wzory Viète&#x27;a</strong> (użyte pośrednio w Sposobie 1):<br>\\[x_1 + x_2 = -\\frac{b}{a}\\]<br>Środek między miejscami zerowymi to \\(\\frac{x_1 + x_2}{2} = -\\frac{b}{2a} = p\\) - to ten sam wzór, tylko w innej formie.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A \\((-3)\\) | Uczeń bierze jedno z miejsc zerowych (\\(x_1 = -3\\)) za wierzchołek |<br>| B \\((-1)\\) | Błąd znaku przy obliczaniu środka: \\(\\frac{-3+5}{2}\\) liczone jako \\(\\frac{-3-5}{2} = -4\\), albo błędne odejmowanie zamiast dodawania |<br>| D \\(5\\) | Uczeń bierze drugie miejsce zerowe (\\(x_2 = 5\\)) za wierzchołek |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Miejsca zerowe to <strong>NIE</strong> wierzchołek - to punkty, gdzie parabola przecina oś \\(OX\\). Wierzchołek leży <strong>między</strong> nimi!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy wzorze \\(p = -\\frac{b}{2a}\\) łatwo zgubić znak. Po rozwinięciu nawiasów uważaj, że \\(a = -2\\) (współczynnik przy \\(x^2\\)), i nie zapomnij o minusie przed ułamkiem.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sposób 1 (środek między miejscami zerowymi) jest <strong>szybszy i mniej podatny na błędy</strong> - warto go znać jako metodę &quot;na skróty&quot; dla postaci iloczynowej.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Średnia arytmetyczna miejsc zerowych</h5>\n<p>Miejsca zerowe: \\(x_{1}=-3\\), \\(x_{2}=5\\).<br>\\(x_{w} = \\dfrac{x_{1}+x_{2}}{2} = \\dfrac{-3+5}{2} = \\dfrac{2}{2} = 1\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór \\(x_{w} = -\\dfrac{b}{2a}\\) (karta wzorów)</h5>\n<p>Rozwijamy: \\(f(x) = -2(x^{2}-2x-15) = -2x^{2}+4x+30\\), więc \\(a=-2\\), \\(b=4\\).<br>\\(x_{w} = -\\dfrac{4}{2\\cdot(-2)} = -\\dfrac{4}{-4} = 1\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-3\\)</strong>, <strong>D. \\(5\\)</strong> - miejsca zerowe, nie wierzchołek.</li><li><strong>B. \\(-1\\)</strong> - błędna średnia.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Wierzchołek paraboli leży dokładnie w połowie między miejscami zerowymi.</p>"}]}