{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/11","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"11","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 11. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -𝑥2 + 4 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Zbiorem\nwartości funkcji 𝑓 jest przedział\nA. (-∞, -2⟩\nB. ⟨2, + ∞)\nC. ⟨-4, + ∞)\nD. (-∞, 4⟩\nRozwiązanie zadania. Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=-2(x+3)(x-5). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, ma współrzędną x równą A. (-3) B. (-1) C. 1 D. 5","answer":"D","answer_text":"11. W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli\npodaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia\nrozwiązania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\((-\\infty, 4\\rangle\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza paraboli (wierzchołek i ramiona)\n\nFunkcja \\(f(x) = -x^2 + 4\\) to **parabola skierowana ramionami w dół** (bo współczynnik przy \\(x^2\\) jest ujemny: \\(a = -1 < 0\\)).\n\nWyznaczamy wierzchołek paraboli. Wzór na odciętą wierzchołka:\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{0}{2 \\cdot (-1)} = 0\\]\n\nRzędna wierzchołka (maksimum funkcji):\n\\[q = f(0) = -(0)^2 + 4 = 4\\]\n\nWierzchołek to \\(W = (0, 4)\\) - tutaj funkcja osiąga swoją **największą wartość równą \\(4\\)**.\n\nPonieważ parabola jest skierowana **w dół**, funkcja rośnie do wierzchołka, a potem maleje bez ograniczeń:\n\\[f(x) \\to -\\infty \\quad \\text{gdy } x \\to \\pm\\infty\\]\n\nZatem funkcja przyjmuje wszystkie wartości **od \\(-\\infty\\) do \\(4\\)** włącznie (wartość \\(4\\) jest osiągana w \\(x = 0\\)).\n\n\\[\\text{Zbiór wartości} = (-\\infty, 4\\rangle\\]\n\n**Odpowiedź: D.**\n\n## Sposób 2 - Algebraicznie (z definicji zbioru wartości)\n\nPytamy: dla jakich \\(y\\) równanie \\(f(x) = y\\) ma rozwiązanie?\n\n\\[-x^2 + 4 = y\\]\n\\[x^2 = 4 - y\\]\n\nRównanie \\(x^2 = 4 - y\\) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy prawa strona jest nieujemna:\n\\[4 - y \\geq 0 \\implies y \\leq 4\\]\n\nDla każdego \\(y \\leq 4\\) istnieje \\(x = \\pm\\sqrt{4-y}\\), które spełnia równanie - więc każda taka wartość \\(y\\) **jest** osiągana przez funkcję.\n\n\\[\\text{Zbiór wartości} = (-\\infty, 4\\rangle\\]\n\n**Odpowiedź: D. ✓**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzór na wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\n\nW Sposobie 1 użyliśmy \\(p = 0\\), \\(q = 4\\) - wierzchołek wyznacza **maksimum** funkcji gdy \\(a < 0\\). Zbiór wartości to wtedy \\((-\\infty, q\\rangle\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\((-\\infty, -2\\rangle\\) - mylono zbiór wartości z miejscami zerowymi; \\(f(x) = 0\\) daje \\(x = \\pm 2\\), ale to miejsca zerowe, nie zbiór wartości |\n| B | \\(\\langle 2, +\\infty)\\) - parabola skierowana w górę dawałaby zbiór \\(\\langle q, +\\infty)\\); tu ramiona idą w dół, więc zbiór wartości jest ograniczony **od góry**, nie od dołu |\n| C | \\(\\langle -4, +\\infty)\\) - prawdopodobnie zamieniono znak: \\(-\\Delta/(4a) = -(-16)/(-4) = -4\\), ale to błąd rachunkowy; wierzchołek jest w \\((0, 4)\\), nie w \\((0, -4)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdy \\(a < 0\\) (parabola w dół), zbiór wartości to \\((-\\infty, q\\rangle\\) - ograniczony od góry. Gdy \\(a > 0\\) (parabola w górę) - to \\(\\langle q, +\\infty)\\). Nie myl tych dwóch przypadków!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsca zerowe (\\(x = \\pm 2\\)) to punkty na osi \\(OX\\), gdzie funkcja się zeruje - nie mylić ich ze zbiorem wartości!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wartość \\(4\\) **jest osiągana** (w \\(x = 0\\)), więc przedział jest domknięty od góry: \\(\\langle\\) zamiast \\((\\). Sprawdź zawsze, czy ekstremum jest osiągane!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wierzchołek paraboli (postać kanoniczna)\n\\(f(x) = -(x^{2}) + 4\\) to parabola \\(y = -x^{2}\\) przesunięta o 4 w górę.\nWspółczynnik \\(a=-1<0\\) - ramiona w dół, wierzchołek maksimum: \\((0, 4)\\).\nZbiór wartości: \\((-\\infty, 4\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Analiza\n\\(-x^{2} \\leq 0\\) dla każdego \\(x\\), więc \\(-x^{2}+4 \\leq 4\\). Największa wartość 4 przy \\(x=0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-\\infty,-2\\rangle\\)** - pomylone wartości.\n- **B. \\(\\langle 2,+\\infty)\\)** - błędnie (funkcja nie osiąga wartości \\(>4\\)).\n- **C. \\(\\langle -4,+\\infty)\\)** - zamienione zakresy.\n\n**Trik:** Parabola z \\(a<0\\) ma zbiór wartości \\((-\\infty, y_{w}\\rangle\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-11.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 11. (0-1)<br>Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -𝑥2 + 4 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Zbiorem<br>wartości funkcji 𝑓 jest przedział<br>A. (-∞, -2⟩<br>B. ⟨2, + ∞)<br>C. ⟨-4, + ∞)<br>D. (-∞, 4⟩<br>Rozwiązanie zadania. Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x)=-2(x+3)(x-5). Wierzchołek paraboli, która jest wykresem funkcji f, ma współrzędną x równą A. (-3) B. (-1) C. 1 D. 5</p>","answer_text_html":"<ol><li>W przypadku zadania z geometrii zdający może otrzymać przynajmniej 1 punkt, jeżeli</li></ol>\n<p>podaje poprawną metodę wyznaczenia długości odcinka potrzebnej do znalezienia<br>rozwiązania.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-11.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\((-\\infty, 4\\rangle\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Analiza paraboli (wierzchołek i ramiona)</h4>\n<p>Funkcja \\(f(x) = -x^2 + 4\\) to <strong>parabola skierowana ramionami w dół</strong> (bo współczynnik przy \\(x^2\\) jest ujemny: \\(a = -1 &lt; 0\\)).</p>\n<p>Wyznaczamy wierzchołek paraboli. Wzór na odciętą wierzchołka:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{0}{2 \\cdot (-1)} = 0\\]</p>\n<p>Rzędna wierzchołka (maksimum funkcji):<br>\\[q = f(0) = -(0)^2 + 4 = 4\\]</p>\n<p>Wierzchołek to \\(W = (0, 4)\\) - tutaj funkcja osiąga swoją <strong>największą wartość równą \\(4\\)</strong>.</p>\n<p>Ponieważ parabola jest skierowana <strong>w dół</strong>, funkcja rośnie do wierzchołka, a potem maleje bez ograniczeń:<br>\\[f(x) \\to -\\infty \\quad \\text{gdy } x \\to \\pm\\infty\\]</p>\n<p>Zatem funkcja przyjmuje wszystkie wartości <strong>od \\(-\\infty\\) do \\(4\\)</strong> włącznie (wartość \\(4\\) jest osiągana w \\(x = 0\\)).</p>\n<p>\\[\\text{Zbiór wartości} = (-\\infty, 4\\rangle\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: D.</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Algebraicznie (z definicji zbioru wartości)</h4>\n<p>Pytamy: dla jakich \\(y\\) równanie \\(f(x) = y\\) ma rozwiązanie?</p>\n<p>\\[-x^2 + 4 = y\\]<br>\\[x^2 = 4 - y\\]</p>\n<p>Równanie \\(x^2 = 4 - y\\) ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy prawa strona jest nieujemna:<br>\\[4 - y \\geq 0 \\implies y \\leq 4\\]</p>\n<p>Dla każdego \\(y \\leq 4\\) istnieje \\(x = \\pm\\sqrt{4-y}\\), które spełnia równanie - więc każda taka wartość \\(y\\) <strong>jest</strong> osiągana przez funkcję.</p>\n<p>\\[\\text{Zbiór wartości} = (-\\infty, 4\\rangle\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: D. ✓</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - wzór na wierzchołek paraboli:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]</p>\n<p>W Sposobie 1 użyliśmy \\(p = 0\\), \\(q = 4\\) - wierzchołek wyznacza <strong>maksimum</strong> funkcji gdy \\(a &lt; 0\\). Zbiór wartości to wtedy \\((-\\infty, q\\rangle\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\((-\\infty, -2\\rangle\\) - mylono zbiór wartości z miejscami zerowymi; \\(f(x) = 0\\) daje \\(x = \\pm 2\\), ale to miejsca zerowe, nie zbiór wartości |<br>| B | \\(\\langle 2, +\\infty)\\) - parabola skierowana w górę dawałaby zbiór \\(\\langle q, +\\infty)\\); tu ramiona idą w dół, więc zbiór wartości jest ograniczony <strong>od góry</strong>, nie od dołu |<br>| C | \\(\\langle -4, +\\infty)\\) - prawdopodobnie zamieniono znak: \\(-\\Delta/(4a) = -(-16)/(-4) = -4\\), ale to błąd rachunkowy; wierzchołek jest w \\((0, 4)\\), nie w \\((0, -4)\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Gdy \\(a &lt; 0\\) (parabola w dół), zbiór wartości to \\((-\\infty, q\\rangle\\) - ograniczony od góry. Gdy \\(a &gt; 0\\) (parabola w górę) - to \\(\\langle q, +\\infty)\\). Nie myl tych dwóch przypadków!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Miejsca zerowe (\\(x = \\pm 2\\)) to punkty na osi \\(OX\\), gdzie funkcja się zeruje - nie mylić ich ze zbiorem wartości!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wartość \\(4\\) <strong>jest osiągana</strong> (w \\(x = 0\\)), więc przedział jest domknięty od góry: \\(\\langle\\) zamiast \\((\\). Sprawdź zawsze, czy ekstremum jest osiągane!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wierzchołek paraboli (postać kanoniczna)</h5>\n<p>\\(f(x) = -(x^{2}) + 4\\) to parabola \\(y = -x^{2}\\) przesunięta o 4 w górę.<br>Współczynnik \\(a=-1&lt;0\\) - ramiona w dół, wierzchołek maksimum: \\((0, 4)\\).<br>Zbiór wartości: \\((-\\infty, 4\\rangle\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Analiza</h5>\n<p>\\(-x^{2} \\leq 0\\) dla każdego \\(x\\), więc \\(-x^{2}+4 \\leq 4\\). Największa wartość 4 przy \\(x=0\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\((-\\infty,-2\\rangle\\)</strong> - pomylone wartości.</li><li><strong>B. \\(\\langle 2,+\\infty)\\)</strong> - błędnie (funkcja nie osiąga wartości \\(&gt;4\\)).</li><li><strong>C. \\(\\langle -4,+\\infty)\\)</strong> - zamienione zakresy.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Parabola z \\(a&lt;0\\) ma zbiór wartości \\((-\\infty, y_{w}\\rangle\\).</p>"}]}