{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/12","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"12","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 12. (0-1)\nNa rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej 𝑓.\nJeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji 𝑓.\nA. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -6𝑥+ 11\nB. 𝑓(𝑥) = -𝑥2 + 𝑥+ 2\nC. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -6𝑥-7\nD. 𝑓(𝑥) = -𝑥2 + 6𝑥-7\nRozwiązanie zadania. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f. Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji f. A. f(x)=x²-6x+11 B. f(x)=-x²+x+2 C. f(x)=x²-6x-7 D. f(x)=-x²+6x-7","answer":"D","answer_text":"12. W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub\ngeometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która\nwyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać\n1 punkt.\nII.\nDodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku\narkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nZadanie 29.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nstosuje\npoprawną\nmetodę\nobliczenia\npierwiastków\ntrójmianu\nkwadratowego\n𝑥2 -4𝑥-5, tzn. stosuje wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego i oblicza te\npierwiastki, popełniając błędy o charakterze dyskalkulicznym\nALBO\n\nzdający w wyniku obliczeń otrzyma wyróżnik ujemny, ale konsekwentnie narysuje parabolę\nALBO\n\nPoprawnie rozwiąże nierówność 𝑥2 -5 ≥0.\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\n\npomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci\n𝑥∈(-∞, 5⟩∪⟨-1, +∞).\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci przedziału otwartego, to może\notrzymać co najwyżej 1 pkt.\nZadanie 30.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\npopełnia błąd przy przekształceniu równania 𝑥+8\n𝑥-7 = 2𝑥 do postaci równania\nkwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego równania\ni konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania.\nZadanie 31.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nobliczy wyróżnik trójmianu 5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 zmiennej 𝑏 (lub zmiennej 𝑎)\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 32.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 33.\nStosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.\nZadanie 34.\nZdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:\n\nzapisze jedynie liczbę 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich\nzdarzeń elementarnych).\nALBO\n\nzapisze liczbę 4, o ile z zapisów wynika, że interpretuje tę liczbę jako liczbę zdarzeń\nelementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 (np. jest to zilustrowane wypisaniem kilku\nzdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i zdający nie zapisze zdarzeń\nelementarnych, które nie sprzyjają zdarzeniu 𝐴).\nZdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:\n\npoprawnie wypisze (lub zaznaczy) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające\nzdarzeniu 𝐴, popełni błąd w ich zliczeniu i konsekwentnie zapisze wynik 𝑥","solution":"## Poprawna odpowiedź: D\n\n\\(f(x) = -x^2 + 6x - 7\\)\n\n## Sposób 1 - Analiza wierzchołka i kierunku paraboli\n\nZ rysunku odczytujemy dwie kluczowe informacje:\n1. **Parabola jest otwarta w dół** → współczynnik przy \\(x^2\\) jest ujemny (\\(a < 0\\))\n2. **Wierzchołek leży w okolicach punktu \\((3, 2)\\)**\n\n**Krok 1: Eliminacja odpowiedzi z parabolą otwartą w górę.**\n\nOdpowiedzi A i C mają \\(a = 1 > 0\\) - otwierają się w górę. Odpadają.\n\nZostają: **B** i **D** (obie mają \\(a = -1 < 0\\)).\n\n**Krok 2: Wyznaczenie wierzchołka dla odpowiedzi B.**\n\n\\[f(x) = -x^2 + x + 2, \\quad a = -1,\\ b = 1\\]\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{1}{2 \\cdot (-1)} = \\frac{1}{2}\\]\n\nWierzchołek w \\(x = \\frac{1}{2}\\) - daleko od \\(x = 3\\). **Odpowiedź B odpada.**\n\n**Krok 3: Wyznaczenie wierzchołka dla odpowiedzi D.**\n\n\\[f(x) = -x^2 + 6x - 7, \\quad a = -1,\\ b = 6,\\ c = -7\\]\n\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{6}{2 \\cdot (-1)} = 3\\]\n\\[q = f(3) = -(3)^2 + 6 \\cdot 3 - 7 = -9 + 18 - 7 = 2\\]\n\n**Wierzchołek: \\(W = (3,\\ 2)\\)** - zgadza się z rysunkiem. ✓\n\n## Sposób 2 - Postać kanoniczna\n\nSkoro z rysunku odczytujemy wierzchołek \\(W = (3, 2)\\) i parabolę otwartą w dół (\\(a < 0\\)), możemy zapisać:\n\n\\[f(x) = a(x - 3)^2 + 2\\]\n\nSpośród odpowiedzi z \\(a < 0\\) sprawdzamy, czy po rozwinięciu otrzymamy którąś z podanych opcji. Dla \\(a = -1\\):\n\n\\[f(x) = -(x-3)^2 + 2 = -(x^2 - 6x + 9) + 2 = -x^2 + 6x - 9 + 2\\]\n\\[\\boxed{f(x) = -x^2 + 6x - 7}\\]\n\nTo dokładnie odpowiedź **D**. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wzory na wierzchołek paraboli:\n\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]\nUżyliśmy ich w Sposobie 1 do wyznaczenia współrzędnych wierzchołka dla każdego kandydata.\n\n**Dział 7 - postać kanoniczna:**\n\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]\nUżyliśmy jej w Sposobie 2 - bezpośrednio wpisując odczytany wierzchołek i rozwijając.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wzór | Błąd |\n| A | \\(x^2 - 6x + 11\\) | \\(a = 1 > 0\\) → parabola otwarta **w górę**, a na rysunku jest w dół |\n| B | \\(-x^2 + x + 2\\) | \\(a < 0\\) ✓, ale wierzchołek w \\(x = \\frac{1}{2}\\), nie w \\(x = 3\\) |\n| C | \\(x^2 - 6x - 7\\) | \\(a = 1 > 0\\) → parabola otwarta **w górę** + wierzchołek w \\((3, -16)\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to pominięcie znaku \\(a\\) - uczniowie wybierają odpowiedź A lub C tylko dlatego, że wierzchołek jest w \\(x = 3\\). Tymczasem rysunek jednoznacznie pokazuje, że parabola otwiera się **w dół**, więc \\(a < 0\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór na wierzchołek to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\). Łatwo tu o błąd znaku - dla \\(f(x) = -x^2 + 6x - 7\\) mamy \\(b = 6\\), \\(a = -1\\), więc \\(p = -\\frac{6}{-2} = 3\\). Nie zapomnij o znaku mianownika!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Szybsza strategia - zawsze zacznij od odczytania znaku \\(a\\) z rysunku (góra/dół paraboli), a potem dopiero sprawdzaj wierzchołek. To eliminuje połowę odpowiedzi od razu.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Eliminacja po kształcie\nZ wykresu: ramiona w dół, więc \\(a<0\\). Eliminujemy A i C.\nSpośród B i D: w D widać \\(f(1) = -1+6-7 = -2\\) (nie pasuje - wykres przechodzi przez okolice \\(x=1\\) na osi). Sprawdzamy znak \\(x_{w}\\): wierzchołek leży po prawej od \\(y\\), więc \\(x_{w}>0\\).\nDla B: \\(x_{w} = -\\dfrac{1}{2\\cdot(-1)} = \\dfrac{1}{2}\\) - zbyt mało.\nDla D: \\(x_{w} = -\\dfrac{6}{2\\cdot(-1)} = 3\\) - pasuje.\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja wartości wierzchołka\nDla D: \\(f(3) = -9+18-7 = 2\\). Wierzchołek \\((3, 2)\\) - zgodne z wykresem.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, C.** \\(a>0\\) - ramiona w górę, nie pasuje.\n- **B.** \\(x_{w}=\\tfrac{1}{2}\\), wykres byłby blisko \\(y\\), a tu wierzchołek jest dalej.\n\n**Trik:** Znak \\(a\\) czytaj z kształtu ramion, \\(x_{w}\\) z położenia wierzchołka.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-12.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg","topics":"funkcje","page_from":6,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 12. (0-1)<br>Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej 𝑓.<br>Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji 𝑓.<br>A. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -6𝑥+ 11<br>B. 𝑓(𝑥) = -𝑥2 + 𝑥+ 2<br>C. 𝑓(𝑥) = 𝑥2 -6𝑥-7<br>D. 𝑓(𝑥) = -𝑥2 + 6𝑥-7<br>Rozwiązanie zadania. Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji kwadratowej f. Jeden spośród podanych poniżej wzorów jest wzorem tej funkcji. Wskaż wzór funkcji f. A. f(x)=x²-6x+11 B. f(x)=-x²+x+2 C. f(x)=x²-6x-7 D. f(x)=-x²+6x-7</p>","answer_text_html":"<ol><li>W przypadku zadania wymagającego przeprowadzenia dowodu (z zakresu algebry lub</li></ol>\n<p>geometrii), jeśli w przedstawionym rozwiązaniu zdający powoła się na własność, która<br>wyznacza istotny postęp, prowadzący do przeprowadzenia dowodu, to może otrzymać<br>1 punkt.<br>II.<br>Dodatkowe szczegółowe zasady oceniania zadań otwartych w przypadku<br>arkuszy osób ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Zadanie 29.<br>Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:<br><br>stosuje<br>poprawną<br>metodę<br>obliczenia<br>pierwiastków<br>trójmianu<br>kwadratowego<br>𝑥2 -4𝑥-5, tzn. stosuje wzory na pierwiastki trójmianu kwadratowego i oblicza te<br>pierwiastki, popełniając błędy o charakterze dyskalkulicznym<br>ALBO<br><br>zdający w wyniku obliczeń otrzyma wyróżnik ujemny, ale konsekwentnie narysuje parabolę<br>ALBO<br><br>Poprawnie rozwiąże nierówność 𝑥2 -5 ≥0.<br>Zdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:<br><br>pomyli porządek liczb na osi liczbowej, np. zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci<br>𝑥∈(-∞, 5⟩∪⟨-1, +∞).<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający zapisze zbiór rozwiązań nierówności w postaci przedziału otwartego, to może<br>otrzymać co najwyżej 1 pkt.<br>Zadanie 30.<br>Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:<br><br>popełnia błąd przy przekształceniu równania 𝑥+8<br>𝑥-7 = 2𝑥 do postaci równania<br>kwadratowego, lecz dalej stosuje poprawną metodę rozwiązania otrzymanego równania<br>i konsekwentnie oblicza pierwiastki tego równania.<br>Zadanie 31.<br>Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:<br><br>obliczy wyróżnik trójmianu 5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 zmiennej 𝑏 (lub zmiennej 𝑎)<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zadanie 32.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 33.<br>Stosuje się zasady oceniania arkusza standardowego.<br>Zadanie 34.<br>Zdający otrzymuje 1 pkt, jeżeli:<br><br>zapisze jedynie liczbę 36 (należy traktować to jako wyznaczenie liczby wszystkich<br>zdarzeń elementarnych).<br>ALBO<br><br>zapisze liczbę 4, o ile z zapisów wynika, że interpretuje tę liczbę jako liczbę zdarzeń<br>elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 (np. jest to zilustrowane wypisaniem kilku<br>zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴 i zdający nie zapisze zdarzeń<br>elementarnych, które nie sprzyjają zdarzeniu 𝐴).<br>Zdający otrzymuje 2 pkt, jeżeli:<br><br>poprawnie wypisze (lub zaznaczy) wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające<br>zdarzeniu 𝐴, popełni błąd w ich zliczeniu i konsekwentnie zapisze wynik 𝑥</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-12.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D</h4>\n<p>\\(f(x) = -x^2 + 6x - 7\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - Analiza wierzchołka i kierunku paraboli</h4>\n<p>Z rysunku odczytujemy dwie kluczowe informacje:</p>\n<ol><li><strong>Parabola jest otwarta w dół</strong> → współczynnik przy \\(x^2\\) jest ujemny (\\(a &lt; 0\\))</li><li><strong>Wierzchołek leży w okolicach punktu \\((3, 2)\\)</strong></li></ol>\n<p><strong>Krok 1: Eliminacja odpowiedzi z parabolą otwartą w górę.</strong></p>\n<p>Odpowiedzi A i C mają \\(a = 1 &gt; 0\\) - otwierają się w górę. Odpadają.</p>\n<p>Zostają: <strong>B</strong> i <strong>D</strong> (obie mają \\(a = -1 &lt; 0\\)).</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczenie wierzchołka dla odpowiedzi B.</strong></p>\n<p>\\[f(x) = -x^2 + x + 2, \\quad a = -1,\\ b = 1\\]<br>\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{1}{2 \\cdot (-1)} = \\frac{1}{2}\\]</p>\n<p>Wierzchołek w \\(x = \\frac{1}{2}\\) - daleko od \\(x = 3\\). <strong>Odpowiedź B odpada.</strong></p>\n<p><strong>Krok 3: Wyznaczenie wierzchołka dla odpowiedzi D.</strong></p>\n<p>\\[f(x) = -x^2 + 6x - 7, \\quad a = -1,\\ b = 6,\\ c = -7\\]<br>\\[p = -\\frac{b}{2a} = -\\frac{6}{2 \\cdot (-1)} = 3\\]<br>\\[q = f(3) = -(3)^2 + 6 \\cdot 3 - 7 = -9 + 18 - 7 = 2\\]</p>\n<p><strong>Wierzchołek: \\(W = (3,\\ 2)\\)</strong> - zgadza się z rysunkiem. ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - Postać kanoniczna</h4>\n<p>Skoro z rysunku odczytujemy wierzchołek \\(W = (3, 2)\\) i parabolę otwartą w dół (\\(a &lt; 0\\)), możemy zapisać:</p>\n<p>\\[f(x) = a(x - 3)^2 + 2\\]</p>\n<p>Spośród odpowiedzi z \\(a &lt; 0\\) sprawdzamy, czy po rozwinięciu otrzymamy którąś z podanych opcji. Dla \\(a = -1\\):</p>\n<p>\\[f(x) = -(x-3)^2 + 2 = -(x^2 - 6x + 9) + 2 = -x^2 + 6x - 9 + 2\\]<br>\\[\\boxed{f(x) = -x^2 + 6x - 7}\\]</p>\n<p>To dokładnie odpowiedź <strong>D</strong>. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)</strong> - wzory na wierzchołek paraboli:<br>\\[p = -\\frac{b}{2a}, \\quad q = -\\frac{\\Delta}{4a}\\]<br>Użyliśmy ich w Sposobie 1 do wyznaczenia współrzędnych wierzchołka dla każdego kandydata.</p>\n<p><strong>Dział 7 - postać kanoniczna:</strong><br>\\[f(x) = a(x - p)^2 + q\\]<br>Użyliśmy jej w Sposobie 2 - bezpośrednio wpisując odczytany wierzchołek i rozwijając.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wzór | Błąd |<br>| A | \\(x^2 - 6x + 11\\) | \\(a = 1 &gt; 0\\) → parabola otwarta <strong>w górę</strong>, a na rysunku jest w dół |<br>| B | \\(-x^2 + x + 2\\) | \\(a &lt; 0\\) ✓, ale wierzchołek w \\(x = \\frac{1}{2}\\), nie w \\(x = 3\\) |<br>| C | \\(x^2 - 6x - 7\\) | \\(a = 1 &gt; 0\\) → parabola otwarta <strong>w górę</strong> + wierzchołek w \\((3, -16)\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Najczęstszy błąd to pominięcie znaku \\(a\\) - uczniowie wybierają odpowiedź A lub C tylko dlatego, że wierzchołek jest w \\(x = 3\\). Tymczasem rysunek jednoznacznie pokazuje, że parabola otwiera się <strong>w dół</strong>, więc \\(a &lt; 0\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór na wierzchołek to \\(p = -\\frac{b}{2a}\\). Łatwo tu o błąd znaku - dla \\(f(x) = -x^2 + 6x - 7\\) mamy \\(b = 6\\), \\(a = -1\\), więc \\(p = -\\frac{6}{-2} = 3\\). Nie zapomnij o znaku mianownika!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Szybsza strategia - zawsze zacznij od odczytania znaku \\(a\\) z rysunku (góra/dół paraboli), a potem dopiero sprawdzaj wierzchołek. To eliminuje połowę odpowiedzi od razu.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Eliminacja po kształcie</h5>\n<p>Z wykresu: ramiona w dół, więc \\(a&lt;0\\). Eliminujemy A i C.<br>Spośród B i D: w D widać \\(f(1) = -1+6-7 = -2\\) (nie pasuje - wykres przechodzi przez okolice \\(x=1\\) na osi). Sprawdzamy znak \\(x_{w}\\): wierzchołek leży po prawej od \\(y\\), więc \\(x_{w}&gt;0\\).<br>Dla B: \\(x_{w} = -\\dfrac{1}{2\\cdot(-1)} = \\dfrac{1}{2}\\) - zbyt mało.<br>Dla D: \\(x_{w} = -\\dfrac{6}{2\\cdot(-1)} = 3\\) - pasuje.</p>\n<h5>Sposób 2 - Weryfikacja wartości wierzchołka</h5>\n<p>Dla D: \\(f(3) = -9+18-7 = 2\\). Wierzchołek \\((3, 2)\\) - zgodne z wykresem.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, C.</strong> \\(a&gt;0\\) - ramiona w górę, nie pasuje.</li><li><strong>B.</strong> \\(x_{w}=\\tfrac{1}{2}\\), wykres byłby blisko \\(y\\), a tu wierzchołek jest dalej.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Znak \\(a\\) czytaj z kształtu ramion, \\(x_{w}\\) z położenia wierzchołka.</p>"}]}