{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/13","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"13","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 13. (0-1)\nCiąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Różnica tego ciągu\njest równa 2. Wtedy\nA. 𝑎24 -𝑎6 = 18\nB. 𝑎24 -𝑎6 = 20\nC. 𝑎24 -𝑎6 = 36\nD. 𝑎24 -𝑎6 = 38\n𝑦\n1\n0 1 𝑥\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Różnica tego ciągu jest równa 2. Wtedy A. a_24 - a_6 = 18 B. a_24 - a_6 = 20 C. a_24 - a_6 = 36 D. a_24 - a_6 = 38","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\n\\[a_{24} - a_6 = 36\\]\n\n## Sposób 1 - Wzór ogólny ciągu arytmetycznego\n\nW ciągu arytmetycznym każdy wyraz wyraża się wzorem:\n\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]\n\ngdzie \\(r\\) to różnica ciągu. Tutaj \\(r = 2\\).\n\nZapisujemy oba wyrazy:\n\\[a_{24} = a_1 + 23 \\cdot 2 = a_1 + 46\\]\n\\[a_6 = a_1 + 5 \\cdot 2 = a_1 + 10\\]\n\nObliczamy różnicę:\n\\[a_{24} - a_6 = (a_1 + 46) - (a_1 + 10) = 46 - 10 = \\mathbf{36}\\]\n\n\\(a_1\\) się skraca - wynik nie zależy od pierwszego wyrazu ciągu!\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednie liczenie \"skoków\"\n\nKluczowa obserwacja: w ciągu arytmetycznym z różnicą \\(r\\) wyraz \\(a_m\\) różni się od \\(a_n\\) o dokładnie \\((m - n) \\cdot r\\).\n\nIle \"kroków\" dzieli wyraz 24. od wyrazu 6.?\n\\[24 - 6 = 18 \\text{ kroków}\\]\n\nKażdy krok to zwiększenie o \\(r = 2\\), więc:\n\\[a_{24} - a_6 = 18 \\cdot 2 = \\mathbf{36}\\]\n\n**Weryfikacja na przykładzie:** Weźmy \\(a_1 = 1\\), \\(r = 2\\):\n- \\(a_6 = 1 + 5 \\cdot 2 = 11\\)\n- \\(a_{24} = 1 + 23 \\cdot 2 = 47\\)\n- \\(47 - 11 = 36\\) ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:\n\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]\n\nUżyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do wyrażenia \\(a_{24}\\) i \\(a_6\\) przez \\(a_1\\) i \\(r\\).\n\nZ tego wzoru wynika też ogólna reguła użyta w Sposobie 2:\n\\[a_m - a_n = (m - n) \\cdot r\\]\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Wynik \\(18\\) to liczba kroków \\((24 - 6 = 18)\\), ale zapomniano przemnożyć przez różnicę \\(r = 2\\) |\n| B | Wynik \\(20\\) - trudno zrekonstruować, być może błędne obliczenie \\((24-6) \\cdot 2 - 16\\) lub pomylenie indeksów |\n| D | Wynik \\(38\\) - prawdopodobnie policzono \\((24 - 5) \\cdot 2 = 38\\), czyli wzięto \\(a_5\\) zamiast \\(a_6\\) (przesunięcie o 1 w indeksie) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba kroków między \\(a_6\\) a \\(a_{24}\\) to **\\(24 - 6 = 18\\)**, nie \\(24 - 6 + 1 = 19\\). Dodawanie \\(1\\) to częsty błąd (pomieszanie z liczeniem wyrazów w przedziale).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik \\(a_{24} - a_6\\) **nie zależy od \\(a_1\\)** - skraca się w obliczeniach. Nie potrzebujemy znać pierwszego wyrazu ciągu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Różnica \\(a_m - a_n = (m - n) \\cdot r\\) działa tylko gdy odejmujemy w tej samej kolejności - tu \\(m > n\\), więc wynik jest dodatni (co zgadza się z \\(r > 0\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Wzór na różnicę wyrazów (karta wzorów)\nDla ciągu arytmetycznego \\(a_{n} = a_{1} + (n-1)r\\).\n\\(a_{24} - a_{6} = (24-6)\\cdot r = 18\\cdot 2 = 36\\).\n\n### Sposób 2 - Bezpośrednio\n\\(a_{24} = a_{1}+23r\\), \\(a_{6} = a_{1}+5r\\). Odejmujemy:\n\\(a_{24}-a_{6} = 18r = 18\\cdot 2 = 36\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(18\\)** - sama różnica numerów wyrazów.\n- **B. \\(20\\)** - błędne \\(10\\cdot 2\\).\n- **D. \\(38\\)** - liczono \\(19\\cdot 2\\) zamiast \\(18\\cdot 2\\).\n\n**Trik:** \\(a_{m}-a_{k} = (m-k)\\cdot r\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-13.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg","topics":"ciagi","page_from":6,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 13. (0-1)<br>Ciąg arytmetyczny (𝑎𝑛) jest określony dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1. Różnica tego ciągu<br>jest równa 2. Wtedy<br>A. 𝑎24 -𝑎6 = 18<br>B. 𝑎24 -𝑎6 = 20<br>C. 𝑎24 -𝑎6 = 36<br>D. 𝑎24 -𝑎6 = 38<br>𝑦<br>1<br>0 1 𝑥</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Rozwiązanie zadania. Ciąg arytmetyczny (a_n) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1. Różnica tego ciągu jest równa 2. Wtedy A. a_24 - a_6 = 18 B. a_24 - a_6 = 20 C. a_24 - a_6 = 36 D. a_24 - a_6 = 38</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-13.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>\\[a_{24} - a_6 = 36\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - Wzór ogólny ciągu arytmetycznego</h4>\n<p>W ciągu arytmetycznym każdy wyraz wyraża się wzorem:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1) \\cdot r\\]</p>\n<p>gdzie \\(r\\) to różnica ciągu. Tutaj \\(r = 2\\).</p>\n<p>Zapisujemy oba wyrazy:<br>\\[a_{24} = a_1 + 23 \\cdot 2 = a_1 + 46\\]<br>\\[a_6 = a_1 + 5 \\cdot 2 = a_1 + 10\\]</p>\n<p>Obliczamy różnicę:<br>\\[a_{24} - a_6 = (a_1 + 46) - (a_1 + 10) = 46 - 10 = \\mathbf{36}\\]</p>\n<p>\\(a_1\\) się skraca - wynik nie zależy od pierwszego wyrazu ciągu!</p>\n<h4>Sposób 2 - Bezpośrednie liczenie &quot;skoków&quot;</h4>\n<p>Kluczowa obserwacja: w ciągu arytmetycznym z różnicą \\(r\\) wyraz \\(a_m\\) różni się od \\(a_n\\) o dokładnie \\((m - n) \\cdot r\\).</p>\n<p>Ile &quot;kroków&quot; dzieli wyraz 24. od wyrazu 6.?<br>\\[24 - 6 = 18 \\text{ kroków}\\]</p>\n<p>Każdy krok to zwiększenie o \\(r = 2\\), więc:<br>\\[a_{24} - a_6 = 18 \\cdot 2 = \\mathbf{36}\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja na przykładzie:</strong> Weźmy \\(a_1 = 1\\), \\(r = 2\\):</p>\n<ul><li>\\(a_6 = 1 + 5 \\cdot 2 = 11\\)</li><li>\\(a_{24} = 1 + 23 \\cdot 2 = 47\\)</li><li>\\(47 - 11 = 36\\) ✓</li></ul>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór ogólny ciągu arytmetycznego:<br>\\[a_n = a_1 + (n-1)r\\]</p>\n<p>Użyliśmy tego wzoru w Sposobie 1 do wyrażenia \\(a_{24}\\) i \\(a_6\\) przez \\(a_1\\) i \\(r\\).</p>\n<p>Z tego wzoru wynika też ogólna reguła użyta w Sposobie 2:<br>\\[a_m - a_n = (m - n) \\cdot r\\]</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Wynik \\(18\\) to liczba kroków \\((24 - 6 = 18)\\), ale zapomniano przemnożyć przez różnicę \\(r = 2\\) |<br>| B | Wynik \\(20\\) - trudno zrekonstruować, być może błędne obliczenie \\((24-6) \\cdot 2 - 16\\) lub pomylenie indeksów |<br>| D | Wynik \\(38\\) - prawdopodobnie policzono \\((24 - 5) \\cdot 2 = 38\\), czyli wzięto \\(a_5\\) zamiast \\(a_6\\) (przesunięcie o 1 w indeksie) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Liczba kroków między \\(a_6\\) a \\(a_{24}\\) to <strong>\\(24 - 6 = 18\\)</strong>, nie \\(24 - 6 + 1 = 19\\). Dodawanie \\(1\\) to częsty błąd (pomieszanie z liczeniem wyrazów w przedziale).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wynik \\(a_{24} - a_6\\) <strong>nie zależy od \\(a_1\\)</strong> - skraca się w obliczeniach. Nie potrzebujemy znać pierwszego wyrazu ciągu!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Różnica \\(a_m - a_n = (m - n) \\cdot r\\) działa tylko gdy odejmujemy w tej samej kolejności - tu \\(m &gt; n\\), więc wynik jest dodatni (co zgadza się z \\(r &gt; 0\\)).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na różnicę wyrazów (karta wzorów)</h5>\n<p>Dla ciągu arytmetycznego \\(a_{n} = a_{1} + (n-1)r\\).<br>\\(a_{24} - a_{6} = (24-6)\\cdot r = 18\\cdot 2 = 36\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Bezpośrednio</h5>\n<p>\\(a_{24} = a_{1}+23r\\), \\(a_{6} = a_{1}+5r\\). Odejmujemy:<br>\\(a_{24}-a_{6} = 18r = 18\\cdot 2 = 36\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(18\\)</strong> - sama różnica numerów wyrazów.</li><li><strong>B. \\(20\\)</strong> - błędne \\(10\\cdot 2\\).</li><li><strong>D. \\(38\\)</strong> - liczono \\(19\\cdot 2\\) zamiast \\(18\\cdot 2\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(a_{m}-a_{k} = (m-k)\\cdot r\\).</p>"}]}