{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/14","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"14","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 14. (0-1)\nSuma wszystkich liczb całkowitych dodatnich parzystych i jednocześnie mniejszych od 1001\njest równa\nA. 2+998\n2\n⋅499\nB. 2+1000\n2\n⋅500\nC. 2+1001\n2\n⋅500\nD. 1+1001\n2\n⋅1001\nRozwiązanie zadania. Suma wszystkich liczb całkowitych dodatnich parzystych i jednocześnie mniejszych od 1001 jest równa A. 2 + 998 / 2 ⋅ 499 B. 2 + 1000 / 2 ⋅ 500 C. 2 + 1001 / 2 ⋅ 500 D. 1 + 1001 / 2 ⋅ 1001","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\[\\dfrac{2+1000}{2}\\cdot 500\\]\n\n## Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego\n\n**Wypisujemy ciąg:** szukamy sumy wszystkich dodatnich liczb całkowitych **parzystych** i **mniejszych od 1001**.\n\nLiczby parzyste mniejsze od 1001 to:\n\\[2, 4, 6, \\ldots, 1000\\]\n\n(1001 jest nieparzyste, więc ostatnią liczbą parzystą mniejszą od 1001 jest 1000.)\n\n**Ile jest wyrazów?** Ogólnie \\(k\\)-ta liczba parzysta to \\(2k\\), więc \\(2k = 1000\\) daje \\(k = 500\\).\n\nMamy zatem \\(n = 500\\) wyrazów.\n\n**Stosujemy wzór na sumę** ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\n\nTutaj \\(a_1 = 2\\), \\(a_n = a_{500} = 1000\\), \\(n = 500\\), więc:\n\\[S_{500} = \\frac{2 + 1000}{2} \\cdot 500\\]\n\nTo jest dokładnie odpowiedź **B**.\n\nObliczając wartość:\n\\[S_{500} = \\frac{1002}{2} \\cdot 500 = 501 \\cdot 500 = 250\\,500\\]\n\n## Sposób 2 - Wyłączenie czynnika 2 i suma liczb od 1 do 500\n\nLiczby parzyste od 2 do 1000 możemy zapisać jako:\n\\[2 \\cdot 1,\\quad 2 \\cdot 2,\\quad 2 \\cdot 3,\\quad \\ldots,\\quad 2 \\cdot 500\\]\n\nIch suma to:\n\\[S = 2 \\cdot (1 + 2 + 3 + \\ldots + 500) = 2 \\cdot \\frac{500 \\cdot 501}{2} = 500 \\cdot 501 = 250\\,500\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(\\frac{2+1000}{2} \\cdot 500 = 501 \\cdot 500 = 250\\,500\\) ✓ Oba sposoby dają ten sam wynik.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:\n\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]\nUżyliśmy go w Sposobie 1, gdzie \\(a_1 = 2\\), \\(a_n = 1000\\), \\(n = 500\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Napisano \\(\\frac{2+998}{2} \\cdot 499\\) - ktoś pomyślał, że ostatnia liczba parzysta mniejsza od 1001 to 998, i policzył o 1 wyraz za mało. Skoro 1000 < 1001 i 1000 jest parzyste, **1000 należy do naszego ciągu!** |\n| C | Napisano \\(\\frac{2+1001}{2} \\cdot 500\\) - ktoś włączył do ciągu liczbę 1001, która jest **nieparzysta**. Treść mówi: parzyste i mniejsze od 1001. |\n| D | Napisano \\(\\frac{1+1001}{2} \\cdot 1001\\) - to wzór na sumę **wszystkich liczb od 1 do 1001**, bez żadnego filtrowania parzystości. Zupełnie inna suma. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „mniejsze od 1001\" - nie mylić z „mniejsze lub równe 1001\". Ostatnia liczba parzysta spełniająca warunek to **1000**, nie 998!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Liczba wyrazów to **500**, nie 499 ani 501. Sprawdź wzorem: \\(n = \\frac{a_n - a_1}{r} + 1 = \\frac{1000 - 2}{2} + 1 = 499 + 1 = 500\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie pyta o gotową **postać sumy** (wyrażenie), nie o wartość liczbową - dlatego wystarczy dopasować wzór do postaci odpowiedzi, nawet bez liczenia \\(250\\,500\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego (karta wzorów)\n\\(S_{n} = \\dfrac{a_{1}+a_{n}}{2}\\cdot n\\).\nLiczby: \\(2, 4, 6, \\ldots, 1000\\). To ciąg arytmetyczny: \\(a_{1}=2\\), \\(r=2\\), \\(a_{n}=1000\\).\nLiczba wyrazów: \\(n = \\dfrac{1000-2}{2}+1 = 500\\).\nSuma: \\(S = \\dfrac{2+1000}{2}\\cdot 500\\).\n\n### Sposób 2 - Przez liczby naturalne\nSuma \\(= 2(1+2+\\ldots+500) = 2\\cdot \\dfrac{500\\cdot 501}{2} = 500\\cdot 501 = \\dfrac{1000\\cdot 501}{1} = \\dfrac{2+1000}{2}\\cdot 500\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A.** zły ostatni wyraz (998) i liczba (499).\n- **C.** \\(a_{n}=1001\\) nieparzyste - nie należy do zbioru.\n- **D.** sumowano liczby 1 do 1001 (wszystkie).\n\n**Trik:** Wśród dodatnich parzystych mniejszych od 1001 największa to 1000, a jest ich 500.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-14.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 14. (0-1)<br>Suma wszystkich liczb całkowitych dodatnich parzystych i jednocześnie mniejszych od 1001<br>jest równa<br>A. 2+998<br>2<br>⋅499<br>B. 2+1000<br>2<br>⋅500<br>C. 2+1001<br>2<br>⋅500<br>D. 1+1001<br>2<br>⋅1001<br>Rozwiązanie zadania. Suma wszystkich liczb całkowitych dodatnich parzystych i jednocześnie mniejszych od 1001 jest równa A. 2 + 998 / 2 ⋅ 499 B. 2 + 1000 / 2 ⋅ 500 C. 2 + 1001 / 2 ⋅ 500 D. 1 + 1001 / 2 ⋅ 1001</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-14.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>\\[\\dfrac{2+1000}{2}\\cdot 500\\]</p>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego</h4>\n<p><strong>Wypisujemy ciąg:</strong> szukamy sumy wszystkich dodatnich liczb całkowitych <strong>parzystych</strong> i <strong>mniejszych od 1001</strong>.</p>\n<p>Liczby parzyste mniejsze od 1001 to:<br>\\[2, 4, 6, \\ldots, 1000\\]</p>\n<p>(1001 jest nieparzyste, więc ostatnią liczbą parzystą mniejszą od 1001 jest 1000.)</p>\n<p><strong>Ile jest wyrazów?</strong> Ogólnie \\(k\\)-ta liczba parzysta to \\(2k\\), więc \\(2k = 1000\\) daje \\(k = 500\\).</p>\n<p>Mamy zatem \\(n = 500\\) wyrazów.</p>\n<p><strong>Stosujemy wzór na sumę</strong> ciągu arytmetycznego:<br>\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]</p>\n<p>Tutaj \\(a_1 = 2\\), \\(a_n = a_{500} = 1000\\), \\(n = 500\\), więc:<br>\\[S_{500} = \\frac{2 + 1000}{2} \\cdot 500\\]</p>\n<p>To jest dokładnie odpowiedź <strong>B</strong>.</p>\n<p>Obliczając wartość:<br>\\[S_{500} = \\frac{1002}{2} \\cdot 500 = 501 \\cdot 500 = 250\\,500\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wyłączenie czynnika 2 i suma liczb od 1 do 500</h4>\n<p>Liczby parzyste od 2 do 1000 możemy zapisać jako:<br>\\[2 \\cdot 1,\\quad 2 \\cdot 2,\\quad 2 \\cdot 3,\\quad \\ldots,\\quad 2 \\cdot 500\\]</p>\n<p>Ich suma to:<br>\\[S = 2 \\cdot (1 + 2 + 3 + \\ldots + 500) = 2 \\cdot \\frac{500 \\cdot 501}{2} = 500 \\cdot 501 = 250\\,500\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> \\(\\frac{2+1000}{2} \\cdot 500 = 501 \\cdot 500 = 250\\,500\\) ✓ Oba sposoby dają ten sam wynik.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na sumę \\(n\\) wyrazów ciągu arytmetycznego:<br>\\[S_n = \\frac{a_1 + a_n}{2} \\cdot n\\]<br>Użyliśmy go w Sposobie 1, gdzie \\(a_1 = 2\\), \\(a_n = 1000\\), \\(n = 500\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Napisano \\(\\frac{2+998}{2} \\cdot 499\\) - ktoś pomyślał, że ostatnia liczba parzysta mniejsza od 1001 to 998, i policzył o 1 wyraz za mało. Skoro 1000 &lt; 1001 i 1000 jest parzyste, <strong>1000 należy do naszego ciągu!</strong> |<br>| C | Napisano \\(\\frac{2+1001}{2} \\cdot 500\\) - ktoś włączył do ciągu liczbę 1001, która jest <strong>nieparzysta</strong>. Treść mówi: parzyste i mniejsze od 1001. |<br>| D | Napisano \\(\\frac{1+1001}{2} \\cdot 1001\\) - to wzór na sumę <strong>wszystkich liczb od 1 do 1001</strong>, bez żadnego filtrowania parzystości. Zupełnie inna suma. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek „mniejsze od 1001&quot; - nie mylić z „mniejsze lub równe 1001&quot;. Ostatnia liczba parzysta spełniająca warunek to <strong>1000</strong>, nie 998!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Liczba wyrazów to <strong>500</strong>, nie 499 ani 501. Sprawdź wzorem: \\(n = \\frac{a_n - a_1}{r} + 1 = \\frac{1000 - 2}{2} + 1 = 499 + 1 = 500\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zadanie pyta o gotową <strong>postać sumy</strong> (wyrażenie), nie o wartość liczbową - dlatego wystarczy dopasować wzór do postaci odpowiedzi, nawet bez liczenia \\(250\\,500\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na sumę ciągu arytmetycznego (karta wzorów)</h5>\n<p>\\(S_{n} = \\dfrac{a_{1}+a_{n}}{2}\\cdot n\\).<br>Liczby: \\(2, 4, 6, \\ldots, 1000\\). To ciąg arytmetyczny: \\(a_{1}=2\\), \\(r=2\\), \\(a_{n}=1000\\).<br>Liczba wyrazów: \\(n = \\dfrac{1000-2}{2}+1 = 500\\).<br>Suma: \\(S = \\dfrac{2+1000}{2}\\cdot 500\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez liczby naturalne</h5>\n<p>Suma \\(= 2(1+2+\\ldots+500) = 2\\cdot \\dfrac{500\\cdot 501}{2} = 500\\cdot 501 = \\dfrac{1000\\cdot 501}{1} = \\dfrac{2+1000}{2}\\cdot 500\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A.</strong> zły ostatni wyraz (998) i liczba (499).</li><li><strong>C.</strong> \\(a_{n}=1001\\) nieparzyste - nie należy do zbioru.</li><li><strong>D.</strong> sumowano liczby 1 do 1001 (wszystkie).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Wśród dodatnich parzystych mniejszych od 1001 największa to 1000, a jest ich 500.</p>"}]}