{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/15","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"15","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 15. (0-1)\nTrójwyrazowy ciąg (2, 𝑥, 18) jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wtedy\nA. 𝑥= 16\nB. 𝑥= 10\nC. 𝑥= 6\nD. 𝑥= 9\nRozwiązanie zadania. Trójwyrazowy ciąg (2,x,18) jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wtedy A. x=16 B. x=10 C. x=6 D. x=9","answer":"C","answer_text":"16.\n17.\n18.\n19.\n20.\n21.\n22.\n23.\n24.\n25.\n26.\n27.\n28.","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(x = 6\\)\n\n## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\nW ciągu geometrycznym \\((a_1, a_2, a_3)\\) zachodzi własność:\n\\[a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\]\n\nPodstawiamy \\(a_1 = 2\\), \\(a_2 = x\\), \\(a_3 = 18\\):\n\\[x^2 = 2 \\cdot 18\\]\n\\[x^2 = 36\\]\n\\[x = 6 \\quad \\text{lub} \\quad x = -6\\]\n\nTeraz sprawdzamy warunek **rosnącości** ciągu.\n\n**Przypadek \\(x = 6\\):** ciąg \\((2,\\ 6,\\ 18)\\), iloraz \\(q = \\frac{6}{2} = 3 > 1\\) → ciąg rosnący ✓\n\n**Przypadek \\(x = -6\\):** ciąg \\((2,\\ {-6},\\ 18)\\), iloraz \\(q = \\frac{-6}{2} = -3 < 0\\) → ciąg **nie jest** monotoniczny (wyrazy na przemian zmieniają znak) ✗\n\n**Odpowiedź: \\(x = 6\\)**\n\n## Sposób 2 - Wyznaczenie ilorazu wprost\n\nNiech \\(q\\) będzie ilorazem ciągu geometrycznego. Wtedy:\n\\[a_2 = a_1 \\cdot q \\implies x = 2q\\]\n\\[a_3 = a_1 \\cdot q^2 \\implies 18 = 2q^2\\]\n\nZ drugiego równania:\n\\[q^2 = 9 \\implies q = 3 \\quad \\text{lub} \\quad q = -3\\]\n\nCiąg geometryczny jest rosnący \\(\\iff q > 1\\) (gdy wszystkie wyrazy dodatnie), więc:\n\\[q = 3\\]\n\nZatem:\n\\[x = 2q = 2 \\cdot 3 = \\mathbf{6}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 do ustawienia równania \\(x^2 = 2 \\cdot 18\\).\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:\n\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 2 do wyrażenia \\(x\\) i \\(18\\) przez \\(q\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | \\(x = 16\\) | Uczeń liczy **średnią arytmetyczną** \\(\\frac{2 + 18}{2} \\cdot \\ldots\\) lub po prostu \\(2 + 18 = 20 - 4\\) - miesza ciąg geometryczny z arytmetycznym |\n| B | \\(x = 10\\) | Uczeń liczy **średnią arytmetyczną**: \\(\\frac{2 + 18}{2} = 10\\) - to byłby środkowy wyraz ciągu **arytmetycznego** \\((2, 10, 18)\\), a nie geometrycznego |\n| D | \\(x = 9\\) | Uczeń może błędnie zastosować \\(x = \\frac{18}{2} = 9\\) (dzielenie skrajnych wyrazów zamiast pierwiastkowania ich iloczynu) |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(x^2 = 36\\) ma **dwa** rozwiązania: \\(x = 6\\) i \\(x = -6\\). Warunek rosnącości wyklucza \\(x = -6\\) - zawsze sprawdź oba!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Środkowy wyraz ciągu **geometrycznego** to **średnia geometryczna** \\(\\sqrt{a_1 \\cdot a_3}\\), a nie arytmetyczna \\(\\frac{a_1 + a_3}{2}\\). Odpowiedź B to klasyczna pułapka!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Dla ciągu geometrycznego z dodatnimi wyrazami i ilorazem \\(q > 1\\) ciąg jest rosnący; dla \\(q < 0\\) wyrazy zmieniają znak i ciąg nie jest monotonicznie rosnący.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Własność ciągu geometrycznego (karta wzorów)\nW ciągu geometrycznym: \\(x^{2} = 2\\cdot 18 = 36\\), stąd \\(x = 6\\) lub \\(x = -6\\).\nCiąg ma być rosnący, \\(2 < x < 18\\), więc \\(x = 6\\).\n\n### Sposób 2 - Przez iloraz\nJeśli \\(q\\) to iloraz: \\(\\dfrac{x}{2} = \\dfrac{18}{x}\\), stąd \\(x^{2} = 36\\), \\(x=\\pm 6\\). Wybieramy dodatnie: \\(x=6\\) (sprawdzenie: \\(2, 6, 18\\) z \\(q=3\\) - rosnący).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(16\\)** - różnica arytmetyczna.\n- **B. \\(10\\)** - średnia arytmetyczna 2 i 18 (to by dawało ciąg arytmetyczny).\n- **D. \\(9\\)** - tu \\(q\\) nie byłby stały: \\(\\tfrac{9}{2} \\neq \\tfrac{18}{9}\\).\n\n**Trik:** Środkowy wyraz ciągu geometrycznego: \\(b^{2}=ac\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-15.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg","topics":"ciagi","page_from":8,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 15. (0-1)<br>Trójwyrazowy ciąg (2, 𝑥, 18) jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wtedy<br>A. 𝑥= 16<br>B. 𝑥= 10<br>C. 𝑥= 6<br>D. 𝑥= 9<br>Rozwiązanie zadania. Trójwyrazowy ciąg (2,x,18) jest rosnącym ciągiem geometrycznym. Wtedy A. x=16 B. x=10 C. x=6 D. x=9</p>","answer_text_html":"<p>16.<br>17.<br>18.<br>19.<br>20.<br>21.<br>22.<br>23.<br>24.<br>25.<br>26.<br>27.<br>28.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-15.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(x = 6\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego</h4>\n<p>W ciągu geometrycznym \\((a_1, a_2, a_3)\\) zachodzi własność:<br>\\[a_2^2 = a_1 \\cdot a_3\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(a_1 = 2\\), \\(a_2 = x\\), \\(a_3 = 18\\):<br>\\[x^2 = 2 \\cdot 18\\]<br>\\[x^2 = 36\\]<br>\\[x = 6 \\quad \\text{lub} \\quad x = -6\\]</p>\n<p>Teraz sprawdzamy warunek <strong>rosnącości</strong> ciągu.</p>\n<p><strong>Przypadek \\(x = 6\\):</strong> ciąg \\((2,\\ 6,\\ 18)\\), iloraz \\(q = \\frac{6}{2} = 3 &gt; 1\\) → ciąg rosnący ✓</p>\n<p><strong>Przypadek \\(x = -6\\):</strong> ciąg \\((2,\\ {-6},\\ 18)\\), iloraz \\(q = \\frac{-6}{2} = -3 &lt; 0\\) → ciąg <strong>nie jest</strong> monotoniczny (wyrazy na przemian zmieniają znak) ✗</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(x = 6\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Wyznaczenie ilorazu wprost</h4>\n<p>Niech \\(q\\) będzie ilorazem ciągu geometrycznego. Wtedy:<br>\\[a_2 = a_1 \\cdot q \\implies x = 2q\\]<br>\\[a_3 = a_1 \\cdot q^2 \\implies 18 = 2q^2\\]</p>\n<p>Z drugiego równania:<br>\\[q^2 = 9 \\implies q = 3 \\quad \\text{lub} \\quad q = -3\\]</p>\n<p>Ciąg geometryczny jest rosnący \\(\\iff q &gt; 1\\) (gdy wszystkie wyrazy dodatnie), więc:<br>\\[q = 3\\]</p>\n<p>Zatem:<br>\\[x = 2q = 2 \\cdot 3 = \\mathbf{6}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:<br>\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{dla } n \\geq 2\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 1 do ustawienia równania \\(x^2 = 2 \\cdot 18\\).</p>\n<p><strong>Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)</strong> - wzór na \\(n\\)-ty wyraz ciągu geometrycznego:<br>\\[a_n = a_1 \\cdot q^{n-1}\\]<br>Użyliśmy tego w Sposobie 2 do wyrażenia \\(x\\) i \\(18\\) przez \\(q\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wartość | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | \\(x = 16\\) | Uczeń liczy <strong>średnią arytmetyczną</strong> \\(\\frac{2 + 18}{2} \\cdot \\ldots\\) lub po prostu \\(2 + 18 = 20 - 4\\) - miesza ciąg geometryczny z arytmetycznym |<br>| B | \\(x = 10\\) | Uczeń liczy <strong>średnią arytmetyczną</strong>: \\(\\frac{2 + 18}{2} = 10\\) - to byłby środkowy wyraz ciągu <strong>arytmetycznego</strong> \\((2, 10, 18)\\), a nie geometrycznego |<br>| D | \\(x = 9\\) | Uczeń może błędnie zastosować \\(x = \\frac{18}{2} = 9\\) (dzielenie skrajnych wyrazów zamiast pierwiastkowania ich iloczynu) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(x^2 = 36\\) ma <strong>dwa</strong> rozwiązania: \\(x = 6\\) i \\(x = -6\\). Warunek rosnącości wyklucza \\(x = -6\\) - zawsze sprawdź oba!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Środkowy wyraz ciągu <strong>geometrycznego</strong> to <strong>średnia geometryczna</strong> \\(\\sqrt{a_1 \\cdot a_3}\\), a nie arytmetyczna \\(\\frac{a_1 + a_3}{2}\\). Odpowiedź B to klasyczna pułapka!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Dla ciągu geometrycznego z dodatnimi wyrazami i ilorazem \\(q &gt; 1\\) ciąg jest rosnący; dla \\(q &lt; 0\\) wyrazy zmieniają znak i ciąg nie jest monotonicznie rosnący.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Własność ciągu geometrycznego (karta wzorów)</h5>\n<p>W ciągu geometrycznym: \\(x^{2} = 2\\cdot 18 = 36\\), stąd \\(x = 6\\) lub \\(x = -6\\).<br>Ciąg ma być rosnący, \\(2 &lt; x &lt; 18\\), więc \\(x = 6\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez iloraz</h5>\n<p>Jeśli \\(q\\) to iloraz: \\(\\dfrac{x}{2} = \\dfrac{18}{x}\\), stąd \\(x^{2} = 36\\), \\(x=\\pm 6\\). Wybieramy dodatnie: \\(x=6\\) (sprawdzenie: \\(2, 6, 18\\) z \\(q=3\\) - rosnący).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(16\\)</strong> - różnica arytmetyczna.</li><li><strong>B. \\(10\\)</strong> - średnia arytmetyczna 2 i 18 (to by dawało ciąg arytmetyczny).</li><li><strong>D. \\(9\\)</strong> - tu \\(q\\) nie byłby stały: \\(\\tfrac{9}{2} \\neq \\tfrac{18}{9}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Środkowy wyraz ciągu geometrycznego: \\(b^{2}=ac\\).</p>"}]}