{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/16","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"16","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 16. (0-1)\nKąt 𝛼 jest ostry i sin 𝛼= 7\n25. Wynika stąd, że\nA. cos 𝛼= 576\n625\nB. cos 𝛼= 24\n25\nC. cos 𝛼= -√24\n25\nD. cos 𝛼= 18\n25\nRozwiązanie zadania. Kąt α jest ostry i sinα = 7/25. Wynika stąd, że A. cosα = 576/625 B. cosα = 24/25 C. cosα = -√24/25 D. cosα = 18/25","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B\n\n\\(\\cos\\alpha = \\dfrac{24}{25}\\)\n\n## Sposób 1 - jedynka trygonometryczna\n\nKorzystamy z podstawowego wzoru łączącego sinus i cosinus.\n\n**Krok 1.** Zapisujemy jedynkę trygonometryczną:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n**Krok 2.** Podstawiamy \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{7}{25}\\):\n\\[\\left(\\frac{7}{25}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\\[\\frac{49}{625} + \\cos^2\\alpha = 1\\]\n\n**Krok 3.** Wyznaczamy \\(\\cos^2\\alpha\\):\n\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{49}{625} = \\frac{625 - 49}{625} = \\frac{576}{625}\\]\n\n**Krok 4.** Wyciągamy pierwiastek:\n\\[\\cos\\alpha = \\pm\\sqrt{\\frac{576}{625}} = \\pm\\frac{24}{25}\\]\n\n**Krok 5.** Wybieramy znak. Kąt \\(\\alpha\\) jest **ostry**, czyli \\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\). W I ćwiartce cosinus jest **dodatni**, więc:\n\\[\\boxed{\\cos\\alpha = \\frac{24}{25}}\\]\n\n## Sposób 2 - trójkąt prostokątny\n\nJeśli \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{7}{25}\\), to z definicji:\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{7}{25}\\]\n\nPodstawiamy: przeciwprostokątna \\(= 25\\), jedna przyprostokątna \\(= 7\\).\n\nSzukamy drugiej przyprostokątnej z twierdzenia Pitagorasa:\n\\[a^2 + 7^2 = 25^2\\]\n\\[a^2 = 625 - 49 = 576\\]\n\\[a = 24\\]\n\nCosinus to stosunek **przyległej** przyprostokątnej do przeciwprostokątnej:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{24}{25}\\]\n\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest ostry, jesteśmy w trójkącie prostokątnym - wynik jest jednoznaczny i dodatni.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)**\n\nJedynka trygonometryczna:\n\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]\nUżyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos^2\\alpha\\) z danego \\(\\sin\\alpha\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11)**\n\nDefinicja cosinusa w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\cos\\alpha = \\frac{b}{c}\\]\ngdzie \\(b\\) to przyległa przyprostokątna, \\(c\\) to przeciwprostokątna. Użyta w Sposobie 2.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)**\n\nTwierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyte w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującej przyprostokątnej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Policzono poprawnie \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{576}{625}\\), ale **zapomniano wyciągnąć pierwiastek** - podano \\(\\cos^2\\alpha\\) zamiast \\(\\cos\\alpha\\) |\n| C | Wyciągnięto pierwiastek poprawnie, ale wzięto **ujemny znak** - pominięto warunek, że \\(\\alpha\\) jest ostry (cosinus ostrego kąta jest dodatni) |\n| D | Błędne obliczenie - prawdopodobnie odjęto \\(\\frac{7}{25}\\) od \\(1\\) wprost: \\(1 - \\frac{7}{25} = \\frac{18}{25}\\), bez podniesienia do kwadratu |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{576}{625}\\) to **kwadrat** cosinusa, nie cosinus! Pamiętaj o wyciągnięciu pierwiastka. Odpowiedź A to właśnie ta pułapka.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Z jedynki trygonometrycznej wychodzą **dwa rozwiązania**: \\(\\pm\\frac{24}{25}\\). Zawsze sprawdź, w której ćwiartce leży kąt - dla kąta ostrego cosinus jest dodatni!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie odejmuj \\(\\sin\\alpha\\) wprost od 1. Wzór to \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), więc najpierw podnosisz do **kwadratu**.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna (karta wzorów)\n\\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\).\n\\(\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\left(\\dfrac{7}{25}\\right)^{2} = 1 - \\dfrac{49}{625} = \\dfrac{576}{625}\\).\nPonieważ \\(\\alpha\\) jest ostry, \\(\\cos\\alpha > 0\\): \\(\\cos\\alpha = \\sqrt{\\dfrac{576}{625}} = \\dfrac{24}{25}\\).\n\n### Sposób 2 - Trójkąt egipski\nZnany trójkąt o stosunkach \\(7:24:25\\). Sinus \\(=\\dfrac{7}{25}\\) (przeciwprostokątna 25), więc sąsiednia przyprostokątna 24, kosinus \\(=\\dfrac{24}{25}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{576}{625}\\)** - to \\(\\cos^{2}\\alpha\\), nie \\(\\cos\\alpha\\).\n- **C.** znak ujemny - dla kątów ostrych \\(\\cos>0\\).\n- **D. \\(\\tfrac{18}{25}\\)** - błędne obliczenia (\\(25-7=18\\)).\n\n**Trik:** Pamiętaj o pierwiastku po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-16.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg","topics":"trygonometria","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 16. (0-1)<br>Kąt 𝛼 jest ostry i sin 𝛼= 7</p>\n<ol><li>Wynika stąd, że</li></ol>\n<p>A. cos 𝛼= 576<br>625<br>B. cos 𝛼= 24<br>25<br>C. cos 𝛼= -√24<br>25<br>D. cos 𝛼= 18<br>25<br>Rozwiązanie zadania. Kąt α jest ostry i sinα = 7/25. Wynika stąd, że A. cosα = 576/625 B. cosα = 24/25 C. cosα = -√24/25 D. cosα = 18/25</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-16.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B</h4>\n<p>\\(\\cos\\alpha = \\dfrac{24}{25}\\)</p>\n<h4>Sposób 1 - jedynka trygonometryczna</h4>\n<p>Korzystamy z podstawowego wzoru łączącego sinus i cosinus.</p>\n<p><strong>Krok 1.</strong> Zapisujemy jedynkę trygonometryczną:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]</p>\n<p><strong>Krok 2.</strong> Podstawiamy \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{7}{25}\\):<br>\\[\\left(\\frac{7}{25}\\right)^2 + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>\\[\\frac{49}{625} + \\cos^2\\alpha = 1\\]</p>\n<p><strong>Krok 3.</strong> Wyznaczamy \\(\\cos^2\\alpha\\):<br>\\[\\cos^2\\alpha = 1 - \\frac{49}{625} = \\frac{625 - 49}{625} = \\frac{576}{625}\\]</p>\n<p><strong>Krok 4.</strong> Wyciągamy pierwiastek:<br>\\[\\cos\\alpha = \\pm\\sqrt{\\frac{576}{625}} = \\pm\\frac{24}{25}\\]</p>\n<p><strong>Krok 5.</strong> Wybieramy znak. Kąt \\(\\alpha\\) jest <strong>ostry</strong>, czyli \\(\\alpha \\in (0°, 90°)\\). W I ćwiartce cosinus jest <strong>dodatni</strong>, więc:<br>\\[\\boxed{\\cos\\alpha = \\frac{24}{25}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - trójkąt prostokątny</h4>\n<p>Jeśli \\(\\sin\\alpha = \\dfrac{7}{25}\\), to z definicji:<br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przyprostokątna naprzeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}} = \\frac{7}{25}\\]</p>\n<p>Podstawiamy: przeciwprostokątna \\(= 25\\), jedna przyprostokątna \\(= 7\\).</p>\n<p>Szukamy drugiej przyprostokątnej z twierdzenia Pitagorasa:<br>\\[a^2 + 7^2 = 25^2\\]<br>\\[a^2 = 625 - 49 = 576\\]<br>\\[a = 24\\]</p>\n<p>Cosinus to stosunek <strong>przyległej</strong> przyprostokątnej do przeciwprostokątnej:<br>\\[\\cos\\alpha = \\frac{24}{25}\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(\\alpha\\) jest ostry, jesteśmy w trójkącie prostokątnym - wynik jest jednoznaczny i dodatni.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong></p>\n<p>Jedynka trygonometryczna:<br>\\[\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\]<br>Użyta w Sposobie 1 do wyznaczenia \\(\\cos^2\\alpha\\) z danego \\(\\sin\\alpha\\).</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11)</strong></p>\n<p>Definicja cosinusa w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\cos\\alpha = \\frac{b}{c}\\]<br>gdzie \\(b\\) to przyległa przyprostokątna, \\(c\\) to przeciwprostokątna. Użyta w Sposobie 2.</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong></p>\n<p>Twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[a^2 + b^2 = c^2\\]<br>Użyte w Sposobie 2 do wyznaczenia brakującej przyprostokątnej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Policzono poprawnie \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{576}{625}\\), ale <strong>zapomniano wyciągnąć pierwiastek</strong> - podano \\(\\cos^2\\alpha\\) zamiast \\(\\cos\\alpha\\) |<br>| C | Wyciągnięto pierwiastek poprawnie, ale wzięto <strong>ujemny znak</strong> - pominięto warunek, że \\(\\alpha\\) jest ostry (cosinus ostrego kąta jest dodatni) |<br>| D | Błędne obliczenie - prawdopodobnie odjęto \\(\\frac{7}{25}\\) od \\(1\\) wprost: \\(1 - \\frac{7}{25} = \\frac{18}{25}\\), bez podniesienia do kwadratu |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\cos^2\\alpha = \\frac{576}{625}\\) to <strong>kwadrat</strong> cosinusa, nie cosinus! Pamiętaj o wyciągnięciu pierwiastka. Odpowiedź A to właśnie ta pułapka.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Z jedynki trygonometrycznej wychodzą <strong>dwa rozwiązania</strong>: \\(\\pm\\frac{24}{25}\\). Zawsze sprawdź, w której ćwiartce leży kąt - dla kąta ostrego cosinus jest dodatni!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie odejmuj \\(\\sin\\alpha\\) wprost od 1. Wzór to \\(\\sin^2\\alpha + \\cos^2\\alpha = 1\\), więc najpierw podnosisz do <strong>kwadratu</strong>.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Jedynka trygonometryczna (karta wzorów)</h5>\n<p>\\(\\sin^{2}\\alpha + \\cos^{2}\\alpha = 1\\).<br>\\(\\cos^{2}\\alpha = 1 - \\left(\\dfrac{7}{25}\\right)^{2} = 1 - \\dfrac{49}{625} = \\dfrac{576}{625}\\).<br>Ponieważ \\(\\alpha\\) jest ostry, \\(\\cos\\alpha &gt; 0\\): \\(\\cos\\alpha = \\sqrt{\\dfrac{576}{625}} = \\dfrac{24}{25}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Trójkąt egipski</h5>\n<p>Znany trójkąt o stosunkach \\(7:24:25\\). Sinus \\(=\\dfrac{7}{25}\\) (przeciwprostokątna 25), więc sąsiednia przyprostokątna 24, kosinus \\(=\\dfrac{24}{25}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\tfrac{576}{625}\\)</strong> - to \\(\\cos^{2}\\alpha\\), nie \\(\\cos\\alpha\\).</li><li><strong>C.</strong> znak ujemny - dla kątów ostrych \\(\\cos&gt;0\\).</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{18}{25}\\)</strong> - błędne obliczenia (\\(25-7=18\\)).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Pamiętaj o pierwiastku po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej.</p>"}]}