{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/17","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"17","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 17. (0-1)\nCzworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg o środku 𝑆. Bok 𝐴𝐷 jest średnicą tego okręgu,\na miara kąta 𝐵𝐷𝐶 jest równa 20° (zobacz rysunek).\nWtedy miara kąta 𝐵𝑆𝐶 jest równa\nA. 10°\nB. 20°\nC. 30°\nD. 40°\n20°\n𝑆\n𝐷\n𝐶\n𝐵\n𝐴\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o środku S. Bok AD jest średnicą tego okręgu, a miara kąta BDC jest równa 20° (zobacz rysunek). Wtedy miara kąta BSC jest równa A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(40°\\)\n\n## Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym\n\n**Kluczowa obserwacja:** Kąt \\(\\angle BDC = 20°\\) to **kąt wpisany** w okrąg, a kąt \\(\\angle BSC\\) to **kąt środkowy** - oba opierają się na tym samym łuku \\(BC\\).\n\nPunkt \\(D\\) leży na łuku większym (naprzeciwko cięciwy \\(BC\\)), więc możemy bezpośrednio zastosować twierdzenie:\n\n> Kąt środkowy jest **dwa razy większy** od kąta wpisanego, jeśli oba opierają się na tym samym łuku.\n\n\\[\\angle BSC = 2 \\cdot \\angle BDC\\]\n\n\\[\\angle BSC = 2 \\cdot 20° = \\mathbf{40°}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez miarę łuku\n\nKrok po kroku przez miary łuków:\n\n**Krok 1.** Kąt wpisany \\(\\angle BDC\\) opiera się na łuku \\(\\stackrel{\\frown}{BC}\\) (łuku nie zawierającym \\(D\\)).\n\nZ definicji kąta wpisanego:\n\\[\\angle BDC = \\frac{1}{2} \\cdot \\stackrel{\\frown}{BC}\\]\n\\[20° = \\frac{1}{2} \\cdot \\stackrel{\\frown}{BC}\\]\n\\[\\stackrel{\\frown}{BC} = 40°\\]\n\n**Krok 2.** Kąt środkowy \\(\\angle BSC\\) opiera się na **tym samym łuku** \\(\\stackrel{\\frown}{BC}\\), więc jego miara równa się mierze łuku:\n\\[\\angle BSC = \\stackrel{\\frown}{BC} = \\mathbf{40°}\\]\n\nOba sposoby dają ten sam wynik - **\\(40°\\)**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym:\n\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\n\\[\\alpha_{\\text{wpisany}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\alpha_{\\text{środkowy}}\\]\n\nStąd odwrotnie: \\(\\alpha_{\\text{środkowy}} = 2 \\cdot \\alpha_{\\text{wpisany}}\\).\n\nUżyliśmy tego bezpośrednio do obliczenia \\(\\angle BSC\\) z danego \\(\\angle BDC\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A (\\(10°\\)) | Zamiana kierunku: uczeń policzył \\(\\frac{20°}{2} = 10°\\), czyli podzielił zamiast pomnożyć. Mylenie: kąt środkowy = połowa wpisanego, a nie odwrotnie. |\n| B (\\(20°\\)) | Uczeń uznał, że \\(\\angle BSC = \\angle BDC\\) - zapomniał o zależności 1:2. Równość zachodziłaby tylko między kątami **wpisanymi** (nie środkowym i wpisanym). |\n| C (\\(30°\\)) | Brak konkretnego błędu algebraicznego - odpowiedź „zgadnięta\" lub wynikająca z błędnego dodania \\(20° + 10°\\). |\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Najczęstszy błąd to **odwrócenie zależności** - uczniowie pamiętają hasło „dwa razy\" i dzielą zamiast mnożyć. Zapamiętaj: kąt **środkowy** = 2 × kąt **wpisany** (środkowy jest WIĘKSZY).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Informacja, że \\(AD\\) jest średnicą, to w tym zadaniu **dane kontekstowe** (opisują rysunek), ale **nie są potrzebne** do obliczenia \\(\\angle BSC\\). Nie daj się zmylić - skup się na łuku \\(BC\\) i kącie \\(\\angle BDC\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Twierdzenie działa tylko gdy punkt \\(D\\) leży na **łuku większym** względem cięciwy \\(BC\\) (czyli po drugiej stronie niż kąt środkowy \\(\\angle BSC\\)). Jeśli \\(D\\) byłby po tej samej stronie co centrum - wzór wyglądałby inaczej. Na rysunku widać, że \\(D\\) jest na właściwym łuku.\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Kąt środkowy vs kąt wpisany (karta wzorów)\nKąt \\(BDC\\) to kąt wpisany oparty na łuku \\(BC\\), a kąt \\(BSC\\) to kąt środkowy oparty na tym samym łuku. Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:\n\\(|\\angle BSC| = 2\\cdot |\\angle BDC| = 2\\cdot 20^{\\circ} = 40^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\nŁuk \\(BC\\) ma miarę \\(40^{\\circ}\\), bo miara łuku = miara odpowiadającego kąta środkowego. Kąt wpisany \\(BDC\\) ma miarę \\(20^{\\circ}\\) - zgadza się.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(10^{\\circ}\\)** - odwrotnie (połowa zamiast podwojenia).\n- **B. \\(20^{\\circ}\\)** - pomylenie z kątem wpisanym.\n- **C. \\(30^{\\circ}\\)** - błąd rachunkowy.\n\n**Trik:** Kąt środkowy = \\(2\\times\\) kąt wpisany (oparty na tym samym łuku).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-17.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg","topics":"planimetria","page_from":8,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 17. (0-1)
Czworokąt 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest wpisany w okrąg o środku 𝑆. Bok 𝐴𝐷 jest średnicą tego okręgu,
a miara kąta 𝐵𝐷𝐶 jest równa 20° (zobacz rysunek).
Wtedy miara kąta 𝐵𝑆𝐶 jest równa
A. 10°
B. 20°
C. 30°
D. 40°
20°
𝑆
𝐷
𝐶
𝐵
𝐴

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Czworokąt ABCD jest wpisany w okrąg o środku S. Bok AD jest średnicą tego okręgu, a miara kąta BDC jest równa 20° (zobacz rysunek). Wtedy miara kąta BSC jest równa A. 10° B. 20° C. 30° D. 40°

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-17.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(40°\\)

\n

Sposób 1 - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym

\n

Kluczowa obserwacja: Kąt \\(\\angle BDC = 20°\\) to kąt wpisany w okrąg, a kąt \\(\\angle BSC\\) to kąt środkowy - oba opierają się na tym samym łuku \\(BC\\).

\n

Punkt \\(D\\) leży na łuku większym (naprzeciwko cięciwy \\(BC\\)), więc możemy bezpośrednio zastosować twierdzenie:

\n
Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego, jeśli oba opierają się na tym samym łuku.
\n

\\[\\angle BSC = 2 \\cdot \\angle BDC\\]

\n

\\[\\angle BSC = 2 \\cdot 20° = \\mathbf{40°}\\]

\n

Sposób 2 - Przez miarę łuku

\n

Krok po kroku przez miary łuków:

\n

Krok 1. Kąt wpisany \\(\\angle BDC\\) opiera się na łuku \\(\\stackrel{\\frown}{BC}\\) (łuku nie zawierającym \\(D\\)).

\n

Z definicji kąta wpisanego:
\\[\\angle BDC = \\frac{1}{2} \\cdot \\stackrel{\\frown}{BC}\\]
\\[20° = \\frac{1}{2} \\cdot \\stackrel{\\frown}{BC}\\]
\\[\\stackrel{\\frown}{BC} = 40°\\]

\n

Krok 2. Kąt środkowy \\(\\angle BSC\\) opiera się na tym samym łuku \\(\\stackrel{\\frown}{BC}\\), więc jego miara równa się mierze łuku:
\\[\\angle BSC = \\stackrel{\\frown}{BC} = \\mathbf{40°}\\]

\n

Oba sposoby dają ten sam wynik - \\(40°\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 19) - Twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym:

\n
Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.
\n

\\[\\alpha_{\\text{wpisany}} = \\frac{1}{2} \\cdot \\alpha_{\\text{środkowy}}\\]

\n

Stąd odwrotnie: \\(\\alpha_{\\text{środkowy}} = 2 \\cdot \\alpha_{\\text{wpisany}}\\).

\n

Użyliśmy tego bezpośrednio do obliczenia \\(\\angle BSC\\) z danego \\(\\angle BDC\\).

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A (\\(10°\\)) | Zamiana kierunku: uczeń policzył \\(\\frac{20°}{2} = 10°\\), czyli podzielił zamiast pomnożyć. Mylenie: kąt środkowy = połowa wpisanego, a nie odwrotnie. |
| B (\\(20°\\)) | Uczeń uznał, że \\(\\angle BSC = \\angle BDC\\) - zapomniał o zależności 1:2. Równość zachodziłaby tylko między kątami wpisanymi (nie środkowym i wpisanym). |
| C (\\(30°\\)) | Brak konkretnego błędu algebraicznego - odpowiedź „zgadnięta" lub wynikająca z błędnego dodania \\(20° + 10°\\). |

\n

Typowe pułapki i uwaga

\n
⚠️ Uwaga: Najczęstszy błąd to odwrócenie zależności - uczniowie pamiętają hasło „dwa razy" i dzielą zamiast mnożyć. Zapamiętaj: kąt środkowy = 2 × kąt wpisany (środkowy jest WIĘKSZY).
\n
⚠️ Uwaga: Informacja, że \\(AD\\) jest średnicą, to w tym zadaniu dane kontekstowe (opisują rysunek), ale nie są potrzebne do obliczenia \\(\\angle BSC\\). Nie daj się zmylić - skup się na łuku \\(BC\\) i kącie \\(\\angle BDC\\).
\n
⚠️ Uwaga: Twierdzenie działa tylko gdy punkt \\(D\\) leży na łuku większym względem cięciwy \\(BC\\) (czyli po drugiej stronie niż kąt środkowy \\(\\angle BSC\\)). Jeśli \\(D\\) byłby po tej samej stronie co centrum - wzór wyglądałby inaczej. Na rysunku widać, że \\(D\\) jest na właściwym łuku.
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Kąt środkowy vs kąt wpisany (karta wzorów)
\n

Kąt \\(BDC\\) to kąt wpisany oparty na łuku \\(BC\\), a kąt \\(BSC\\) to kąt środkowy oparty na tym samym łuku. Kąt środkowy jest dwa razy większy od kąta wpisanego opartego na tym samym łuku:
\\(|\\angle BSC| = 2\\cdot |\\angle BDC| = 2\\cdot 20^{\\circ} = 40^{\\circ}\\).

\n
Sposób 2 - Weryfikacja
\n

Łuk \\(BC\\) ma miarę \\(40^{\\circ}\\), bo miara łuku = miara odpowiadającego kąta środkowego. Kąt wpisany \\(BDC\\) ma miarę \\(20^{\\circ}\\) - zgadza się.

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Kąt środkowy = \\(2\\times\\) kąt wpisany (oparty na tym samym łuku).

"}]}