{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/18","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"18","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 18. (0-1)\nOkrąg o środku w punkcie 𝑂 jest wpisany w trójkąt 𝐴𝐵𝐶. Wiadomo, że |𝐴𝐵| = |𝐴𝐶|\ni |∡𝐵𝑂𝐶| = 100° (zobacz rysunek).\nMiara kąta 𝐵𝐴𝐶 jest równa\nA. 20°\nB. 30°\nC. 40°\nD. 50°\nRozwiązanie zadania. Okrąg o środku w punkcie O jest wpisany w trójkąt ABC. Wiadomo, że |AB|=|AC| i |∠ BOC|=100° (zobacz rysunek). Miara kąta BAC jest równa A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(20°\\)\n\n## Sposób 1 - Kąt przy środku okręgu wpisanego (wzór ogólny)\n\n**Kluczowa własność śródkręgu:** Środek okręgu wpisanego \\(O\\) leży na przecięciu dwusiecznych kątów trójkąta. Znaczy to, że \\(OB\\) jest dwusieczną kąta \\(B\\), a \\(OC\\) - dwusieczną kąta \\(C\\).\n\nRozpatrzmy trójkąt \\(BOC\\):\n\n\\[\n\\angle OBC = \\frac{\\angle B}{2}, \\qquad \\angle OCB = \\frac{\\angle C}{2}\n\\]\n\nSuma kątów w trójkącie \\(BOC\\):\n\n\\[\n\\angle BOC + \\frac{\\angle B}{2} + \\frac{\\angle C}{2} = 180°\n\\]\n\n\\[\n\\angle BOC = 180° - \\frac{\\angle B + \\angle C}{2}\n\\]\n\nPonieważ \\(\\angle A + \\angle B + \\angle C = 180°\\), mamy \\(\\angle B + \\angle C = 180° - \\angle A\\), więc:\n\n\\[\n\\angle BOC = 180° - \\frac{180° - \\angle A}{2} = 180° - 90° + \\frac{\\angle A}{2}\n\\]\n\n\\[\n\\boxed{\\angle BOC = 90° + \\frac{\\angle A}{2}}\n\\]\n\nPodstawiamy \\(\\angle BOC = 100°\\):\n\n\\[\n100° = 90° + \\frac{\\angle BAC}{2}\n\\]\n\n\\[\n\\frac{\\angle BAC}{2} = 10° \\implies \\angle BAC = 20°\n\\]\n\n## Sposób 2 - Wprost z trójkąta BOC, korzystając z symetrii\n\nSkoro \\(|AB| = |AC|\\), trójkąt jest równoramienny, więc \\(\\angle B = \\angle C\\).\n\nNiech \\(\\angle BAC = \\alpha\\). Wtedy:\n\n\\[\n\\angle B = \\angle C = \\frac{180° - \\alpha}{2}\n\\]\n\nDwusieczne kąta \\(B\\) i \\(C\\) tworzą w trójkącie \\(BOC\\):\n\n\\[\n\\angle OBC = \\frac{\\angle B}{2} = \\frac{180° - \\alpha}{4}, \\qquad \\angle OCB = \\frac{180° - \\alpha}{4}\n\\]\n\nSuma kątów w \\(BOC\\):\n\n\\[\n100° + 2 \\cdot \\frac{180° - \\alpha}{4} = 180°\n\\]\n\n\\[\n2 \\cdot \\frac{180° - \\alpha}{4} = 80°\n\\]\n\n\\[\n\\frac{180° - \\alpha}{2} = 80°\n\\]\n\n\\[\n180° - \\alpha = 160° \\implies \\alpha = 20°\n\\]\n\n**Wynik: \\(\\angle BAC = 20°\\)** - zgodny z odpowiedzią A. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - suma kątów trójkąta:\n\\[\\angle A + \\angle B + \\angle C = 180°\\]\nUżyliśmy tego, by wyrazić \\(\\angle B + \\angle C\\) przez \\(\\angle A\\).\n\n**Dział 10 (Planimetria - trójkąt, s. 15)** - własność dwusiecznej kąta (nie jest wprost podana jako wzór, ale wynika z definicji): środek okręgu wpisanego leży na dwusiecznych, co daje \\(\\angle OBC = \\frac{\\angle B}{2}\\).\n\nW tym zadaniu nie używamy bardziej zaawansowanych wzorów z karty - kluczowa jest własność środka okręgu wpisanego i suma kątów trójkąta.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B - \\(30°\\) | Uczeń liczy \\(\\angle BOC = 90° + \\frac{\\angle A}{2}\\), ale błędnie odczytuje: \\(100° - 90° = 10°\\), potem myląco mnoży razy \\(3\\) zamiast razy \\(2\\) |\n| C - \\(40°\\) | Uczeń stosuje błędny wzór \\(\\angle BOC = \\frac{\\angle A}{2} + 80°\\), lub myli kąt środkowy okręgu wpisanego z kątem środkowym okręgu **opisanego** (gdzie \\(\\angle BOC = 2\\angle A\\), czyli \\(100° / 2 = 50°\\) - ale to i tak nie daje \\(40°\\)) |\n| D - \\(50°\\) | Klasyczny błąd: uczeń używa wzoru dla okręgu **opisanego** (\\(\\angle BOC = 2\\angle A\\)), stąd \\(\\angle A = \\frac{100°}{2} = 50°\\). Myli okrąg wpisany z opisanym! |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór \\(\\angle BOC = 90° + \\frac{\\angle A}{2}\\) dotyczy środka okręgu **wpisanego**. Dla okręgu **opisanego** obowiązuje \\(\\angle BOC = 2\\angle A\\) (kąt środkowy = dwa razy kąt wpisany). Nie myl tych dwóch sytuacji!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Symetria trójkąta (\\(|AB| = |AC|\\)) jest tu pomocna przy Sposobie 2, ale nie jest konieczna - wzór \\(\\angle BOC = 90° + \\frac{\\angle A}{2}\\) działa dla **każdego** trójkąta, nie tylko równoramiennego.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź kąty w trójkącie \\(BOC\\): po obliczeniu \\(\\angle B = \\angle C = \\frac{180° - 20°}{2} = 80°\\), kąty \\(\\angle OBC = \\angle OCB = 40°\\), i rzeczywiście \\(100° + 40° + 40° = 180°\\) ✓ - zawsze warto zweryfikować!\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Własność środka okręgu wpisanego\nŚrodek \\(O\\) leży na dwusiecznych kątów trójkąta. W trójkącie \\(BOC\\):\n\\(|\\angle OBC| = \\tfrac{1}{2}|\\angle ABC|\\), \\(|\\angle OCB| = \\tfrac{1}{2}|\\angle ACB|\\).\nSuma kątów w trójkącie \\(BOC\\):\n\\(|\\angle BOC| + \\tfrac{1}{2}(|\\angle ABC|+|\\angle ACB|) = 180^{\\circ}\\).\n\\(100^{\\circ} + \\tfrac{1}{2}(180^{\\circ}-|\\angle BAC|) = 180^{\\circ}\\).\n\\(\\tfrac{1}{2}(180^{\\circ}-|\\angle BAC|) = 80^{\\circ}\\).\n\\(180^{\\circ}-|\\angle BAC| = 160^{\\circ}\\), więc \\(|\\angle BAC| = 20^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór\nOgólnie: \\(|\\angle BOC| = 90^{\\circ}+\\tfrac{1}{2}|\\angle BAC|\\) (dla okręgu wpisanego).\n\\(100^{\\circ} = 90^{\\circ}+\\tfrac{1}{2}|\\angle BAC|\\), stąd \\(|\\angle BAC| = 20^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B, C, D.** błędne użycie wzoru lub brak uwzględnienia dwusiecznych.\n\n**Trik:** \\(\\angle BOC = 90^{\\circ}+\\tfrac{1}{2}\\angle A\\) - wzór dla okręgu wpisanego.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-18.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 18. (0-1)<br>Okrąg o środku w punkcie 𝑂 jest wpisany w trójkąt 𝐴𝐵𝐶. Wiadomo, że |𝐴𝐵| = |𝐴𝐶|<br>i |∡𝐵𝑂𝐶| = 100° (zobacz rysunek).<br>Miara kąta 𝐵𝐴𝐶 jest równa<br>A. 20°<br>B. 30°<br>C. 40°<br>D. 50°<br>Rozwiązanie zadania. Okrąg o środku w punkcie O jest wpisany w trójkąt ABC. Wiadomo, że |AB|=|AC| i |∠ BOC|=100° (zobacz rysunek). Miara kąta BAC jest równa A. 20° B. 30° C. 40° D. 50°</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-18.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(20°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Kąt przy środku okręgu wpisanego (wzór ogólny)</h4>\n<p><strong>Kluczowa własność śródkręgu:</strong> Środek okręgu wpisanego \\(O\\) leży na przecięciu dwusiecznych kątów trójkąta. Znaczy to, że \\(OB\\) jest dwusieczną kąta \\(B\\), a \\(OC\\) - dwusieczną kąta \\(C\\).</p>\n<p>Rozpatrzmy trójkąt \\(BOC\\):</p>\n<p>\\[<br>\\angle OBC = \\frac{\\angle B}{2}, \\qquad \\angle OCB = \\frac{\\angle C}{2}<br>\\]</p>\n<p>Suma kątów w trójkącie \\(BOC\\):</p>\n<p>\\[<br>\\angle BOC + \\frac{\\angle B}{2} + \\frac{\\angle C}{2} = 180°<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>\\angle BOC = 180° - \\frac{\\angle B + \\angle C}{2}<br>\\]</p>\n<p>Ponieważ \\(\\angle A + \\angle B + \\angle C = 180°\\), mamy \\(\\angle B + \\angle C = 180° - \\angle A\\), więc:</p>\n<p>\\[<br>\\angle BOC = 180° - \\frac{180° - \\angle A}{2} = 180° - 90° + \\frac{\\angle A}{2}<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>\\boxed{\\angle BOC = 90° + \\frac{\\angle A}{2}}<br>\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(\\angle BOC = 100°\\):</p>\n<p>\\[<br>100° = 90° + \\frac{\\angle BAC}{2}<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>\\frac{\\angle BAC}{2} = 10° \\implies \\angle BAC = 20°<br>\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Wprost z trójkąta BOC, korzystając z symetrii</h4>\n<p>Skoro \\(|AB| = |AC|\\), trójkąt jest równoramienny, więc \\(\\angle B = \\angle C\\).</p>\n<p>Niech \\(\\angle BAC = \\alpha\\). Wtedy:</p>\n<p>\\[<br>\\angle B = \\angle C = \\frac{180° - \\alpha}{2}<br>\\]</p>\n<p>Dwusieczne kąta \\(B\\) i \\(C\\) tworzą w trójkącie \\(BOC\\):</p>\n<p>\\[<br>\\angle OBC = \\frac{\\angle B}{2} = \\frac{180° - \\alpha}{4}, \\qquad \\angle OCB = \\frac{180° - \\alpha}{4}<br>\\]</p>\n<p>Suma kątów w \\(BOC\\):</p>\n<p>\\[<br>100° + 2 \\cdot \\frac{180° - \\alpha}{4} = 180°<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>2 \\cdot \\frac{180° - \\alpha}{4} = 80°<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>\\frac{180° - \\alpha}{2} = 80°<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>180° - \\alpha = 160° \\implies \\alpha = 20°<br>\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(\\angle BAC = 20°\\)</strong> - zgodny z odpowiedzią A. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - suma kątów trójkąta:<br>\\[\\angle A + \\angle B + \\angle C = 180°\\]<br>Użyliśmy tego, by wyrazić \\(\\angle B + \\angle C\\) przez \\(\\angle A\\).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria - trójkąt, s. 15)</strong> - własność dwusiecznej kąta (nie jest wprost podana jako wzór, ale wynika z definicji): środek okręgu wpisanego leży na dwusiecznych, co daje \\(\\angle OBC = \\frac{\\angle B}{2}\\).</p>\n<p>W tym zadaniu nie używamy bardziej zaawansowanych wzorów z karty - kluczowa jest własność środka okręgu wpisanego i suma kątów trójkąta.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| B - \\(30°\\) | Uczeń liczy \\(\\angle BOC = 90° + \\frac{\\angle A}{2}\\), ale błędnie odczytuje: \\(100° - 90° = 10°\\), potem myląco mnoży razy \\(3\\) zamiast razy \\(2\\) |<br>| C - \\(40°\\) | Uczeń stosuje błędny wzór \\(\\angle BOC = \\frac{\\angle A}{2} + 80°\\), lub myli kąt środkowy okręgu wpisanego z kątem środkowym okręgu <strong>opisanego</strong> (gdzie \\(\\angle BOC = 2\\angle A\\), czyli \\(100° / 2 = 50°\\) - ale to i tak nie daje \\(40°\\)) |<br>| D - \\(50°\\) | Klasyczny błąd: uczeń używa wzoru dla okręgu <strong>opisanego</strong> (\\(\\angle BOC = 2\\angle A\\)), stąd \\(\\angle A = \\frac{100°}{2} = 50°\\). Myli okrąg wpisany z opisanym! |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wzór \\(\\angle BOC = 90° + \\frac{\\angle A}{2}\\) dotyczy środka okręgu <strong>wpisanego</strong>. Dla okręgu <strong>opisanego</strong> obowiązuje \\(\\angle BOC = 2\\angle A\\) (kąt środkowy = dwa razy kąt wpisany). Nie myl tych dwóch sytuacji!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Symetria trójkąta (\\(|AB| = |AC|\\)) jest tu pomocna przy Sposobie 2, ale nie jest konieczna - wzór \\(\\angle BOC = 90° + \\frac{\\angle A}{2}\\) działa dla <strong>każdego</strong> trójkąta, nie tylko równoramiennego.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź kąty w trójkącie \\(BOC\\): po obliczeniu \\(\\angle B = \\angle C = \\frac{180° - 20°}{2} = 80°\\), kąty \\(\\angle OBC = \\angle OCB = 40°\\), i rzeczywiście \\(100° + 40° + 40° = 180°\\) ✓ - zawsze warto zweryfikować!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Własność środka okręgu wpisanego</h5>\n<p>Środek \\(O\\) leży na dwusiecznych kątów trójkąta. W trójkącie \\(BOC\\):<br>\\(|\\angle OBC| = \\tfrac{1}{2}|\\angle ABC|\\), \\(|\\angle OCB| = \\tfrac{1}{2}|\\angle ACB|\\).<br>Suma kątów w trójkącie \\(BOC\\):<br>\\(|\\angle BOC| + \\tfrac{1}{2}(|\\angle ABC|+|\\angle ACB|) = 180^{\\circ}\\).<br>\\(100^{\\circ} + \\tfrac{1}{2}(180^{\\circ}-|\\angle BAC|) = 180^{\\circ}\\).<br>\\(\\tfrac{1}{2}(180^{\\circ}-|\\angle BAC|) = 80^{\\circ}\\).<br>\\(180^{\\circ}-|\\angle BAC| = 160^{\\circ}\\), więc \\(|\\angle BAC| = 20^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór</h5>\n<p>Ogólnie: \\(|\\angle BOC| = 90^{\\circ}+\\tfrac{1}{2}|\\angle BAC|\\) (dla okręgu wpisanego).<br>\\(100^{\\circ} = 90^{\\circ}+\\tfrac{1}{2}|\\angle BAC|\\), stąd \\(|\\angle BAC| = 20^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B, C, D.</strong> błędne użycie wzoru lub brak uwzględnienia dwusiecznych.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> \\(\\angle BOC = 90^{\\circ}+\\tfrac{1}{2}\\angle A\\) - wzór dla okręgu wpisanego.</p>"}]}