{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/19","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"19","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 19. (0-1)\nPunkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂. Cięciwy 𝐷𝐵 i 𝐴𝐶 przecinają się\nw punkcie 𝐸, |∡𝐴𝐶𝐵| = 55° oraz |∡𝐴𝐸𝐵| = 140° (zobacz rysunek).\nMiara kąta 𝐷𝐴𝐶 jest równa\nA. 45°\nB. 55°\nC. 70°\nD. 85°\n100°\n𝐴\n𝐵\n𝐶\n𝑂\n𝐴\n𝐶\n𝐵\n𝐷\n𝑂\n55°\n𝐸\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Cięciwy DB i AC przecinają się w punkcie E, |∠ AEB| = 140° (zobacz rysunek). Miara kąta DAC jest równa A. 45° B. 55° C. 70° D. 85°","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(85°\\)\n\n## Sposób 1 - Kąt między cięciwami + kąt wpisany\n\n**Krok 1: Wyznacz łuk AB z kąta wpisanego ∠ACB**\n\n\\(\\angle ACB = 55°\\) to kąt wpisany oparty na łuku \\(AB\\) (łuk nieobejmujący punktu C).\n\nZ własności kąta wpisanego:\n\\[\\widehat{AB} = 2 \\cdot |\\angle ACB| = 2 \\cdot 55° = 110°\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz łuk CD z kąta między cięciwami**\n\nCięciwy \\(AC\\) i \\(DB\\) przecinają się w punkcie \\(E\\) wewnątrz okręgu. Kąt między dwiema cięciwami jest równy **połowie sumy łuków, które ten kąt i kąt wierzchołkowy do niego wycinają**:\n\n\\[|\\angle AEB| = \\frac{\\widehat{AB} + \\widehat{CD}}{2}\\]\n\nPodstawiamy:\n\\[140° = \\frac{110° + \\widehat{CD}}{2}\\]\n\\[280° = 110° + \\widehat{CD}\\]\n\\[\\widehat{CD} = 170°\\]\n\n**Krok 3: Oblicz kąt DAC**\n\n\\(\\angle DAC\\) to kąt wpisany o wierzchołku w punkcie \\(A\\), oparty na łuku \\(CD\\) (łuk między punktami \\(D\\) i \\(C\\), nieobejmujący \\(A\\)):\n\n\\[|\\angle DAC| = \\frac{\\widehat{CD}}{2} = \\frac{170°}{2} = \\boxed{85°}\\]\n\n## Sposób 2 - Kąt wierzchołkowy i weryfikacja spójności\n\n**Kąt suplementarny do ∠AEB:**\n\nKąty \\(\\angle AEB\\) i \\(\\angle AED\\) są suplementarne (punkty \\(B, E, D\\) leżą na cięciwie \\(BD\\)):\n\\[|\\angle AED| = 180° - 140° = 40°\\]\n\n**Kąt AED wyznacza łuki AD i BC:**\n\\[|\\angle AED| = \\frac{\\widehat{AD} + \\widehat{BC}}{2} = 40°\\]\n\\[\\widehat{AD} + \\widehat{BC} = 80°\\]\n\n**Sprawdzenie spójności** - suma wszystkich łuków musi dać \\(360°\\):\n\\[\\widehat{AB} + \\widehat{BC} + \\widehat{CD} + \\widehat{DA} = 360°\\]\n\\[110° + (\\widehat{BC} + \\widehat{DA}) + 170° = 360°\\]\n\\[\\widehat{BC} + \\widehat{DA} = 80° \\checkmark\\]\n\nWszystko się zgadza. Kąt \\(\\angle DAC = 85°\\).\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt wpisany i kąt środkowy:\n> Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.\n\nUżyliśmy tego w Kroku 1 (\\(\\widehat{AB} = 2 \\cdot \\angle ACB\\)) i w Kroku 3 (\\(\\angle DAC = \\frac{1}{2}\\widehat{CD}\\)).\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 19)** - kąt między cięciwami:\n> Jeśli dwie cięciwy przecinają się wewnątrz okręgu, to kąt między nimi jest równy połowie sumy przeciętych łuków:\n> \\[|\\angle E| = \\frac{\\widehat{AB} + \\widehat{CD}}{2}\\]\n\nUżyliśmy tego w Kroku 2 do wyznaczenia łuku \\(CD\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| **A** \\(45°\\) | Wzięto \\(\\angle DAC = 90° - \\angle ACB = 90° - 55°\\) - błędne skojarzenie kątów |\n| **B** \\(55°\\) | Uznano, że \\(\\angle DAC = \\angle ACB\\) (jako kąty wpisane na tym samym łuku) - ale kąty te dotyczą różnych łuków |\n| **C** \\(70°\\) | Obliczono \\(\\frac{140°}{2} = 70°\\) - podzielono tylko kąt AEB przez 2, ignorując sumę łuków |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt między cięciwami to **PÓŁ SUMY** dwóch łuków (naprzeciw siebie), a nie połowa jednego łuku. Najczęstszy błąd: wstawienie tylko \\(\\widehat{AB}\\) zamiast \\(\\widehat{AB} + \\widehat{CD}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt wpisany \\(\\angle DAC\\) jest oparty na łuku \\(DC\\) - tym, który **nie zawiera punktu** \\(A\\). Łatwo pomylić, który łuk jest \"ten właściwy\".\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić kąta wpisanego (\\(\\frac{1}{2}\\) łuku) z kątem między cięciwami (\\(\\frac{1}{2}\\) **sumy** dwóch łuków) - to dwie różne sytuacje!\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Kąt zewnętrzny trójkąta\nW trójkącie \\(AEC\\): \\(|\\angle AEC|\\) to kąt przy \\(E\\); \\(|\\angle AEB| = 140^{\\circ}\\) i \\(|\\angle AEC| = 180^{\\circ} - 140^{\\circ} = 40^{\\circ}\\) (kąty przyległe).\nW trójkącie \\(DEC\\) (lub rozważając \\(\\triangle\\)): kąt \\(\\angle DEA = 40^{\\circ}\\) (wierzchołkowy do \\(\\angle BEC\\)).\nKąt \\(\\angle AEB\\) jest zewnętrzny trójkąta \\(AEC\\) przy \\(E\\), więc \\(|\\angle AEB| = |\\angle EAC| + |\\angle ECA|\\) - nie, to w trójkącie \\(ADE\\). Poprawnie: \\(|\\angle AEB|\\) jest kątem zewnętrznym trójkąta \\(DEC\\) przy \\(E\\) (gdyż \\(AEB\\) to kąt przyległy do \\(DEC\\), ale istotna jest relacja dla trójkąta \\(AED\\)).\nW trójkącie \\(AEB\\): \\(|\\angle AEB| = 140^{\\circ}\\) jest zewnętrzny dla \\(\\triangle BEC\\) lub \\(\\triangle AED\\). Kąt \\(\\angle AEB\\) (przy E patrząc z punktów A i B) jest zewnętrzny dla \\(\\triangle AEC\\) dopełniony do \\(180^{\\circ}\\).\n\nProściej: kąt między cięciwami \\(= \\tfrac{1}{2}(\\text{łuk}_{AB}+\\text{łuk}_{DC})\\).\n\\(140^{\\circ} = \\tfrac{1}{2}(\\text{łuk}_{AB} + \\text{łuk}_{DC})\\).\n\\(|\\angle ACB| = 55^{\\circ}\\) - kąt wpisany na łuku \\(AB\\), czyli \\(\\text{łuk}_{AB} = 110^{\\circ}\\).\nStąd \\(\\text{łuk}_{DC} = 280^{\\circ}-110^{\\circ} = 170^{\\circ}\\).\n\\(|\\angle DAC|\\) - kąt wpisany oparty na łuku \\(DC\\): \\(|\\angle DAC| = \\tfrac{1}{2}\\cdot 170^{\\circ} = 85^{\\circ}\\).\n\n### Sposób 2 - Kąt zewnętrzny trójkąta \\(AEC\\)\nW \\(\\triangle AEC\\): kąt zewnętrzny przy \\(E\\) (czyli \\(\\angle AEB\\)) równa się sumie kątów niepołożonych: \\(|\\angle AEB| = |\\angle ACE| + |\\angle EAC|\\).\n\\(140^{\\circ} = 55^{\\circ} + |\\angle EAC|\\), stąd \\(|\\angle EAC| = 85^{\\circ}\\). Ponieważ \\(E\\in DB\\), \\(|\\angle DAC| = |\\angle EAC| = 85^{\\circ}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A, B, C.** - pominięcie kąta zewnętrznego lub błędne przyjęcie \\(|\\angle DAC|\\).\n\n**Trik:** Kąt zewnętrzny trójkąta = suma dwóch kątów wewnętrznych niepołożonych.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-19.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg","topics":"planimetria","page_from":10,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 19. (0-1)<br>Punkty 𝐴, 𝐵, 𝐶 i 𝐷 leżą na okręgu o środku w punkcie 𝑂. Cięciwy 𝐷𝐵 i 𝐴𝐶 przecinają się<br>w punkcie 𝐸, |∡𝐴𝐶𝐵| = 55° oraz |∡𝐴𝐸𝐵| = 140° (zobacz rysunek).<br>Miara kąta 𝐷𝐴𝐶 jest równa<br>A. 45°<br>B. 55°<br>C. 70°<br>D. 85°<br>100°<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐶<br>𝑂<br>𝐴<br>𝐶<br>𝐵<br>𝐷<br>𝑂<br>55°<br>𝐸</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Rozwiązanie zadania. Punkty A, B, C i D leżą na okręgu o środku w punkcie O. Cięciwy DB i AC przecinają się w punkcie E, |∠ AEB| = 140° (zobacz rysunek). Miara kąta DAC jest równa A. 45° B. 55° C. 70° D. 85°</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-19.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: D - \\(85°\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Kąt między cięciwami + kąt wpisany</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznacz łuk AB z kąta wpisanego ∠ACB</strong></p>\n<p>\\(\\angle ACB = 55°\\) to kąt wpisany oparty na łuku \\(AB\\) (łuk nieobejmujący punktu C).</p>\n<p>Z własności kąta wpisanego:<br>\\[\\widehat{AB} = 2 \\cdot |\\angle ACB| = 2 \\cdot 55° = 110°\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz łuk CD z kąta między cięciwami</strong></p>\n<p>Cięciwy \\(AC\\) i \\(DB\\) przecinają się w punkcie \\(E\\) wewnątrz okręgu. Kąt między dwiema cięciwami jest równy <strong>połowie sumy łuków, które ten kąt i kąt wierzchołkowy do niego wycinają</strong>:</p>\n<p>\\[|\\angle AEB| = \\frac{\\widehat{AB} + \\widehat{CD}}{2}\\]</p>\n<p>Podstawiamy:<br>\\[140° = \\frac{110° + \\widehat{CD}}{2}\\]<br>\\[280° = 110° + \\widehat{CD}\\]<br>\\[\\widehat{CD} = 170°\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Oblicz kąt DAC</strong></p>\n<p>\\(\\angle DAC\\) to kąt wpisany o wierzchołku w punkcie \\(A\\), oparty na łuku \\(CD\\) (łuk między punktami \\(D\\) i \\(C\\), nieobejmujący \\(A\\)):</p>\n<p>\\[|\\angle DAC| = \\frac{\\widehat{CD}}{2} = \\frac{170°}{2} = \\boxed{85°}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Kąt wierzchołkowy i weryfikacja spójności</h4>\n<p><strong>Kąt suplementarny do ∠AEB:</strong></p>\n<p>Kąty \\(\\angle AEB\\) i \\(\\angle AED\\) są suplementarne (punkty \\(B, E, D\\) leżą na cięciwie \\(BD\\)):<br>\\[|\\angle AED| = 180° - 140° = 40°\\]</p>\n<p><strong>Kąt AED wyznacza łuki AD i BC:</strong><br>\\[|\\angle AED| = \\frac{\\widehat{AD} + \\widehat{BC}}{2} = 40°\\]<br>\\[\\widehat{AD} + \\widehat{BC} = 80°\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie spójności</strong> - suma wszystkich łuków musi dać \\(360°\\):<br>\\[\\widehat{AB} + \\widehat{BC} + \\widehat{CD} + \\widehat{DA} = 360°\\]<br>\\[110° + (\\widehat{BC} + \\widehat{DA}) + 170° = 360°\\]<br>\\[\\widehat{BC} + \\widehat{DA} = 80° \\checkmark\\]</p>\n<p>Wszystko się zgadza. Kąt \\(\\angle DAC = 85°\\).</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - kąt wpisany i kąt środkowy:</p>\n<blockquote>Kąt wpisany jest równy połowie kąta środkowego opartego na tym samym łuku.</blockquote>\n<p>Użyliśmy tego w Kroku 1 (\\(\\widehat{AB} = 2 \\cdot \\angle ACB\\)) i w Kroku 3 (\\(\\angle DAC = \\frac{1}{2}\\widehat{CD}\\)).</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 19)</strong> - kąt między cięciwami:</p>\n<blockquote>Jeśli dwie cięciwy przecinają się wewnątrz okręgu, to kąt między nimi jest równy połowie sumy przeciętych łuków:<br>\\[|\\angle E| = \\frac{\\widehat{AB} + \\widehat{CD}}{2}\\]</blockquote>\n<p>Użyliśmy tego w Kroku 2 do wyznaczenia łuku \\(CD\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| <strong>A</strong> \\(45°\\) | Wzięto \\(\\angle DAC = 90° - \\angle ACB = 90° - 55°\\) - błędne skojarzenie kątów |<br>| <strong>B</strong> \\(55°\\) | Uznano, że \\(\\angle DAC = \\angle ACB\\) (jako kąty wpisane na tym samym łuku) - ale kąty te dotyczą różnych łuków |<br>| <strong>C</strong> \\(70°\\) | Obliczono \\(\\frac{140°}{2} = 70°\\) - podzielono tylko kąt AEB przez 2, ignorując sumę łuków |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt między cięciwami to <strong>PÓŁ SUMY</strong> dwóch łuków (naprzeciw siebie), a nie połowa jednego łuku. Najczęstszy błąd: wstawienie tylko \\(\\widehat{AB}\\) zamiast \\(\\widehat{AB} + \\widehat{CD}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt wpisany \\(\\angle DAC\\) jest oparty na łuku \\(DC\\) - tym, który <strong>nie zawiera punktu</strong> \\(A\\). Łatwo pomylić, który łuk jest &quot;ten właściwy&quot;.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie mylić kąta wpisanego (\\(\\frac{1}{2}\\) łuku) z kątem między cięciwami (\\(\\frac{1}{2}\\) <strong>sumy</strong> dwóch łuków) - to dwie różne sytuacje!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: D</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Kąt zewnętrzny trójkąta</h5>\n<p>W trójkącie \\(AEC\\): \\(|\\angle AEC|\\) to kąt przy \\(E\\); \\(|\\angle AEB| = 140^{\\circ}\\) i \\(|\\angle AEC| = 180^{\\circ} - 140^{\\circ} = 40^{\\circ}\\) (kąty przyległe).<br>W trójkącie \\(DEC\\) (lub rozważając \\(\\triangle\\)): kąt \\(\\angle DEA = 40^{\\circ}\\) (wierzchołkowy do \\(\\angle BEC\\)).<br>Kąt \\(\\angle AEB\\) jest zewnętrzny trójkąta \\(AEC\\) przy \\(E\\), więc \\(|\\angle AEB| = |\\angle EAC| + |\\angle ECA|\\) - nie, to w trójkącie \\(ADE\\). Poprawnie: \\(|\\angle AEB|\\) jest kątem zewnętrznym trójkąta \\(DEC\\) przy \\(E\\) (gdyż \\(AEB\\) to kąt przyległy do \\(DEC\\), ale istotna jest relacja dla trójkąta \\(AED\\)).<br>W trójkącie \\(AEB\\): \\(|\\angle AEB| = 140^{\\circ}\\) jest zewnętrzny dla \\(\\triangle BEC\\) lub \\(\\triangle AED\\). Kąt \\(\\angle AEB\\) (przy E patrząc z punktów A i B) jest zewnętrzny dla \\(\\triangle AEC\\) dopełniony do \\(180^{\\circ}\\).</p>\n<p>Prościej: kąt między cięciwami \\(= \\tfrac{1}{2}(\\text{łuk}<em>{AB}+\\text{łuk}</em>{DC})\\).<br>\\(140^{\\circ} = \\tfrac{1}{2}(\\text{łuk}<em>{AB} + \\text{łuk}</em>{DC})\\).<br>\\(|\\angle ACB| = 55^{\\circ}\\) - kąt wpisany na łuku \\(AB\\), czyli \\(\\text{łuk}_{AB} = 110^{\\circ}\\).<br>Stąd \\(\\text{łuk}_{DC} = 280^{\\circ}-110^{\\circ} = 170^{\\circ}\\).<br>\\(|\\angle DAC|\\) - kąt wpisany oparty na łuku \\(DC\\): \\(|\\angle DAC| = \\tfrac{1}{2}\\cdot 170^{\\circ} = 85^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Kąt zewnętrzny trójkąta \\(AEC\\)</h5>\n<p>W \\(\\triangle AEC\\): kąt zewnętrzny przy \\(E\\) (czyli \\(\\angle AEB\\)) równa się sumie kątów niepołożonych: \\(|\\angle AEB| = |\\angle ACE| + |\\angle EAC|\\).<br>\\(140^{\\circ} = 55^{\\circ} + |\\angle EAC|\\), stąd \\(|\\angle EAC| = 85^{\\circ}\\). Ponieważ \\(E\\in DB\\), \\(|\\angle DAC| = |\\angle EAC| = 85^{\\circ}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A, B, C.</strong> - pominięcie kąta zewnętrznego lub błędne przyjęcie \\(|\\angle DAC|\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Kąt zewnętrzny trójkąta = suma dwóch kątów wewnętrznych niepołożonych.</p>"}]}