{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/20","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"20","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 20. (0-1)\nPrzekątna 𝐴𝐶 prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma długość 70. Na boku 𝐴𝐵 obrano punkt 𝐸, na\nprzekątnej 𝐴𝐶 obrano punkt 𝐹, a na boku 𝐴𝐷 obrano punkt 𝐺 - tak, że czworokąt 𝐴𝐸𝐹𝐺\njest prostokątem (zobacz rysunek). Ponadto |𝐸𝐹| = 30 i |𝐺𝐹| = 40.\nObwód prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy\nA. 158\nB. 196\nC. 336\nD. 490\nRozwiązanie zadania. Przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 70. Na boku AB obrano punkt E, na przekątnej AC obrano punkt F, a na boku AD obrano punkt G - tak, że czworokąt AEFG jest prostokątem (zobacz rysunek). Ponadto |EF| = 30 i |GF| = 40. Obwód prostokąta ABCD jest równy A. 158 B. 196 C. 336 D. 490","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B (196)\n\n## Sposób 1 - Układ współrzędnych\n\n**Ustawiamy układ współrzędnych.** Kładziemy \\(A = (0, 0)\\), a prostokąt \\(ABCD\\) tak, że:\n- \\(B = (a, 0)\\), \\(C = (a, b)\\), \\(D = (0, b)\\)\n\nPunkt \\(E\\) leży na \\(AB\\), więc \\(E = (e, 0)\\). Punkt \\(G\\) leży na \\(AD\\), więc \\(G = (0, g)\\).\n\n**Skoro \\(AEFG\\) jest prostokątem** (z kątem prostym przy \\(A\\)), to czwarty wierzchołek musi być:\n\\[F = (e,\\ g)\\]\n\nOdcinki \\(EF\\) i \\(GF\\):\n\\[|EF| = g = 30, \\qquad |GF| = e = 40\\]\n\nWięc \\(F = (40, 30)\\).\n\n**Punkt \\(F\\) leży na przekątnej \\(AC\\)** (prosta z \\((0,0)\\) do \\((a,b)\\)). Warunek współliniowości:\n\\[\\frac{40}{a} = \\frac{30}{b} \\implies \\frac{b}{a} = \\frac{3}{4} \\implies b = \\frac{3}{4}a\\]\n\nKorzystamy z długości przekątnej \\(|AC| = 70\\):\n\\[a^2 + b^2 = 70^2 = 4900\\]\n\\[a^2 + \\frac{9}{16}a^2 = 4900\\]\n\\[\\frac{25}{16}a^2 = 4900 \\implies a^2 = 3136 \\implies \\mathbf{a = 56}\\]\n\\[\\mathbf{b = \\frac{3}{4} \\cdot 56 = 42}\\]\n\n**Obwód prostokąta \\(ABCD\\):**\n\\[\\boxed{2(56 + 42) = 2 \\cdot 98 = 196}\\]\n\n## Sposób 2 - Kąt i trójkąt prostokątny\n\n**Krok 1: Wyznaczamy \\(|AF|\\).**\n\nW prostokącie \\(AEFG\\): \\(AE = 40\\), \\(AG = 30\\), kąt przy \\(A\\) jest prosty, a \\(AF\\) to przekątna wewnętrzna.\n\\[|AF| = \\sqrt{|AE|^2 + |AG|^2} = \\sqrt{40^2 + 30^2} = \\sqrt{1600 + 900} = \\sqrt{2500} = 50\\]\n\n**Krok 2: Kąt \\(\\angle BAC\\) jest wspólny dla trójkątów \\(AEF\\) i \\(ABC\\).**\n\nW trójkącie \\(AEF\\) (prostokątnym przy \\(E\\)):\n\\[\\sin(\\angle BAC) = \\frac{|EF|}{|AF|} = \\frac{30}{50} = \\frac{3}{5}, \\qquad \\cos(\\angle BAC) = \\frac{|AE|}{|AF|} = \\frac{40}{50} = \\frac{4}{5}\\]\n\n**Krok 3: Boki prostokąta \\(ABCD\\).**\n\nW trójkącie \\(ABC\\) prostokątnym przy \\(B\\), z przeciwprostokątną \\(AC = 70\\):\n\\[|AB| = |AC| \\cdot \\cos(\\angle BAC) = 70 \\cdot \\frac{4}{5} = \\mathbf{56}\\]\n\\[|BC| = |AC| \\cdot \\sin(\\angle BAC) = 70 \\cdot \\frac{3}{5} = \\mathbf{42}\\]\n\n**Obwód:**\n\\[2(56 + 42) = \\mathbf{196}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:**\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy dwukrotnie: do obliczenia \\(|AF|\\) w trójkącie \\(AEF\\) (Sposób 2) oraz do wyznaczenia boku \\(a\\) z warunku \\(|AC| = 70\\) (Sposób 1).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - definicje sinus i cosinus w trójkącie prostokątnym:**\n\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia boków prostokąta z kąta \\(\\angle BAC\\) i przekątnej \\(AC = 70\\).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| **A** (\\(158\\)) | Pomieszanie podobieństwa trójkątów - błędna proporcja przy wyznaczaniu \\(|AB|\\) i \\(|BC|\\), np. nieprawidłowe przypisanie sinusa i cosinusa do boków |\n| **C** (\\(336\\)) | Dodanie długości obu przekątnych do obwodu: \\(2(56+42) + 2 \\cdot 70 = 196 + 140 = 336\\) - pamiętaj, że obwód to tylko cztery boki! |\n| **D** (\\(490\\)) | Wzięcie \\(EF + GF = 70\\) jako połowy obwodu i przemnożenie przez 7 (\\(7 \\times 70 = 490\\)) - \\(|EF|\\) i \\(|GF|\\) to boki wewnętrznego prostokąta \\(AEFG\\), nie boki \\(ABCD\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \\(AEF\\) ma kąt prosty przy **E**, nie przy \\(F\\)! Przeciwprostokątną jest \\(AF\\), więc \\(|AF| = \\sqrt{30^2 + 40^2} = 50\\), a nie \\(|AF| = 30 + 40\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(\\angle BAC\\) to ten sam kąt w trójkącie \\(AEF\\) i w trójkącie \\(ABC\\) - to jest klucz. Nie wyliczaj go w stopniach - wystarczy znać \\(\\sin\\) i \\(\\cos\\) z małego trójkąta i przełożyć to na duży.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik może być taki sam niezależnie od tego, czy \\(|AE| = 30\\) i \\(|AG| = 40\\), czy odwrotnie - prostokąt ABCD po zamianie ma zamienione boki, ale ten sam obwód (\\(56 + 42 = 42 + 56\\)).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów\nPrzekątna \\(AF\\) małego prostokąta \\(AEFG\\): \\(|AF| = \\sqrt{30^{2}+40^{2}} = \\sqrt{900+1600} = \\sqrt{2500} = 50\\).\nTrójkąty \\(AEF\\) i \\(ABC\\) są podobne (wspólny kąt \\(A\\), prostokątne).\nSkala: \\(k = \\dfrac{|AC|}{|AF|} = \\dfrac{70}{50} = \\dfrac{7}{5}\\).\nBoki \\(ABCD\\): \\(|AB| = k\\cdot |AE| = \\tfrac{7}{5}\\cdot 40 = 56\\), \\(|AD| = k\\cdot |AG| = \\tfrac{7}{5}\\cdot 30 = 42\\).\nObwód: \\(2(56+42) = 2\\cdot 98 = 196\\).\n\n(Uwaga: \\(|AE|=|GF|=40\\), \\(|AG|=|EF|=30\\) - boki prostokąta \\(AEFG\\).)\n\n### Sposób 2 - Tangens kąta\nW \\(\\triangle AEF\\): \\(\\tg(\\angle FAE) = \\dfrac{|EF|}{|AE|} = \\dfrac{30}{40} = \\dfrac{3}{4}\\).\nTen sam kąt w \\(\\triangle ABC\\): \\(\\tg(\\angle CAB) = \\dfrac{|BC|}{|AB|} = \\dfrac{3}{4}\\). Z \\(|AB|^{2}+|BC|^{2}=70^{2}\\) i \\(|BC|=\\tfrac{3}{4}|AB|\\): \\(|AB|^{2}\\cdot\\tfrac{25}{16}=4900\\), \\(|AB|=56\\), \\(|BC|=42\\). Obwód \\(=196\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(158\\)** - pomyłka rachunkowa.\n- **C. \\(336\\)** - sześciokrotność czegoś błędnego.\n- **D. \\(490\\)** - mnożenie \\(7\\cdot 70\\).\n\n**Trik:** Przy prostokącie wpisanym, przekątna dzieli układ w podobnych proporcjach.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-20.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg","topics":"planimetria","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 20. (0-1)<br>Przekątna 𝐴𝐶 prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 ma długość 70. Na boku 𝐴𝐵 obrano punkt 𝐸, na<br>przekątnej 𝐴𝐶 obrano punkt 𝐹, a na boku 𝐴𝐷 obrano punkt 𝐺 - tak, że czworokąt 𝐴𝐸𝐹𝐺<br>jest prostokątem (zobacz rysunek). Ponadto |𝐸𝐹| = 30 i |𝐺𝐹| = 40.<br>Obwód prostokąta 𝐴𝐵𝐶𝐷 jest równy<br>A. 158<br>B. 196<br>C. 336<br>D. 490<br>Rozwiązanie zadania. Przekątna AC prostokąta ABCD ma długość 70. Na boku AB obrano punkt E, na przekątnej AC obrano punkt F, a na boku AD obrano punkt G - tak, że czworokąt AEFG jest prostokątem (zobacz rysunek). Ponadto |EF| = 30 i |GF| = 40. Obwód prostokąta ABCD jest równy A. 158 B. 196 C. 336 D. 490</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-20.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B (196)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Układ współrzędnych</h4>\n<p><strong>Ustawiamy układ współrzędnych.</strong> Kładziemy \\(A = (0, 0)\\), a prostokąt \\(ABCD\\) tak, że:</p>\n<ul><li>\\(B = (a, 0)\\), \\(C = (a, b)\\), \\(D = (0, b)\\)</li></ul>\n<p>Punkt \\(E\\) leży na \\(AB\\), więc \\(E = (e, 0)\\). Punkt \\(G\\) leży na \\(AD\\), więc \\(G = (0, g)\\).</p>\n<p><strong>Skoro \\(AEFG\\) jest prostokątem</strong> (z kątem prostym przy \\(A\\)), to czwarty wierzchołek musi być:<br>\\[F = (e,\\ g)\\]</p>\n<p>Odcinki \\(EF\\) i \\(GF\\):<br>\\[|EF| = g = 30, \\qquad |GF| = e = 40\\]</p>\n<p>Więc \\(F = (40, 30)\\).</p>\n<p><strong>Punkt \\(F\\) leży na przekątnej \\(AC\\)</strong> (prosta z \\((0,0)\\) do \\((a,b)\\)). Warunek współliniowości:<br>\\[\\frac{40}{a} = \\frac{30}{b} \\implies \\frac{b}{a} = \\frac{3}{4} \\implies b = \\frac{3}{4}a\\]</p>\n<p>Korzystamy z długości przekątnej \\(|AC| = 70\\):<br>\\[a^2 + b^2 = 70^2 = 4900\\]<br>\\[a^2 + \\frac{9}{16}a^2 = 4900\\]<br>\\[\\frac{25}{16}a^2 = 4900 \\implies a^2 = 3136 \\implies \\mathbf{a = 56}\\]<br>\\[\\mathbf{b = \\frac{3}{4} \\cdot 56 = 42}\\]</p>\n<p><strong>Obwód prostokąta \\(ABCD\\):</strong><br>\\[\\boxed{2(56 + 42) = 2 \\cdot 98 = 196}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Kąt i trójkąt prostokątny</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy \\(|AF|\\).</strong></p>\n<p>W prostokącie \\(AEFG\\): \\(AE = 40\\), \\(AG = 30\\), kąt przy \\(A\\) jest prosty, a \\(AF\\) to przekątna wewnętrzna.<br>\\[|AF| = \\sqrt{|AE|^2 + |AG|^2} = \\sqrt{40^2 + 30^2} = \\sqrt{1600 + 900} = \\sqrt{2500} = 50\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Kąt \\(\\angle BAC\\) jest wspólny dla trójkątów \\(AEF\\) i \\(ABC\\).</strong></p>\n<p>W trójkącie \\(AEF\\) (prostokątnym przy \\(E\\)):<br>\\[\\sin(\\angle BAC) = \\frac{|EF|}{|AF|} = \\frac{30}{50} = \\frac{3}{5}, \\qquad \\cos(\\angle BAC) = \\frac{|AE|}{|AF|} = \\frac{40}{50} = \\frac{4}{5}\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Boki prostokąta \\(ABCD\\).</strong></p>\n<p>W trójkącie \\(ABC\\) prostokątnym przy \\(B\\), z przeciwprostokątną \\(AC = 70\\):<br>\\[|AB| = |AC| \\cdot \\cos(\\angle BAC) = 70 \\cdot \\frac{4}{5} = \\mathbf{56}\\]<br>\\[|BC| = |AC| \\cdot \\sin(\\angle BAC) = 70 \\cdot \\frac{3}{5} = \\mathbf{42}\\]</p>\n<p><strong>Obwód:</strong><br>\\[2(56 + 42) = \\mathbf{196}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15) - Twierdzenie Pitagorasa:</strong><br>\\[a^2 + b^2 = c^2\\]<br>Użyliśmy dwukrotnie: do obliczenia \\(|AF|\\) w trójkącie \\(AEF\\) (Sposób 2) oraz do wyznaczenia boku \\(a\\) z warunku \\(|AC| = 70\\) (Sposób 1).</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12) - definicje sinus i cosinus w trójkącie prostokątnym:</strong><br>\\[\\sin\\alpha = \\frac{\\text{przeciwległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}, \\quad \\cos\\alpha = \\frac{\\text{przyległa}}{\\text{przeciwprostokątna}}\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 2 do wyznaczenia boków prostokąta z kąta \\(\\angle BAC\\) i przekątnej \\(AC = 70\\).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| <strong>A</strong> (\\(158\\)) | Pomieszanie podobieństwa trójkątów - błędna proporcja przy wyznaczaniu \\(|AB|\\) i \\(|BC|\\), np. nieprawidłowe przypisanie sinusa i cosinusa do boków |<br>| <strong>C</strong> (\\(336\\)) | Dodanie długości obu przekątnych do obwodu: \\(2(56+42) + 2 \\cdot 70 = 196 + 140 = 336\\) - pamiętaj, że obwód to tylko cztery boki! |<br>| <strong>D</strong> (\\(490\\)) | Wzięcie \\(EF + GF = 70\\) jako połowy obwodu i przemnożenie przez 7 (\\(7 \\times 70 = 490\\)) - \\(|EF|\\) i \\(|GF|\\) to boki wewnętrznego prostokąta \\(AEFG\\), nie boki \\(ABCD\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Trójkąt \\(AEF\\) ma kąt prosty przy <strong>E</strong>, nie przy \\(F\\)! Przeciwprostokątną jest \\(AF\\), więc \\(|AF| = \\sqrt{30^2 + 40^2} = 50\\), a nie \\(|AF| = 30 + 40\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt \\(\\angle BAC\\) to ten sam kąt w trójkącie \\(AEF\\) i w trójkącie \\(ABC\\) - to jest klucz. Nie wyliczaj go w stopniach - wystarczy znać \\(\\sin\\) i \\(\\cos\\) z małego trójkąta i przełożyć to na duży.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wynik może być taki sam niezależnie od tego, czy \\(|AE| = 30\\) i \\(|AG| = 40\\), czy odwrotnie - prostokąt ABCD po zamianie ma zamienione boki, ale ten sam obwód (\\(56 + 42 = 42 + 56\\)).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów</h5>\n<p>Przekątna \\(AF\\) małego prostokąta \\(AEFG\\): \\(|AF| = \\sqrt{30^{2}+40^{2}} = \\sqrt{900+1600} = \\sqrt{2500} = 50\\).<br>Trójkąty \\(AEF\\) i \\(ABC\\) są podobne (wspólny kąt \\(A\\), prostokątne).<br>Skala: \\(k = \\dfrac{|AC|}{|AF|} = \\dfrac{70}{50} = \\dfrac{7}{5}\\).<br>Boki \\(ABCD\\): \\(|AB| = k\\cdot |AE| = \\tfrac{7}{5}\\cdot 40 = 56\\), \\(|AD| = k\\cdot |AG| = \\tfrac{7}{5}\\cdot 30 = 42\\).<br>Obwód: \\(2(56+42) = 2\\cdot 98 = 196\\).</p>\n<p>(Uwaga: \\(|AE|=|GF|=40\\), \\(|AG|=|EF|=30\\) - boki prostokąta \\(AEFG\\).)</p>\n<h5>Sposób 2 - Tangens kąta</h5>\n<p>W \\(\\triangle AEF\\): \\(\\tg(\\angle FAE) = \\dfrac{|EF|}{|AE|} = \\dfrac{30}{40} = \\dfrac{3}{4}\\).<br>Ten sam kąt w \\(\\triangle ABC\\): \\(\\tg(\\angle CAB) = \\dfrac{|BC|}{|AB|} = \\dfrac{3}{4}\\). Z \\(|AB|^{2}+|BC|^{2}=70^{2}\\) i \\(|BC|=\\tfrac{3}{4}|AB|\\): \\(|AB|^{2}\\cdot\\tfrac{25}{16}=4900\\), \\(|AB|=56\\), \\(|BC|=42\\). Obwód \\(=196\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(158\\)</strong> - pomyłka rachunkowa.</li><li><strong>C. \\(336\\)</strong> - sześciokrotność czegoś błędnego.</li><li><strong>D. \\(490\\)</strong> - mnożenie \\(7\\cdot 70\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Przy prostokącie wpisanym, przekątna dzieli układ w podobnych proporcjach.</p>"}]}