{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/21","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"21","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 21. (0-1)\nW układzie współrzędnych dane są dwa punkty 𝐴= (1, -2) oraz 𝐵= (3, 1). Współczynnik\nkierunkowy prostej 𝐴𝐵 jest równy\nA. (-3\n2)\nB. (-2\n3)\nC. 2\n3\nD. 3\n2\nRozwiązanie zadania. W układzie współrzędnych dane są dwa punkty A=(1,-2) oraz B=(3,1). Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy A. (-3/2} B. (-2/3} C. 2/3 D. 3/2","answer":"D","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{3}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na współczynnik kierunkowy z dwóch punktów\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty obliczamy ze wzoru:\n\n\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]\n\nMamy \\(A = (1, -2)\\) i \\(B = (3, 1)\\), więc:\n\n\\[a = \\frac{1 - (-2)}{3 - 1} = \\frac{1 + 2}{2} = \\frac{3}{2}\\]\n\n**Współczynnik kierunkowy prostej \\(AB\\) wynosi \\(\\dfrac{3}{2}\\).**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez wyznaczenie równania prostej\n\nZnamy współczynnik kierunkowy \\(a = \\dfrac{3}{2}\\) i punkt \\(A = (1, -2)\\). Wyznaczamy równanie prostej:\n\n\\[y - y_A = a(x - x_A)\\]\n\\[y - (-2) = \\frac{3}{2}(x - 1)\\]\n\\[y + 2 = \\frac{3}{2}x - \\frac{3}{2}\\]\n\\[y = \\frac{3}{2}x - \\frac{7}{2}\\]\n\nSprawdzamy, czy punkt \\(B = (3, 1)\\) leży na tej prostej:\n\n\\[\\frac{3}{2} \\cdot 3 - \\frac{7}{2} = \\frac{9}{2} - \\frac{7}{2} = \\frac{2}{2} = 1 \\checkmark\\]\n\nPunkt \\(B\\) spełnia równanie, zatem wynik jest poprawny.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\n\nWspółczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty wynika wprost z definicji nachylenia. Choć karta podaje wzory na odległość punktu od prostej i równanie okręgu, **wzór \\(a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\) to podstawa geometrii analitycznej** - maturzysta powinien go znać na pamięć.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A \\(\\left(-\\dfrac{3}{2}\\right)\\) | Policzono \\(\\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\) poprawnie, ale dołożono błędny znak minus - być może pomylono z prostą prostopadłą |\n| B \\(\\left(-\\dfrac{2}{3}\\right)\\) | Odwrócono ułamek (przestawiono licznik z mianownikiem) **i** dodano błędny znak minus |\n| C \\(\\dfrac{2}{3}\\) | Odwrócono ułamek: wzięto \\(\\dfrac{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \\dfrac{2}{3}\\) zamiast \\(\\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wzór to zawsze **różnica \\(y\\) w liczniku**, różnica \\(x\\) w mianowniku - czyli \\(\\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\), nie odwrotnie. Odwrócenie daje odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kolejność punktów nie ma znaczenia dla wyniku - \\(\\dfrac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \\dfrac{(-2)-1}{1-3} = \\dfrac{-3}{-2} = \\dfrac{3}{2}\\) - minus skraca się z minusem.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie mylić współczynnika kierunkowego prostej \\(AB\\) z nachyleniem prostej **prostopadłej** do \\(AB\\). Prosta prostopadła miałaby współczynnik \\(a_\\perp = -\\dfrac{2}{3}\\) (odpowiedź B).\n\n**Poprawna odpowiedź: D**\n\n### Sposób 1 - Wzór na współczynnik kierunkowy (karta wzorów)\n\\(a = \\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} = \\dfrac{1-(-2)}{3-1} = \\dfrac{3}{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Przez równanie prostej\nRównanie prostej: \\(y - (-2) = a(x-1)\\). W \\(B=(3,1)\\): \\(1+2 = a(3-1)\\), \\(3 = 2a\\), \\(a = \\tfrac{3}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-\\tfrac{3}{2}\\)** - zły znak (różnica \\(y\\) dodatnia).\n- **B. \\(-\\tfrac{2}{3}\\)** - odwrotność i zły znak (tzn. prostopadła).\n- **C. \\(\\tfrac{2}{3}\\)** - zamiana \\(\\Delta x\\) i \\(\\Delta y\\).\n\n**Trik:** \\(a=\\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\) - „pionowa zmiana przez poziomą”.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-21.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 21. (0-1)
W układzie współrzędnych dane są dwa punkty 𝐴= (1, -2) oraz 𝐵= (3, 1). Współczynnik
kierunkowy prostej 𝐴𝐵 jest równy
A. (-3
2)
B. (-2
3)
C. 2
3
D. 3
2
Rozwiązanie zadania. W układzie współrzędnych dane są dwa punkty A=(1,-2) oraz B=(3,1). Współczynnik kierunkowy prostej AB jest równy A. (-3/2} B. (-2/3} C. 2/3 D. 3/2

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-21.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: D - \\(\\dfrac{3}{2}\\)

\n

Sposób 1 - Wzór na współczynnik kierunkowy z dwóch punktów

\n

Współczynnik kierunkowy prostej przechodzącej przez dwa punkty obliczamy ze wzoru:

\n

\\[a = \\frac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\]

\n

Mamy \\(A = (1, -2)\\) i \\(B = (3, 1)\\), więc:

\n

\\[a = \\frac{1 - (-2)}{3 - 1} = \\frac{1 + 2}{2} = \\frac{3}{2}\\]

\n

Współczynnik kierunkowy prostej \\(AB\\) wynosi \\(\\dfrac{3}{2}\\).

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez wyznaczenie równania prostej

\n

Znamy współczynnik kierunkowy \\(a = \\dfrac{3}{2}\\) i punkt \\(A = (1, -2)\\). Wyznaczamy równanie prostej:

\n

\\[y - y_A = a(x - x_A)\\]
\\[y - (-2) = \\frac{3}{2}(x - 1)\\]
\\[y + 2 = \\frac{3}{2}x - \\frac{3}{2}\\]
\\[y = \\frac{3}{2}x - \\frac{7}{2}\\]

\n

Sprawdzamy, czy punkt \\(B = (3, 1)\\) leży na tej prostej:

\n

\\[\\frac{3}{2} \\cdot 3 - \\frac{7}{2} = \\frac{9}{2} - \\frac{7}{2} = \\frac{2}{2} = 1 \\checkmark\\]

\n

Punkt \\(B\\) spełnia równanie, zatem wynik jest poprawny.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie kierunkowe prostej:
\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]

\n

Współczynnik kierunkowy prostej przez dwa punkty wynika wprost z definicji nachylenia. Choć karta podaje wzory na odległość punktu od prostej i równanie okręgu, wzór \\(a = \\frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\\) to podstawa geometrii analitycznej - maturzysta powinien go znać na pamięć.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| A \\(\\left(-\\dfrac{3}{2}\\right)\\) | Policzono \\(\\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\) poprawnie, ale dołożono błędny znak minus - być może pomylono z prostą prostopadłą |
| B \\(\\left(-\\dfrac{2}{3}\\right)\\) | Odwrócono ułamek (przestawiono licznik z mianownikiem) i dodano błędny znak minus |
| C \\(\\dfrac{2}{3}\\) | Odwrócono ułamek: wzięto \\(\\dfrac{x_B - x_A}{y_B - y_A} = \\dfrac{2}{3}\\) zamiast \\(\\dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\\) |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Wzór to zawsze różnica \\(y\\) w liczniku, różnica \\(x\\) w mianowniku - czyli \\(\\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\), nie odwrotnie. Odwrócenie daje odpowiedź C.
\n
⚠️ Uwaga: Kolejność punktów nie ma znaczenia dla wyniku - \\(\\dfrac{y_A - y_B}{x_A - x_B} = \\dfrac{(-2)-1}{1-3} = \\dfrac{-3}{-2} = \\dfrac{3}{2}\\) - minus skraca się z minusem.
\n
⚠️ Uwaga: Nie mylić współczynnika kierunkowego prostej \\(AB\\) z nachyleniem prostej prostopadłej do \\(AB\\). Prosta prostopadła miałaby współczynnik \\(a_\\perp = -\\dfrac{2}{3}\\) (odpowiedź B).
\n

Poprawna odpowiedź: D

\n
Sposób 1 - Wzór na współczynnik kierunkowy (karta wzorów)
\n

\\(a = \\dfrac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}} = \\dfrac{1-(-2)}{3-1} = \\dfrac{3}{2}\\).

\n
Sposób 2 - Przez równanie prostej
\n

Równanie prostej: \\(y - (-2) = a(x-1)\\). W \\(B=(3,1)\\): \\(1+2 = a(3-1)\\), \\(3 = 2a\\), \\(a = \\tfrac{3}{2}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(a=\\dfrac{\\Delta y}{\\Delta x}\\) - „pionowa zmiana przez poziomą”.

"}]}