{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/22","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"22","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 22. (0-1)\nProsta 𝑘 ma równanie 𝑦= -4\n7 𝑥+ 24. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do\nprostej 𝑘 jest równy\nA. 7\n4\nB. (-7\n4)\nC. (-4\n7)\nD. 4\n7\nRozwiązanie zadania. Prosta k ma równanie y=-4/7x+24. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej k jest równy A. 7/4 B. (-7/4} C. (-4/7) D. 4/7","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{7}{4}\\)\n\n## Sposób 1 - warunek prostopadłości prostych\n\n**Znamy wzór:** dwie proste o współczynnikach kierunkowych \\(a_1\\) i \\(a_2\\) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\nProsta \\(k\\) ma równanie \\(y = -\\dfrac{4}{7}x + 24\\), więc jej współczynnik kierunkowy to:\n\\[a_1 = -\\frac{4}{7}\\]\n\nSzukamy \\(a_2\\) takiego, że:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\n\\[-\\frac{4}{7} \\cdot a_2 = -1\\]\n\nDzielimy obie strony przez \\(-\\dfrac{4}{7}\\) (czyli mnożymy przez \\(-\\dfrac{7}{4}\\)):\n\\[a_2 = -1 \\cdot \\left(-\\frac{7}{4}\\right) = \\frac{7}{4}\\]\n\n**Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do \\(k\\) wynosi \\(\\dfrac{7}{4}\\).**\n\n## Sposób 2 - odwrotność z zamianą znaku\n\nIstnieje wygodna zasada: współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to **odwrotność przeciwna** współczynnika danej prostej.\n\nMamy \\(a_1 = -\\dfrac{4}{7}\\).\n\nKrok 1 - bierzemy odwrotność (odwracamy ułamek):\n\\[\\frac{1}{-\\frac{4}{7}} = -\\frac{7}{4}\\]\n\nKrok 2 - zmieniamy znak (bo odwrotność **przeciwna**):\n\\[a_2 = -\\left(-\\frac{7}{4}\\right) = \\frac{7}{4}\\]\n\n**Weryfikacja:** sprawdzamy warunek:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = \\left(-\\frac{4}{7}\\right) \\cdot \\frac{7}{4} = -\\frac{4 \\cdot 7}{7 \\cdot 4} = -1 \\checkmark\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - warunek prostopadłości prostych:\n\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]\ngdzie \\(a_1, a_2\\) to współczynniki kierunkowe prostych w postaci \\(y = ax + b\\).\n\nTego właśnie używaliśmy w obu sposobach.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| B: \\(-\\dfrac{7}{4}\\) | Wzięto samą odwrotność \\(\\dfrac{1}{a_1} = -\\dfrac{7}{4}\\) bez zmiany znaku - to daje prostą **równoległą** do prostopadłej, nie samą prostopadłą. Inna częsta pułapka: uczeń pamięta \"odwrotna\" ale zapomina \"przeciwna\". |\n| C: \\(-\\dfrac{4}{7}\\) | Przepisano współczynnik kierunkowy **tej samej** prostej \\(k\\) - to wynik nieuważnego czytania zadania. |\n| D: \\(\\dfrac{4}{7}\\) | Zmieniono tylko znak współczynnika prostej \\(k\\) bez brania odwrotności - brak rozumienia warunku prostopadłości. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Prostopadłość to **odwrotność przeciwna** (ang. *negative reciprocal*) - zmiana znaku ORAZ odwrócenie ułamka. Samo odwrócenie daje odpowiedź B, która jest najczęstszą pułapką w tym zadaniu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) działa tylko dla prostych **niebędących** równoległymi do osi układu. Dla prostych pionowych i poziomych prostopadłość sprawdzamy inaczej - ale w tym zadaniu nie ma tego problemu.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto zrobić szybką weryfikację mnożąc \\(a_1 \\cdot a_2\\) - wynik musi być dokładnie \\(-1\\). To zajmuje 5 sekund i eliminuje błędy.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Warunek prostopadłości (karta wzorów)\nDwie proste \\(y=a_{1}x+b_{1}\\) i \\(y=a_{2}x+b_{2}\\) są prostopadłe, gdy \\(a_{1}\\cdot a_{2} = -1\\).\n\\(a_{1} = -\\dfrac{4}{7}\\), więc \\(a_{2} = -\\dfrac{1}{a_{1}} = -\\dfrac{1}{-4/7} = \\dfrac{7}{4}\\).\n\n### Sposób 2 - Zasada „odwrotność z minusem”\nZmieniamy \\(a_{1} = -\\tfrac{4}{7}\\) na odwrotność i zmieniamy znak: \\(+\\dfrac{7}{4}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(-\\tfrac{7}{4}\\)** - tylko odwrotność bez zmiany znaku.\n- **C. \\(-\\tfrac{4}{7}\\)** - ta sama prosta (równoległa).\n- **D. \\(\\tfrac{4}{7}\\)** - tylko zmiana znaku bez odwrotności.\n\n**Trik:** Prostopadłe \\(\\Leftrightarrow\\) \\(a_{1}\\cdot a_{2}=-1\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-22.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 22. (0-1)<br>Prosta 𝑘 ma równanie 𝑦= -4<br>7 𝑥+ 24. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do<br>prostej 𝑘 jest równy<br>A. 7<br>4<br>B. (-7<br>4)<br>C. (-4<br>7)<br>D. 4<br>7<br>Rozwiązanie zadania. Prosta k ma równanie y=-4/7x+24. Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do prostej k jest równy A. 7/4 B. (-7/4} C. (-4/7) D. 4/7</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-22.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(\\dfrac{7}{4}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - warunek prostopadłości prostych</h4>\n<p><strong>Znamy wzór:</strong> dwie proste o współczynnikach kierunkowych \\(a_1\\) i \\(a_2\\) są prostopadłe wtedy i tylko wtedy, gdy:<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]</p>\n<p>Prosta \\(k\\) ma równanie \\(y = -\\dfrac{4}{7}x + 24\\), więc jej współczynnik kierunkowy to:<br>\\[a_1 = -\\frac{4}{7}\\]</p>\n<p>Szukamy \\(a_2\\) takiego, że:<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]<br>\\[-\\frac{4}{7} \\cdot a_2 = -1\\]</p>\n<p>Dzielimy obie strony przez \\(-\\dfrac{4}{7}\\) (czyli mnożymy przez \\(-\\dfrac{7}{4}\\)):<br>\\[a_2 = -1 \\cdot \\left(-\\frac{7}{4}\\right) = \\frac{7}{4}\\]</p>\n<p><strong>Współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej do \\(k\\) wynosi \\(\\dfrac{7}{4}\\).</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - odwrotność z zamianą znaku</h4>\n<p>Istnieje wygodna zasada: współczynnik kierunkowy prostej prostopadłej to <strong>odwrotność przeciwna</strong> współczynnika danej prostej.</p>\n<p>Mamy \\(a_1 = -\\dfrac{4}{7}\\).</p>\n<p>Krok 1 - bierzemy odwrotność (odwracamy ułamek):<br>\\[\\frac{1}{-\\frac{4}{7}} = -\\frac{7}{4}\\]</p>\n<p>Krok 2 - zmieniamy znak (bo odwrotność <strong>przeciwna</strong>):<br>\\[a_2 = -\\left(-\\frac{7}{4}\\right) = \\frac{7}{4}\\]</p>\n<p><strong>Weryfikacja:</strong> sprawdzamy warunek:<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = \\left(-\\frac{4}{7}\\right) \\cdot \\frac{7}{4} = -\\frac{4 \\cdot 7}{7 \\cdot 4} = -1 \\checkmark\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)</strong> - warunek prostopadłości prostych:<br>\\[a_1 \\cdot a_2 = -1\\]<br>gdzie \\(a_1, a_2\\) to współczynniki kierunkowe prostych w postaci \\(y = ax + b\\).</p>\n<p>Tego właśnie używaliśmy w obu sposobach.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| B: \\(-\\dfrac{7}{4}\\) | Wzięto samą odwrotność \\(\\dfrac{1}{a_1} = -\\dfrac{7}{4}\\) bez zmiany znaku - to daje prostą <strong>równoległą</strong> do prostopadłej, nie samą prostopadłą. Inna częsta pułapka: uczeń pamięta &quot;odwrotna&quot; ale zapomina &quot;przeciwna&quot;. |<br>| C: \\(-\\dfrac{4}{7}\\) | Przepisano współczynnik kierunkowy <strong>tej samej</strong> prostej \\(k\\) - to wynik nieuważnego czytania zadania. |<br>| D: \\(\\dfrac{4}{7}\\) | Zmieniono tylko znak współczynnika prostej \\(k\\) bez brania odwrotności - brak rozumienia warunku prostopadłości. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Prostopadłość to <strong>odwrotność przeciwna</strong> (ang. <em>negative reciprocal</em>) - zmiana znaku ORAZ odwrócenie ułamka. Samo odwrócenie daje odpowiedź B, która jest najczęstszą pułapką w tym zadaniu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek \\(a_1 \\cdot a_2 = -1\\) działa tylko dla prostych <strong>niebędących</strong> równoległymi do osi układu. Dla prostych pionowych i poziomych prostopadłość sprawdzamy inaczej - ale w tym zadaniu nie ma tego problemu.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze warto zrobić szybką weryfikację mnożąc \\(a_1 \\cdot a_2\\) - wynik musi być dokładnie \\(-1\\). To zajmuje 5 sekund i eliminuje błędy.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Warunek prostopadłości (karta wzorów)</h5>\n<p>Dwie proste \\(y=a_{1}x+b_{1}\\) i \\(y=a_{2}x+b_{2}\\) są prostopadłe, gdy \\(a_{1}\\cdot a_{2} = -1\\).<br>\\(a_{1} = -\\dfrac{4}{7}\\), więc \\(a_{2} = -\\dfrac{1}{a_{1}} = -\\dfrac{1}{-4/7} = \\dfrac{7}{4}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Zasada „odwrotność z minusem”</h5>\n<p>Zmieniamy \\(a_{1} = -\\tfrac{4}{7}\\) na odwrotność i zmieniamy znak: \\(+\\dfrac{7}{4}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(-\\tfrac{7}{4}\\)</strong> - tylko odwrotność bez zmiany znaku.</li><li><strong>C. \\(-\\tfrac{4}{7}\\)</strong> - ta sama prosta (równoległa).</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{4}{7}\\)</strong> - tylko zmiana znaku bez odwrotności.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Prostopadłe \\(\\Leftrightarrow\\) \\(a_{1}\\cdot a_{2}=-1\\).</p>"}]}