{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/23","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"23","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 23. (0-1)\nPunkty 𝐴= (3, 7) i 𝐶= (-4, 6) są końcami przekątnej kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Promień okręgu\nopisanego na tym kwadracie jest równy\nA.\n√2\n2\nB. 5\n2\nC. 5√2\n2\nD. 5\n𝐴\n𝐶\n𝐷\n𝐹\n𝐵\n𝐸\n𝐺\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Punkty A=(3,7) i C=(-4,6) są końcami przekątnej kwadratu ABCD. Promień okręgu opisanego na tym kwadracie jest równy A. √2/2 B. 5/2 C. 5√2/2 D. 5","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{5\\sqrt{2}}{2}\\)\n\n## Sposób 1 - Promień okręgu opisanego = połowa przekątnej kwadratu\n\n**Kluczowa właściwość kwadratu:** Okrąg opisany na kwadracie ma środek w punkcie przecięcia przekątnych, a jego promień równa się **połowie długości przekątnej**.\n\n**Krok 1: Oblicz długość przekątnej \\(|AC|\\)**\n\n\\[\n|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\n= \\sqrt{(-4-3)^2 + (6-7)^2}\n\\]\n\n\\[\n|AC| = \\sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \\sqrt{49 + 1} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\n\\]\n\n**Krok 2: Wyznacz promień okręgu opisanego**\n\nŚrodek okręgu opisanego na kwadracie leży w środku każdej przekątnej. Zatem promień to odległość od środka do wierzchołka, czyli:\n\n\\[\nR = \\frac{|AC|}{2} = \\frac{5\\sqrt{2}}{2}\n\\]\n\n**Odpowiedź: \\(R = \\dfrac{5\\sqrt{2}}{2}\\)**\n\n## Sposób 2 - Przez długość boku kwadratu\n\nDla kwadratu o boku \\(a\\) przekątna wynosi \\(d = a\\sqrt{2}\\). Znamy przekątną, więc wyznaczamy bok:\n\n\\[\na\\sqrt{2} = 5\\sqrt{2} \\implies a = 5\n\\]\n\nPromień okręgu opisanego na kwadracie o boku \\(a\\) to:\n\n\\[\nR = \\frac{a\\sqrt{2}}{2} = \\frac{5\\sqrt{2}}{2}\n\\]\n\nWynik zgodny - **\\(R = \\dfrac{5\\sqrt{2}}{2}\\)** ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)** - wzór na długość odcinka:\n\\[\n|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}\n\\]\nUżyliśmy tego wzoru do obliczenia długości przekątnej kwadratu.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - związek między bokiem a przekątną kwadratu:\nKwadrat to szczególny prostokąt, więc twierdzenie Pitagorasa daje \\(d = a\\sqrt{2}\\). Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym (połowa kwadratu) to: \\(R = \\frac{c}{2}\\), gdzie \\(c\\) to przeciwprostokątna - czyli właśnie połowa przekątnej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Typowy błąd |\n| A - \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\) | Pominięcie czynnika 5; obliczenie \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\) bez uwzględnienia rzeczywistej długości przekątnej |\n| B - \\(\\dfrac{5}{2}\\) | Wzięto \\(R = \\dfrac{a}{2}\\) zamiast \\(R = \\dfrac{d}{2}\\); czyli wzięto połowę **boku** \\((a=5)\\) zamiast połowę **przekątnej** |\n| D - \\(5\\)| Poprawnie wyznaczono bok kwadratu \\(a = 5\\), ale **mylnie utożsamiono go z promieniem** okręgu opisanego |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Promień okręgu opisanego na kwadracie to **połowa przekątnej**, nie połowa boku! To częsty błąd - uważaj na tę różnicę.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\(\\sqrt{50}\\) trzeba upraszczać: \\(\\sqrt{50} = \\sqrt{25 \\cdot 2} = 5\\sqrt{2}\\). Bez uproszczenia nie rozpoznasz, że odpowiedź to C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zadanie nie wymaga znajomości położenia wierzchołków \\(B\\) i \\(D\\) - wystarczy sama przekątna \\(AC\\). Nie marnuj czasu na szukanie \\(B\\) i \\(D\\)!\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Przekątna kwadratu i promień (karta wzorów)\nPrzekątna kwadratu jest średnicą okręgu opisanego, więc \\(R = \\tfrac{1}{2}|AC|\\).\n\\(|AC| = \\sqrt{(3-(-4))^{2}+(7-6)^{2}} = \\sqrt{49+1} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\).\n\\(R = \\dfrac{5\\sqrt{2}}{2}\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\nDla kwadratu o boku \\(a\\): przekątna \\(= a\\sqrt{2}\\), promień opisanego \\(= \\dfrac{a\\sqrt{2}}{2}\\). Tu przekątna \\(=5\\sqrt{2}\\), więc \\(R=\\dfrac{5\\sqrt{2}}{2}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)** - błąd rachunkowy.\n- **B. \\(\\tfrac{5}{2}\\)** - pominięto czynnik \\(\\sqrt{2}\\) (to byłby promień wpisanego dla boku 5).\n- **D. \\(5\\)** - to \\(|AC|/\\sqrt{2}\\), czyli połowa przekątnej mylona z bokiem.\n\n**Trik:** Promień okręgu opisanego na kwadracie = \\(\\tfrac{\\text{przekątna}}{2}\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-23.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg","topics":"analityczna","page_from":12,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 23. (0-1)<br>Punkty 𝐴= (3, 7) i 𝐶= (-4, 6) są końcami przekątnej kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷. Promień okręgu<br>opisanego na tym kwadracie jest równy<br>A.<br>√2<br>2<br>B. 5<br>2<br>C. 5√2<br>2<br>D. 5<br>𝐴<br>𝐶<br>𝐷<br>𝐹<br>𝐵<br>𝐸<br>𝐺</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Rozwiązanie zadania. Punkty A=(3,7) i C=(-4,6) są końcami przekątnej kwadratu ABCD. Promień okręgu opisanego na tym kwadracie jest równy A. √2/2 B. 5/2 C. 5√2/2 D. 5</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-23.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{5\\sqrt{2}}{2}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Promień okręgu opisanego = połowa przekątnej kwadratu</h4>\n<p><strong>Kluczowa właściwość kwadratu:</strong> Okrąg opisany na kwadracie ma środek w punkcie przecięcia przekątnych, a jego promień równa się <strong>połowie długości przekątnej</strong>.</p>\n<p><strong>Krok 1: Oblicz długość przekątnej \\(|AC|\\)</strong></p>\n<p>\\[<br>|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}<br>= \\sqrt{(-4-3)^2 + (6-7)^2}<br>\\]</p>\n<p>\\[<br>|AC| = \\sqrt{(-7)^2 + (-1)^2} = \\sqrt{49 + 1} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}<br>\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznacz promień okręgu opisanego</strong></p>\n<p>Środek okręgu opisanego na kwadracie leży w środku każdej przekątnej. Zatem promień to odległość od środka do wierzchołka, czyli:</p>\n<p>\\[<br>R = \\frac{|AC|}{2} = \\frac{5\\sqrt{2}}{2}<br>\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(R = \\dfrac{5\\sqrt{2}}{2}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przez długość boku kwadratu</h4>\n<p>Dla kwadratu o boku \\(a\\) przekątna wynosi \\(d = a\\sqrt{2}\\). Znamy przekątną, więc wyznaczamy bok:</p>\n<p>\\[<br>a\\sqrt{2} = 5\\sqrt{2} \\implies a = 5<br>\\]</p>\n<p>Promień okręgu opisanego na kwadracie o boku \\(a\\) to:</p>\n<p>\\[<br>R = \\frac{a\\sqrt{2}}{2} = \\frac{5\\sqrt{2}}{2}<br>\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - <strong>\\(R = \\dfrac{5\\sqrt{2}}{2}\\)</strong> ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22)</strong> - wzór na długość odcinka:<br>\\[<br>|AC| = \\sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2}<br>\\]<br>Użyliśmy tego wzoru do obliczenia długości przekątnej kwadratu.</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)</strong> - związek między bokiem a przekątną kwadratu:<br>Kwadrat to szczególny prostokąt, więc twierdzenie Pitagorasa daje \\(d = a\\sqrt{2}\\). Promień okręgu opisanego na trójkącie prostokątnym (połowa kwadratu) to: \\(R = \\frac{c}{2}\\), gdzie \\(c\\) to przeciwprostokątna - czyli właśnie połowa przekątnej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Typowy błąd |<br>| A - \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\) | Pominięcie czynnika 5; obliczenie \\(\\dfrac{\\sqrt{2}}{2}\\) bez uwzględnienia rzeczywistej długości przekątnej |<br>| B - \\(\\dfrac{5}{2}\\) | Wzięto \\(R = \\dfrac{a}{2}\\) zamiast \\(R = \\dfrac{d}{2}\\); czyli wzięto połowę <strong>boku</strong> \\((a=5)\\) zamiast połowę <strong>przekątnej</strong> |<br>| D - \\(5\\)| Poprawnie wyznaczono bok kwadratu \\(a = 5\\), ale <strong>mylnie utożsamiono go z promieniem</strong> okręgu opisanego |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Promień okręgu opisanego na kwadracie to <strong>połowa przekątnej</strong>, nie połowa boku! To częsty błąd - uważaj na tę różnicę.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\(\\sqrt{50}\\) trzeba upraszczać: \\(\\sqrt{50} = \\sqrt{25 \\cdot 2} = 5\\sqrt{2}\\). Bez uproszczenia nie rozpoznasz, że odpowiedź to C.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zadanie nie wymaga znajomości położenia wierzchołków \\(B\\) i \\(D\\) - wystarczy sama przekątna \\(AC\\). Nie marnuj czasu na szukanie \\(B\\) i \\(D\\)!</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Przekątna kwadratu i promień (karta wzorów)</h5>\n<p>Przekątna kwadratu jest średnicą okręgu opisanego, więc \\(R = \\tfrac{1}{2}|AC|\\).<br>\\(|AC| = \\sqrt{(3-(-4))^{2}+(7-6)^{2}} = \\sqrt{49+1} = \\sqrt{50} = 5\\sqrt{2}\\).<br>\\(R = \\dfrac{5\\sqrt{2}}{2}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Weryfikacja</h5>\n<p>Dla kwadratu o boku \\(a\\): przekątna \\(= a\\sqrt{2}\\), promień opisanego \\(= \\dfrac{a\\sqrt{2}}{2}\\). Tu przekątna \\(=5\\sqrt{2}\\), więc \\(R=\\dfrac{5\\sqrt{2}}{2}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\tfrac{\\sqrt{2}}{2}\\)</strong> - błąd rachunkowy.</li><li><strong>B. \\(\\tfrac{5}{2}\\)</strong> - pominięto czynnik \\(\\sqrt{2}\\) (to byłby promień wpisanego dla boku 5).</li><li><strong>D. \\(5\\)</strong> - to \\(|AC|/\\sqrt{2}\\), czyli połowa przekątnej mylona z bokiem.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Promień okręgu opisanego na kwadracie = \\(\\tfrac{\\text{przekątna}}{2}\\).</p>"}]}