{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/24","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"24","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 24. (0-1)\nKażda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 2 (zobacz\nrysunek).\nPole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe\nA. 24 + 2√3\nB. 24 + 6√3\nC. 24 + 12√3\nD. 24 + 24√3\nRozwiązanie zadania. Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 2 (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równa A. 24 + 2√3 B. 24 + 6√3 C. 24 + 12√3 D. 24 + 24√3","answer":"C","answer_text":"24 sierpnia 2021 r.\nData publikacji\ndokumentu:","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nPole powierzchni całkowitej wynosi \\(24 + 12\\sqrt{3}\\).\n\n## Sposób 1 - Rozbicie na podstawy i ściany boczne\n\nGraniastosłup prawidłowy sześciokątny ma **wszystkie krawędzie równe 2**, czyli:\n- bok podstawy (sześciokąta): \\(a = 2\\)\n- wysokość graniastosłupa: \\(h = 2\\)\n\n**Krok 1 - Pole jednej podstawy (sześciokąt foremny o boku \\(a = 2\\)):**\n\nSześciokąt foremny składa się z **6 trójkątów równobocznych** o boku \\(a\\). Pole jednego trójkąta równobocznego:\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{4\\sqrt{3}}{4} = \\sqrt{3}\\]\n\nZatem pole całego sześciokąta:\n\\[P_{6} = 6 \\cdot \\sqrt{3} = 6\\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2 - Pole powierzchni bocznej:**\n\nPowierzchnia boczna to **6 prostokątów**, każdy o wymiarach \\(a \\times h = 2 \\times 2\\):\n\\[P_b = 6 \\cdot a \\cdot h = 6 \\cdot 2 \\cdot 2 = 24\\]\n\n**Krok 3 - Pole powierzchni całkowitej:**\n\n\\[P_c = P_b + 2 \\cdot P_6 = 24 + 2 \\cdot 6\\sqrt{3} = \\mathbf{24 + 12\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez obwód podstawy (wzór z karty)\n\nZamiast liczyć ściany boczne jedna po jednej, korzystam bezpośrednio z wzoru na graniastosłup prosty:\n\n\\[P_b = O_b \\cdot h\\]\n\ngdzie \\(O_b\\) to obwód podstawy. Sześciokąt foremny ma 6 boków:\n\\[O_b = 6a = 6 \\cdot 2 = 12\\]\n\nStąd:\n\\[P_b = 12 \\cdot 2 = 24\\]\n\nPole dwóch podstaw (tak jak w Sposobie 1):\n\\[2 \\cdot P_6 = 2 \\cdot 6\\sqrt{3} = 12\\sqrt{3}\\]\n\nŁącznie:\n\\[P_c = 24 + 12\\sqrt{3}\\]\n\nWynik zgodny - **odpowiedź C potwierdzona**.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):\n\\[P_{\\triangle} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]\nUżyte do obliczenia pola sześciokąta (6 trójkątów).\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - graniastosłup prosty:\n\\[P_b = O_b \\cdot h\\]\nBezpośrednio użyte w Sposobie 2 do obliczenia powierzchni bocznej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | \\(24 + 2\\sqrt{3}\\) - wzięto pole tylko **jednego** trójkąta równobocznego zamiast 6, i doliczono tylko jedną podstawę |\n| B | \\(24 + 6\\sqrt{3}\\) - policzono pole tylko **jednej** podstawy (\\(6\\sqrt{3}\\)), zapominając o drugiej |\n| D | \\(24 + 24\\sqrt{3}\\) - pomnożono \\(6\\sqrt{3}\\) przez 4 zamiast 2, lub błędnie policzono pole sześciokąta jako \\(6 \\cdot a^2 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{4} \\cdot 4\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sześciokąt foremny = **6 trójkątów równobocznych**, a nie 4 ani 8. To jeden z najczęstszych błędów przy liczeniu jego pola.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W graniastosłupie **prawidłowym sześciokątnym** z równymi krawędziami - bok podstawy i wysokość są równe. Nie myl tego z ostrosłupem, gdzie wysokość to coś innego niż krawędź boczna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Powierzchnia całkowita = boczna + **dwie** podstawy. Zapomnienie o jednej podstawie to błąd prowadzący prosto do odpowiedzi B.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Pole sześciokąta + pole boczne (karta wzorów)\nSześciokąt foremny o boku \\(a=2\\) ma pole: \\(P_{6} = \\dfrac{3a^{2}\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{3\\cdot 4\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}\\).\nDwie podstawy: \\(2\\cdot 6\\sqrt{3} = 12\\sqrt{3}\\).\nPole boczne: 6 prostokątów \\(2\\times 2\\): \\(6\\cdot 4 = 24\\).\nRazem: \\(P_{c} = 24 + 12\\sqrt{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Przez trójkąty równoboczne\nSześciokąt foremny = 6 trójkątów równobocznych o boku 2. Pole jednego: \\(\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} = \\sqrt{3}\\). Pole sześciokąta \\(=6\\sqrt{3}\\). Reszta jak wyżej.\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(24+2\\sqrt{3}\\)** - tylko jeden trójkąt.\n- **B. \\(24+6\\sqrt{3}\\)** - tylko jedna podstawa.\n- **D. \\(24+24\\sqrt{3}\\)** - czterokrotność.\n\n**Trik:** Sześciokąt foremny o boku \\(a\\): \\(P = \\tfrac{3a^{2}\\sqrt{3}}{2}\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-24.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 24. (0-1)<br>Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 2 (zobacz<br>rysunek).<br>Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe<br>A. 24 + 2√3<br>B. 24 + 6√3<br>C. 24 + 12√3<br>D. 24 + 24√3<br>Rozwiązanie zadania. Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 2 (zobacz rysunek). Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równa A. 24 + 2√3 B. 24 + 6√3 C. 24 + 12√3 D. 24 + 24√3</p>","answer_text_html":"<p>24 sierpnia 2021 r.<br>Data publikacji<br>dokumentu:</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-24.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>Pole powierzchni całkowitej wynosi \\(24 + 12\\sqrt{3}\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Rozbicie na podstawy i ściany boczne</h4>\n<p>Graniastosłup prawidłowy sześciokątny ma <strong>wszystkie krawędzie równe 2</strong>, czyli:</p>\n<ul><li>bok podstawy (sześciokąta): \\(a = 2\\)</li><li>wysokość graniastosłupa: \\(h = 2\\)</li></ul>\n<p><strong>Krok 1 - Pole jednej podstawy (sześciokąt foremny o boku \\(a = 2\\)):</strong></p>\n<p>Sześciokąt foremny składa się z <strong>6 trójkątów równobocznych</strong> o boku \\(a\\). Pole jednego trójkąta równobocznego:<br>\\[P_{\\triangle} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4} = \\frac{4\\sqrt{3}}{4} = \\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Zatem pole całego sześciokąta:<br>\\[P_{6} = 6 \\cdot \\sqrt{3} = 6\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2 - Pole powierzchni bocznej:</strong></p>\n<p>Powierzchnia boczna to <strong>6 prostokątów</strong>, każdy o wymiarach \\(a \\times h = 2 \\times 2\\):<br>\\[P_b = 6 \\cdot a \\cdot h = 6 \\cdot 2 \\cdot 2 = 24\\]</p>\n<p><strong>Krok 3 - Pole powierzchni całkowitej:</strong></p>\n<p>\\[P_c = P_b + 2 \\cdot P_6 = 24 + 2 \\cdot 6\\sqrt{3} = \\mathbf{24 + 12\\sqrt{3}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Przez obwód podstawy (wzór z karty)</h4>\n<p>Zamiast liczyć ściany boczne jedna po jednej, korzystam bezpośrednio z wzoru na graniastosłup prosty:</p>\n<p>\\[P_b = O_b \\cdot h\\]</p>\n<p>gdzie \\(O_b\\) to obwód podstawy. Sześciokąt foremny ma 6 boków:<br>\\[O_b = 6a = 6 \\cdot 2 = 12\\]</p>\n<p>Stąd:<br>\\[P_b = 12 \\cdot 2 = 24\\]</p>\n<p>Pole dwóch podstaw (tak jak w Sposobie 1):<br>\\[2 \\cdot P_6 = 2 \\cdot 6\\sqrt{3} = 12\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Łącznie:<br>\\[P_c = 24 + 12\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny - <strong>odpowiedź C potwierdzona</strong>.</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)</strong> - pole trójkąta równobocznego o boku \\(a\\):<br>\\[P_{\\triangle} = \\frac{a^2\\sqrt{3}}{4}\\]<br>Użyte do obliczenia pola sześciokąta (6 trójkątów).</p>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - graniastosłup prosty:<br>\\[P_b = O_b \\cdot h\\]<br>Bezpośrednio użyte w Sposobie 2 do obliczenia powierzchni bocznej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | \\(24 + 2\\sqrt{3}\\) - wzięto pole tylko <strong>jednego</strong> trójkąta równobocznego zamiast 6, i doliczono tylko jedną podstawę |<br>| B | \\(24 + 6\\sqrt{3}\\) - policzono pole tylko <strong>jednej</strong> podstawy (\\(6\\sqrt{3}\\)), zapominając o drugiej |<br>| D | \\(24 + 24\\sqrt{3}\\) - pomnożono \\(6\\sqrt{3}\\) przez 4 zamiast 2, lub błędnie policzono pole sześciokąta jako \\(6 \\cdot a^2 \\cdot \\frac{\\sqrt{3}}{4} \\cdot 4\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sześciokąt foremny = <strong>6 trójkątów równobocznych</strong>, a nie 4 ani 8. To jeden z najczęstszych błędów przy liczeniu jego pola.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W graniastosłupie <strong>prawidłowym sześciokątnym</strong> z równymi krawędziami - bok podstawy i wysokość są równe. Nie myl tego z ostrosłupem, gdzie wysokość to coś innego niż krawędź boczna.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Powierzchnia całkowita = boczna + <strong>dwie</strong> podstawy. Zapomnienie o jednej podstawie to błąd prowadzący prosto do odpowiedzi B.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Pole sześciokąta + pole boczne (karta wzorów)</h5>\n<p>Sześciokąt foremny o boku \\(a=2\\) ma pole: \\(P_{6} = \\dfrac{3a^{2}\\sqrt{3}}{2} = \\dfrac{3\\cdot 4\\sqrt{3}}{2} = 6\\sqrt{3}\\).<br>Dwie podstawy: \\(2\\cdot 6\\sqrt{3} = 12\\sqrt{3}\\).<br>Pole boczne: 6 prostokątów \\(2\\times 2\\): \\(6\\cdot 4 = 24\\).<br>Razem: \\(P_{c} = 24 + 12\\sqrt{3}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez trójkąty równoboczne</h5>\n<p>Sześciokąt foremny = 6 trójkątów równobocznych o boku 2. Pole jednego: \\(\\dfrac{a^{2}\\sqrt{3}}{4} = \\sqrt{3}\\). Pole sześciokąta \\(=6\\sqrt{3}\\). Reszta jak wyżej.</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(24+2\\sqrt{3}\\)</strong> - tylko jeden trójkąt.</li><li><strong>B. \\(24+6\\sqrt{3}\\)</strong> - tylko jedna podstawa.</li><li><strong>D. \\(24+24\\sqrt{3}\\)</strong> - czterokrotność.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Sześciokąt foremny o boku \\(a\\): \\(P = \\tfrac{3a^{2}\\sqrt{3}}{2}\\).</p>"}]}