{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/25","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"25","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 25. (0-1)\nPrzekątna sześcianu jest równa 6. Wynika stąd, że objętość tego sześcianu jest równa\nA. 24√3\nB. 72\nC. 54√2\nD. 648√3\nRozwiązanie zadania. Przekątna sześcianu jest równa 6. Wynika stąd, że objętość tego sześcianu jest równa A. 24√3 B. 72 C. 54√2 D. 648√3","answer":"A","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: A - \\(24\\sqrt{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Wzór na przekątną sześcianu, wyznaczenie boku\n\n**Przekątna sześcianu** (odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki) to przekątna przestrzenna - nie mylić z przekątną ściany!\n\nNiech \\(a\\) to bok sześcianu. Przekątną liczymy w dwóch krokach:\n1. Przekątna ściany (kwadrat): \\(d_{\\text{ściany}} = \\sqrt{a^2 + a^2} = a\\sqrt{2}\\)\n2. Przekątna przestrzenna (z twierdzenia Pitagorasa w 3D):\n\\[d = \\sqrt{(a\\sqrt{2})^2 + a^2} = \\sqrt{2a^2 + a^2} = \\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}\\]\n\nZnamy \\(d = 6\\), zatem:\n\\[a\\sqrt{3} = 6 \\implies a = \\frac{6}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{3} = 2\\sqrt{3}\\]\n\nObjętość sześcianu:\n\\[V = a^3 = (2\\sqrt{3})^3 = 2^3 \\cdot (\\sqrt{3})^3 = 8 \\cdot 3\\sqrt{3} = \\boxed{24\\sqrt{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Bezpośrednio z \\(d^2\\)\n\nZe wzoru \\(d = a\\sqrt{3}\\) wyznaczamy \\(a^2\\):\n\\[d^2 = 3a^2 \\implies 36 = 3a^2 \\implies a^2 = 12\\]\n\nObjętość:\n\\[V = a^3 = a \\cdot a^2 = \\sqrt{12} \\cdot 12 = 2\\sqrt{3} \\cdot 12 = 24\\sqrt{3}\\]\n\n**Wynik zgodny - \\(V = 24\\sqrt{3}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)** - objętość graniastosłupa prostego:\n\\[V = P_p \\cdot h\\]\nDla sześcianu \\(P_p = a^2\\), \\(h = a\\), więc \\(V = a^3\\). Ten wzór jest punktem wyjścia do obliczeń.\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15)** - twierdzenie Pitagorasa:\n\\[a^2 + b^2 = c^2\\]\nUżyliśmy go dwukrotnie: do przekątnej ściany i do przekątnej przestrzennej.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B: \\(72\\) | Zamiast \\(V = a^3\\) policzono **pole powierzchni całkowitej** \\(P_c = 6a^2 = 6 \\cdot 12 = 72\\) |\n| C: \\(54\\sqrt{2}\\) | Mylono **przekątną ściany** (\\(a\\sqrt{2}\\)) z przekątną sześcianu - wzięto \\(a\\sqrt{2} = 6\\), co daje \\(a = 3\\sqrt{2}\\) i \\(V = 54\\sqrt{2}\\) |\n| D: \\(648\\sqrt{3}\\) | Zamiast **podzielić** \\(6\\) przez \\(\\sqrt{3}\\) - **pomnożono**: \\(a = 6\\sqrt{3}\\), co daje \\(V = (6\\sqrt{3})^3 = 648\\sqrt{3}\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sześcian ma dwa rodzaje przekątnych - **przekątna ściany** \\(a\\sqrt{2}\\) i **przekątna przestrzenna** \\(a\\sqrt{3}\\). W zadaniach maturalnych „przekątna sześcianu\" bez doprecyzowania zawsze oznacza **przestrzenną** (dłuższą).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy obliczaniu \\(\\frac{6}{\\sqrt{3}}\\) pamiętaj o racjonalizowaniu mianownika: \\(\\frac{6}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{3} = 2\\sqrt{3}\\). Pominięcie tego kroku często prowadzi do błędów w kolejnych potęgowaniach.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \\((2\\sqrt{3})^3 = 2^3 \\cdot (\\sqrt{3})^3 = 8 \\cdot 3\\sqrt{3} = 24\\sqrt{3}\\), **nie** \\(8\\sqrt{27}\\). Zawsze upraszczaj \\((\\sqrt{3})^3 = 3\\sqrt{3}\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Wzór na przekątną sześcianu (karta wzorów)\nDla sześcianu o krawędzi \\(a\\): \\(d = a\\sqrt{3}\\).\n\\(a\\sqrt{3} = 6 \\Rightarrow a = \\dfrac{6}{\\sqrt{3}} = 2\\sqrt{3}\\).\nObjętość: \\(V = a^{3} = (2\\sqrt{3})^{3} = 8\\cdot 3\\sqrt{3} = 24\\sqrt{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Alternatywne przekształcenia\n\\(a^{2} = 12\\), \\(a^{3} = a\\cdot a^{2} = 2\\sqrt{3}\\cdot 12 = 24\\sqrt{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(72\\)** - użyto \\(d=a\\) i \\(a^{3}\\).\n- **C. \\(54\\sqrt{2}\\)** - pomylono z ośmiokątem/ostrosłupem.\n- **D. \\(648\\sqrt{3}\\)** - użyto \\(a=6\\).\n\n**Trik:** Sześcian: przekątna \\(d=a\\sqrt{3}\\), objętość \\(V=a^{3}\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-25.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg","topics":"stereometria","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 25. (0-1)<br>Przekątna sześcianu jest równa 6. Wynika stąd, że objętość tego sześcianu jest równa<br>A. 24√3<br>B. 72<br>C. 54√2<br>D. 648√3<br>Rozwiązanie zadania. Przekątna sześcianu jest równa 6. Wynika stąd, że objętość tego sześcianu jest równa A. 24√3 B. 72 C. 54√2 D. 648√3</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-25.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: A - \\(24\\sqrt{3}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wzór na przekątną sześcianu, wyznaczenie boku</h4>\n<p><strong>Przekątna sześcianu</strong> (odcinek łączący dwa przeciwległe wierzchołki) to przekątna przestrzenna - nie mylić z przekątną ściany!</p>\n<p>Niech \\(a\\) to bok sześcianu. Przekątną liczymy w dwóch krokach:</p>\n<ol><li>Przekątna ściany (kwadrat): \\(d_{\\text{ściany}} = \\sqrt{a^2 + a^2} = a\\sqrt{2}\\)</li><li>Przekątna przestrzenna (z twierdzenia Pitagorasa w 3D):</li></ol>\n<p>\\[d = \\sqrt{(a\\sqrt{2})^2 + a^2} = \\sqrt{2a^2 + a^2} = \\sqrt{3a^2} = a\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Znamy \\(d = 6\\), zatem:<br>\\[a\\sqrt{3} = 6 \\implies a = \\frac{6}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{3} = 2\\sqrt{3}\\]</p>\n<p>Objętość sześcianu:<br>\\[V = a^3 = (2\\sqrt{3})^3 = 2^3 \\cdot (\\sqrt{3})^3 = 8 \\cdot 3\\sqrt{3} = \\boxed{24\\sqrt{3}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Bezpośrednio z \\(d^2\\)</h4>\n<p>Ze wzoru \\(d = a\\sqrt{3}\\) wyznaczamy \\(a^2\\):<br>\\[d^2 = 3a^2 \\implies 36 = 3a^2 \\implies a^2 = 12\\]</p>\n<p>Objętość:<br>\\[V = a^3 = a \\cdot a^2 = \\sqrt{12} \\cdot 12 = 2\\sqrt{3} \\cdot 12 = 24\\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Wynik zgodny - \\(V = 24\\sqrt{3}\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 12 (Stereometria, s. 26-28)</strong> - objętość graniastosłupa prostego:<br>\\[V = P_p \\cdot h\\]<br>Dla sześcianu \\(P_p = a^2\\), \\(h = a\\), więc \\(V = a^3\\). Ten wzór jest punktem wyjścia do obliczeń.</p>\n<p><strong>Dział 10 (Planimetria, s. 15)</strong> - twierdzenie Pitagorasa:<br>\\[a^2 + b^2 = c^2\\]<br>Użyliśmy go dwukrotnie: do przekątnej ściany i do przekątnej przestrzennej.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| B: \\(72\\) | Zamiast \\(V = a^3\\) policzono <strong>pole powierzchni całkowitej</strong> \\(P_c = 6a^2 = 6 \\cdot 12 = 72\\) |<br>| C: \\(54\\sqrt{2}\\) | Mylono <strong>przekątną ściany</strong> (\\(a\\sqrt{2}\\)) z przekątną sześcianu - wzięto \\(a\\sqrt{2} = 6\\), co daje \\(a = 3\\sqrt{2}\\) i \\(V = 54\\sqrt{2}\\) |<br>| D: \\(648\\sqrt{3}\\) | Zamiast <strong>podzielić</strong> \\(6\\) przez \\(\\sqrt{3}\\) - <strong>pomnożono</strong>: \\(a = 6\\sqrt{3}\\), co daje \\(V = (6\\sqrt{3})^3 = 648\\sqrt{3}\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sześcian ma dwa rodzaje przekątnych - <strong>przekątna ściany</strong> \\(a\\sqrt{2}\\) i <strong>przekątna przestrzenna</strong> \\(a\\sqrt{3}\\). W zadaniach maturalnych „przekątna sześcianu&quot; bez doprecyzowania zawsze oznacza <strong>przestrzenną</strong> (dłuższą).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy obliczaniu \\(\\frac{6}{\\sqrt{3}}\\) pamiętaj o racjonalizowaniu mianownika: \\(\\frac{6}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{3} = 2\\sqrt{3}\\). Pominięcie tego kroku często prowadzi do błędów w kolejnych potęgowaniach.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> \\((2\\sqrt{3})^3 = 2^3 \\cdot (\\sqrt{3})^3 = 8 \\cdot 3\\sqrt{3} = 24\\sqrt{3}\\), <strong>nie</strong> \\(8\\sqrt{27}\\). Zawsze upraszczaj \\((\\sqrt{3})^3 = 3\\sqrt{3}\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: A</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Wzór na przekątną sześcianu (karta wzorów)</h5>\n<p>Dla sześcianu o krawędzi \\(a\\): \\(d = a\\sqrt{3}\\).<br>\\(a\\sqrt{3} = 6 \\Rightarrow a = \\dfrac{6}{\\sqrt{3}} = 2\\sqrt{3}\\).<br>Objętość: \\(V = a^{3} = (2\\sqrt{3})^{3} = 8\\cdot 3\\sqrt{3} = 24\\sqrt{3}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Alternatywne przekształcenia</h5>\n<p>\\(a^{2} = 12\\), \\(a^{3} = a\\cdot a^{2} = 2\\sqrt{3}\\cdot 12 = 24\\sqrt{3}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>B. \\(72\\)</strong> - użyto \\(d=a\\) i \\(a^{3}\\).</li><li><strong>C. \\(54\\sqrt{2}\\)</strong> - pomylono z ośmiokątem/ostrosłupem.</li><li><strong>D. \\(648\\sqrt{3}\\)</strong> - użyto \\(a=6\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Sześcian: przekątna \\(d=a\\sqrt{3}\\), objętość \\(V=a^{3}\\).</p>"}]}