{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/26","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"26","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 26. (0-1)\nWszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych jest\nA. 9 ⋅2 ⋅103\nB. 9 ⋅5 ⋅103\nC. 5 ⋅104\nD. 4 ⋅105\nRozwiązanie zadania. Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych jest A. 9⋅2⋅10³ B. 9⋅5⋅10³ C. 5⋅10^4 D. 4⋅10^5","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(9 \\cdot 5 \\cdot 10^3\\)\n\n> **Uwaga:** W bazie odpowiedź była błędnie zapisana jako C (\\(5\\cdot 10^4 = 50\\,000\\)). Poprawnie jest **B** (\\(9\\cdot 5\\cdot 10^3 = 45\\,000\\)) - odpowiedź C zawyża wynik, bo dopuszcza zero na pierwszej pozycji. Pełne uzasadnienie poniżej.\n\n## Sposób 1 - Zasada mnożenia (cyfra po cyfrze)\n\nBudujemy liczbę pięciocyfrową parzysta, wybierając kolejno każdą cyfrę.\n\nLiczba pięciocyfrowa ma postać \\(\\overline{d_1 d_2 d_3 d_4 d_5}\\), gdzie:\n\n- **\\(d_1\\)** (cyfra dziesiątek tysięcy) - **nie może być 0** (inaczej liczba nie byłaby pięciocyfrowa):\n\\[d_1 \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\} \\Rightarrow 9 \\text{ możliwości}\\]\n\n- **\\(d_2, d_3, d_4\\)** - dowolne cyfry:\n\\[d_2, d_3, d_4 \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\} \\Rightarrow 10 \\text{ możliwości każda}\\]\n\n- **\\(d_5\\)** (cyfra jedności) - liczba parzysta ⟺ ostatnia cyfra parzysta:\n\\[d_5 \\in \\{0, 2, 4, 6, 8\\} \\Rightarrow 5 \\text{ możliwości}\\]\n\nNa mocy **zasady mnożenia**:\n\\[N = 9 \\cdot 10 \\cdot 10 \\cdot 10 \\cdot 5 = 9 \\cdot 5 \\cdot 10^3 = 45\\,000\\]\n\n**Odpowiedź: \\(9 \\cdot 5 \\cdot 10^3 = 45\\,000\\)**\n\n## Sposób 2 - Połowa wszystkich liczb pięciocyfrowych\n\nWszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe to liczby od \\(10\\,000\\) do \\(99\\,999\\):\n\\[N_{\\text{wszystkie}} = 99\\,999 - 10\\,000 + 1 = 90\\,000\\]\n\nSpośród dowolnych kolejnych liczb naturalnych dokładnie połowa jest parzysta:\n\\[N_{\\text{parzyste}} = \\frac{90\\,000}{2} = 45\\,000\\]\n\n**Wynik zgodny - \\(45\\,000 = 9 \\cdot 5 \\cdot 10^3\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28)** - zasada mnożenia (wariacje z powtórzeniami):\n\\[n^k\\]\nUżyliśmy zasady mnożenia: liczba sposobów wyboru \\(k\\) elementów niezależnie to iloczyn liczb możliwości na każdej pozycji.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wartość | Typowy błąd |\n| **A** | \\(9 \\cdot 2 \\cdot 10^3 = 18\\,000\\) | Policzono tylko 2 możliwości ostatniej cyfry (np. tylko \\(\\{0, 2\\}\\) lub pomylono z liczbami podzielnymi przez 4) |\n| **C** | \\(5 \\cdot 10^4 = 50\\,000\\) | Dopuszczono \\(d_1 \\in \\{0,1,\\ldots,9\\}\\) - 10 możliwości zamiast 9, przez co do zbioru wliczono liczby zaczynające się od 0 (np. \\(02468\\), co nie jest liczbą pięciocyfrową) |\n| **D** | \\(4 \\cdot 10^5 = 400\\,000\\) | Całkowicie błędny rząd wielkości - to ponad 4 razy więcej niż wszystkich liczb pięciocyfrowych |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Pierwsza cyfra liczby pięciocyfrowej **nie może być 0**! To redukuje liczbę wyborów z 10 do 9 i jest najczęstszym błędem w tym typie zadania - właśnie stąd bierze się błędna odpowiedź C.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** \"Parzysta\" dotyczy **tylko ostatniej cyfry** - cyfry \\(d_1, d_2, d_3, d_4\\) mogą być parzyste lub nieparzyste bez ograniczeń.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zasada mnożenia działa, gdy wybory na każdej pozycji są **niezależne od siebie** - tu tak jest, bo parzystość zależy wyłącznie od \\(d_5\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Reguła mnożenia\nLiczba pięciocyfrowa ma postać \\(\\overline{d_1 d_2 d_3 d_4 d_5}\\):\n- 1. cyfra \\(d_1\\): \\(\\{1,\\ldots,9\\}\\) - 9 możliwości (nie może być 0),\n- 2., 3., 4. cyfra: \\(\\{0,\\ldots,9\\}\\) - po 10,\n- 5. cyfra (jedności, parzysta): \\(\\{0,2,4,6,8\\}\\) - 5 możliwości.\nRazem: \\(9\\cdot 10\\cdot 10\\cdot 10\\cdot 5 = 9\\cdot 5\\cdot 10^{3} = 45\\,000\\).\n\n### Sposób 2 - Połowa wszystkich pięciocyfrowych\nWszystkich pięciocyfrowych: \\(99999-10000+1 = 90000\\). Parzystych dokładnie połowa: \\(\\tfrac{90000}{2} = 45000 = 9\\cdot 5\\cdot 10^{3}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(9\\cdot 2\\cdot 10^{3} = 18000\\)** - błędne liczenie parzystych cyfr jedności.\n- **C. \\(5\\cdot 10^{4} = 50000\\)** - dopuszczono 10 cyfr na pierwszej pozycji (w tym 0), licząc też liczby zaczynające się od zera.\n- **D. \\(4\\cdot 10^{5} = 400000\\)** - zbyt dużo, błędny rząd wielkości.\n\n**Trik:** Pierwsza cyfra \\(\\neq 0\\); ostatnia cyfra parzysta wśród \\(\\{0,2,4,6,8\\}\\) - 5 możliwości.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-26.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg","topics":"kombinatoryka","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 26. (0-1)
Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych jest
A. 9 ⋅2 ⋅103
B. 9 ⋅5 ⋅103
C. 5 ⋅104
D. 4 ⋅105
Rozwiązanie zadania. Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych parzystych jest A. 9⋅2⋅10³ B. 9⋅5⋅10³ C. 5⋅10^4 D. 4⋅10^5

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-26.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: B - \\(9 \\cdot 5 \\cdot 10^3\\)

\n
Uwaga: W bazie odpowiedź była błędnie zapisana jako C (\\(5\\cdot 10^4 = 50\\,000\\)). Poprawnie jest B (\\(9\\cdot 5\\cdot 10^3 = 45\\,000\\)) - odpowiedź C zawyża wynik, bo dopuszcza zero na pierwszej pozycji. Pełne uzasadnienie poniżej.
\n

Sposób 1 - Zasada mnożenia (cyfra po cyfrze)

\n

Budujemy liczbę pięciocyfrową parzysta, wybierając kolejno każdą cyfrę.

\n

Liczba pięciocyfrowa ma postać \\(\\overline{d_1 d_2 d_3 d_4 d_5}\\), gdzie:

\n\n

\\[d_1 \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\\} \\Rightarrow 9 \\text{ możliwości}\\]

\n\n

\\[d_2, d_3, d_4 \\in \\{0, 1, \\ldots, 9\\} \\Rightarrow 10 \\text{ możliwości każda}\\]

\n\n

\\[d_5 \\in \\{0, 2, 4, 6, 8\\} \\Rightarrow 5 \\text{ możliwości}\\]

\n

Na mocy zasady mnożenia:
\\[N = 9 \\cdot 10 \\cdot 10 \\cdot 10 \\cdot 5 = 9 \\cdot 5 \\cdot 10^3 = 45\\,000\\]

\n

Odpowiedź: \\(9 \\cdot 5 \\cdot 10^3 = 45\\,000\\)

\n

Sposób 2 - Połowa wszystkich liczb pięciocyfrowych

\n

Wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe to liczby od \\(10\\,000\\) do \\(99\\,999\\):
\\[N_{\\text{wszystkie}} = 99\\,999 - 10\\,000 + 1 = 90\\,000\\]

\n

Spośród dowolnych kolejnych liczb naturalnych dokładnie połowa jest parzysta:
\\[N_{\\text{parzyste}} = \\frac{90\\,000}{2} = 45\\,000\\]

\n

Wynik zgodny - \\(45\\,000 = 9 \\cdot 5 \\cdot 10^3\\).

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 13 (Kombinatoryka, s. 28) - zasada mnożenia (wariacje z powtórzeniami):
\\[n^k\\]
Użyliśmy zasady mnożenia: liczba sposobów wyboru \\(k\\) elementów niezależnie to iloczyn liczb możliwości na każdej pozycji.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Wartość | Typowy błąd |
| A | \\(9 \\cdot 2 \\cdot 10^3 = 18\\,000\\) | Policzono tylko 2 możliwości ostatniej cyfry (np. tylko \\(\\{0, 2\\}\\) lub pomylono z liczbami podzielnymi przez 4) |
| C | \\(5 \\cdot 10^4 = 50\\,000\\) | Dopuszczono \\(d_1 \\in \\{0,1,\\ldots,9\\}\\) - 10 możliwości zamiast 9, przez co do zbioru wliczono liczby zaczynające się od 0 (np. \\(02468\\), co nie jest liczbą pięciocyfrową) |
| D | \\(4 \\cdot 10^5 = 400\\,000\\) | Całkowicie błędny rząd wielkości - to ponad 4 razy więcej niż wszystkich liczb pięciocyfrowych |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Pierwsza cyfra liczby pięciocyfrowej nie może być 0! To redukuje liczbę wyborów z 10 do 9 i jest najczęstszym błędem w tym typie zadania - właśnie stąd bierze się błędna odpowiedź C.
\n
⚠️ Uwaga: "Parzysta" dotyczy tylko ostatniej cyfry - cyfry \\(d_1, d_2, d_3, d_4\\) mogą być parzyste lub nieparzyste bez ograniczeń.
\n
⚠️ Uwaga: Zasada mnożenia działa, gdy wybory na każdej pozycji są niezależne od siebie - tu tak jest, bo parzystość zależy wyłącznie od \\(d_5\\).
\n

Poprawna odpowiedź: B

\n
Sposób 1 - Reguła mnożenia
\n

Liczba pięciocyfrowa ma postać \\(\\overline{d_1 d_2 d_3 d_4 d_5}\\):

\n\n

Razem: \\(9\\cdot 10\\cdot 10\\cdot 10\\cdot 5 = 9\\cdot 5\\cdot 10^{3} = 45\\,000\\).

\n
Sposób 2 - Połowa wszystkich pięciocyfrowych
\n

Wszystkich pięciocyfrowych: \\(99999-10000+1 = 90000\\). Parzystych dokładnie połowa: \\(\\tfrac{90000}{2} = 45000 = 9\\cdot 5\\cdot 10^{3}\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: Pierwsza cyfra \\(\\neq 0\\); ostatnia cyfra parzysta wśród \\(\\{0,2,4,6,8\\}\\) - 5 możliwości.

"}]}