{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/27","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"27","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 27. (0-1)\nW pudełku znajdują się tylko kule białe i kule czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby\nkul czerwonych jest równy 3 ∶4. Wylosowanie każdej kuli z tego pudełka jest jednakowo\nprawdopodobne. Losujemy jedną kulę. Niech 𝐴 oznacza zdarzenie polegające na tym, że\nwylosowana z pudełka kula będzie biała. Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\nA. 1\n4\nB. 1\n3\nC. 3\n7\nD. 3\n4\nRozwiązanie zadania. W pudełku znajdują się tylko kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy 3:4. Wylosowanie każdej kuli z tego pudełka jest jednakowo prawdopodobne. Losujemy jedną kulę. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosowana z pudełka kula będzie biała. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe A. 1/4 B. 1/3 C. 3/7 D. 3/4","answer":"C","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{3}{7}\\)\n\n## Sposób 1 - Zamiana stosunku na ułamek\n\nStosunek liczby kul białych do czerwonych wynosi \\(3:4\\).\n\nOznacza to, że na każde \\(3\\) białe kule przypadają \\(4\\) czerwone, czyli łącznie:\n\\[3 + 4 = 7 \\text{ kul}\\]\n\nSpośród tych \\(7\\) kul - \\(3\\) są białe. Skoro każda kula jest jednakowo prawdopodobna do wylosowania, stosujemy definicję prawdopodobieństwa klasycznego:\n\n\\[P(A) = \\frac{\\text{liczba kul białych}}{\\text{liczba wszystkich kul}} = \\frac{3}{7}\\]\n\n**Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{3}{7}\\)**\n\n## Sposób 2 - Konkretna liczba kul (przykład)\n\nMożemy przyjąć konkretne liczby. Niech będzie \\(3k\\) kul białych i \\(4k\\) kul czerwonych dla dowolnego \\(k \\geq 1\\).\n\nWeźmy np. \\(k = 2\\):\n- kule białe: \\(3 \\cdot 2 = 6\\)\n- kule czerwone: \\(4 \\cdot 2 = 8\\)\n- wszystkich kul: \\(6 + 8 = 14\\)\n\n\\[P(A) = \\frac{6}{14} = \\frac{3}{7}\\]\n\nWynik jest taki sam niezależnie od \\(k\\) - stosunek się nie zmienia. **Zawsze wychodzi \\(\\dfrac{3}{7}\\).**\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\ngdzie \\(|A|\\) to liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \\(A\\), a \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.\n\nTutaj \\(|A| = 3\\) (kule białe), \\(|\\Omega| = 7\\) (wszystkie kule w minimalnym przykładzie).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A - \\(\\dfrac{1}{4}\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{1}{3+1}\\) - myli stosunek \\(3:4\\) z \\(1:3\\) albo bierze mianownik \\(4\\) bez sensu |\n| B - \\(\\dfrac{1}{3}\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{1}{3}\\) myśląc, że skoro są 3 białe to \\(P = \\frac{1}{3}\\) - zapomina, że mianownik to liczba WSZYSTKICH kul, nie tylko białych |\n| D - \\(\\dfrac{3}{4}\\) | Uczeń wpisuje wprost pierwszą liczbę ze stosunku nad drugą: \\(\\frac{3}{4}\\) - pomija, że mianownik to suma obu części (\\(3+4=7\\)) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek \\(3:4\\) to NIE jest ułamek \\(\\dfrac{3}{4}\\)! Żeby policzyć prawdopodobieństwo, trzeba zsumować obie części stosunku i wstawić je do mianownika: \\(3 + 4 = 7\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wynik nie zależy od konkretnej liczby kul - tylko od proporcji. Pudełko może mieć 7, 14, 21 kul - prawdopodobieństwo zawsze wynosi \\(\\dfrac{3}{7}\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Warunek „wylosowanie każdej kuli jest jednakowo prawdopodobne\" jest kluczowy - bez niego nie możemy stosować wzoru na prawdopodobieństwo klasyczne. Na maturze ten warunek jest często podany właśnie po to, żebyś wiedział, że możesz go stosować.\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (karta wzorów)\nNiech białych: \\(3k\\), czerwonych: \\(4k\\). Razem: \\(7k\\).\n\\(P(A) = \\dfrac{3k}{7k} = \\dfrac{3}{7}\\).\n\n### Sposób 2 - Podejście proporcji\nStosunek \\(3:4\\) oznacza, że na 7 kul 3 są białe, więc szansa wylosowania białej = \\(\\tfrac{3}{7}\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(\\tfrac{1}{4}\\)** - pomylono stosunek.\n- **B. \\(\\tfrac{1}{3}\\)** - stosunek białych do czerwonych jako szansa.\n- **D. \\(\\tfrac{3}{4}\\)** - stosunek białych do czerwonych a nie do wszystkich.\n\n**Trik:** Z \\(a:b\\) obliczamy \\(P = \\dfrac{a}{a+b}\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-27.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 27. (0-1)<br>W pudełku znajdują się tylko kule białe i kule czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby<br>kul czerwonych jest równy 3 ∶4. Wylosowanie każdej kuli z tego pudełka jest jednakowo<br>prawdopodobne. Losujemy jedną kulę. Niech 𝐴 oznacza zdarzenie polegające na tym, że<br>wylosowana z pudełka kula będzie biała. Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe<br>A. 1<br>4<br>B. 1<br>3<br>C. 3<br>7<br>D. 3<br>4<br>Rozwiązanie zadania. W pudełku znajdują się tylko kule białe i czerwone. Stosunek liczby kul białych do liczby kul czerwonych jest równy 3:4. Wylosowanie każdej kuli z tego pudełka jest jednakowo prawdopodobne. Losujemy jedną kulę. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że wylosowana z pudełka kula będzie biała. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest równe A. 1/4 B. 1/3 C. 3/7 D. 3/4</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-27.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(\\dfrac{3}{7}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Zamiana stosunku na ułamek</h4>\n<p>Stosunek liczby kul białych do czerwonych wynosi \\(3:4\\).</p>\n<p>Oznacza to, że na każde \\(3\\) białe kule przypadają \\(4\\) czerwone, czyli łącznie:<br>\\[3 + 4 = 7 \\text{ kul}\\]</p>\n<p>Spośród tych \\(7\\) kul - \\(3\\) są białe. Skoro każda kula jest jednakowo prawdopodobna do wylosowania, stosujemy definicję prawdopodobieństwa klasycznego:</p>\n<p>\\[P(A) = \\frac{\\text{liczba kul białych}}{\\text{liczba wszystkich kul}} = \\frac{3}{7}\\]</p>\n<p><strong>Odpowiedź: \\(P(A) = \\dfrac{3}{7}\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Konkretna liczba kul (przykład)</h4>\n<p>Możemy przyjąć konkretne liczby. Niech będzie \\(3k\\) kul białych i \\(4k\\) kul czerwonych dla dowolnego \\(k \\geq 1\\).</p>\n<p>Weźmy np. \\(k = 2\\):</p>\n<ul><li>kule białe: \\(3 \\cdot 2 = 6\\)</li><li>kule czerwone: \\(4 \\cdot 2 = 8\\)</li><li>wszystkich kul: \\(6 + 8 = 14\\)</li></ul>\n<p>\\[P(A) = \\frac{6}{14} = \\frac{3}{7}\\]</p>\n<p>Wynik jest taki sam niezależnie od \\(k\\) - stosunek się nie zmienia. <strong>Zawsze wychodzi \\(\\dfrac{3}{7}\\).</strong></p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29)</strong> - prawdopodobieństwo klasyczne:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]<br>gdzie \\(|A|\\) to liczba zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu \\(A\\), a \\(|\\Omega|\\) to liczba wszystkich zdarzeń elementarnych.</p>\n<p>Tutaj \\(|A| = 3\\) (kule białe), \\(|\\Omega| = 7\\) (wszystkie kule w minimalnym przykładzie).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A - \\(\\dfrac{1}{4}\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{1}{3+1}\\) - myli stosunek \\(3:4\\) z \\(1:3\\) albo bierze mianownik \\(4\\) bez sensu |<br>| B - \\(\\dfrac{1}{3}\\) | Uczeń liczy \\(\\frac{1}{3}\\) myśląc, że skoro są 3 białe to \\(P = \\frac{1}{3}\\) - zapomina, że mianownik to liczba WSZYSTKICH kul, nie tylko białych |<br>| D - \\(\\dfrac{3}{4}\\) | Uczeń wpisuje wprost pierwszą liczbę ze stosunku nad drugą: \\(\\frac{3}{4}\\) - pomija, że mianownik to suma obu części (\\(3+4=7\\)) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Stosunek \\(3:4\\) to NIE jest ułamek \\(\\dfrac{3}{4}\\)! Żeby policzyć prawdopodobieństwo, trzeba zsumować obie części stosunku i wstawić je do mianownika: \\(3 + 4 = 7\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Wynik nie zależy od konkretnej liczby kul - tylko od proporcji. Pudełko może mieć 7, 14, 21 kul - prawdopodobieństwo zawsze wynosi \\(\\dfrac{3}{7}\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Warunek „wylosowanie każdej kuli jest jednakowo prawdopodobne&quot; jest kluczowy - bez niego nie możemy stosować wzoru na prawdopodobieństwo klasyczne. Na maturze ten warunek jest często podany właśnie po to, żebyś wiedział, że możesz go stosować.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (karta wzorów)</h5>\n<p>Niech białych: \\(3k\\), czerwonych: \\(4k\\). Razem: \\(7k\\).<br>\\(P(A) = \\dfrac{3k}{7k} = \\dfrac{3}{7}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Podejście proporcji</h5>\n<p>Stosunek \\(3:4\\) oznacza, że na 7 kul 3 są białe, więc szansa wylosowania białej = \\(\\tfrac{3}{7}\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(\\tfrac{1}{4}\\)</strong> - pomylono stosunek.</li><li><strong>B. \\(\\tfrac{1}{3}\\)</strong> - stosunek białych do czerwonych jako szansa.</li><li><strong>D. \\(\\tfrac{3}{4}\\)</strong> - stosunek białych do czerwonych a nie do wszystkich.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Z \\(a:b\\) obliczamy \\(P = \\dfrac{a}{a+b}\\).</p>"}]}