{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/28","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"28","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 28. (0-1)\n艢rednia arytmetyczna pi臋ciu liczb: 5饾懃+ 6, 6饾懃+ 7, 7饾懃+ 8, 8饾懃+ 9, 9饾懃+ 10, jest r贸wna 8.\nWtedy 饾懃 jest r贸wne\nA. (-35)\nB. 0\nC. 0,35\nD. 35\n2\n2\n2\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwi膮zanie zadania. 艢rednia arytmetyczna pi臋ciu liczb: 5x+6, 6x+7, 7x+8, 8x+9, 9x+10, jest r贸wna 8. Wtedy x jest r贸wne A. (-35) B. 0 C. 0,35 D. 35","answer":"B","answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowied藕: B (\\(x = 0\\))\n\n## Spos贸b 1 - Wz贸r na 艣redni膮 arytmetyczn膮\n\n艢rednia arytmetyczna pi臋ciu liczb to suma wszystkich podzielona przez \\(5\\). Ustawiamy r贸wnanie:\n\n\\[\\frac{(5x+6) + (6x+7) + (7x+8) + (8x+9) + (9x+10)}{5} = 8\\]\n\n**Liczymy sum臋 w liczniku** - zbieramy osobno wyrazy z \\(x\\) i wyrazy wolne:\n\n\\[(5x + 6x + 7x + 8x + 9x) + (6 + 7 + 8 + 9 + 10)\\]\n\n\\[= 35x + 40\\]\n\nWstawiamy z powrotem:\n\n\\[\\frac{35x + 40}{5} = 8\\]\n\nMno偶ymy obie strony przez \\(5\\):\n\n\\[35x + 40 = 40\\]\n\nOdejmujemy \\(40\\) od obu stron:\n\n\\[35x = 0\\]\n\nDzielimy przez \\(35\\):\n\n\\[\\boxed{x = 0}\\]\n\n## Spos贸b 2 - Spostrze偶enie o strukturze ci膮gu\n\nZauwa偶my, 偶e pi臋膰 liczb: \\(5x+6,\\ 6x+7,\\ 7x+8,\\ 8x+9,\\ 9x+10\\) tworzy **ci膮g arytmetyczny** (ka偶dy kolejny wyraz jest o \\((x+1)\\) wi臋kszy od poprzedniego).\n\n**Dla ci膮gu arytmetycznego 艣rednia = wyraz 艣rodkowy** (trzeci z pi臋ciu).\n\nZatem:\n\\[\\text{wyraz 艣rodkowy} = 7x + 8 = 8\\]\n\n\\[7x = 0\\]\n\n\\[x = 0\\]\n\nTen spos贸b jest szybszy - nie trzeba liczy膰 pe艂nej sumy!\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dzia艂 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32)** - wz贸r na 艣redni膮 arytmetyczn膮:\n\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]\nU偶yli艣my tego w Sposobie 1 do ustawienia r贸wnania.\n\n**Dzia艂 8 (Ci膮gi, s. 9-10)** - w艂asno艣膰 ci膮gu arytmetycznego:\n\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]\nZ czego wynika, 偶e wyraz 艣rodkowy = 艣rednia ca艂ego ci膮gu arytmetycznego. U偶yli艣my tego w Sposobie 2.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne\n\n| Odp. | Typowy b艂膮d |\n| A: \\(-35\\) | Ucze艅 liczy \\(35x = -40\\) zamiast \\(35x = 40 - 40 = 0\\), prawdopodobnie przez b艂膮d znaku przy przenoszeniu \\(40\\) |\n| C: \\(0{,}35\\) | Ucze艅 dzieli \\(8\\) przez \\(\\frac{35}{5} = 7\\), czyli liczy \\(x = \\frac{8}{7 \\cdot \\ldots}\\) - myli si臋 przy upraszczaniu u艂amka |\n| D: \\(35\\) | Ucze艅 rozwi膮zuje \\(35x + 40 = 8 \\cdot 40\\) zamiast \\(8 \\cdot 5\\), lub pomija dzielenie przez \\(5\\) |\n\n## Typowe pu艂apki i uwaga\n\n> 鈿狅笍 **Uwaga:** Pami臋taj, 偶e dzielisz przez liczb臋 wyraz贸w (\\(5\\)), a nie przez sum臋 sam膮 w sobie. 艁atwo zapomnie膰 o tym kroku i por贸wnywa膰 sam膮 sum臋 do \\(8\\).\n\n> 鈿狅笍 **Uwaga:** Przy zbieraniu wyraz贸w podobnych najpierw policz osobno sum臋 wsp贸艂czynnik贸w przy \\(x\\) (\\(5+6+7+8+9 = 35\\)) i osobno sum臋 wyraz贸w wolnych (\\(6+7+8+9+10 = 40\\)). Robienie tego 鈥瀝azem w g艂owie\" to 藕r贸d艂o b艂臋d贸w.\n\n> 鈿狅笍 **Uwaga:** Wynik \\(x = 0\\) wygl膮da podejrzanie dla wielu uczni贸w - sprawd藕 go! Podstaw \\(x = 0\\): liczby to \\(6, 7, 8, 9, 10\\), ich 艣rednia to \\(\\frac{40}{5} = 8\\). Zgadza si臋!\n\n**Poprawna odpowied藕: B**\n\n### Spos贸b 1 - Definicja 艣redniej arytmetycznej (karta wzor贸w)\n\\(\\bar{x} = \\dfrac{(5x+6)+(6x+7)+(7x+8)+(8x+9)+(9x+10)}{5} = 8\\).\nSuma licznik贸w: \\((5+6+7+8+9)x + (6+7+8+9+10) = 35x + 40\\).\n\\(\\dfrac{35x+40}{5} = 8 \\Rightarrow 7x + 8 = 8 \\Rightarrow 7x = 0 \\Rightarrow x = 0\\).\n\n### Spos贸b 2 - R贸wnanie\n\\(35x + 40 = 40\\), st膮d \\(35x = 0\\) i \\(x = 0\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne\n- **A. \\(-35\\)** - b艂臋dne przeniesienie.\n- **C. \\(0{,}35\\)** - b艂膮d rachunkowy (podzielono \\(40/35\\) 藕le).\n- **D. \\(35\\)** - pomylono strony r贸wnania.\n\n**Trik:** 艢rednia z \\(n\\) liczb = \\(\\tfrac{\\text{suma}}{n}\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-28.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg","topics":"algebra","page_from":14,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka 路 Inne 路 sierpie艅 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 28. (0-1)
艢rednia arytmetyczna pi臋ciu liczb: 5饾懃+ 6, 6饾懃+ 7, 7饾懃+ 8, 8饾懃+ 9, 9饾懃+ 10, jest r贸wna 8.
Wtedy 饾懃 jest r贸wne
A. (-35)
B. 0
C. 0,35
D. 35
2
2
2

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100
Rozwi膮zanie zadania. 艢rednia arytmetyczna pi臋ciu liczb: 5x+6, 6x+7, 7x+8, 8x+9, 9x+10, jest r贸wna 8. Wtedy x jest r贸wne A. (-35) B. 0 C. 0,35 D. 35

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-28.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowied藕: B (\\(x = 0\\))

\n

Spos贸b 1 - Wz贸r na 艣redni膮 arytmetyczn膮

\n

艢rednia arytmetyczna pi臋ciu liczb to suma wszystkich podzielona przez \\(5\\). Ustawiamy r贸wnanie:

\n

\\[\\frac{(5x+6) + (6x+7) + (7x+8) + (8x+9) + (9x+10)}{5} = 8\\]

\n

Liczymy sum臋 w liczniku - zbieramy osobno wyrazy z \\(x\\) i wyrazy wolne:

\n

\\[(5x + 6x + 7x + 8x + 9x) + (6 + 7 + 8 + 9 + 10)\\]

\n

\\[= 35x + 40\\]

\n

Wstawiamy z powrotem:

\n

\\[\\frac{35x + 40}{5} = 8\\]

\n

Mno偶ymy obie strony przez \\(5\\):

\n

\\[35x + 40 = 40\\]

\n

Odejmujemy \\(40\\) od obu stron:

\n

\\[35x = 0\\]

\n

Dzielimy przez \\(35\\):

\n

\\[\\boxed{x = 0}\\]

\n

Spos贸b 2 - Spostrze偶enie o strukturze ci膮gu

\n

Zauwa偶my, 偶e pi臋膰 liczb: \\(5x+6,\\ 6x+7,\\ 7x+8,\\ 8x+9,\\ 9x+10\\) tworzy ci膮g arytmetyczny (ka偶dy kolejny wyraz jest o \\((x+1)\\) wi臋kszy od poprzedniego).

\n

Dla ci膮gu arytmetycznego 艣rednia = wyraz 艣rodkowy (trzeci z pi臋ciu).

\n

Zatem:
\\[\\text{wyraz 艣rodkowy} = 7x + 8 = 8\\]

\n

\\[7x = 0\\]

\n

\\[x = 0\\]

\n

Ten spos贸b jest szybszy - nie trzeba liczy膰 pe艂nej sumy!

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dzia艂 15 (Parametry danych statystycznych, s. 31-32) - wz贸r na 艣redni膮 arytmetyczn膮:
\\[\\bar{a} = \\frac{a_1 + a_2 + \\ldots + a_n}{n}\\]
U偶yli艣my tego w Sposobie 1 do ustawienia r贸wnania.

\n

Dzia艂 8 (Ci膮gi, s. 9-10) - w艂asno艣膰 ci膮gu arytmetycznego:
\\[a_n = \\frac{a_{n-1} + a_{n+1}}{2}\\]
Z czego wynika, 偶e wyraz 艣rodkowy = 艣rednia ca艂ego ci膮gu arytmetycznego. U偶yli艣my tego w Sposobie 2.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne

\n

| Odp. | Typowy b艂膮d |
| A: \\(-35\\) | Ucze艅 liczy \\(35x = -40\\) zamiast \\(35x = 40 - 40 = 0\\), prawdopodobnie przez b艂膮d znaku przy przenoszeniu \\(40\\) |
| C: \\(0{,}35\\) | Ucze艅 dzieli \\(8\\) przez \\(\\frac{35}{5} = 7\\), czyli liczy \\(x = \\frac{8}{7 \\cdot \\ldots}\\) - myli si臋 przy upraszczaniu u艂amka |
| D: \\(35\\) | Ucze艅 rozwi膮zuje \\(35x + 40 = 8 \\cdot 40\\) zamiast \\(8 \\cdot 5\\), lub pomija dzielenie przez \\(5\\) |

\n

Typowe pu艂apki i uwaga

\n
鈿狅笍 Uwaga: Pami臋taj, 偶e dzielisz przez liczb臋 wyraz贸w (\\(5\\)), a nie przez sum臋 sam膮 w sobie. 艁atwo zapomnie膰 o tym kroku i por贸wnywa膰 sam膮 sum臋 do \\(8\\).
\n
鈿狅笍 Uwaga: Przy zbieraniu wyraz贸w podobnych najpierw policz osobno sum臋 wsp贸艂czynnik贸w przy \\(x\\) (\\(5+6+7+8+9 = 35\\)) i osobno sum臋 wyraz贸w wolnych (\\(6+7+8+9+10 = 40\\)). Robienie tego 鈥瀝azem w g艂owie" to 藕r贸d艂o b艂臋d贸w.
\n
鈿狅笍 Uwaga: Wynik \\(x = 0\\) wygl膮da podejrzanie dla wielu uczni贸w - sprawd藕 go! Podstaw \\(x = 0\\): liczby to \\(6, 7, 8, 9, 10\\), ich 艣rednia to \\(\\frac{40}{5} = 8\\). Zgadza si臋!
\n

Poprawna odpowied藕: B

\n
Spos贸b 1 - Definicja 艣redniej arytmetycznej (karta wzor贸w)
\n

\\(\\bar{x} = \\dfrac{(5x+6)+(6x+7)+(7x+8)+(8x+9)+(9x+10)}{5} = 8\\).
Suma licznik贸w: \\((5+6+7+8+9)x + (6+7+8+9+10) = 35x + 40\\).
\\(\\dfrac{35x+40}{5} = 8 \\Rightarrow 7x + 8 = 8 \\Rightarrow 7x = 0 \\Rightarrow x = 0\\).

\n
Spos贸b 2 - R贸wnanie
\n

\\(35x + 40 = 40\\), st膮d \\(35x = 0\\) i \\(x = 0\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi s膮 b艂臋dne
\n\n

Trik: 艢rednia z \\(n\\) liczb = \\(\\tfrac{\\text{suma}}{n}\\).

"}]}