{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/29","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"29","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 29. (0-2)\nRozwiąż nierówność:\n𝑥2 -5 ≥4𝑥\nOdpowiedź:\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż nierówność: x² - 5 ≥ 4x","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\)\n\n## Sposób 1 - Przekształcenie do postaci standardowej i analiza paraboli\n\n**Przenosimy wszystko na lewą stronę:**\n\n\\[x^2 - 5 \\geq 4x\\]\n\\[x^2 - 4x - 5 \\geq 0\\]\n\n**Szukamy miejsc zerowych trójmianu** \\(f(x) = x^2 - 4x - 5\\):\n\n\\[\\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-5) = 16 + 20 = 36\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = 6\\]\n\\[x_1 = \\frac{4 - 6}{2} = \\frac{-2}{2} = -1, \\qquad x_2 = \\frac{4 + 6}{2} = \\frac{10}{2} = 5\\]\n\n**Analiza znaku paraboli:**\n\nWspółczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami **w górę** - trójmian jest nieujemny na zewnątrz miejsc zerowych.\n\n\\[f(x) \\geq 0 \\iff x \\leq -1 \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 5\\]\n\n**Odpowiedź:**\n\\[\\boxed{x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)}\\]\n\n## Sposób 2 - Rozkład na czynniki (faktoryzacja)\n\nZamiast liczyć deltę, rozkładamy trójmian \\(x^2 - 4x - 5\\) na czynniki z głowy.\n\nSzukamy dwóch liczb, których **iloczyn = -5** i **suma = -4**:\n- \\((-5) \\cdot 1 = -5\\) ✓ i \\((-5) + 1 = -4\\) ✓\n\nZatem:\n\\[x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5)\\]\n\nNierówność przyjmuje postać:\n\\[(x + 1)(x - 5) \\geq 0\\]\n\n**Analiza znaku iloczynu** - czynniki zmieniają znak w punktach \\(x = -1\\) i \\(x = 5\\):\n\n| Przedział | \\((x+1)\\) | \\((x-5)\\) | Iloczyn |\n| \\(x < -1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |\n| \\(x = -1\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(-1 < x < 5\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |\n| \\(x = 5\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |\n| \\(x > 5\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |\n\nIloczyn jest nieujemny (≥ 0) dla \\(x \\leq -1\\) lub \\(x \\geq 5\\).\n\n**Odpowiedź:**\n\\[x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia miejsc zerowych \\(x_1 = -1\\), \\(x_2 = 5\\).\n\n**Dział 7 (s. 7-8)** - zachowanie trójmianu względem osi \\(OX\\):\n- \\(a > 0\\) → parabola skierowana w górę → \\(f(x) \\geq 0\\) na zewnątrz pierwiastków.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij przenieść \\(4x\\) na lewą stronę przed szukaniem pierwiastków! Liczyć deltę dla \\(x^2 - 5 \\geq 4x\\) bez przekształcenia - to przepis na błąd (\\(b = 0\\) zamiast \\(b = -4\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nierówność \\(\\geq 0\\) oznacza, że **punkty** \\(x = -1\\) i \\(x = 5\\) **należą do rozwiązania** - końce przedziałów są domknięte \\(\\langle\\rangle\\), nie otwarte.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Gdyby \\(a < 0\\) (parabola w dół), rozwiązanie byłoby odcinkiem między pierwiastkami - tu \\(a = 1 > 0\\), więc rozwiązaniem jest „zewnątrz\", nie „wewnątrz\". To częste źródło pomyłki przy nierównościach kwadratowych!\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\)\n\n### Sposób 1 - Wyróżnik (karta wzorów)\nPrzenosimy: \\(x^{2} - 4x - 5 \\geq 0\\).\nWyróżnik: \\(\\Delta = (-4)^{2} - 4\\cdot 1\\cdot(-5) = 16 + 20 = 36\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 6\\).\nPierwiastki: \\(x_{1} = \\dfrac{4-6}{2} = -1\\), \\(x_{2} = \\dfrac{4+6}{2} = 5\\).\nParabola o \\(a=1>0\\) - ramiona w górę. Nierówność \\(\\geq 0\\) spełniona poza przedziałem \\((-1, 5)\\).\nRozwiązanie: \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\).\n\n### Sposób 2 - Wzory Viète'a\n\\(x_{1}\\cdot x_{2} = -5\\), \\(x_{1}+x_{2} = 4\\), stąd \\(x_{1}=-1\\), \\(x_{2}=5\\). Dalej jak wyżej.\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - obliczenie pierwiastków \\(x_{1}=-1\\), \\(x_{2}=5\\).\n- **2 pkt** - podanie pełnego zbioru rozwiązań \\((-\\infty,-1\\rangle\\cup\\langle 5,+\\infty)\\) lub w postaci graficznej z poprawnymi końcami.\n\n**Trik:** Dla \\(ax^{2}+bx+c \\geq 0\\) z \\(a>0\\) i dwoma pierwiastkami: rozwiązanie „na zewnątrz” pierwiastków (\\(\\leq x_{1}\\) lub \\(\\geq x_{2}\\)).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-29.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":16,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 29. (0-2)
Rozwiąż nierówność:
𝑥2 -5 ≥4𝑥
Odpowiedź:

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Rozwiąż nierówność: x² - 5 ≥ 4x

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-29.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\)

\n

Sposób 1 - Przekształcenie do postaci standardowej i analiza paraboli

\n

Przenosimy wszystko na lewą stronę:

\n

\\[x^2 - 5 \\geq 4x\\]
\\[x^2 - 4x - 5 \\geq 0\\]

\n

Szukamy miejsc zerowych trójmianu \\(f(x) = x^2 - 4x - 5\\):

\n

\\[\\Delta = (-4)^2 - 4 \\cdot 1 \\cdot (-5) = 16 + 20 = 36\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = 6\\]
\\[x_1 = \\frac{4 - 6}{2} = \\frac{-2}{2} = -1, \\qquad x_2 = \\frac{4 + 6}{2} = \\frac{10}{2} = 5\\]

\n

Analiza znaku paraboli:

\n

Współczynnik \\(a = 1 > 0\\), więc parabola jest skierowana ramionami w górę - trójmian jest nieujemny na zewnątrz miejsc zerowych.

\n

\\[f(x) \\geq 0 \\iff x \\leq -1 \\quad \\text{lub} \\quad x \\geq 5\\]

\n

Odpowiedź:
\\[\\boxed{x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)}\\]

\n

Sposób 2 - Rozkład na czynniki (faktoryzacja)

\n

Zamiast liczyć deltę, rozkładamy trójmian \\(x^2 - 4x - 5\\) na czynniki z głowy.

\n

Szukamy dwóch liczb, których iloczyn = -5 i suma = -4:

\n\n

Zatem:
\\[x^2 - 4x - 5 = (x + 1)(x - 5)\\]

\n

Nierówność przyjmuje postać:
\\[(x + 1)(x - 5) \\geq 0\\]

\n

Analiza znaku iloczynu - czynniki zmieniają znak w punktach \\(x = -1\\) i \\(x = 5\\):

\n

| Przedział | \\((x+1)\\) | \\((x-5)\\) | Iloczyn |
| \\(x < -1\\) | \\(-\\) | \\(-\\) | \\(+\\) ✓ |
| \\(x = -1\\) | \\(0\\) | \\(-\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(-1 < x < 5\\) | \\(+\\) | \\(-\\) | \\(-\\) ✗ |
| \\(x = 5\\) | \\(+\\) | \\(0\\) | \\(0\\) ✓ |
| \\(x > 5\\) | \\(+\\) | \\(+\\) | \\(+\\) ✓ |

\n

Iloczyn jest nieujemny (≥ 0) dla \\(x \\leq -1\\) lub \\(x \\geq 5\\).

\n

Odpowiedź:
\\[x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i pierwiastki:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac, \\qquad x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do wyznaczenia miejsc zerowych \\(x_1 = -1\\), \\(x_2 = 5\\).

\n

Dział 7 (s. 7-8) - zachowanie trójmianu względem osi \\(OX\\):

\n\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij przenieść \\(4x\\) na lewą stronę przed szukaniem pierwiastków! Liczyć deltę dla \\(x^2 - 5 \\geq 4x\\) bez przekształcenia - to przepis na błąd (\\(b = 0\\) zamiast \\(b = -4\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Nierówność \\(\\geq 0\\) oznacza, że punkty \\(x = -1\\) i \\(x = 5\\) należą do rozwiązania - końce przedziałów są domknięte \\(\\langle\\rangle\\), nie otwarte.
\n
⚠️ Uwaga: Gdyby \\(a < 0\\) (parabola w dół), rozwiązanie byłoby odcinkiem między pierwiastkami - tu \\(a = 1 > 0\\), więc rozwiązaniem jest „zewnątrz", nie „wewnątrz". To częste źródło pomyłki przy nierównościach kwadratowych!
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\)

\n
Sposób 1 - Wyróżnik (karta wzorów)
\n

Przenosimy: \\(x^{2} - 4x - 5 \\geq 0\\).
Wyróżnik: \\(\\Delta = (-4)^{2} - 4\\cdot 1\\cdot(-5) = 16 + 20 = 36\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 6\\).
Pierwiastki: \\(x_{1} = \\dfrac{4-6}{2} = -1\\), \\(x_{2} = \\dfrac{4+6}{2} = 5\\).
Parabola o \\(a=1>0\\) - ramiona w górę. Nierówność \\(\\geq 0\\) spełniona poza przedziałem \\((-1, 5)\\).
Rozwiązanie: \\(x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)\\).

\n
Sposób 2 - Wzory Viète'a
\n

\\(x_{1}\\cdot x_{2} = -5\\), \\(x_{1}+x_{2} = 4\\), stąd \\(x_{1}=-1\\), \\(x_{2}=5\\). Dalej jak wyżej.

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: Dla \\(ax^{2}+bx+c \\geq 0\\) z \\(a>0\\) i dwoma pierwiastkami: rozwiązanie „na zewnątrz” pierwiastków (\\(\\leq x_{1}\\) lub \\(\\geq x_{2}\\)).

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x \\in (-\\infty, -1\\rangle \\cup \\langle 5, +\\infty)$

"}]}