{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/30","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"30","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 30. (0-2)\nRozwiąż równanie:\n𝑥+ 8\n𝑥-7 = 2𝑥\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n29.\n30.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Rozwiąż równanie: x+8 / x-7 = 2x","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x_1 = -\\dfrac{1}{2},\\quad x_2 = 8\\)\n\n## Sposób 1 - Sprowadzenie do równania kwadratowego\n\n**Krok 1: Wyznacz dziedzinę.**\n\nMianownik nie może być zerem:\n\\[x - 7 \\neq 0 \\implies x \\neq 7\\]\n\n**Krok 2: Pomnóż obie strony przez \\((x-7)\\).**\n\nPonieważ \\(x \\neq 7\\), możemy bezpiecznie mnożyć:\n\\[x + 8 = 2x(x - 7)\\]\n\n**Krok 3: Rozwiń prawą stronę.**\n\\[x + 8 = 2x^2 - 14x\\]\n\n**Krok 4: Przenieś wszystko na jedną stronę.**\n\\[0 = 2x^2 - 14x - x - 8\\]\n\\[2x^2 - 15x - 8 = 0\\]\n\n**Krok 5: Oblicz wyróżnik.**\n\\[\\Delta = (-15)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-8) = 225 + 64 = 289\\]\n\\[\\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{289} = 17\\]\n\n**Krok 6: Wyznacz pierwiastki.**\n\\[x_1 = \\frac{15 - 17}{2 \\cdot 2} = \\frac{-2}{4} = -\\frac{1}{2}\\]\n\\[x_2 = \\frac{15 + 17}{2 \\cdot 2} = \\frac{32}{4} = 8\\]\n\n**Krok 7: Sprawdź dziedzinę.**\n\nAni \\(x = -\\frac{1}{2}\\), ani \\(x = 8\\) nie są równe \\(7\\) - oba należą do dziedziny.\n\n**Odpowiedź: \\(x = -\\dfrac{1}{2}\\) lub \\(x = 8\\)**\n\n## Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie\n\nSprawdzamy oba wyniki w oryginalnym równaniu \\(\\dfrac{x+8}{x-7} = 2x\\):\n\n**Dla \\(x_1 = -\\dfrac{1}{2}\\):**\n\\[\\text{Lewa strona: } \\frac{-\\frac{1}{2} + 8}{-\\frac{1}{2} - 7} = \\frac{\\frac{15}{2}}{-\\frac{15}{2}} = -1\\]\n\\[\\text{Prawa strona: } 2 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = -1 \\quad \\checkmark\\]\n\n**Dla \\(x_2 = 8\\):**\n\\[\\text{Lewa strona: } \\frac{8 + 8}{8 - 7} = \\frac{16}{1} = 16\\]\n\\[\\text{Prawa strona: } 2 \\cdot 8 = 16 \\quad \\checkmark\\]\n\nOba wyniki są poprawne.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9)** - wyróżnik i wzory na pierwiastki:\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\n\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]\n\nUżyliśmy tych wzorów w Kroku 5-6, gdy po przekształceniu dostaliśmy równanie kwadratowe \\(2x^2 - 15x - 8 = 0\\) (tu: \\(a = 2, b = -15, c = -8\\)).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zapominanie o dziedzinie - jeśli po rozwiązaniu kwadratowego wyszłoby \\(x = 7\\), trzeba by je **odrzucić** (mianownik zeruje się). Zawsze sprawdzaj dziedzinę na końcu!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Często uczniowie mnożą obie strony przez \\((x-7)\\) i pomijają rozwinięcie \\(2x(x-7)\\), pisząc błędnie \\(2x - 14\\) zamiast \\(2x^2 - 14x\\). Prawa strona to \\(2x \\cdot (x-7)\\), nie \\(2 \\cdot (x-7)\\)!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy przenoszeniu wyrazów pilnuj znaków - łatwo pomylić się przy \\(-14x - x\\), co daje \\(-15x\\), a nie \\(-13x\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = -\\dfrac{1}{2}\\) lub \\(x = 8\\).\n\n### Sposób 1 - Równanie wymierne → kwadratowe (karta wzorów)\nZałożenie: \\(x \\neq 7\\).\nMnożymy stronami przez \\(x-7\\):\n\\(x + 8 = 2x(x-7)\\)\n\\(x + 8 = 2x^{2} - 14x\\)\n\\(2x^{2} - 15x - 8 = 0\\)\nWyróżnik: \\(\\Delta = 225 + 64 = 289\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 17\\).\n\\(x_{1} = \\dfrac{15-17}{4} = -\\dfrac{1}{2}\\), \\(x_{2} = \\dfrac{15+17}{4} = 8\\).\nOba różne od 7, więc obie wartości są rozwiązaniami.\n\n### Sposób 2 - Sprawdzenie\nDla \\(x=-\\tfrac{1}{2}\\): \\(\\dfrac{-\\tfrac{1}{2}+8}{-\\tfrac{1}{2}-7} = \\dfrac{\\tfrac{15}{2}}{-\\tfrac{15}{2}} = -1\\), a \\(2\\cdot(-\\tfrac{1}{2}) = -1\\). ✓\nDla \\(x=8\\): \\(\\dfrac{16}{1} = 16\\), a \\(2\\cdot 8 = 16\\). ✓\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - poprawne przekształcenie do równania kwadratowego, np. \\(x+8 = 2x(x-7)\\).\n- **2 pkt** - uzyskanie obu rozwiązań \\(x=-\\tfrac{1}{2}\\) lub \\(x=8\\).\n- Uwaga: można otrzymać 2 pkt nawet bez zapisu zastrzeżenia \\(x\\neq 7\\).\n\n**Trik:** W równaniu wymiernym: dziedzina → pomnożenie stronami → równanie wielomianowe.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-30.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":17,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 30. (0-2)
Rozwiąż równanie:
𝑥+ 8
𝑥-7 = 2𝑥
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
29.
30.
Maks. liczba pkt
2
2
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Rozwiąż równanie: x+8 / x-7 = 2x

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-30.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x_1 = -\\dfrac{1}{2},\\quad x_2 = 8\\)

\n

Sposób 1 - Sprowadzenie do równania kwadratowego

\n

Krok 1: Wyznacz dziedzinę.

\n

Mianownik nie może być zerem:
\\[x - 7 \\neq 0 \\implies x \\neq 7\\]

\n

Krok 2: Pomnóż obie strony przez \\((x-7)\\).

\n

Ponieważ \\(x \\neq 7\\), możemy bezpiecznie mnożyć:
\\[x + 8 = 2x(x - 7)\\]

\n

Krok 3: Rozwiń prawą stronę.
\\[x + 8 = 2x^2 - 14x\\]

\n

Krok 4: Przenieś wszystko na jedną stronę.
\\[0 = 2x^2 - 14x - x - 8\\]
\\[2x^2 - 15x - 8 = 0\\]

\n

Krok 5: Oblicz wyróżnik.
\\[\\Delta = (-15)^2 - 4 \\cdot 2 \\cdot (-8) = 225 + 64 = 289\\]
\\[\\sqrt{\\Delta} = \\sqrt{289} = 17\\]

\n

Krok 6: Wyznacz pierwiastki.
\\[x_1 = \\frac{15 - 17}{2 \\cdot 2} = \\frac{-2}{4} = -\\frac{1}{2}\\]
\\[x_2 = \\frac{15 + 17}{2 \\cdot 2} = \\frac{32}{4} = 8\\]

\n

Krok 7: Sprawdź dziedzinę.

\n

Ani \\(x = -\\frac{1}{2}\\), ani \\(x = 8\\) nie są równe \\(7\\) - oba należą do dziedziny.

\n

Odpowiedź: \\(x = -\\dfrac{1}{2}\\) lub \\(x = 8\\)

\n

Sposób 2 - Weryfikacja przez podstawienie

\n

Sprawdzamy oba wyniki w oryginalnym równaniu \\(\\dfrac{x+8}{x-7} = 2x\\):

\n

Dla \\(x_1 = -\\dfrac{1}{2}\\):
\\[\\text{Lewa strona: } \\frac{-\\frac{1}{2} + 8}{-\\frac{1}{2} - 7} = \\frac{\\frac{15}{2}}{-\\frac{15}{2}} = -1\\]
\\[\\text{Prawa strona: } 2 \\cdot \\left(-\\frac{1}{2}\\right) = -1 \\quad \\checkmark\\]

\n

Dla \\(x_2 = 8\\):
\\[\\text{Lewa strona: } \\frac{8 + 8}{8 - 7} = \\frac{16}{1} = 16\\]
\\[\\text{Prawa strona: } 2 \\cdot 8 = 16 \\quad \\checkmark\\]

\n

Oba wyniki są poprawne.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9) - wyróżnik i wzory na pierwiastki:
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
\\[x_{1,2} = \\frac{-b \\pm \\sqrt{\\Delta}}{2a}\\]

\n

Użyliśmy tych wzorów w Kroku 5-6, gdy po przekształceniu dostaliśmy równanie kwadratowe \\(2x^2 - 15x - 8 = 0\\) (tu: \\(a = 2, b = -15, c = -8\\)).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Zapominanie o dziedzinie - jeśli po rozwiązaniu kwadratowego wyszłoby \\(x = 7\\), trzeba by je odrzucić (mianownik zeruje się). Zawsze sprawdzaj dziedzinę na końcu!
\n
⚠️ Uwaga: Często uczniowie mnożą obie strony przez \\((x-7)\\) i pomijają rozwinięcie \\(2x(x-7)\\), pisząc błędnie \\(2x - 14\\) zamiast \\(2x^2 - 14x\\). Prawa strona to \\(2x \\cdot (x-7)\\), nie \\(2 \\cdot (x-7)\\)!
\n
⚠️ Uwaga: Przy przenoszeniu wyrazów pilnuj znaków - łatwo pomylić się przy \\(-14x - x\\), co daje \\(-15x\\), a nie \\(-13x\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x = -\\dfrac{1}{2}\\) lub \\(x = 8\\).

\n
Sposób 1 - Równanie wymierne → kwadratowe (karta wzorów)
\n

Założenie: \\(x \\neq 7\\).
Mnożymy stronami przez \\(x-7\\):
\\(x + 8 = 2x(x-7)\\)
\\(x + 8 = 2x^{2} - 14x\\)
\\(2x^{2} - 15x - 8 = 0\\)
Wyróżnik: \\(\\Delta = 225 + 64 = 289\\), \\(\\sqrt{\\Delta} = 17\\).
\\(x_{1} = \\dfrac{15-17}{4} = -\\dfrac{1}{2}\\), \\(x_{2} = \\dfrac{15+17}{4} = 8\\).
Oba różne od 7, więc obie wartości są rozwiązaniami.

\n
Sposób 2 - Sprawdzenie
\n

Dla \\(x=-\\tfrac{1}{2}\\): \\(\\dfrac{-\\tfrac{1}{2}+8}{-\\tfrac{1}{2}-7} = \\dfrac{\\tfrac{15}{2}}{-\\tfrac{15}{2}} = -1\\), a \\(2\\cdot(-\\tfrac{1}{2}) = -1\\). ✓
Dla \\(x=8\\): \\(\\dfrac{16}{1} = 16\\), a \\(2\\cdot 8 = 16\\). ✓

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: W równaniu wymiernym: dziedzina → pomnożenie stronami → równanie wielomianowe.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = -\\dfrac{1}{2}$ lub $x = 8$

"}]}