{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/31","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"31","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 31. (0-2)\nWykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i każdej liczby rzeczywistej 𝑏 spełniona jest\nnierówność\n𝑏(5𝑏-4𝑎) + 𝑎2 ≥0\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b spełniona jest nierówność b(5b-4a) + a² ≥ 0.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\)\n\n*(Zadanie otwarte - wymagany pełny dowód)*\n\n## Sposób 1 - Suma kwadratów (rozkład)\n\n**Przekształcamy lewą stronę:**\n\n\\[b(5b-4a) + a^2 = 5b^2 - 4ab + a^2\\]\n\n**Kluczowa obserwacja:** spróbujmy zapisać ten wielomian jako sumę kwadratów.\n\nZauważamy, że:\n\\[(2b - a)^2 = 4b^2 - 4ab + a^2\\]\n\nZatem:\n\\[5b^2 - 4ab + a^2 = 4b^2 - 4ab + a^2 + b^2 = (2b-a)^2 + b^2\\]\n\n**Sprawdzenie rozkładu:**\n\\[(2b-a)^2 + b^2 = 4b^2 - 4ab + a^2 + b^2 = 5b^2 - 4ab + a^2 \\checkmark\\]\n\nPonieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny:\n\\[(2b-a)^2 \\geq 0 \\quad \\text{oraz} \\quad b^2 \\geq 0\\]\n\nstąd dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\):\n\\[b(5b-4a) + a^2 = \\underbrace{(2b-a)^2}_{\\geq\\, 0} + \\underbrace{b^2}_{\\geq\\, 0} \\geq 0\\]\n\n**Co kończy dowód.** \\(\\blacksquare\\)\n\nRówność zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy obie składowe są równe zero jednocześnie:\n\\[b^2 = 0 \\implies b = 0, \\qquad (2b-a)^2 = 0 \\implies a = 2b = 0\\]\n\nczyli wyłącznie dla \\(a = 0, b = 0\\).\n\n## Sposób 2 - Wyróżnik trójmianu kwadratowego\n\nTraktujemy wyrażenie \\(5b^2 - 4ab + a^2\\) jako **trójmian kwadratowy w zmiennej \\(b\\)** (gdzie \\(a\\) jest parametrem):\n\\[f(b) = 5b^2 - 4ab + a^2\\]\n\nWspółczynniki: \\(\\, A = 5,\\; B = -4a,\\; C = a^2\\).\n\nObliczamy wyróżnik:\n\\[\\Delta = B^2 - 4AC = (-4a)^2 - 4 \\cdot 5 \\cdot a^2 = 16a^2 - 20a^2 = -4a^2\\]\n\nAnalizujemy przypadki:\n\n- Gdy \\(a = 0\\): \\(\\Delta = 0\\), więc \\(f(b) = 5b^2 \\geq 0\\) ✓\n- Gdy \\(a \\neq 0\\): \\(\\Delta = -4a^2 < 0\\)\n\nPonieważ współczynnik przy \\(b^2\\) wynosi \\(A = 5 > 0\\), a \\(\\Delta \\leq 0\\), **trójmian nie ma miejsc zerowych** (lub ma jedno, gdy \\(a=0,\\,b=0\\)) i jego ramiona są skierowane ku górze.\n\nZatem:\n\\[f(b) = 5b^2 - 4ab + a^2 \\geq 0 \\quad \\text{dla wszystkich } a, b \\in \\mathbb{R}\\]\n\nCo dowodzi nierówności. \\(\\blacksquare\\)\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):**\n\\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 do rozwinięcia \\((2b-a)^2 = 4b^2 - 4ab + a^2\\).\n\n**Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):**\n\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 - obliczenie wyróżnika trójmianu \\(f(b) = 5b^2 - 4ab + a^2\\) i wniosek o znaku funkcji kwadratowej.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie wystarczy sprawdzić kilku konkretnych wartości \\(a\\) i \\(b\\) - to **nie jest dowód**. Dowód musi obejmować **wszystkie** liczby rzeczywiste.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W Sposobie 2 pamiętaj, że wniosek „funkcja kwadratowa o ujemnym wyróżniku jest stale dodatnia\" wymaga jeszcze sprawdzenia, że **współczynnik wiodący jest dodatni** (\\(A = 5 > 0\\)). Gdyby \\(A < 0\\), funkcja byłaby stale ujemna.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Rozkład na sumę kwadratów (Sposób 1) jest najelegantniejszy i najbardziej „maturalny\" - egzaminatorzy cenią tę metodę za czytelność. Nie trzeba znać z góry postaci \\((2b-a)^2 + b^2\\) - można dojść do niej metodą prób lub przez uzupełnienie do pełnego kwadratu.\n\n**Poprawna odpowiedź:** Dowód - pełny.\n\n### Sposób 1 - Sprowadzenie do sumy kwadratów (karta wzorów)\nPrzekształcamy lewą stronę:\n\\(b(5b-4a) + a^{2} = 5b^{2} - 4ab + a^{2}\\).\nRozdzielamy: \\(5b^{2} = b^{2} + 4b^{2}\\).\n\\(b^{2} + 4b^{2} - 4ab + a^{2} = b^{2} + (2b-a)^{2}\\).\nPonieważ \\(b^{2} \\geq 0\\) oraz \\((2b-a)^{2} \\geq 0\\) dla każdych rzeczywistych \\(a,b\\), ich suma jest nieujemna:\n\\(b^{2} + (2b-a)^{2} \\geq 0\\), co kończy dowód.\n\n### Sposób 2 - Przez wyróżnik trójmianu\nTraktujemy \\(f(b) = 5b^{2} - 4ab + a^{2}\\) jako trójmian zmiennej \\(b\\) z parametrem \\(a\\).\nWyróżnik: \\(\\Delta_{b} = (-4a)^{2} - 4\\cdot 5\\cdot a^{2} = 16a^{2} - 20a^{2} = -4a^{2} \\leq 0\\).\nPonieważ \\(\\Delta_{b} \\leq 0\\) i współczynnik przy \\(b^{2}\\) jest dodatni (\\(5>0\\)), trójmian nie przyjmuje wartości ujemnych: \\(f(b) \\geq 0\\) dla każdego \\(b\\) (i każdego \\(a\\)). CBDO.\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - przekształcenie do sumy kwadratów \\(b^{2}+(2b-a)^{2}\\) lub obliczenie wyróżnika.\n- **2 pkt** - pełne rozumowanie z wnioskiem.\n\n**Trik:** Suma kwadratów zawsze \\(\\geq 0\\); wyróżnik \\(\\leq 0\\) trójmianu z \\(a>0\\) oznacza brak wartości ujemnych.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-31.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg","topics":"algebra","page_from":18,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 31. (0-2)
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej 𝑎 i każdej liczby rzeczywistej 𝑏 spełniona jest
nierówność
𝑏(5𝑏-4𝑎) + 𝑎2 ≥0

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej a i każdej liczby rzeczywistej b spełniona jest nierówność b(5b-4a) + a² ≥ 0.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-31.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\)

\n

(Zadanie otwarte - wymagany pełny dowód)

\n

Sposób 1 - Suma kwadratów (rozkład)

\n

Przekształcamy lewą stronę:

\n

\\[b(5b-4a) + a^2 = 5b^2 - 4ab + a^2\\]

\n

Kluczowa obserwacja: spróbujmy zapisać ten wielomian jako sumę kwadratów.

\n

Zauważamy, że:
\\[(2b - a)^2 = 4b^2 - 4ab + a^2\\]

\n

Zatem:
\\[5b^2 - 4ab + a^2 = 4b^2 - 4ab + a^2 + b^2 = (2b-a)^2 + b^2\\]

\n

Sprawdzenie rozkładu:
\\[(2b-a)^2 + b^2 = 4b^2 - 4ab + a^2 + b^2 = 5b^2 - 4ab + a^2 \\checkmark\\]

\n

Ponieważ kwadrat dowolnej liczby rzeczywistej jest nieujemny:
\\[(2b-a)^2 \\geq 0 \\quad \\text{oraz} \\quad b^2 \\geq 0\\]

\n

stąd dla wszystkich \\(a, b \\in \\mathbb{R}\\):
\\[b(5b-4a) + a^2 = \\underbrace{(2b-a)^2}{\\geq\\, 0} + \\underbrace{b^2}{\\geq\\, 0} \\geq 0\\]

\n

Co kończy dowód. \\(\\blacksquare\\)

\n

Równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy obie składowe są równe zero jednocześnie:
\\[b^2 = 0 \\implies b = 0, \\qquad (2b-a)^2 = 0 \\implies a = 2b = 0\\]

\n

czyli wyłącznie dla \\(a = 0, b = 0\\).

\n

Sposób 2 - Wyróżnik trójmianu kwadratowego

\n

Traktujemy wyrażenie \\(5b^2 - 4ab + a^2\\) jako trójmian kwadratowy w zmiennej \\(b\\) (gdzie \\(a\\) jest parametrem):
\\[f(b) = 5b^2 - 4ab + a^2\\]

\n

Współczynniki: \\(\\, A = 5,\\; B = -4a,\\; C = a^2\\).

\n

Obliczamy wyróżnik:
\\[\\Delta = B^2 - 4AC = (-4a)^2 - 4 \\cdot 5 \\cdot a^2 = 16a^2 - 20a^2 = -4a^2\\]

\n

Analizujemy przypadki:

\n\n

Ponieważ współczynnik przy \\(b^2\\) wynosi \\(A = 5 > 0\\), a \\(\\Delta \\leq 0\\), trójmian nie ma miejsc zerowych (lub ma jedno, gdy \\(a=0,\\,b=0\\)) i jego ramiona są skierowane ku górze.

\n

Zatem:
\\[f(b) = 5b^2 - 4ab + a^2 \\geq 0 \\quad \\text{dla wszystkich } a, b \\in \\mathbb{R}\\]

\n

Co dowodzi nierówności. \\(\\blacksquare\\)

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 6 (Wzory skróconego mnożenia, s. 7):
\\[(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\\]
Użyliśmy w Sposobie 1 do rozwinięcia \\((2b-a)^2 = 4b^2 - 4ab + a^2\\).

\n

Dział 7 (Funkcja kwadratowa, s. 7-9):
\\[\\Delta = b^2 - 4ac\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 - obliczenie wyróżnika trójmianu \\(f(b) = 5b^2 - 4ab + a^2\\) i wniosek o znaku funkcji kwadratowej.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie wystarczy sprawdzić kilku konkretnych wartości \\(a\\) i \\(b\\) - to nie jest dowód. Dowód musi obejmować wszystkie liczby rzeczywiste.
\n
⚠️ Uwaga: W Sposobie 2 pamiętaj, że wniosek „funkcja kwadratowa o ujemnym wyróżniku jest stale dodatnia" wymaga jeszcze sprawdzenia, że współczynnik wiodący jest dodatni (\\(A = 5 > 0\\)). Gdyby \\(A < 0\\), funkcja byłaby stale ujemna.
\n
⚠️ Uwaga: Rozkład na sumę kwadratów (Sposób 1) jest najelegantniejszy i najbardziej „maturalny" - egzaminatorzy cenią tę metodę za czytelność. Nie trzeba znać z góry postaci \\((2b-a)^2 + b^2\\) - można dojść do niej metodą prób lub przez uzupełnienie do pełnego kwadratu.
\n

Poprawna odpowiedź: Dowód - pełny.

\n
Sposób 1 - Sprowadzenie do sumy kwadratów (karta wzorów)
\n

Przekształcamy lewą stronę:
\\(b(5b-4a) + a^{2} = 5b^{2} - 4ab + a^{2}\\).
Rozdzielamy: \\(5b^{2} = b^{2} + 4b^{2}\\).
\\(b^{2} + 4b^{2} - 4ab + a^{2} = b^{2} + (2b-a)^{2}\\).
Ponieważ \\(b^{2} \\geq 0\\) oraz \\((2b-a)^{2} \\geq 0\\) dla każdych rzeczywistych \\(a,b\\), ich suma jest nieujemna:
\\(b^{2} + (2b-a)^{2} \\geq 0\\), co kończy dowód.

\n
Sposób 2 - Przez wyróżnik trójmianu
\n

Traktujemy \\(f(b) = 5b^{2} - 4ab + a^{2}\\) jako trójmian zmiennej \\(b\\) z parametrem \\(a\\).
Wyróżnik: \\(\\Delta_{b} = (-4a)^{2} - 4\\cdot 5\\cdot a^{2} = 16a^{2} - 20a^{2} = -4a^{2} \\leq 0\\).
Ponieważ \\(\\Delta_{b} \\leq 0\\) i współczynnik przy \\(b^{2}\\) jest dodatni (\\(5>0\\)), trójmian nie przyjmuje wartości ujemnych: \\(f(b) \\geq 0\\) dla każdego \\(b\\) (i każdego \\(a\\)). CBDO.

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: Suma kwadratów zawsze \\(\\geq 0\\); wyróżnik \\(\\leq 0\\) trójmianu z \\(a>0\\) oznacza brak wartości ujemnych.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

Dowód

"}]}