{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/32","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"32","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 32. (0-2)\nW trójkącie 𝐴𝐵𝐶 kąt przy wierzchołku 𝐴 jest prosty, a kąt przy wierzchołku 𝐵 ma miarę 30°.\nNa boku 𝐴𝐵 tego trójkąta obrano punkt 𝐷 tak, że miara kąta 𝐶𝐷𝐴 jest równa 60° oraz\n|𝐴𝐷| = 6 (zobacz rysunek). Oblicz |𝐵𝐷|.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n31.\n32.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n𝐶\n30°\n60°\n𝐴\n𝐵\n𝐷\n6\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku A jest prosty, a kąt przy wierzchołku B ma miarę 30°. Na boku AB tego trójkąta obrano punkt D tak, że miara kąta CDA jest równa 60° oraz |AD|=6 (zobacz rysunek). Oblicz |BD|.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(|BD| = 12\\)\n\n## Sposób 1 - Trygonometria w trójkącie prostokątnym\n\n**Krok 1: Wyznaczamy długość boku AC**\n\nPunkt \\(D\\) leży na boku \\(AB\\), więc kąt \\(DAC = 90°\\) (to ten sam kąt prostokątny przy \\(A\\)).\n\nW trójkącie \\(CDA\\) mamy:\n- \\(\\angle DAC = 90°\\)\n- \\(\\angle CDA = 60°\\)\n- \\(|AD| = 6\\)\n\nZ definicji tangensa w trójkącie prostokątnym \\(CDA\\):\n\\[\\operatorname{tg}(\\angle CDA) = \\frac{|AC|}{|AD|}\\]\n\\[\\operatorname{tg}(60°) = \\frac{|AC|}{6}\\]\n\\[|AC| = 6 \\cdot \\sqrt{3}\\]\n\n**Krok 2: Wyznaczamy długość boku AB**\n\nW trójkącie \\(ABC\\) mamy:\n- \\(\\angle BAC = 90°\\)\n- \\(\\angle ABC = 30°\\)\n\nZ definicji tangensa:\n\\[\\operatorname{tg}(\\angle ABC) = \\frac{|AC|}{|AB|}\\]\n\\[\\operatorname{tg}(30°) = \\frac{6\\sqrt{3}}{|AB|}\\]\n\\[\\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{|AB|}\\]\n\\[|AB| = 6\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3} = 6 \\cdot 3 = 18\\]\n\n**Krok 3: Obliczamy \\(|BD|\\)**\n\n\\[|BD| = |AB| - |AD| = 18 - 6 = \\boxed{12}\\]\n\n## Sposób 2 - Suma kątów i cotangens\n\n**Wyznaczamy kąt \\(CDB\\):**\n\nKąt \\(CDA = 60°\\) i kąt \\(CDB\\) są kątami przyległymi (bo \\(D\\) leży na \\(AB\\)), więc:\n\\[\\angle CDB = 180° - 60° = 120°\\]\n\n**W trójkącie CDB mamy:**\n- \\(\\angle CDB = 120°\\)\n- \\(\\angle DBC = 30°\\)\n- \\(\\angle DCB = 180° - 120° - 30° = 30°\\)\n\nSkoro \\(\\angle DBC = \\angle DCB = 30°\\), trójkąt \\(CDB\\) jest **równoramienny**: \\(|BD| = |CD|\\).\n\n**Wyznaczamy \\(|CD|\\) z trójkąta prostokątnego \\(CDA\\):**\n\n\\[\\cos(60°) = \\frac{|AD|}{|CD|}\\]\n\\[\\frac{1}{2} = \\frac{6}{|CD|}\\]\n\\[|CD| = 12\\]\n\n**Stąd:**\n\\[|BD| = |CD| = \\boxed{12}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)** - tangensa kąta w trójkącie prostokątnym:\n\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do } \\alpha}{\\text{przyległa do } \\alpha}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 1 dwukrotnie - raz dla kąta 60° w trójkącie CDA, raz dla kąta 30° w trójkącie ABC.\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - wartości dla kąta 30° i 60°:\n\\[\\operatorname{tg}(30°) = \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}, \\qquad \\operatorname{tg}(60°) = \\sqrt{3}\\]\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 12)** - cosinusa:\n\\[\\cos(60°) = \\frac{1}{2}\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do obliczenia \\(|CD|\\).\n\n## Typowe pułapki i uwaga\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt \\(CDA = 60°\\) to kąt **przy D**, a nie przy A! Łatwo pomylić wierzchołek - pamiętaj, że środkowa litera w zapisie kąta to zawsze wierzchołek.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W trójkącie CDA kąt przy \\(A\\) wynosi dokładnie \\(90°\\) - bo \\(D\\) leży **na** boku \\(AB\\), więc kąt \\(CAD\\) to ten sam kąt prostokątny co w trójkącie \\(ABC\\).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zakładaj od razu, że \\(\\operatorname{tg}(30°) = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\). Sprawdź na karcie wzorów - wielu uczniów miesza \\(\\operatorname{tg}(30°)\\) z \\(\\operatorname{tg}(60°)\\) pod stresem.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(|BD| = 12\\).\n\n### Sposób 1 - Trójkąt równoramienny BCD (karta wzorów)\nKąty: w \\(\\triangle ABC\\): \\(\\angle A=90^{\\circ}\\), \\(\\angle B=30^{\\circ}\\), więc \\(\\angle C=60^{\\circ}\\).\nW \\(\\triangle ADC\\): \\(\\angle A=90^{\\circ}\\), \\(\\angle ADC=60^{\\circ}\\), więc \\(\\angle ACD=30^{\\circ}\\).\nStąd \\(\\angle BCD = \\angle BCA - \\angle ACD = 60^{\\circ}-30^{\\circ} = 30^{\\circ}\\).\nW \\(\\triangle BCD\\) mamy \\(\\angle DBC = \\angle BCD = 30^{\\circ}\\), więc jest równoramienny: \\(|BD| = |CD|\\).\nW \\(\\triangle ADC\\) z kątami \\(30^{\\circ}, 60^{\\circ}, 90^{\\circ}\\): \\(|CD| = 2|AD| = 2\\cdot 6 = 12\\).\nZatem \\(|BD| = 12\\).\n\n### Sposób 2 - Funkcje trygonometryczne (karta wzorów)\n\\(\\tg 60^{\\circ} = \\dfrac{|AC|}{|AD|} = \\dfrac{|AC|}{6}\\), stąd \\(|AC| = 6\\sqrt{3}\\).\n\\(\\tg 30^{\\circ} = \\dfrac{|AC|}{|AB|} = \\dfrac{6\\sqrt{3}}{|AB|} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\).\n\\(|AB| = \\dfrac{6\\sqrt{3}\\cdot 3}{\\sqrt{3}} = 18\\).\n\\(|BD| = |AB| - |AD| = 18 - 6 = 12\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - obliczenie \\(\\angle BCD=30^{\\circ}\\) lub \\(|CD|=2|AD|\\) albo zapisanie układu równań z \\(\\tg\\).\n- **2 pkt** - uzyskanie \\(|BD|=12\\).\n\n**Trik:** Trójkąt \\(30^{\\circ}\\)-\\(60^{\\circ}\\)-\\(90^{\\circ}\\): boki w stosunku \\(1 : \\sqrt{3} : 2\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-32.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg","topics":"planimetria","page_from":19,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 32. (0-2)<br>W trójkącie 𝐴𝐵𝐶 kąt przy wierzchołku 𝐴 jest prosty, a kąt przy wierzchołku 𝐵 ma miarę 30°.<br>Na boku 𝐴𝐵 tego trójkąta obrano punkt 𝐷 tak, że miara kąta 𝐶𝐷𝐴 jest równa 60° oraz<br>|𝐴𝐷| = 6 (zobacz rysunek). Oblicz |𝐵𝐷|.<br>Odpowiedź:<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>31.<br>32.<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>2<br>Uzyskana liczba pkt<br>𝐶<br>30°<br>60°<br>𝐴<br>𝐵<br>𝐷<br>6</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Rozwiązanie zadania. W trójkącie ABC kąt przy wierzchołku A jest prosty, a kąt przy wierzchołku B ma miarę 30°. Na boku AB tego trójkąta obrano punkt D tak, że miara kąta CDA jest równa 60° oraz |AD|=6 (zobacz rysunek). Oblicz |BD|.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-32.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(|BD| = 12\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Trygonometria w trójkącie prostokątnym</h4>\n<p><strong>Krok 1: Wyznaczamy długość boku AC</strong></p>\n<p>Punkt \\(D\\) leży na boku \\(AB\\), więc kąt \\(DAC = 90°\\) (to ten sam kąt prostokątny przy \\(A\\)).</p>\n<p>W trójkącie \\(CDA\\) mamy:</p>\n<ul><li>\\(\\angle DAC = 90°\\)</li><li>\\(\\angle CDA = 60°\\)</li><li>\\(|AD| = 6\\)</li></ul>\n<p>Z definicji tangensa w trójkącie prostokątnym \\(CDA\\):<br>\\[\\operatorname{tg}(\\angle CDA) = \\frac{|AC|}{|AD|}\\]<br>\\[\\operatorname{tg}(60°) = \\frac{|AC|}{6}\\]<br>\\[|AC| = 6 \\cdot \\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Krok 2: Wyznaczamy długość boku AB</strong></p>\n<p>W trójkącie \\(ABC\\) mamy:</p>\n<ul><li>\\(\\angle BAC = 90°\\)</li><li>\\(\\angle ABC = 30°\\)</li></ul>\n<p>Z definicji tangensa:<br>\\[\\operatorname{tg}(\\angle ABC) = \\frac{|AC|}{|AB|}\\]<br>\\[\\operatorname{tg}(30°) = \\frac{6\\sqrt{3}}{|AB|}\\]<br>\\[\\frac{1}{\\sqrt{3}} = \\frac{6\\sqrt{3}}{|AB|}\\]<br>\\[|AB| = 6\\sqrt{3} \\cdot \\sqrt{3} = 6 \\cdot 3 = 18\\]</p>\n<p><strong>Krok 3: Obliczamy \\(|BD|\\)</strong></p>\n<p>\\[|BD| = |AB| - |AD| = 18 - 6 = \\boxed{12}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Suma kątów i cotangens</h4>\n<p><strong>Wyznaczamy kąt \\(CDB\\):</strong></p>\n<p>Kąt \\(CDA = 60°\\) i kąt \\(CDB\\) są kątami przyległymi (bo \\(D\\) leży na \\(AB\\)), więc:<br>\\[\\angle CDB = 180° - 60° = 120°\\]</p>\n<p><strong>W trójkącie CDB mamy:</strong></p>\n<ul><li>\\(\\angle CDB = 120°\\)</li><li>\\(\\angle DBC = 30°\\)</li><li>\\(\\angle DCB = 180° - 120° - 30° = 30°\\)</li></ul>\n<p>Skoro \\(\\angle DBC = \\angle DCB = 30°\\), trójkąt \\(CDB\\) jest <strong>równoramienny</strong>: \\(|BD| = |CD|\\).</p>\n<p><strong>Wyznaczamy \\(|CD|\\) z trójkąta prostokątnego \\(CDA\\):</strong></p>\n<p>\\[\\cos(60°) = \\frac{|AD|}{|CD|}\\]<br>\\[\\frac{1}{2} = \\frac{6}{|CD|}\\]<br>\\[|CD| = 12\\]</p>\n<p><strong>Stąd:</strong><br>\\[|BD| = |CD| = \\boxed{12}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 11-12)</strong> - tangensa kąta w trójkącie prostokątnym:<br>\\[\\operatorname{tg}\\alpha = \\frac{\\text{przeciwprostokątna do } \\alpha}{\\text{przyległa do } \\alpha}\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 1 dwukrotnie - raz dla kąta 60° w trójkącie CDA, raz dla kąta 30° w trójkącie ABC.</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 12)</strong> - wartości dla kąta 30° i 60°:<br>\\[\\operatorname{tg}(30°) = \\frac{\\sqrt{3}}{3} = \\frac{1}{\\sqrt{3}}, \\qquad \\operatorname{tg}(60°) = \\sqrt{3}\\]</p>\n<p><strong>Dział 9 (Trygonometria, s. 12)</strong> - cosinusa:<br>\\[\\cos(60°) = \\frac{1}{2}\\]<br>Użyliśmy w Sposobie 2 do obliczenia \\(|CD|\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwaga</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kąt \\(CDA = 60°\\) to kąt <strong>przy D</strong>, a nie przy A! Łatwo pomylić wierzchołek - pamiętaj, że środkowa litera w zapisie kąta to zawsze wierzchołek.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> W trójkącie CDA kąt przy \\(A\\) wynosi dokładnie \\(90°\\) - bo \\(D\\) leży <strong>na</strong> boku \\(AB\\), więc kąt \\(CAD\\) to ten sam kąt prostokątny co w trójkącie \\(ABC\\).</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie zakładaj od razu, że \\(\\operatorname{tg}(30°) = \\frac{\\sqrt{3}}{3}\\). Sprawdź na karcie wzorów - wielu uczniów miesza \\(\\operatorname{tg}(30°)\\) z \\(\\operatorname{tg}(60°)\\) pod stresem.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź:</strong> \\(|BD| = 12\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Trójkąt równoramienny BCD (karta wzorów)</h5>\n<p>Kąty: w \\(\\triangle ABC\\): \\(\\angle A=90^{\\circ}\\), \\(\\angle B=30^{\\circ}\\), więc \\(\\angle C=60^{\\circ}\\).<br>W \\(\\triangle ADC\\): \\(\\angle A=90^{\\circ}\\), \\(\\angle ADC=60^{\\circ}\\), więc \\(\\angle ACD=30^{\\circ}\\).<br>Stąd \\(\\angle BCD = \\angle BCA - \\angle ACD = 60^{\\circ}-30^{\\circ} = 30^{\\circ}\\).<br>W \\(\\triangle BCD\\) mamy \\(\\angle DBC = \\angle BCD = 30^{\\circ}\\), więc jest równoramienny: \\(|BD| = |CD|\\).<br>W \\(\\triangle ADC\\) z kątami \\(30^{\\circ}, 60^{\\circ}, 90^{\\circ}\\): \\(|CD| = 2|AD| = 2\\cdot 6 = 12\\).<br>Zatem \\(|BD| = 12\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Funkcje trygonometryczne (karta wzorów)</h5>\n<p>\\(\\tg 60^{\\circ} = \\dfrac{|AC|}{|AD|} = \\dfrac{|AC|}{6}\\), stąd \\(|AC| = 6\\sqrt{3}\\).<br>\\(\\tg 30^{\\circ} = \\dfrac{|AC|}{|AB|} = \\dfrac{6\\sqrt{3}}{|AB|} = \\dfrac{\\sqrt{3}}{3}\\).<br>\\(|AB| = \\dfrac{6\\sqrt{3}\\cdot 3}{\\sqrt{3}} = 18\\).<br>\\(|BD| = |AB| - |AD| = 18 - 6 = 12\\).</p>\n<h5>Uwagi o punktacji (CKE)</h5>\n<ul><li><strong>1 pkt</strong> - obliczenie \\(\\angle BCD=30^{\\circ}\\) lub \\(|CD|=2|AD|\\) albo zapisanie układu równań z \\(\\tg\\).</li><li><strong>2 pkt</strong> - uzyskanie \\(|BD|=12\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Trójkąt \\(30^{\\circ}\\)-\\(60^{\\circ}\\)-\\(90^{\\circ}\\): boki w stosunku \\(1 : \\sqrt{3} : 2\\).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$|BD| = 12$</p>"}]}