{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/33","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"33","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 33. (0-2)\nDany jest trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷. Przekątne 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 tego trapezu\nprzecinają się w punkcie 𝑆 (zobacz rysunek) tak, że\n|𝐴𝑆|\n|𝑆𝐶| = 3\n2 . Pole trójkąta 𝐴𝐵𝑆 jest\nrówne 12. Oblicz pole trójkąta 𝐶𝐷𝑆.\nOdpowiedź:\n𝐷\n𝐶\n𝑆\n𝐴\n𝐵\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Przekątne AB i BD tego trapezu przecinają się w punkcie S (zobacz rysunek) tak, że |AS|/|SC| = 3/2. Pole trójkąta ABS jest równe 12. Oblicz pole trójkąta CDS.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{16}{3}\\)\n\n## Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów\n\n**Co zauważamy?** Trójkąty \\(ABS\\) i \\(CDS\\) są podobne! Sprawdźmy dlaczego:\n\n- \\(\\angle ASB = \\angle CSD\\) - kąty wierzchołkowe (równe)\n- \\(\\angle SAB = \\angle SCD\\) - kąty naprzemianległe (bo \\(AB \\parallel CD\\))\n- \\(\\angle SBA = \\angle SDC\\) - kąty naprzemianległe (bo \\(AB \\parallel CD\\))\n\nZatem \\(\\triangle ABS \\sim \\triangle CDS\\) w skali:\n\\[k = \\frac{|AS|}{|CS|} = \\frac{3}{2}\\]\n\nPole figur podobnych jest proporcjonalne do **kwadratu** skali podobieństwa:\n\\[\\frac{P_{ABS}}{P_{CDS}} = k^2 = \\left(\\frac{3}{2}\\right)^2 = \\frac{9}{4}\\]\n\nStąd:\n\\[P_{CDS} = P_{ABS} \\cdot \\frac{4}{9} = 12 \\cdot \\frac{4}{9} = \\frac{48}{9} = \\boxed{\\dfrac{16}{3}}\\]\n\n## Sposób 2 - Przez wysokości trójkątów\n\nOznaczmy:\n- \\(H\\) - odległość między podstawami \\(AB\\) i \\(CD\\) (wysokość trapezu)\n- \\(h_1\\) - odległość punktu \\(S\\) od podstawy \\(AB\\)\n- \\(h_2\\) - odległość punktu \\(S\\) od podstawy \\(CD\\), czyli \\(h_2 = H - h_1\\)\n\n**Wyznaczamy podział \\(H\\) przez punkt \\(S\\):**\n\nZ podobieństwa \\(\\triangle ABS \\sim \\triangle CDS\\) (Sposób 1) wynika, że wszystkie wymiary liniowe są w stosunku \\(3:2\\), w tym wysokości od \\(S\\):\n\\[\\frac{h_1}{h_2} = \\frac{3}{2}\\]\n\nZatem \\(h_1 = \\frac{3}{5}H\\) oraz \\(h_2 = \\frac{2}{5}H\\).\n\n**Wyznaczamy stosunek \\(AB\\) do \\(CD\\):**\n\nZ podobieństwa tych samych trójkątów: \\(\\dfrac{|AB|}{|CD|} = \\dfrac{3}{2}\\), czyli \\(|CD| = \\dfrac{2}{3}|AB|\\).\n\n**Obliczamy pole trójkąta \\(ABS\\):**\n\\[P_{ABS} = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot h_1 = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot \\frac{3}{5}H = \\frac{3}{5} \\cdot \\frac{|AB| \\cdot H}{2} = 12\\]\n\nStąd:\n\\[\\frac{|AB| \\cdot H}{2} = 12 \\cdot \\frac{5}{3} = 20\\]\n\n**Obliczamy pole trójkąta \\(CDS\\):**\n\\[P_{CDS} = \\frac{1}{2} \\cdot |CD| \\cdot h_2 = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2}{3}|AB| \\cdot \\frac{2}{5}H = \\frac{4}{15} \\cdot \\frac{|AB| \\cdot H}{2} = \\frac{4}{15} \\cdot 20 = \\frac{80}{15} = \\boxed{\\dfrac{16}{3}}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 10 (Planimetria, s. 15-21)** - pola figur podobnych:\n\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]\ngdzie \\(k\\) to skala podobieństwa. Użyliśmy tego w Sposobie 1 - trójkąty podobne w skali \\(\\frac{3}{2}\\), więc pola w stosunku \\(\\frac{9}{4}\\).\n\n**Dział 10 - pole trójkąta:**\n\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]\nUżyliśmy w Sposobie 2 do wyrażenia pól \\(ABS\\) i \\(CDS\\) przez podstawy i odpowiednie wysokości.\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Stosunek pól podobnych figur to **kwadrat** stosunku skali - nie sam stosunek. Błąd: \\(P_{CDS} = 12 \\cdot \\frac{2}{3} = 8\\). To jest odpowiedź **zła** - pominięto potęgowanie skali.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Trójkąt \\(CDS\\) ma **mniejsze** pole niż \\(ABS\\), bo \\(CD\\) jest krótszą podstawą trapezu. Jeśli wychodzi wynik większy niż 12 - coś poszło nie tak.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** W trójkącie \\(ABS\\) podstawą jest \\(AB\\) (dłuższa), a w \\(CDS\\) podstawą jest \\(CD\\) (krótsza). Punkt \\(S\\) jest bliżej \\(CD\\) niż \\(AB\\) - obie te rzeczy zmniejszają pole trójkąta \\(CDS\\) względem \\(ABS\\).\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P_{\\triangle CDS} = \\dfrac{16}{3}\\).\n\n### Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów i stosunek pól (karta wzorów)\nW trapezie \\(AB \\parallel CD\\), więc \\(\\angle BAC = \\angle DCA\\) (naprzemianległe) i \\(\\angle ABD = \\angle BDC\\). Ponadto \\(\\angle ASB = \\angle CSD\\) (wierzchołkowe). Zatem \\(\\triangle ASB \\sim \\triangle CSD\\) (cecha KKK).\nSkala podobieństwa: \\(k = \\dfrac{|AS|}{|SC|} = \\dfrac{3}{2}\\).\nStosunek pól figur podobnych = kwadrat skali:\n\\(\\dfrac{P_{\\triangle ASB}}{P_{\\triangle CSD}} = k^{2} = \\dfrac{9}{4}\\).\nStąd \\(P_{\\triangle CSD} = \\dfrac{4}{9}\\cdot P_{\\triangle ASB} = \\dfrac{4}{9}\\cdot 12 = \\dfrac{48}{9} = \\dfrac{16}{3}\\).\n\n### Sposób 2 - Weryfikacja\n\\(P_{\\triangle CSD} = \\dfrac{16}{3} \\approx 5{,}33\\). Sprawdzenie: \\(12 : \\tfrac{16}{3} = 36 : 16 = 9 : 4\\). ✓\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - zapisanie, że \\(\\triangle ASB \\sim \\triangle CSD\\) lub \\(\\dfrac{P_{\\triangle ASB}}{P_{\\triangle CSD}} = \\left(\\dfrac{|AS|}{|SC|}\\right)^{2}\\).\n- **2 pkt** - uzyskanie \\(P_{\\triangle CDS} = \\dfrac{16}{3}\\).\n\n**Trik:** Stosunek pól figur podobnych = kwadrat skali podobieństwa.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-33.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-33.svg","topics":"planimetria","page_from":20,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 33. (0-2)
Dany jest trapez 𝐴𝐵𝐶𝐷 o podstawach 𝐴𝐵 i 𝐶𝐷. Przekątne 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 tego trapezu
przecinają się w punkcie 𝑆 (zobacz rysunek) tak, że
|𝐴𝑆|
|𝑆𝐶| = 3
2 . Pole trójkąta 𝐴𝐵𝑆 jest
równe 12. Oblicz pole trójkąta 𝐶𝐷𝑆.
Odpowiedź:
𝐷
𝐶
𝑆
𝐴
𝐵

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Dany jest trapez ABCD o podstawach AB i CD. Przekątne AB i BD tego trapezu przecinają się w punkcie S (zobacz rysunek) tak, że |AS|/|SC| = 3/2. Pole trójkąta ABS jest równe 12. Oblicz pole trójkąta CDS.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-33.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(\\dfrac{16}{3}\\)

\n

Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów

\n

Co zauważamy? Trójkąty \\(ABS\\) i \\(CDS\\) są podobne! Sprawdźmy dlaczego:

\n\n

Zatem \\(\\triangle ABS \\sim \\triangle CDS\\) w skali:
\\[k = \\frac{|AS|}{|CS|} = \\frac{3}{2}\\]

\n

Pole figur podobnych jest proporcjonalne do kwadratu skali podobieństwa:
\\[\\frac{P_{ABS}}{P_{CDS}} = k^2 = \\left(\\frac{3}{2}\\right)^2 = \\frac{9}{4}\\]

\n

Stąd:
\\[P_{CDS} = P_{ABS} \\cdot \\frac{4}{9} = 12 \\cdot \\frac{4}{9} = \\frac{48}{9} = \\boxed{\\dfrac{16}{3}}\\]

\n

Sposób 2 - Przez wysokości trójkątów

\n

Oznaczmy:

\n\n

Wyznaczamy podział \\(H\\) przez punkt \\(S\\):

\n

Z podobieństwa \\(\\triangle ABS \\sim \\triangle CDS\\) (Sposób 1) wynika, że wszystkie wymiary liniowe są w stosunku \\(3:2\\), w tym wysokości od \\(S\\):
\\[\\frac{h_1}{h_2} = \\frac{3}{2}\\]

\n

Zatem \\(h_1 = \\frac{3}{5}H\\) oraz \\(h_2 = \\frac{2}{5}H\\).

\n

Wyznaczamy stosunek \\(AB\\) do \\(CD\\):

\n

Z podobieństwa tych samych trójkątów: \\(\\dfrac{|AB|}{|CD|} = \\dfrac{3}{2}\\), czyli \\(|CD| = \\dfrac{2}{3}|AB|\\).

\n

Obliczamy pole trójkąta \\(ABS\\):
\\[P_{ABS} = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot h_1 = \\frac{1}{2} \\cdot |AB| \\cdot \\frac{3}{5}H = \\frac{3}{5} \\cdot \\frac{|AB| \\cdot H}{2} = 12\\]

\n

Stąd:
\\[\\frac{|AB| \\cdot H}{2} = 12 \\cdot \\frac{5}{3} = 20\\]

\n

Obliczamy pole trójkąta \\(CDS\\):
\\[P_{CDS} = \\frac{1}{2} \\cdot |CD| \\cdot h_2 = \\frac{1}{2} \\cdot \\frac{2}{3}|AB| \\cdot \\frac{2}{5}H = \\frac{4}{15} \\cdot \\frac{|AB| \\cdot H}{2} = \\frac{4}{15} \\cdot 20 = \\frac{80}{15} = \\boxed{\\dfrac{16}{3}}\\]

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 10 (Planimetria, s. 15-21) - pola figur podobnych:
\\[\\frac{P_B}{P_A} = k^2\\]
gdzie \\(k\\) to skala podobieństwa. Użyliśmy tego w Sposobie 1 - trójkąty podobne w skali \\(\\frac{3}{2}\\), więc pola w stosunku \\(\\frac{9}{4}\\).

\n

Dział 10 - pole trójkąta:
\\[P = \\frac{1}{2} \\cdot a \\cdot h_a\\]
Użyliśmy w Sposobie 2 do wyrażenia pól \\(ABS\\) i \\(CDS\\) przez podstawy i odpowiednie wysokości.

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Stosunek pól podobnych figur to kwadrat stosunku skali - nie sam stosunek. Błąd: \\(P_{CDS} = 12 \\cdot \\frac{2}{3} = 8\\). To jest odpowiedź zła - pominięto potęgowanie skali.
\n
⚠️ Uwaga: Trójkąt \\(CDS\\) ma mniejsze pole niż \\(ABS\\), bo \\(CD\\) jest krótszą podstawą trapezu. Jeśli wychodzi wynik większy niż 12 - coś poszło nie tak.
\n
⚠️ Uwaga: W trójkącie \\(ABS\\) podstawą jest \\(AB\\) (dłuższa), a w \\(CDS\\) podstawą jest \\(CD\\) (krótsza). Punkt \\(S\\) jest bliżej \\(CD\\) niż \\(AB\\) - obie te rzeczy zmniejszają pole trójkąta \\(CDS\\) względem \\(ABS\\).
\n

Poprawna odpowiedź: \\(P_{\\triangle CDS} = \\dfrac{16}{3}\\).

\n
Sposób 1 - Podobieństwo trójkątów i stosunek pól (karta wzorów)
\n

W trapezie \\(AB \\parallel CD\\), więc \\(\\angle BAC = \\angle DCA\\) (naprzemianległe) i \\(\\angle ABD = \\angle BDC\\). Ponadto \\(\\angle ASB = \\angle CSD\\) (wierzchołkowe). Zatem \\(\\triangle ASB \\sim \\triangle CSD\\) (cecha KKK).
Skala podobieństwa: \\(k = \\dfrac{|AS|}{|SC|} = \\dfrac{3}{2}\\).
Stosunek pól figur podobnych = kwadrat skali:
\\(\\dfrac{P_{\\triangle ASB}}{P_{\\triangle CSD}} = k^{2} = \\dfrac{9}{4}\\).
Stąd \\(P_{\\triangle CSD} = \\dfrac{4}{9}\\cdot P_{\\triangle ASB} = \\dfrac{4}{9}\\cdot 12 = \\dfrac{48}{9} = \\dfrac{16}{3}\\).

\n
Sposób 2 - Weryfikacja
\n

\\(P_{\\triangle CSD} = \\dfrac{16}{3} \\approx 5{,}33\\). Sprawdzenie: \\(12 : \\tfrac{16}{3} = 36 : 16 = 9 : 4\\). ✓

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: Stosunek pól figur podobnych = kwadrat skali podobieństwa.

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$P_{\\Delta CDS} = \\dfrac{16}{3}$

"}]}