{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/34","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"34","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 34. (0-2)\nDoświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry,\nktóra na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu oczek. Niech 𝐴\noznacza zdarzenie polegające na tym, że iloczyn liczb oczek wyrzuconych w dwóch rzutach\njest równy 12. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴.\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n33.\n34.\nMaks. liczba pkt\n2\n2\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu oczek. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że iloczyn liczby oczek wyrzucony w dwóch rzutach jest równy 12. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\frac{1}{9}\\)\n\n## Sposób 1 - Wyliczenie par sprzyjających\n\n**Przestrzeń zdarzeń elementarnych:**\n\nKażdy rzut daje jeden z wyników \\(\\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\). Przy dwóch rzutach mamy pary \\((a, b)\\), gdzie \\(a, b \\in \\{1,2,3,4,5,6\\}\\).\n\nŁączna liczba par:\n\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]\n\n**Zdarzenie \\(A\\): iloczyn \\(a \\cdot b = 12\\)**\n\nSzukamy wszystkich par \\((a, b)\\), dla których \\(a \\cdot b = 12\\), przy czym \\(a, b \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\).\n\nRozkładamy 12 na dwa czynniki z zakresu 1-6:\n\n| \\(a\\) | \\(b\\) | \\(a \\cdot b\\) |\n| 2 | 6 | 12 ✓ |\n| 6 | 2 | 12 ✓ |\n| 3 | 4 | 12 ✓ |\n| 4 | 3 | 12 ✓ |\n\nInne rozkłady: \\(1 \\cdot 12\\) - ale 12 nie ma na kostce. Żadnych innych.\n\nZatem \\(|A| = 4\\).\n\n**Prawdopodobieństwo:**\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{4}{36} = \\boxed{\\frac{1}{9}}\\]\n\n## Sposób 2 - Analiza przez podzielność\n\nZastanówmy się, jakich wyników pierwszego rzutu \\(a\\) warto szukać. Aby \\(a \\cdot b = 12\\) z \\(b \\in \\{1,\\ldots,6\\}\\), potrzebujemy, żeby \\(a\\) było dzielnikiem 12 i żeby \\(\\frac{12}{a} \\leq 6\\).\n\n| Wynik \\(a\\) | \\(b = \\frac{12}{a}\\) | Czy \\(b \\in \\{1,\\ldots,6\\}\\)? |\n| 1 | 12 | ✗ (za duże) |\n| 2 | 6 | ✓ |\n| 3 | 4 | ✓ |\n| 4 | 3 | ✓ |\n| 5 | 2,4 | ✗ (5 nie dzieli 12) |\n| 6 | 2 | ✓ |\n\n**Zliczamy zdarzenia sprzyjające**: \\((2,6),\\,(3,4),\\,(4,3),\\,(6,2)\\) - dokładnie 4.\n\n\\[P(A) = \\frac{4}{36} = \\frac{1}{9}\\]\n\nWynik zgodny z Metodą 1. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)** - prawdopodobieństwo klasyczne:\n\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]\nUżyliśmy tego wzoru bezpośrednio: wyliczyliśmy liczbę wyników sprzyjających \\(|A| = 4\\) i podzieliliśmy przez całkowitą liczbę wyników \\(|\\Omega| = 36\\).\n\n## Typowe pułapki\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Para \\((a, b)\\) to para **uporządkowana** - wyrzucenie \\((2, 6)\\) i \\((6, 2)\\) to dwa różne zdarzenia elementarne! Nie można liczyć ich jako jedno.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo przeoczyć parę \\((1, 12)\\) i pomyśleć, że jest sprzyjająca - ale 12 nie pojawia się na standardowej kostce, więc tę parę odrzucamy.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Mianownik to zawsze \\(36\\) (a nie np. \\(21\\) par bez powtórzeń). Rzuty są rozróżnialne - liczymy **pary uporządkowane**, bo pierwszy rzut jest innym zdarzeniem niż drugi.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(P(A) = \\dfrac{1}{9}\\).\n\n### Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (karta wzorów)\nZbiór zdarzeń elementarnych to uporządkowane pary \\((a,b)\\), gdzie \\(a,b\\in\\{1,2,\\ldots,6\\}\\). Zatem \\(|\\Omega| = 6\\cdot 6 = 36\\).\nZdarzenia sprzyjające \\(A\\) (iloczyn = 12): \\((2,6), (6,2), (3,4), (4,3)\\). Stąd \\(|A|=4\\).\n\\(P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{4}{36} = \\dfrac{1}{9}\\).\n\n### Sposób 2 - Drzewo/rozkład\nDla każdego wyniku pierwszego rzutu \\(a\\) istnieje co najwyżej jedna wartość \\(b\\), że \\(ab=12\\) i \\(b\\in\\{1,\\ldots,6\\}\\): dla \\(a=2\\to b=6\\), \\(a=3\\to b=4\\), \\(a=4\\to b=3\\), \\(a=6\\to b=2\\). Zatem 4 przypadki z 36.\n\\(P(A) = 4\\cdot\\dfrac{1}{6}\\cdot\\dfrac{1}{6} = \\dfrac{4}{36} = \\dfrac{1}{9}\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - wyznaczenie \\(|\\Omega|=36\\) lub wypisanie wszystkich par sprzyjających (lub \\(|A|=4\\), lub zapis \\(P(A)=\\tfrac{4}{36}\\)).\n- **2 pkt** - poprawny wynik \\(P(A)=\\tfrac{1}{9}\\).\n\n**Trik:** Przy dwóch rzutach kostką: \\(|\\Omega|=36\\). Rozłożyć 12 na iloczyny dwóch liczb z \\(\\{1,\\ldots,6\\}\\): \\(2\\cdot 6\\) i \\(3\\cdot 4\\) (każdy w dwóch kolejnościach).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-34.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-34.svg","topics":"prawdopodobienstwo","page_from":21,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 34. (0-2)<br>Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry,<br>która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu oczek. Niech 𝐴<br>oznacza zdarzenie polegające na tym, że iloczyn liczb oczek wyrzuconych w dwóch rzutach<br>jest równy 12. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴.<br>Odpowiedź:<br>Wypełnia<br>egzaminator<br>Nr zadania<br>33.<br>34.<br>Maks. liczba pkt<br>2<br>2<br>Uzyskana liczba pkt</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Rozwiązanie zadania. Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie symetryczną sześcienną kostką do gry, która na każdej ściance ma inną liczbę oczek - od jednego do sześciu oczek. Niech A oznacza zdarzenie polegające na tym, że iloczyn liczby oczek wyrzucony w dwóch rzutach jest równy 12. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-34.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: \\(P(A) = \\frac{1}{9}\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - Wyliczenie par sprzyjających</h4>\n<p><strong>Przestrzeń zdarzeń elementarnych:</strong></p>\n<p>Każdy rzut daje jeden z wyników \\(\\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\). Przy dwóch rzutach mamy pary \\((a, b)\\), gdzie \\(a, b \\in \\{1,2,3,4,5,6\\}\\).</p>\n<p>Łączna liczba par:<br>\\[|\\Omega| = 6 \\cdot 6 = 36\\]</p>\n<p><strong>Zdarzenie \\(A\\): iloczyn \\(a \\cdot b = 12\\)</strong></p>\n<p>Szukamy wszystkich par \\((a, b)\\), dla których \\(a \\cdot b = 12\\), przy czym \\(a, b \\in \\{1, 2, 3, 4, 5, 6\\}\\).</p>\n<p>Rozkładamy 12 na dwa czynniki z zakresu 1-6:</p>\n<p>| \\(a\\) | \\(b\\) | \\(a \\cdot b\\) |<br>| 2 | 6 | 12 ✓ |<br>| 6 | 2 | 12 ✓ |<br>| 3 | 4 | 12 ✓ |<br>| 4 | 3 | 12 ✓ |</p>\n<p>Inne rozkłady: \\(1 \\cdot 12\\) - ale 12 nie ma na kostce. Żadnych innych.</p>\n<p>Zatem \\(|A| = 4\\).</p>\n<p><strong>Prawdopodobieństwo:</strong><br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|} = \\frac{4}{36} = \\boxed{\\frac{1}{9}}\\]</p>\n<h4>Sposób 2 - Analiza przez podzielność</h4>\n<p>Zastanówmy się, jakich wyników pierwszego rzutu \\(a\\) warto szukać. Aby \\(a \\cdot b = 12\\) z \\(b \\in \\{1,\\ldots,6\\}\\), potrzebujemy, żeby \\(a\\) było dzielnikiem 12 i żeby \\(\\frac{12}{a} \\leq 6\\).</p>\n<p>| Wynik \\(a\\) | \\(b = \\frac{12}{a}\\) | Czy \\(b \\in \\{1,\\ldots,6\\}\\)? |<br>| 1 | 12 | ✗ (za duże) |<br>| 2 | 6 | ✓ |<br>| 3 | 4 | ✓ |<br>| 4 | 3 | ✓ |<br>| 5 | 2,4 | ✗ (5 nie dzieli 12) |<br>| 6 | 2 | ✓ |</p>\n<p><strong>Zliczamy zdarzenia sprzyjające</strong>: \\((2,6),\\,(3,4),\\,(4,3),\\,(6,2)\\) - dokładnie 4.</p>\n<p>\\[P(A) = \\frac{4}{36} = \\frac{1}{9}\\]</p>\n<p>Wynik zgodny z Metodą 1. ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p><strong>Dział 14 (Rachunek prawdopodobieństwa, s. 29-30)</strong> - prawdopodobieństwo klasyczne:<br>\\[P(A) = \\frac{|A|}{|\\Omega|}\\]<br>Użyliśmy tego wzoru bezpośrednio: wyliczyliśmy liczbę wyników sprzyjających \\(|A| = 4\\) i podzieliliśmy przez całkowitą liczbę wyników \\(|\\Omega| = 36\\).</p>\n<h4>Typowe pułapki</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Para \\((a, b)\\) to para <strong>uporządkowana</strong> - wyrzucenie \\((2, 6)\\) i \\((6, 2)\\) to dwa różne zdarzenia elementarne! Nie można liczyć ich jako jedno.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Łatwo przeoczyć parę \\((1, 12)\\) i pomyśleć, że jest sprzyjająca - ale 12 nie pojawia się na standardowej kostce, więc tę parę odrzucamy.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Mianownik to zawsze \\(36\\) (a nie np. \\(21\\) par bez powtórzeń). Rzuty są rozróżnialne - liczymy <strong>pary uporządkowane</strong>, bo pierwszy rzut jest innym zdarzeniem niż drugi.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź:</strong> \\(P(A) = \\dfrac{1}{9}\\).</p>\n<h5>Sposób 1 - Klasyczna definicja prawdopodobieństwa (karta wzorów)</h5>\n<p>Zbiór zdarzeń elementarnych to uporządkowane pary \\((a,b)\\), gdzie \\(a,b\\in\\{1,2,\\ldots,6\\}\\). Zatem \\(|\\Omega| = 6\\cdot 6 = 36\\).<br>Zdarzenia sprzyjające \\(A\\) (iloczyn = 12): \\((2,6), (6,2), (3,4), (4,3)\\). Stąd \\(|A|=4\\).<br>\\(P(A) = \\dfrac{|A|}{|\\Omega|} = \\dfrac{4}{36} = \\dfrac{1}{9}\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Drzewo/rozkład</h5>\n<p>Dla każdego wyniku pierwszego rzutu \\(a\\) istnieje co najwyżej jedna wartość \\(b\\), że \\(ab=12\\) i \\(b\\in\\{1,\\ldots,6\\}\\): dla \\(a=2\\to b=6\\), \\(a=3\\to b=4\\), \\(a=4\\to b=3\\), \\(a=6\\to b=2\\). Zatem 4 przypadki z 36.<br>\\(P(A) = 4\\cdot\\dfrac{1}{6}\\cdot\\dfrac{1}{6} = \\dfrac{4}{36} = \\dfrac{1}{9}\\).</p>\n<h5>Uwagi o punktacji (CKE)</h5>\n<ul><li><strong>1 pkt</strong> - wyznaczenie \\(|\\Omega|=36\\) lub wypisanie wszystkich par sprzyjających (lub \\(|A|=4\\), lub zapis \\(P(A)=\\tfrac{4}{36}\\)).</li><li><strong>2 pkt</strong> - poprawny wynik \\(P(A)=\\tfrac{1}{9}\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Przy dwóch rzutach kostką: \\(|\\Omega|=36\\). Rozłożyć 12 na iloczyny dwóch liczb z \\(\\{1,\\ldots,6\\}\\): \\(2\\cdot 6\\) i \\(3\\cdot 4\\) (każdy w dwóch kolejnościach).</p>"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"<p>$P(A) = \\dfrac{1}{9}$</p>"}]}