{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/35","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"35","points":5,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 35. (0-5)\nDany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem 𝑎𝑛= 5-3𝑛\n7\ndla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.\nTrójwyrazowy ciąg (𝑎4 , 𝑥2 + 2, 𝑎11), gdzie 𝑥 jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny.\nOblicz 𝑥 oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.\n\nEMAP-P0_100\nOdpowiedź:\nWypełnia\negzaminator\nNr zadania\n35.\nMaks. liczba pkt\n5\nUzyskana liczba pkt\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n = 5-3n / 7 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trójwyrazowy ciąg (a_4, x^2+2, a_11), gdzie x jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny. Oblicz x oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.","answer":null,"answer_text":null,"solution":"## Poprawna odpowiedź: \\(x = 0\\), iloraz \\(q = -2\\)\n\n## Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego\n\n**Krok 1: Oblicz \\(a_4\\) i \\(a_{11}\\).**\n\n\\[a_4 = \\frac{5 - 3 \\cdot 4}{7} = \\frac{5 - 12}{7} = \\frac{-7}{7} = -1\\]\n\n\\[a_{11} = \\frac{5 - 3 \\cdot 11}{7} = \\frac{5 - 33}{7} = \\frac{-28}{7} = -4\\]\n\nCiąg geometryczny ma postać: \\((-1,\\; x^2+2,\\; -4)\\).\n\n**Krok 2: Zastosuj własność środkowego wyrazu.**\n\nW ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiednich:\n\\[(x^2 + 2)^2 = a_4 \\cdot a_{11} = (-1) \\cdot (-4) = 4\\]\n\n**Krok 3: Rozwiąż równanie.**\n\n\\[x^2 + 2 = \\pm 2\\]\n\n**Przypadek I:** \\(x^2 + 2 = 2 \\;\\Rightarrow\\; x^2 = 0 \\;\\Rightarrow\\; \\boxed{x = 0}\\)\n\n**Przypadek II:** \\(x^2 + 2 = -2 \\;\\Rightarrow\\; x^2 = -4\\) - brak rozwiązań rzeczywistych.\n\n**Krok 4: Wyznacz iloraz.**\n\nDla \\(x = 0\\): środkowy wyraz \\(= 0^2 + 2 = 2\\), ciąg to \\((-1,\\; 2,\\; -4)\\).\n\n\\[q = \\frac{2}{-1} = \\boxed{-2}\\]\n\n## Sposób 2 - Definicja ciągu geometrycznego (iloraz stały)\n\nZamiast własności środkowego wyrazu, wprost przyrównuję ilorazy sąsiednich wyrazów.\n\nCiąg geometryczny: \\((a_4, \\; x^2+2, \\; a_{11}) = (-1, \\; x^2+2, \\; -4)\\).\n\nIloraz między 1. a 2. wyrazem musi być równy ilorazowi między 2. a 3.:\n\n\\[\\frac{x^2+2}{-1} = \\frac{-4}{x^2+2}\\]\n\nMnożę krzyżowo:\n\n\\[(x^2+2)^2 = (-1)(-4) = 4\\]\n\nTo to samo równanie - od razu:\n\n\\[x^2 + 2 = 2 \\quad\\Rightarrow\\quad x = 0, \\quad q = \\frac{2}{-1} = -2\\]\n\n**Weryfikacja:** \\(-1 \\cdot (-2) = 2\\), \\(2 \\cdot (-2) = -4\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 8 (Ciągi, s. 9-10)** - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:\n\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]\nUżyliśmy tego w Sposobie 1 - środkowy wyraz \\(x^2+2\\) spełnia \\((x^2+2)^2 = a_4 \\cdot a_{11}\\).\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie zapomnij sprawdzić, czy \\(x^2+2 = -2\\) ma sens - kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc \\(x^2+2 \\geq 2 > 0\\). Przypadek ujemny odpada automatycznie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Łatwo zapomnieć \\(\\pm\\) przy wyciąganiu pierwiastka z obu stron \\((x^2+2)^2 = 4\\). Tutaj przypadek \\(-2\\) był bez rozwiązań, ale w innych zadaniach oba przypadki mogą dawać wyniki!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny - tu \\(q = -2\\). To poprawny ciąg geometryczny: wyrazy naprzemiennie zmieniają znak.\n\n**Poprawna odpowiedź:** \\(x = 0\\) oraz \\(q = -2\\).\n\n### Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu (karta wzorów)\nObliczamy wyrazy ciągu:\n\\(a_{4} = \\dfrac{5-12}{7} = \\dfrac{-7}{7} = -1\\), \\(a_{11} = \\dfrac{5-33}{7} = \\dfrac{-28}{7} = -4\\).\nWarunek ciągu geometrycznego dla trzech kolejnych wyrazów:\n\\((x^{2}+2)^{2} = a_{4}\\cdot a_{11} = (-1)(-4) = 4\\).\n\\(x^{2}+2 = 2\\) lub \\(x^{2}+2 = -2\\).\n• \\(x^{2}+2 = 2 \\Rightarrow x^{2} = 0 \\Rightarrow x = 0\\).\n• \\(x^{2}+2 = -2 \\Rightarrow x^{2} = -4\\) - sprzeczne.\nZatem \\(x = 0\\) i \\(x^{2}+2 = 2\\). Ciąg: \\((-1, 2, -4)\\), iloraz: \\(q = \\dfrac{2}{-1} = -2\\).\n\n### Sposób 2 - Przez iloraz\nZapisujemy \\(a_{11} = a_{4}\\cdot q^{2}\\): \\(-4 = -1\\cdot q^{2}\\), stąd \\(q^{2}=4\\), \\(q=2\\) lub \\(q=-2\\).\n• \\(q=2\\): ciąg \\((-1,-2,-4)\\), więc \\(x^{2}+2=-2\\) - brak rozwiązań rzeczywistych.\n• \\(q=-2\\): ciąg \\((-1,2,-4)\\), więc \\(x^{2}+2=2\\), \\(x=0\\). ✓\nOstatecznie: \\(x=0\\), \\(q=-2\\).\n\n### Uwagi o punktacji (CKE)\n- **1 pkt** - obliczenie \\(a_{4}=-1\\) albo \\(a_{11}=-4\\), lub zapisanie \\((x^{2}+2)^{2}=a_{4}\\cdot a_{11}\\).\n- **2 pkt** - obliczenie obu wyrazów i zapisanie równania.\n- **3 pkt** - zapisanie równania z \\(x\\) lub równania z \\(q\\).\n- **4 pkt** - zapisanie alternatywy \\(x^{2}+2=\\pm 2\\) z rozwiązaniem \\(x=0\\), lub rozwiązanie \\(q^{2}=4\\) i konsekwentne rozpatrzenie tylko \\(q=-2\\).\n- **5 pkt** - pełne rozwiązanie: \\(x=0\\), \\(q=-2\\).\n\n**Trik:** Warunek środkowego wyrazu ciągu geometrycznego: \\(b^{2} = a\\cdot c\\). Pamiętaj, że iloraz może być ujemny!","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-35.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-35.svg","topics":"ciagi","page_from":22,"source":"maturazai","answer_source":null,"answer_text_source":null,"solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 35. (0-5)
Dany jest ciąg (𝑎𝑛) określony wzorem 𝑎𝑛= 5-3𝑛
7
dla każdej liczby naturalnej 𝑛≥1.
Trójwyrazowy ciąg (𝑎4 , 𝑥2 + 2, 𝑎11), gdzie 𝑥 jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny.
Oblicz 𝑥 oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.

\n

EMAP-P0_100
Odpowiedź:
Wypełnia
egzaminator
Nr zadania
35.
Maks. liczba pkt
5
Uzyskana liczba pkt

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Dany jest ciąg (a_n) określony wzorem a_n = 5-3n / 7 dla każdej liczby naturalnej n≥1. Trójwyrazowy ciąg (a_4, x^2+2, a_11), gdzie x jest liczbą rzeczywistą, jest geometryczny. Oblicz x oraz iloraz tego ciągu geometrycznego.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-35.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: \\(x = 0\\), iloraz \\(q = -2\\)

\n

Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego

\n

Krok 1: Oblicz \\(a_4\\) i \\(a_{11}\\).

\n

\\[a_4 = \\frac{5 - 3 \\cdot 4}{7} = \\frac{5 - 12}{7} = \\frac{-7}{7} = -1\\]

\n

\\[a_{11} = \\frac{5 - 3 \\cdot 11}{7} = \\frac{5 - 33}{7} = \\frac{-28}{7} = -4\\]

\n

Ciąg geometryczny ma postać: \\((-1,\\; x^2+2,\\; -4)\\).

\n

Krok 2: Zastosuj własność środkowego wyrazu.

\n

W ciągu geometrycznym kwadrat środkowego wyrazu równa się iloczynowi sąsiednich:
\\[(x^2 + 2)^2 = a_4 \\cdot a_{11} = (-1) \\cdot (-4) = 4\\]

\n

Krok 3: Rozwiąż równanie.

\n

\\[x^2 + 2 = \\pm 2\\]

\n

Przypadek I: \\(x^2 + 2 = 2 \\;\\Rightarrow\\; x^2 = 0 \\;\\Rightarrow\\; \\boxed{x = 0}\\)

\n

Przypadek II: \\(x^2 + 2 = -2 \\;\\Rightarrow\\; x^2 = -4\\) - brak rozwiązań rzeczywistych.

\n

Krok 4: Wyznacz iloraz.

\n

Dla \\(x = 0\\): środkowy wyraz \\(= 0^2 + 2 = 2\\), ciąg to \\((-1,\\; 2,\\; -4)\\).

\n

\\[q = \\frac{2}{-1} = \\boxed{-2}\\]

\n

Sposób 2 - Definicja ciągu geometrycznego (iloraz stały)

\n

Zamiast własności środkowego wyrazu, wprost przyrównuję ilorazy sąsiednich wyrazów.

\n

Ciąg geometryczny: \\((a_4, \\; x^2+2, \\; a_{11}) = (-1, \\; x^2+2, \\; -4)\\).

\n

Iloraz między 1. a 2. wyrazem musi być równy ilorazowi między 2. a 3.:

\n

\\[\\frac{x^2+2}{-1} = \\frac{-4}{x^2+2}\\]

\n

Mnożę krzyżowo:

\n

\\[(x^2+2)^2 = (-1)(-4) = 4\\]

\n

To to samo równanie - od razu:

\n

\\[x^2 + 2 = 2 \\quad\\Rightarrow\\quad x = 0, \\quad q = \\frac{2}{-1} = -2\\]

\n

Weryfikacja: \\(-1 \\cdot (-2) = 2\\), \\(2 \\cdot (-2) = -4\\). ✓

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 8 (Ciągi, s. 9-10) - własność środkowego wyrazu ciągu geometrycznego:
\\[(a_n)^2 = a_{n-1} \\cdot a_{n+1} \\quad \\text{(dla } n \\geq 2\\text{)}\\]
Użyliśmy tego w Sposobie 1 - środkowy wyraz \\(x^2+2\\) spełnia \\((x^2+2)^2 = a_4 \\cdot a_{11}\\).

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Nie zapomnij sprawdzić, czy \\(x^2+2 = -2\\) ma sens - kwadrat liczby rzeczywistej jest nieujemny, więc \\(x^2+2 \\geq 2 > 0\\). Przypadek ujemny odpada automatycznie.
\n
⚠️ Uwaga: Łatwo zapomnieć \\(\\pm\\) przy wyciąganiu pierwiastka z obu stron \\((x^2+2)^2 = 4\\). Tutaj przypadek \\(-2\\) był bez rozwiązań, ale w innych zadaniach oba przypadki mogą dawać wyniki!
\n
⚠️ Uwaga: Iloraz ciągu geometrycznego może być ujemny - tu \\(q = -2\\). To poprawny ciąg geometryczny: wyrazy naprzemiennie zmieniają znak.
\n

Poprawna odpowiedź: \\(x = 0\\) oraz \\(q = -2\\).

\n
Sposób 1 - Własność środkowego wyrazu (karta wzorów)
\n

Obliczamy wyrazy ciągu:
\\(a_{4} = \\dfrac{5-12}{7} = \\dfrac{-7}{7} = -1\\), \\(a_{11} = \\dfrac{5-33}{7} = \\dfrac{-28}{7} = -4\\).
Warunek ciągu geometrycznego dla trzech kolejnych wyrazów:
\\((x^{2}+2)^{2} = a_{4}\\cdot a_{11} = (-1)(-4) = 4\\).
\\(x^{2}+2 = 2\\) lub \\(x^{2}+2 = -2\\).
• \\(x^{2}+2 = 2 \\Rightarrow x^{2} = 0 \\Rightarrow x = 0\\).
• \\(x^{2}+2 = -2 \\Rightarrow x^{2} = -4\\) - sprzeczne.
Zatem \\(x = 0\\) i \\(x^{2}+2 = 2\\). Ciąg: \\((-1, 2, -4)\\), iloraz: \\(q = \\dfrac{2}{-1} = -2\\).

\n
Sposób 2 - Przez iloraz
\n

Zapisujemy \\(a_{11} = a_{4}\\cdot q^{2}\\): \\(-4 = -1\\cdot q^{2}\\), stąd \\(q^{2}=4\\), \\(q=2\\) lub \\(q=-2\\).
• \\(q=2\\): ciąg \\((-1,-2,-4)\\), więc \\(x^{2}+2=-2\\) - brak rozwiązań rzeczywistych.
• \\(q=-2\\): ciąg \\((-1,2,-4)\\), więc \\(x^{2}+2=2\\), \\(x=0\\). ✓
Ostatecznie: \\(x=0\\), \\(q=-2\\).

\n
Uwagi o punktacji (CKE)
\n\n

Trik: Warunek środkowego wyrazu ciągu geometrycznego: \\(b^{2} = a\\cdot c\\). Pamiętaj, że iloraz może być ujemny!

"},{"source":"zadaniazmatur","label":"zadaniazmatur.pl","kind":"text","html":"

$x = 0$ i $q = -2$

"}]}