{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/5","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"5","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 5. (0-1)\nLiczba (-2) jest rozwiązaniem równania\nA. 𝑥2 + 4 = 0\nB. 𝑥+2\n2\n= 1\nC. 𝑥\n𝑥+2 = 0\nD. 𝑥2(𝑥+ 2) + 2(𝑥+ 2) = 0\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Liczba (-2) jest rozwiązaniem równania A. x^2+4 = 0 B. x+2/2 = 1 C. x/x+2 = 0. D. x^2(x+2) + 2(x+2) = 0","answer":"D","answer_text":"5. Jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska\npoprawne wartości pierwiastków, lecz traktuje równanie jako nierówność (rysuje parabolę\ni podaje przedziały jako rozwiązanie), to otrzymuje 1 punkt. Podobnie, jeżeli zdający\npoprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska poprawne wartości\npierwiastków, lecz poda odpowiedź w postaci przedziału/sumy przedziałów o końcach\n-1\n2 i 8, to otrzymuje 1 punkt.\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nRównanie ma sens liczbowy dla 𝑥≠7 .\nPrzekształcamy równanie:\n𝑥+ 8\n𝑥-7 = 2𝑥\n𝑥+ 8 = 2𝑥(𝑥-7)\n𝑥+ 8 = 2𝑥2 -14𝑥\n2𝑥2 -15𝑥-8 = 0\nRozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.\nObliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 2𝑥2 -15𝑥-8: Δ = (-15)2 -4 ⋅2 ⋅(-8) =\n= 289 i stąd 𝑥1 = -1\n2 oraz 𝑥2 = 8.\nOtrzymane pierwiastki są różne od liczby 7, więc są rozwiązaniami danego równania.\nZadanie 31. (0-2)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nprzekształci nierówność do postaci 𝑏2 + (2𝑏-𝑎)2 ≥0 lub (𝑎-2𝑏)2 + 𝑏2 ≥0\nALBO\n\nobliczy wyróżnik trójmianu 5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 zmiennej 𝑏 (lub zmiennej 𝑎) i stwierdzi,\nże jest on niedodatni.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy przeprowadzi pełne rozumowanie.\nUwaga:\nJeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy jedynie dla wybranych wartości 𝑎 oraz 𝑏, to za\ncałe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPrzekształcamy równoważnie nierówność 𝑏(5𝑏-4𝑎) + 𝑎2 ≥0:\n5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 ≥0\n𝑏2 + 4𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 ≥0\n𝑏2 + (2𝑏-𝑎)2 ≥0\nPonieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny oraz suma liczb nieujemnych jest\nliczbą nieujemną, więc nierówność 𝑏2 + (2𝑏-𝑎)2 ≥0 jest prawdziwa dla każdych liczb\nrzeczywistych 𝑎 i 𝑏. Stąd nierówność 𝑏(5𝑏-4𝑎) + 𝑎2 ≥0 jest również prawdziwa dla\nkażdych liczb rzeczywistych 𝑎 i 𝑏. To należało pokazać.\nSposób 2.\nPrzekształcamy\nrównoważnie\nnierówność\n𝑏(5𝑏-4𝑎) + 𝑎2 ≥0\ni\notrzymujemy\n5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 ≥0. Wyrażenie 5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 traktujemy jako trójmian kwadratowy\nzmiennej np. 𝑏. Obliczamy wyróżnik trójmianu: Δ = (-4𝑎)2 -4 ⋅5 ⋅𝑎2 = -4𝑎2 ≤0 dla\nkażdej liczby rzeczywistej 𝑎. Zatem funkcja kwadratowa 𝑓(𝑏) = 5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 ma co\nnajwyżej jedno miejsce zerowe, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest\ndodatni, więc żaden fragment wykresu funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi 𝑂𝑥. Zatem funkcja nie\nprzyjmuje wartości ujemnych. Oznacza to, że dla każdych liczb rzeczywistych 𝑎 i 𝑏 zachodzi\n5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 ≥0. To należało pokazać.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 32. (0-2)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nobliczy miarę kąta 𝐵𝐶𝐷: |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°\nALBO\n\nzapisze, że |𝐵𝐷| = |𝐶𝐷|\nALBO\n\nzapisze związek między długościami odcinków 𝐴𝐷 i 𝐴𝐶, np. |𝐴𝐶| = √3 ⋅|𝐴𝐷|\nALBO\n\nzapisze związek między długościami odcinków 𝐴𝐷 i 𝐶𝐷, np. |𝐶𝐷| = 2|𝐴𝐷|\nALBO\n\nzapisze układ równań ℎ","solution":null,"image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-5.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":2,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":null,"text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 5. (0-1)<br>Liczba (-2) jest rozwiązaniem równania<br>A. 𝑥2 + 4 = 0<br>B. 𝑥+2<br>2<br>= 1<br>C. 𝑥<br>𝑥+2 = 0<br>D. 𝑥2(𝑥+ 2) + 2(𝑥+ 2) = 0</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)</p>\n<p>EMAP-P0_100<br>Rozwiązanie zadania. Liczba (-2) jest rozwiązaniem równania A. x^2+4 = 0 B. x+2/2 = 1 C. x/x+2 = 0. D. x^2(x+2) + 2(x+2) = 0</p>","answer_text_html":"<ol><li>Jeżeli zdający poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska</li></ol>\n<p>poprawne wartości pierwiastków, lecz traktuje równanie jako nierówność (rysuje parabolę<br>i podaje przedziały jako rozwiązanie), to otrzymuje 1 punkt. Podobnie, jeżeli zdający<br>poprawnie przekształci równanie do równania kwadratowego, uzyska poprawne wartości<br>pierwiastków, lecz poda odpowiedź w postaci przedziału/sumy przedziałów o końcach<br>-1<br>2 i 8, to otrzymuje 1 punkt.<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Równanie ma sens liczbowy dla 𝑥≠7 .<br>Przekształcamy równanie:<br>𝑥+ 8<br>𝑥-7 = 2𝑥<br>𝑥+ 8 = 2𝑥(𝑥-7)<br>𝑥+ 8 = 2𝑥2 -14𝑥<br>2𝑥2 -15𝑥-8 = 0<br>Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.<br>Obliczamy wyróżnik trójmianu kwadratowego 2𝑥2 -15𝑥-8: Δ = (-15)2 -4 ⋅2 ⋅(-8) =<br>= 289 i stąd 𝑥1 = -1<br>2 oraz 𝑥2 = 8.<br>Otrzymane pierwiastki są różne od liczby 7, więc są rozwiązaniami danego równania.<br>Zadanie 31. (0-2)<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy:<br><br>przekształci nierówność do postaci 𝑏2 + (2𝑏-𝑎)2 ≥0 lub (𝑎-2𝑏)2 + 𝑏2 ≥0<br>ALBO<br><br>obliczy wyróżnik trójmianu 5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 zmiennej 𝑏 (lub zmiennej 𝑎) i stwierdzi,<br>że jest on niedodatni.<br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy przeprowadzi pełne rozumowanie.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający sprawdza prawdziwość tezy jedynie dla wybranych wartości 𝑎 oraz 𝑏, to za<br>całe rozwiązanie otrzymuje 0 punktów.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Przekształcamy równoważnie nierówność 𝑏(5𝑏-4𝑎) + 𝑎2 ≥0:<br>5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 ≥0<br>𝑏2 + 4𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 ≥0<br>𝑏2 + (2𝑏-𝑎)2 ≥0<br>Ponieważ kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest nieujemny oraz suma liczb nieujemnych jest<br>liczbą nieujemną, więc nierówność 𝑏2 + (2𝑏-𝑎)2 ≥0 jest prawdziwa dla każdych liczb<br>rzeczywistych 𝑎 i 𝑏. Stąd nierówność 𝑏(5𝑏-4𝑎) + 𝑎2 ≥0 jest również prawdziwa dla<br>każdych liczb rzeczywistych 𝑎 i 𝑏. To należało pokazać.<br>Sposób 2.<br>Przekształcamy<br>równoważnie<br>nierówność<br>𝑏(5𝑏-4𝑎) + 𝑎2 ≥0<br>i<br>otrzymujemy<br>5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 ≥0. Wyrażenie 5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 traktujemy jako trójmian kwadratowy<br>zmiennej np. 𝑏. Obliczamy wyróżnik trójmianu: Δ = (-4𝑎)2 -4 ⋅5 ⋅𝑎2 = -4𝑎2 ≤0 dla<br>każdej liczby rzeczywistej 𝑎. Zatem funkcja kwadratowa 𝑓(𝑏) = 5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 ma co<br>najwyżej jedno miejsce zerowe, a ponieważ współczynnik przy drugiej potędze zmiennej jest<br>dodatni, więc żaden fragment wykresu funkcji 𝑓 nie leży poniżej osi 𝑂𝑥. Zatem funkcja nie<br>przyjmuje wartości ujemnych. Oznacza to, że dla każdych liczb rzeczywistych 𝑎 i 𝑏 zachodzi<br>5𝑏2 -4𝑎𝑏+ 𝑎2 ≥0. To należało pokazać.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zadanie 32. (0-2)<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy:<br><br>obliczy miarę kąta 𝐵𝐶𝐷: |∡𝐵𝐶𝐷| = 30°<br>ALBO<br><br>zapisze, że |𝐵𝐷| = |𝐶𝐷|<br>ALBO<br><br>zapisze związek między długościami odcinków 𝐴𝐷 i 𝐴𝐶, np. |𝐴𝐶| = √3 ⋅|𝐴𝐷|<br>ALBO<br><br>zapisze związek między długościami odcinków 𝐴𝐷 i 𝐶𝐷, np. |𝐶𝐷| = 2|𝐴𝐷|<br>ALBO<br><br>zapisze układ równań ℎ</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-5.svg"}]}