{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/6","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"6","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 6. (0-1)\nZbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 5 -2-6𝑥\n4\n≥2𝑥+ 1 jest przedział\nA. (-∞, 1⟩\nB. ⟨1, +∞)\nC. (-∞, 7⟩\nD. ⟨7, +∞)\nRozwiązanie zadania. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 5 - 2-6x/4 ≥ 2x+1 jest przedział A. <-∞,1) B. <1,+∞) C. (-∞,7> D. <7,+∞).","answer":"C","answer_text":"6 = tg 60° i ℎ\n𝑥+6 = tg 30° , gdzie ℎ= |𝐴𝐶| i 𝑥= |𝐵𝐷|.\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy obliczy długość odcinka 𝐵𝐷: |𝐵𝐷| = 12.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nPonieważ |∡𝐴𝐵𝐶| = 30° i |∡𝐶𝐷𝐴| = 60°, więc |∡𝐵𝐶𝐴| = 60° i |∡𝐷𝐶𝐴| = 30°. Stąd\n|∡𝐵𝐶𝐷| = 30°, czyli |𝐵𝐷| = |𝐶𝐷|. Korzystając ze związków miarowych w trójkącie o kątach\n30°, 60° i 90°, otrzymujemy\n|𝐴𝐷| = 1\n2 ⋅|𝐶𝐷|\nwięc |𝐶𝐷| = 2 ⋅|𝐴𝐷| = 2 ⋅6 = 12, czyli |𝐵𝐷| = 12.\nSposób 2.\nObliczamy długość boku |𝐴𝐶|:\n|𝐴𝐶|\n|𝐴𝐷| = tg|∡𝐴𝐷𝐶|\n|𝐴𝐶|\n6\n= tg 60°\n|𝐴𝐶| = 6 tg 60° = 6√3\nObliczamy długość boku |𝐴𝐵|:\n|𝐴𝐶|\n|𝐴𝐵| = tg|∡𝐴𝐵𝐶|\n6√3\n|𝐴𝐵| = tg 30°\n6√3\n|𝐴𝐵| = √3\n3\n√3 ⋅|𝐴𝐵| = 6√3 ⋅3\n|𝐴𝐵| = 18\nZatem |𝐵𝐷| = |𝐴𝐵| -|𝐴𝐷| = 18 -6 = 12.\nUwaga:\nJeżeli zdający zapisze tylko |𝐵𝐷| = 12, to otrzymuje 1 punkt.\nZadanie 33. (0-2)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nzapisze, że trójkąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐶𝑆𝐷 są podobne\nALBO\n\nkorzystając z twierdzenia o stosunku pól figur podobnych, zapisze 𝑃Δ𝐴𝑆𝐵\n𝑃ΔC𝑆𝐷= (\n|𝐴𝑆|\n|𝑆𝐶|)\n2\nALBO\n\nzapisze\n|𝐴𝑆|\n|𝑆𝐶| =\n|𝐵𝑆|\n|𝑆𝐷| = 3\n2 .\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę wyznaczenia pola trójkąta 𝐶𝐷𝑆 i uzyska poprawny wynik:\n𝑃Δ𝐶𝐷𝑆= 12⋅4\n9\n= 16\n3 .\nPrzykładowe pełne rozwiązanie\nPonieważ 𝐴𝐵∥𝐶𝐷 i kąty 𝐵𝐴𝐶 oraz 𝐷𝐶𝐴 są naprzemianległe, więc |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐷𝐶𝐴|.\nPodobnie |∡𝐴𝐵𝐶| = |∡𝐶𝐷𝐵|. Ponadto kąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐶𝑆𝐷 są wierzchołkowe. Zatem trójkąty\n𝐴𝑆𝐵 i 𝐶𝑆𝐷 są podobne (cecha KKK). Z twierdzenia o stosunku pól figur podobnych\ni warunków zadania otrzymujemy\n𝑃Δ𝐴𝑆𝐵\n𝑃Δ𝐶𝑆𝐷\n= (\n|𝐴𝑆|\n|𝑆𝐶|)\n2\n= 9\n4\nwięc 𝑃Δ𝐶𝐷𝑆= 12⋅4\n9\n= 16\n3 .\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 34. (0-2)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nwypisze wszystkie zdarzenia elementarne lub obliczy, lub poda ich liczbę: |Ω| = 36\nALBO\n\nprzedstawi poprawny sposób wyznaczenia wszystkich elementów zbioru 𝐴 lub\nwypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴:\n(2, 6), (6, 2), (3, 4), (4, 3)\nALBO\n\nobliczy lub poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:\n|𝐴| = 4\nALBO\n\nsporządzi drzewo stochastyczne składające się z 36 gałęzi i zapisze na co najmniej\njednym odcinku każdego z etapów prawdopodobieństwo 1\n6 lub wskaże wszystkie\nistotne gałęzie na tym drzewie\nALBO\n\nsporządzi fragment drzewa doświadczenia składający się jedynie z 4 istotnych gałęzi\nALBO\n\nzapisze tylko 𝑃(𝐴) = 4\n36 .\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz zastosuje poprawną metodę\nobliczenia\nprawdopodobieństwa\nzdarzenia\n𝐴\ni\nuzyska\npoprawny\nwynik:\n𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 4\n36 .\nUwagi:\n1. Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 4 lub 36 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych\nliczb, to otrzymuje 0 punktów.\n2. Jeżeli zdający rozpatruje inne niż podane w treści zadania doświadczenie losowe, to\notrzymuje 0 punktów.\n3. Jeżeli zdający sporządzi jedynie pustą tabelę o 36 pustych polach, to otrzymuje 0 punktów\nza całe rozwiązanie.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1. (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)\nZdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie\n𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 62 = 36.\nObliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴, np.\nwypisując je i zliczając:\n(2, 6), (6, 2), (3, 4), (4, 3)\nwięc |𝐴| = 4.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) =\n|𝐴|\n|Ω| = 4\n36 = 1\n9 .\nSposób 2. (drzewo stochastyczne)\nRysujemy część drzewa stochastycznego z zaznaczonymi wszystkimi istotnymi gałęziami.\nPrawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe\n𝑃(𝐴) = 4 ⋅1\n6 ∙1\n6 = 4\n36 = 1\n9\n1\n2\n3\n1\n6\n1\n6\n6\n5\n4\n1\n6\n1\n6\n6\n4\n3\n2\n1\n6\n1\n6\n1\n6\n1\n6\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nZadanie 35. (0-5)\nZasady oceniania\nZdający otrzymuje 1 p.\ngdy:\n\nobliczy czwarty albo jedenasty wyraz ciągu (𝑎𝑛): 𝑎4 = -1 (albo 𝑎11 = -4)\nALBO\n\nkorzystając z własności ciągu geometrycznego, zapisze (𝑥2 + 2)2 = 𝑎4 ⋅𝑎11 .\nZdający otrzymuje 2 p.\ngdy:\n\nobliczy czwarty i jedenasty wyraz ciągu (𝑎𝑛): 𝑎4 = -1 i 𝑎11 = -4\nALBO\n\nkorzystając z własności ciągu geometrycznego , zapisze (𝑥2 + 2)2 = 𝑎4 ⋅𝑎11 i obliczy\n𝑎4 = -1 (albo 𝑎11 = -4).\nZdający otrzymuje 3 p.\ngdy:\n\nskorzysta z własności ciągu geometrycznego i zapisze równanie, w którym\nniewiadomą jest 𝑥, np.: (𝑥2 + 2)2 = (-1) ⋅(-4)\nALBO\n\nskorzysta ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu geometrycznego i zapisze równanie,\nw którym niewiadomą jest 𝑞, np.: (-1) ⋅𝑞2 = -4.\nZdający otrzymuje 4 p.\ngdy:\n\nzapisze alternatywę równań 𝑥2 + 2 = -2 lub 𝑥2 + 2 = 2 i zapisze rozwiązanie\n𝑥= 0\nALBO\n\nrozwiąże równanie (-1) ⋅𝑞2 = -4, otrzymując dwie wartości 𝑞, lecz dalej\nkonsekwentnie rozwiązuje zadanie do końca tylko dla 𝑞= -2 i nie uzasadni, że dla\n𝑞= 2 nie istnieje taka liczba 𝑥, żeby ciąg (-1, 𝑥2 + 2, -4) był geometryczny.\nZdający otrzymuje 5 p.\ngdy zastosuje poprawną metodę wyznaczenia ilorazu 𝑞 ciągu geometrycznego i otrzyma\npoprawne wartości 𝑥 oraz 𝑞: 𝑥= 0 i 𝑞= -2.\nPrzykładowe pełne rozwiązania\nSposób 1.\nObliczamy czwarty i jedenasty wyraz ciągu (𝑎𝑛): 𝑎4 = 5-12\n7\n= -1, 𝑎11 = 5-33\n7\n= -4.\nZ warunków zadania wynika, że liczby (-1), 𝑥2 + 2, (-4) są kolejnymi wyrazami ciągu\ngeometrycznego. Korzystając z własności ciągu geometrycznego, otrzymujemy\n(𝑥2 + 2)2 = (-1) ⋅(-4)\n𝑥2 + 2 = 2 lub 𝑥2 + 2 = -2\n𝑥2 = 0 lub 𝑥2 = -4\n𝑥= 0\nZatem wyrazami rozpatrywanego ciągu geometrycznego są liczby (-1), 2, (-4), więc\niloraz 𝑞 tego ciągu jest równy 𝑞= 2\n-1 = -2.\nSposób 2.\nObliczamy czwarty i jedenasty wyraz ciągu (𝑎𝑛): 𝑎4 = 5-12\n7\n= -1, 𝑎11 = 5-33\n7\n= -4.\nZ warunków zadania wynika, że liczby (-1), 𝑥2 + 2, (-4) są kolejnymi wyrazami ciągu\ngeometrycznego, więc korzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu geometrycznego\ni otrzymujemy -4 = (-1)𝑞2 . Stąd 𝑞= 2 lub 𝑞= -2.\nDla 𝑞= 2 otrzymujemy ciąg geometryczny (-1, -2, -4), więc wtedy 𝑥2 + 2 = -2, ale to\nrównanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.\nDla 𝑞= -2 otrzymujemy ciąg geometryczny (-1, 2, -4). Stąd 𝑥2 + 2 = 2, czyli 𝑥= 0.\nOstatecznie: 𝑥= 0 i 𝑞= -2.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nOcena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią\nObowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej\ndyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:\nI. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną\ndyskalkulią (punkty 1.-12.);\nII. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy\nosób ze stwierdzoną dyskalkulią - matura z matematyki, poziom podstawowy, termin\npoprawkowy 2021.\nI.\nOgólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze\nstwierdzoną dyskalkulią\n1. Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:\n\nbłędnego przepisania,\n\nprzestawienia cyfr,\n\nzapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie,\n\nprzestawienia położenia przecinka.\n2. W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu\noddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza\numiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania\nbadanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.\n3. We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę\nrozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej\n1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.\n4. Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub\nzapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne\nrozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt\nza rozwiązanie zadania.\n5. W\nprzypadku\nzadania\nwymagającego\nwyznaczenia\npierwiastków\ntrójmianu\nkwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę\nwyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania\nwartościach liczbowych.\n6. W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający\nmoże otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności\nkwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.","solution":"## Poprawna odpowiedź: C\n\nZbiorem wszystkich rozwiązań jest \\((-\\infty, 7\\rangle\\).\n\n## Sposób 1 - Mnożenie przez mianownik i uproszczenie\n\nMamy nierówność:\n\\[5 - \\frac{2-6x}{4} \\geq 2x + 1\\]\n\n**Krok 1:** Mnożymy obie strony przez \\(4\\) (liczba dodatnia - kierunek nierówności się **nie zmienia**):\n\\[4 \\cdot 5 - (2 - 6x) \\geq 4(2x + 1)\\]\n\\[20 - 2 + 6x \\geq 8x + 4\\]\n\n**Krok 2:** Upraszczamy lewą stronę:\n\\[18 + 6x \\geq 8x + 4\\]\n\n**Krok 3:** Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na prawą, liczby na lewą:\n\\[18 - 4 \\geq 8x - 6x\\]\n\\[14 \\geq 2x\\]\n\n**Krok 4:** Dzielimy obie strony przez \\(2\\) (dodatnie - kierunek bez zmian):\n\\[7 \\geq x \\quad \\Longleftrightarrow \\quad x \\leq 7\\]\n\n**Wynik: \\(x \\in (-\\infty, 7\\rangle\\)**\n\n## Sposób 2 - Przekształcenie ułamka i działanie na całości\n\nZamiast mnożyć przez 4, rozbijamy ułamek:\n\\[5 - \\frac{2-6x}{4} \\geq 2x + 1\\]\n\\[5 - \\frac{2}{4} + \\frac{6x}{4} \\geq 2x + 1\\]\n\\[5 - \\frac{1}{2} + \\frac{3x}{2} \\geq 2x + 1\\]\n\\[\\frac{9}{2} + \\frac{3x}{2} \\geq 2x + 1\\]\n\nMnożymy przez \\(2\\):\n\\[9 + 3x \\geq 4x + 2\\]\n\\[9 - 2 \\geq 4x - 3x\\]\n\\[7 \\geq x\\]\n\n**Ten sam wynik: \\(x \\in (-\\infty, 7\\rangle\\)**\n\n**Weryfikacja - sprawdzamy \\(x = 7\\) (granica przedziału):**\n- Lewa strona: \\(5 - \\frac{2 - 42}{4} = 5 - \\frac{-40}{4} = 5 + 10 = 15\\)\n- Prawa strona: \\(2 \\cdot 7 + 1 = 15\\)\n- \\(15 \\geq 15\\) ✓ - równość zachodzi, więc \\(7\\) należy do rozwiązania (przedział domknięty od prawej).\n\n**Sprawdzamy \\(x = 8\\) (spoza przedziału):**\n- Lewa strona: \\(5 - \\frac{2 - 48}{4} = 5 + \\frac{46}{4} = 5 + 11{,}5 = 16{,}5\\)\n- Prawa strona: \\(2 \\cdot 8 + 1 = 17\\)\n- \\(16{,}5 \\geq 17\\) ✗ - nierówność nie jest spełniona, \\(8\\) nie należy do rozwiązania. ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy elementarne przekształcanie nierówności liniowej (mnożenie obu stron przez tę samą liczbę dodatnią, przenoszenie wyrazów).\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |\n| A | Uczeń otrzymuje \\(x \\leq 1\\) - prawdopodobnie **nie pomnożył przez 4 całej lewej strony**, pominął wyraz \\(18\\) lub błędnie wykonał \\(20 - 2 = 1\\) |\n| B | Uczeń odwraca kierunek nierówności mimo mnożenia przez liczbę **dodatnią** - dostaje \\(x \\geq 1\\) |\n| D | Uczeń poprawnie wyznacza \\(7\\), ale **odwraca kierunek nierówności** - dostaje \\(x \\geq 7\\) |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kiedy mnożysz lub dzielisz nierówność przez liczbę **ujemną**, kierunek nierówności się odwraca. Tutaj mnożymy przez \\(4 > 0\\) - kierunek **bez zmian**. Nie myl z przypadkiem, gdy mianownik jest ujemny!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przy usuwaniu nawiasu po znaku minus - \\(-(2 - 6x) = -2 + 6x\\) - uważaj na znaki! To najczęstsze miejsce pomyłki w tym zadaniu. Nie zapomnij rozdzielić minusa na **oba** wyrazy w nawiasie.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Sprawdź, czy przedział jest domknięty (\\(\\langle\\)) czy otwarty (\\((\\)). Tutaj mamy \\(\\geq\\), więc \\(x = 7\\) **jest** rozwiązaniem - przedział domknięty od prawej: \\((-\\infty, 7\\rangle\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Pomnożenie stronami przez 4\n\\(5 - \\dfrac{2-6x}{4} \\geq 2x+1 \\;\\big|\\cdot 4\\)\n\\(20 - (2-6x) \\geq 8x + 4\\)\n\\(20 - 2 + 6x \\geq 8x + 4\\)\n\\(18 + 6x \\geq 8x + 4\\)\n\\(14 \\geq 2x\\)\n\\(x \\leq 7\\), więc \\(x \\in (-\\infty, 7\\rangle\\).\n\n### Sposób 2 - Przekształcenia równoważne\n\\(5 - 1 \\geq 2x + \\dfrac{2-6x}{4}\\)\n\\(4 \\geq \\dfrac{8x + 2 - 6x}{4} = \\dfrac{2x+2}{4}\\)\n\\(16 \\geq 2x + 2\\), \\(x \\leq 7\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\((-\\infty,1\\rangle\\)** - błąd w przekształceniach (złe dzielenie).\n- **B. \\(\\langle 1,+\\infty)\\)** - odwrócony znak i zły wynik.\n- **D. \\(\\langle 7,+\\infty)\\)** - odwrócony znak nierówności.\n\n**Trik:** Przy mnożeniu przez liczbę dodatnią znak nierówności się nie zmienia.","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-6.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg","topics":"rownania_i_nierownosci","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 6. (0-1)<br>Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 5 -2-6𝑥<br>4<br>≥2𝑥+ 1 jest przedział<br>A. (-∞, 1⟩<br>B. ⟨1, +∞)<br>C. (-∞, 7⟩<br>D. ⟨7, +∞)<br>Rozwiązanie zadania. Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności 5 - 2-6x/4 ≥ 2x+1 jest przedział A. &lt;-∞,1) B. &lt;1,+∞) C. (-∞,7&gt; D. &lt;7,+∞).</p>","answer_text_html":"<p>6 = tg 60° i ℎ<br>𝑥+6 = tg 30° , gdzie ℎ= |𝐴𝐶| i 𝑥= |𝐵𝐷|.<br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy obliczy długość odcinka 𝐵𝐷: |𝐵𝐷| = 12.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Ponieważ |∡𝐴𝐵𝐶| = 30° i |∡𝐶𝐷𝐴| = 60°, więc |∡𝐵𝐶𝐴| = 60° i |∡𝐷𝐶𝐴| = 30°. Stąd<br>|∡𝐵𝐶𝐷| = 30°, czyli |𝐵𝐷| = |𝐶𝐷|. Korzystając ze związków miarowych w trójkącie o kątach<br>30°, 60° i 90°, otrzymujemy<br>|𝐴𝐷| = 1<br>2 ⋅|𝐶𝐷|<br>więc |𝐶𝐷| = 2 ⋅|𝐴𝐷| = 2 ⋅6 = 12, czyli |𝐵𝐷| = 12.<br>Sposób 2.<br>Obliczamy długość boku |𝐴𝐶|:<br>|𝐴𝐶|<br>|𝐴𝐷| = tg|∡𝐴𝐷𝐶|<br>|𝐴𝐶|<br>6<br>= tg 60°<br>|𝐴𝐶| = 6 tg 60° = 6√3<br>Obliczamy długość boku |𝐴𝐵|:<br>|𝐴𝐶|<br>|𝐴𝐵| = tg|∡𝐴𝐵𝐶|<br>6√3<br>|𝐴𝐵| = tg 30°<br>6√3<br>|𝐴𝐵| = √3<br>3<br>√3 ⋅|𝐴𝐵| = 6√3 ⋅3<br>|𝐴𝐵| = 18<br>Zatem |𝐵𝐷| = |𝐴𝐵| -|𝐴𝐷| = 18 -6 = 12.<br>Uwaga:<br>Jeżeli zdający zapisze tylko |𝐵𝐷| = 12, to otrzymuje 1 punkt.<br>Zadanie 33. (0-2)<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy:<br><br>zapisze, że trójkąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐶𝑆𝐷 są podobne<br>ALBO<br><br>korzystając z twierdzenia o stosunku pól figur podobnych, zapisze 𝑃Δ𝐴𝑆𝐵<br>𝑃ΔC𝑆𝐷= (<br>|𝐴𝑆|<br>|𝑆𝐶|)<br>2<br>ALBO<br><br>zapisze<br>|𝐴𝑆|<br>|𝑆𝐶| =<br>|𝐵𝑆|<br>|𝑆𝐷| = 3<br>2 .<br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy zastosuje poprawną metodę wyznaczenia pola trójkąta 𝐶𝐷𝑆 i uzyska poprawny wynik:<br>𝑃Δ𝐶𝐷𝑆= 12⋅4<br>9<br>= 16<br>3 .<br>Przykładowe pełne rozwiązanie<br>Ponieważ 𝐴𝐵∥𝐶𝐷 i kąty 𝐵𝐴𝐶 oraz 𝐷𝐶𝐴 są naprzemianległe, więc |∡𝐵𝐴𝐶| = |∡𝐷𝐶𝐴|.<br>Podobnie |∡𝐴𝐵𝐶| = |∡𝐶𝐷𝐵|. Ponadto kąty 𝐴𝑆𝐵 i 𝐶𝑆𝐷 są wierzchołkowe. Zatem trójkąty<br>𝐴𝑆𝐵 i 𝐶𝑆𝐷 są podobne (cecha KKK). Z twierdzenia o stosunku pól figur podobnych<br>i warunków zadania otrzymujemy<br>𝑃Δ𝐴𝑆𝐵<br>𝑃Δ𝐶𝑆𝐷<br>= (<br>|𝐴𝑆|<br>|𝑆𝐶|)<br>2<br>= 9<br>4<br>więc 𝑃Δ𝐶𝐷𝑆= 12⋅4<br>9<br>= 16<br>3 .<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zadanie 34. (0-2)<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy:<br><br>wypisze wszystkie zdarzenia elementarne lub obliczy, lub poda ich liczbę: |Ω| = 36<br>ALBO<br><br>przedstawi poprawny sposób wyznaczenia wszystkich elementów zbioru 𝐴 lub<br>wypisze wszystkie zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu 𝐴:<br>(2, 6), (6, 2), (3, 4), (4, 3)<br>ALBO<br><br>obliczy lub poda liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴:<br>|𝐴| = 4<br>ALBO<br><br>sporządzi drzewo stochastyczne składające się z 36 gałęzi i zapisze na co najmniej<br>jednym odcinku każdego z etapów prawdopodobieństwo 1<br>6 lub wskaże wszystkie<br>istotne gałęzie na tym drzewie<br>ALBO<br><br>sporządzi fragment drzewa doświadczenia składający się jedynie z 4 istotnych gałęzi<br>ALBO<br><br>zapisze tylko 𝑃(𝐴) = 4<br>36 .<br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy spełni warunki określone w zasadach oceniania za 1 pkt oraz zastosuje poprawną metodę<br>obliczenia<br>prawdopodobieństwa<br>zdarzenia<br>𝐴<br>i<br>uzyska<br>poprawny<br>wynik:<br>𝑃(𝐴) =<br>|𝐴|<br>|Ω| = 4<br>36 .<br>Uwagi:</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający zapisuje tylko liczby 4 lub 36 i z rozwiązania nie wynika znaczenie tych</li></ol>\n<p>liczb, to otrzymuje 0 punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający rozpatruje inne niż podane w treści zadania doświadczenie losowe, to</li></ol>\n<p>otrzymuje 0 punktów.</p>\n<ol><li>Jeżeli zdający sporządzi jedynie pustą tabelę o 36 pustych polach, to otrzymuje 0 punktów</li></ol>\n<p>za całe rozwiązanie.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1. (klasyczna definicja prawdopodobieństwa)<br>Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie uporządkowane pary liczb (𝑎, 𝑏), gdzie<br>𝑎, 𝑏∈{1, 2, 3, 4, 5, 6}. Liczba wszystkich zdarzeń elementarnych jest równa |Ω| = 62 = 36.<br>Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu 𝐴, np.<br>wypisując je i zliczając:<br>(2, 6), (6, 2), (3, 4), (4, 3)<br>więc |𝐴| = 4.<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe: 𝑃(𝐴) =<br>|𝐴|<br>|Ω| = 4<br>36 = 1<br>9 .<br>Sposób 2. (drzewo stochastyczne)<br>Rysujemy część drzewa stochastycznego z zaznaczonymi wszystkimi istotnymi gałęziami.<br>Prawdopodobieństwo zdarzenia 𝐴 jest równe<br>𝑃(𝐴) = 4 ⋅1<br>6 ∙1<br>6 = 4<br>36 = 1<br>9<br>1<br>2<br>3<br>1<br>6<br>1<br>6<br>6<br>5<br>4<br>1<br>6<br>1<br>6<br>6<br>4<br>3<br>2<br>1<br>6<br>1<br>6<br>1<br>6<br>1<br>6<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Zadanie 35. (0-5)<br>Zasady oceniania<br>Zdający otrzymuje 1 p.<br>gdy:<br><br>obliczy czwarty albo jedenasty wyraz ciągu (𝑎𝑛): 𝑎4 = -1 (albo 𝑎11 = -4)<br>ALBO<br><br>korzystając z własności ciągu geometrycznego, zapisze (𝑥2 + 2)2 = 𝑎4 ⋅𝑎11 .<br>Zdający otrzymuje 2 p.<br>gdy:<br><br>obliczy czwarty i jedenasty wyraz ciągu (𝑎𝑛): 𝑎4 = -1 i 𝑎11 = -4<br>ALBO<br><br>korzystając z własności ciągu geometrycznego , zapisze (𝑥2 + 2)2 = 𝑎4 ⋅𝑎11 i obliczy<br>𝑎4 = -1 (albo 𝑎11 = -4).<br>Zdający otrzymuje 3 p.<br>gdy:<br><br>skorzysta z własności ciągu geometrycznego i zapisze równanie, w którym<br>niewiadomą jest 𝑥, np.: (𝑥2 + 2)2 = (-1) ⋅(-4)<br>ALBO<br><br>skorzysta ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu geometrycznego i zapisze równanie,<br>w którym niewiadomą jest 𝑞, np.: (-1) ⋅𝑞2 = -4.<br>Zdający otrzymuje 4 p.<br>gdy:<br><br>zapisze alternatywę równań 𝑥2 + 2 = -2 lub 𝑥2 + 2 = 2 i zapisze rozwiązanie<br>𝑥= 0<br>ALBO<br><br>rozwiąże równanie (-1) ⋅𝑞2 = -4, otrzymując dwie wartości 𝑞, lecz dalej<br>konsekwentnie rozwiązuje zadanie do końca tylko dla 𝑞= -2 i nie uzasadni, że dla<br>𝑞= 2 nie istnieje taka liczba 𝑥, żeby ciąg (-1, 𝑥2 + 2, -4) był geometryczny.<br>Zdający otrzymuje 5 p.<br>gdy zastosuje poprawną metodę wyznaczenia ilorazu 𝑞 ciągu geometrycznego i otrzyma<br>poprawne wartości 𝑥 oraz 𝑞: 𝑥= 0 i 𝑞= -2.<br>Przykładowe pełne rozwiązania<br>Sposób 1.<br>Obliczamy czwarty i jedenasty wyraz ciągu (𝑎𝑛): 𝑎4 = 5-12<br>7<br>= -1, 𝑎11 = 5-33<br>7<br>= -4.<br>Z warunków zadania wynika, że liczby (-1), 𝑥2 + 2, (-4) są kolejnymi wyrazami ciągu<br>geometrycznego. Korzystając z własności ciągu geometrycznego, otrzymujemy<br>(𝑥2 + 2)2 = (-1) ⋅(-4)<br>𝑥2 + 2 = 2 lub 𝑥2 + 2 = -2<br>𝑥2 = 0 lub 𝑥2 = -4<br>𝑥= 0<br>Zatem wyrazami rozpatrywanego ciągu geometrycznego są liczby (-1), 2, (-4), więc<br>iloraz 𝑞 tego ciągu jest równy 𝑞= 2<br>-1 = -2.<br>Sposób 2.<br>Obliczamy czwarty i jedenasty wyraz ciągu (𝑎𝑛): 𝑎4 = 5-12<br>7<br>= -1, 𝑎11 = 5-33<br>7<br>= -4.<br>Z warunków zadania wynika, że liczby (-1), 𝑥2 + 2, (-4) są kolejnymi wyrazami ciągu<br>geometrycznego, więc korzystamy ze wzoru na 𝑛-ty wyraz ciągu geometrycznego<br>i otrzymujemy -4 = (-1)𝑞2 . Stąd 𝑞= 2 lub 𝑞= -2.<br>Dla 𝑞= 2 otrzymujemy ciąg geometryczny (-1, -2, -4), więc wtedy 𝑥2 + 2 = -2, ale to<br>równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.<br>Dla 𝑞= -2 otrzymujemy ciąg geometryczny (-1, 2, -4). Stąd 𝑥2 + 2 = 2, czyli 𝑥= 0.<br>Ostatecznie: 𝑥= 0 i 𝑞= -2.<br>Zasady oceniania rozwiązań zadań<br>Ocena prac osób ze stwierdzoną dyskalkulią<br>Obowiązują zasady oceniania stosowane przy sprawdzaniu prac zdających bez stwierdzonej<br>dyskalkulii z dodatkowym uwzględnieniem:<br>I. ogólnych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze stwierdzoną<br>dyskalkulią (punkty 1.-12.);<br>II. dodatkowych szczegółowych zasad oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy<br>osób ze stwierdzoną dyskalkulią - matura z matematyki, poziom podstawowy, termin<br>poprawkowy 2021.<br>I.<br>Ogólne zasady oceniania zadań otwartych w przypadku arkuszy osób ze<br>stwierdzoną dyskalkulią</p>\n<ol><li>Nie należy traktować jako błędy merytoryczne pomyłek, wynikających z:</li></ol>\n<p><br>błędnego przepisania,<br><br>przestawienia cyfr,<br><br>zapisania innej cyfry, ale o podobnym wyglądzie,<br><br>przestawienia położenia przecinka.</p>\n<ol><li>W przypadku błędów, wynikających ze zmiany znaku liczby, należy w każdym zadaniu</li></ol>\n<p>oddzielnie przeanalizować, czy zdający opanował inne umiejętności, poza<br>umiejętnościami rachunkowymi, oceniane w zadaniu. W przypadku opanowania<br>badanych umiejętności zdający powinien otrzymać przynajmniej 1 punkt.</p>\n<ol><li>We wszystkich zadaniach otwartych, w których wskazano poprawną metodę</li></ol>\n<p>rozwiązania, części lub całości zadania, zdającemu należy przyznać przynajmniej<br>1 punkt, zgodnie z kryteriami do poszczególnych zadań.</p>\n<ol><li>Jeśli zdający przedstawia nieprecyzyjne zapisy, na przykład pomija nawiasy lub</li></ol>\n<p>zapisuje nawiasy w niewłaściwych miejscach, ale przeprowadza poprawne<br>rozumowanie lub stosuje właściwą strategię, to może otrzymać przynajmniej 1 punkt<br>za rozwiązanie zadania.</p>\n<ol><li>W</li></ol>\n<p>przypadku<br>zadania<br>wymagającego<br>wyznaczenia<br>pierwiastków<br>trójmianu<br>kwadratowego zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi poprawną metodę<br>wyznaczania pierwiastków trójmianu kwadratowego, przy podanych w treści zadania<br>wartościach liczbowych.</p>\n<ol><li>W przypadku zadania wymagającego rozwiązania nierówności kwadratowej zdający</li></ol>\n<p>może otrzymać 1 punkt, jeżeli stosuje poprawny algorytm rozwiązywania nierówności<br>kwadratowej, przy podanych w treści zadania wartościach liczbowych.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-6.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C</h4>\n<p>Zbiorem wszystkich rozwiązań jest \\((-\\infty, 7\\rangle\\).</p>\n<h4>Sposób 1 - Mnożenie przez mianownik i uproszczenie</h4>\n<p>Mamy nierówność:<br>\\[5 - \\frac{2-6x}{4} \\geq 2x + 1\\]</p>\n<p><strong>Krok 1:</strong> Mnożymy obie strony przez \\(4\\) (liczba dodatnia - kierunek nierówności się <strong>nie zmienia</strong>):<br>\\[4 \\cdot 5 - (2 - 6x) \\geq 4(2x + 1)\\]<br>\\[20 - 2 + 6x \\geq 8x + 4\\]</p>\n<p><strong>Krok 2:</strong> Upraszczamy lewą stronę:<br>\\[18 + 6x \\geq 8x + 4\\]</p>\n<p><strong>Krok 3:</strong> Przenosimy wyrazy z \\(x\\) na prawą, liczby na lewą:<br>\\[18 - 4 \\geq 8x - 6x\\]<br>\\[14 \\geq 2x\\]</p>\n<p><strong>Krok 4:</strong> Dzielimy obie strony przez \\(2\\) (dodatnie - kierunek bez zmian):<br>\\[7 \\geq x \\quad \\Longleftrightarrow \\quad x \\leq 7\\]</p>\n<p><strong>Wynik: \\(x \\in (-\\infty, 7\\rangle\\)</strong></p>\n<h4>Sposób 2 - Przekształcenie ułamka i działanie na całości</h4>\n<p>Zamiast mnożyć przez 4, rozbijamy ułamek:<br>\\[5 - \\frac{2-6x}{4} \\geq 2x + 1\\]<br>\\[5 - \\frac{2}{4} + \\frac{6x}{4} \\geq 2x + 1\\]<br>\\[5 - \\frac{1}{2} + \\frac{3x}{2} \\geq 2x + 1\\]<br>\\[\\frac{9}{2} + \\frac{3x}{2} \\geq 2x + 1\\]</p>\n<p>Mnożymy przez \\(2\\):<br>\\[9 + 3x \\geq 4x + 2\\]<br>\\[9 - 2 \\geq 4x - 3x\\]<br>\\[7 \\geq x\\]</p>\n<p><strong>Ten sam wynik: \\(x \\in (-\\infty, 7\\rangle\\)</strong></p>\n<p><strong>Weryfikacja - sprawdzamy \\(x = 7\\) (granica przedziału):</strong></p>\n<ul><li>Lewa strona: \\(5 - \\frac{2 - 42}{4} = 5 - \\frac{-40}{4} = 5 + 10 = 15\\)</li><li>Prawa strona: \\(2 \\cdot 7 + 1 = 15\\)</li><li>\\(15 \\geq 15\\) ✓ - równość zachodzi, więc \\(7\\) należy do rozwiązania (przedział domknięty od prawej).</li></ul>\n<p><strong>Sprawdzamy \\(x = 8\\) (spoza przedziału):</strong></p>\n<ul><li>Lewa strona: \\(5 - \\frac{2 - 48}{4} = 5 + \\frac{46}{4} = 5 + 11{,}5 = 16{,}5\\)</li><li>Prawa strona: \\(2 \\cdot 8 + 1 = 17\\)</li><li>\\(16{,}5 \\geq 17\\) ✗ - nierówność nie jest spełniona, \\(8\\) nie należy do rozwiązania. ✓</li></ul>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy elementarne przekształcanie nierówności liniowej (mnożenie obu stron przez tę samą liczbę dodatnią, przenoszenie wyrazów).</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd prowadzący do tej odpowiedzi |<br>| A | Uczeń otrzymuje \\(x \\leq 1\\) - prawdopodobnie <strong>nie pomnożył przez 4 całej lewej strony</strong>, pominął wyraz \\(18\\) lub błędnie wykonał \\(20 - 2 = 1\\) |<br>| B | Uczeń odwraca kierunek nierówności mimo mnożenia przez liczbę <strong>dodatnią</strong> - dostaje \\(x \\geq 1\\) |<br>| D | Uczeń poprawnie wyznacza \\(7\\), ale <strong>odwraca kierunek nierówności</strong> - dostaje \\(x \\geq 7\\) |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Kiedy mnożysz lub dzielisz nierówność przez liczbę <strong>ujemną</strong>, kierunek nierówności się odwraca. Tutaj mnożymy przez \\(4 &gt; 0\\) - kierunek <strong>bez zmian</strong>. Nie myl z przypadkiem, gdy mianownik jest ujemny!</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przy usuwaniu nawiasu po znaku minus - \\(-(2 - 6x) = -2 + 6x\\) - uważaj na znaki! To najczęstsze miejsce pomyłki w tym zadaniu. Nie zapomnij rozdzielić minusa na <strong>oba</strong> wyrazy w nawiasie.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Sprawdź, czy przedział jest domknięty (\\(\\langle\\)) czy otwarty (\\((\\)). Tutaj mamy \\(\\geq\\), więc \\(x = 7\\) <strong>jest</strong> rozwiązaniem - przedział domknięty od prawej: \\((-\\infty, 7\\rangle\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Pomnożenie stronami przez 4</h5>\n<p>\\(5 - \\dfrac{2-6x}{4} \\geq 2x+1 \\;\\big|\\cdot 4\\)<br>\\(20 - (2-6x) \\geq 8x + 4\\)<br>\\(20 - 2 + 6x \\geq 8x + 4\\)<br>\\(18 + 6x \\geq 8x + 4\\)<br>\\(14 \\geq 2x\\)<br>\\(x \\leq 7\\), więc \\(x \\in (-\\infty, 7\\rangle\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Przekształcenia równoważne</h5>\n<p>\\(5 - 1 \\geq 2x + \\dfrac{2-6x}{4}\\)<br>\\(4 \\geq \\dfrac{8x + 2 - 6x}{4} = \\dfrac{2x+2}{4}\\)<br>\\(16 \\geq 2x + 2\\), \\(x \\leq 7\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\((-\\infty,1\\rangle\\)</strong> - błąd w przekształceniach (złe dzielenie).</li><li><strong>B. \\(\\langle 1,+\\infty)\\)</strong> - odwrócony znak i zły wynik.</li><li><strong>D. \\(\\langle 7,+\\infty)\\)</strong> - odwrócony znak nierówności.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Przy mnożeniu przez liczbę dodatnią znak nierówności się nie zmienia.</p>"}]}