{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/7","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"7","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 7. (0-1)\nFunkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -2𝑥+ 4. Wykres funkcji 𝑓 przesunięto\nwzdłuż osi 𝑂𝑥 o 2 jednostki w lewo (tzn. przeciwnie do zwrotu osi), w wyniku czego\notrzymano wykres funkcji 𝑔. Funkcja 𝑔 jest określona wzorem\nA. 𝑔(𝑥) = -2𝑥+ 2\nB. 𝑔(𝑥) = -2𝑥\nC. 𝑔(𝑥) = -2𝑥+ 6\nD. 𝑔(𝑥) = -2𝑥+ 8\nRozwiązanie zadania. Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=-2x+4. Wykres funkcji f przesunięto wzdłuż osi Ox o 2 jednostki w lewo (tzn. przeciwnie do zwrotu osi), w wyniku czego otrzymano wykres funkcji g. Funkcja g jest określona wzorem A. g(x)=-2x+2 B. g(x)=-2x C. g(x)=-2x+6 D. g(x)=-2x+8","answer":"B","answer_text":"7. W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej\nzdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji\nkwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: B - \\(g(x) = -2x\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie do wzoru (reguła przesunięcia)\n\n**Kluczowa zasada:** Przesunięcie wykresu o \\(a\\) jednostek **w lewo** wzdłuż osi \\(Ox\\) oznacza, że nowa funkcja to:\n\\[g(x) = f(x + a)\\]\n\nW naszym przypadku przesunięcie wynosi \\(a = 2\\) (w lewo), więc:\n\\[g(x) = f(x + 2)\\]\n\nPodstawiamy \\((x + 2)\\) zamiast \\(x\\) do wzoru \\(f(x) = -2x + 4\\):\n\\[g(x) = -2(x + 2) + 4\\]\n\\[g(x) = -2x - 4 + 4\\]\n\\[\\boxed{g(x) = -2x}\\]\n\n**Wynik:** funkcja \\(g\\) ma wzór \\(-2x\\), co odpowiada odpowiedzi **B**.\n\n## Sposób 2 - analiza punktów charakterystycznych\n\nZamiast rachować, sprawdzamy co dzieje się z konkretnym punktem wykresu.\n\n**Punkt na wykresie \\(f\\):** Obliczamy miejsce zerowe \\(f\\):\n\\[f(x) = 0 \\implies -2x + 4 = 0 \\implies x = 2\\]\n\nWykres \\(f\\) przecina oś \\(Ox\\) w punkcie \\((2, 0)\\).\n\n**Po przesunięciu o 2 w lewo** ten punkt przesuwa się do:\n\\[(2 - 2,\\ 0) = (0, 0)\\]\n\nZatem wykres \\(g\\) przechodzi przez punkt \\((0, 0)\\), czyli **wyraz wolny \\(g\\) wynosi \\(0\\)**.\n\nNachylenie (współczynnik \\(a\\)) nie zmienia się przy przesunięciu poziomym:\n\\[g(x) = -2x + 0 = -2x\\]\n\n**Potwierdzenie:** tylko odpowiedź **B** spełnia oba warunki: nachylenie \\(-2\\) i wyraz wolny \\(0\\). ✓\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji przesunięcia wykresu funkcji wzdłuż osi. To własność ogólna funkcji, nie wymagająca karty wzorów.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Wzór | Typowy błąd |\n| A | \\(-2x + 2\\) | Uczeń odejmuje \\(2\\) od wyrazu wolnego: \\(4 - 2 = 2\\). To błędna reguła - nie operuje się na wyrazie wolnym wprost. |\n| B | \\(-2x\\) | **POPRAWNA** |\n| C | \\(-2x + 6\\) | Uczeń **dodaje** \\(2\\) do wyrazu wolnego: \\(4 + 2 = 6\\). Myli przesunięcie w lewo z dodawaniem. |\n| D | \\(-2x + 8\\) | Uczeń **mnoży** lub liczy \\(f(x - 2)\\) zamiast \\(f(x + 2)\\): \\(-2(x-2)+4 = -2x+4+4=-2x+8\\). Pomylił kierunek - to byłoby przesunięcie w **prawo**. |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Przesunięcie w **lewo** o \\(a\\) jednostek to \\(g(x) = f(x \\mathbf{+} a)\\) - dodajemy, choć intuicja podpowiada odejmowanie. Przesunięcie w **prawo** to \\(f(x - a)\\) - odejmujemy! To najczęstszy błąd w tym typie zadania.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nie dodajemy ani nie odejmujemy od wyrazu wolnego wprost! Przesunięcie poziome działa na **argument** \\(x\\), nie na wyraz wolny. Prawidłowo: podstaw \\((x+2)\\) za \\(x\\) i dopiero upraszczaj.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Nachylenie prostej (współczynnik kierunkowy \\(-2\\)) **nie zmienia się** przy żadnym przesunięciu poziomym - wszystkie odpowiedzi mają \\(-2x\\), więc nie tędy szukaj różnicy.\n\n**Poprawna odpowiedź: B**\n\n### Sposób 1 - Reguła przesunięcia (karta wzorów)\nPrzesunięcie o \\(p\\) jednostek w lewo: \\(g(x) = f(x+p)\\). Tu \\(p=2\\).\n\\(g(x) = f(x+2) = -2(x+2) + 4 = -2x - 4 + 4 = -2x\\).\n\n### Sposób 2 - Przez punkty\n\\(f\\) ma miejsce zerowe \\(x=2\\). Po przesunięciu o 2 w lewo: \\(x=0\\). Szukamy funkcji liniowej o nachyleniu \\(-2\\) (bo przesunięcie poziome nie zmienia nachylenia), przechodzącej przez \\((0,0)\\): \\(g(x) = -2x\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(-2x+2\\)** - błędne obliczenie.\n- **C. \\(-2x+6\\)** - jakby w prawo, nie w lewo.\n- **D. \\(-2x+8\\)** - błędne dodanie.\n\n**Trik:** Przesunięcie w lewo o \\(p\\): \\(x \\to x+p\\). W prawo o \\(p\\): \\(x \\to x-p\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-7.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 7. (0-1)<br>Funkcja liniowa 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = -2𝑥+ 4. Wykres funkcji 𝑓 przesunięto<br>wzdłuż osi 𝑂𝑥 o 2 jednostki w lewo (tzn. przeciwnie do zwrotu osi), w wyniku czego<br>otrzymano wykres funkcji 𝑔. Funkcja 𝑔 jest określona wzorem<br>A. 𝑔(𝑥) = -2𝑥+ 2<br>B. 𝑔(𝑥) = -2𝑥<br>C. 𝑔(𝑥) = -2𝑥+ 6<br>D. 𝑔(𝑥) = -2𝑥+ 8<br>Rozwiązanie zadania. Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x)=-2x+4. Wykres funkcji f przesunięto wzdłuż osi Ox o 2 jednostki w lewo (tzn. przeciwnie do zwrotu osi), w wyniku czego otrzymano wykres funkcji g. Funkcja g jest określona wzorem A. g(x)=-2x+2 B. g(x)=-2x C. g(x)=-2x+6 D. g(x)=-2x+8</p>","answer_text_html":"<ol><li>W przypadku zadania wymagającego stosowania własności funkcji kwadratowej</li></ol>\n<p>zdający może otrzymać 1 punkt za wykorzystanie konkretnych własności funkcji<br>kwadratowej, istotnych przy poszukiwaniu rozwiązania.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-7.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: B - \\(g(x) = -2x\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - podstawienie do wzoru (reguła przesunięcia)</h4>\n<p><strong>Kluczowa zasada:</strong> Przesunięcie wykresu o \\(a\\) jednostek <strong>w lewo</strong> wzdłuż osi \\(Ox\\) oznacza, że nowa funkcja to:<br>\\[g(x) = f(x + a)\\]</p>\n<p>W naszym przypadku przesunięcie wynosi \\(a = 2\\) (w lewo), więc:<br>\\[g(x) = f(x + 2)\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\((x + 2)\\) zamiast \\(x\\) do wzoru \\(f(x) = -2x + 4\\):<br>\\[g(x) = -2(x + 2) + 4\\]<br>\\[g(x) = -2x - 4 + 4\\]<br>\\[\\boxed{g(x) = -2x}\\]</p>\n<p><strong>Wynik:</strong> funkcja \\(g\\) ma wzór \\(-2x\\), co odpowiada odpowiedzi <strong>B</strong>.</p>\n<h4>Sposób 2 - analiza punktów charakterystycznych</h4>\n<p>Zamiast rachować, sprawdzamy co dzieje się z konkretnym punktem wykresu.</p>\n<p><strong>Punkt na wykresie \\(f\\):</strong> Obliczamy miejsce zerowe \\(f\\):<br>\\[f(x) = 0 \\implies -2x + 4 = 0 \\implies x = 2\\]</p>\n<p>Wykres \\(f\\) przecina oś \\(Ox\\) w punkcie \\((2, 0)\\).</p>\n<p><strong>Po przesunięciu o 2 w lewo</strong> ten punkt przesuwa się do:<br>\\[(2 - 2,\\ 0) = (0, 0)\\]</p>\n<p>Zatem wykres \\(g\\) przechodzi przez punkt \\((0, 0)\\), czyli <strong>wyraz wolny \\(g\\) wynosi \\(0\\)</strong>.</p>\n<p>Nachylenie (współczynnik \\(a\\)) nie zmienia się przy przesunięciu poziomym:<br>\\[g(x) = -2x + 0 = -2x\\]</p>\n<p><strong>Potwierdzenie:</strong> tylko odpowiedź <strong>B</strong> spełnia oba warunki: nachylenie \\(-2\\) i wyraz wolny \\(0\\). ✓</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy znajomość definicji przesunięcia wykresu funkcji wzdłuż osi. To własność ogólna funkcji, nie wymagająca karty wzorów.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Wzór | Typowy błąd |<br>| A | \\(-2x + 2\\) | Uczeń odejmuje \\(2\\) od wyrazu wolnego: \\(4 - 2 = 2\\). To błędna reguła - nie operuje się na wyrazie wolnym wprost. |<br>| B | \\(-2x\\) | <strong>POPRAWNA</strong> |<br>| C | \\(-2x + 6\\) | Uczeń <strong>dodaje</strong> \\(2\\) do wyrazu wolnego: \\(4 + 2 = 6\\). Myli przesunięcie w lewo z dodawaniem. |<br>| D | \\(-2x + 8\\) | Uczeń <strong>mnoży</strong> lub liczy \\(f(x - 2)\\) zamiast \\(f(x + 2)\\): \\(-2(x-2)+4 = -2x+4+4=-2x+8\\). Pomylił kierunek - to byłoby przesunięcie w <strong>prawo</strong>. |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Przesunięcie w <strong>lewo</strong> o \\(a\\) jednostek to \\(g(x) = f(x \\mathbf{+} a)\\) - dodajemy, choć intuicja podpowiada odejmowanie. Przesunięcie w <strong>prawo</strong> to \\(f(x - a)\\) - odejmujemy! To najczęstszy błąd w tym typie zadania.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nie dodajemy ani nie odejmujemy od wyrazu wolnego wprost! Przesunięcie poziome działa na <strong>argument</strong> \\(x\\), nie na wyraz wolny. Prawidłowo: podstaw \\((x+2)\\) za \\(x\\) i dopiero upraszczaj.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Nachylenie prostej (współczynnik kierunkowy \\(-2\\)) <strong>nie zmienia się</strong> przy żadnym przesunięciu poziomym - wszystkie odpowiedzi mają \\(-2x\\), więc nie tędy szukaj różnicy.</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: B</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Reguła przesunięcia (karta wzorów)</h5>\n<p>Przesunięcie o \\(p\\) jednostek w lewo: \\(g(x) = f(x+p)\\). Tu \\(p=2\\).<br>\\(g(x) = f(x+2) = -2(x+2) + 4 = -2x - 4 + 4 = -2x\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Przez punkty</h5>\n<p>\\(f\\) ma miejsce zerowe \\(x=2\\). Po przesunięciu o 2 w lewo: \\(x=0\\). Szukamy funkcji liniowej o nachyleniu \\(-2\\) (bo przesunięcie poziome nie zmienia nachylenia), przechodzącej przez \\((0,0)\\): \\(g(x) = -2x\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(-2x+2\\)</strong> - błędne obliczenie.</li><li><strong>C. \\(-2x+6\\)</strong> - jakby w prawo, nie w lewo.</li><li><strong>D. \\(-2x+8\\)</strong> - błędne dodanie.</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> Przesunięcie w lewo o \\(p\\): \\(x \\to x+p\\). W prawo o \\(p\\): \\(x \\to x-p\\).</p>"}]}