{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/8","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"8","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 8. (0-1)\nFunkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 4 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Miejscem\nzerowym tej funkcji jest liczba (-1). Wtedy\nA. 𝑎= -4\nB. 𝑎= 1\nC. 𝑎= 4\nD. 𝑎= 5\nRozwiązanie zadania. Funkcja f jest określona wzorem f(x)=ax+4 dla każdej liczby rzeczywistej x. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba (-1). Wtedy A. a=-4 B. a=1 C. a=4 D. a=5","answer":"C","answer_text":"8. W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych\nlub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie\ntakiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.","solution":"## Poprawna odpowiedź: C - \\(a = 4\\)\n\n## Sposób 1 - podstawienie miejsca zerowego\n\n**Miejsce zerowe** funkcji to taka wartość \\(x\\), dla której \\(f(x) = 0\\).\n\nSkoro \\((-1)\\) jest miejscem zerowym, to:\n\\[f(-1) = 0\\]\n\nPodstawiamy \\(x = -1\\) do wzoru funkcji:\n\\[a \\cdot (-1) + 4 = 0\\]\n\\[-a + 4 = 0\\]\n\\[-a = -4\\]\n\\[\\boxed{a = 4}\\]\n\n**Sprawdzenie:** \\(f(x) = 4x + 4\\), więc \\(f(-1) = 4 \\cdot (-1) + 4 = -4 + 4 = 0\\). ✓\n\n## Sposób 2 - ze wzoru na miejsce zerowe funkcji liniowej\n\nFunkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) ma miejsce zerowe w punkcie:\n\\[x_0 = -\\frac{b}{a}\\]\n\nZnamy: \\(b = 4\\), \\(x_0 = -1\\). Podstawiamy:\n\\[-1 = -\\frac{4}{a}\\]\n\nMnożymy obie strony przez \\(a\\) (zakładamy \\(a \\neq 0\\)):\n\\[-a = -4\\]\n\\[\\boxed{a = 4}\\]\n\n## Wzory z karty CKE\n\nW tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego i podstawowe działania algebraiczne.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| A | Uczeń liczy \\(a = \\frac{4}{x_0} = \\frac{4}{-1} = -4\\) - zapomina o znaku minus ze wzoru \\(x_0 = -\\frac{b}{a}\\) |\n| B | Podstawia \\(f(0) = 0\\) zamiast \\(f(-1) = 0\\) - myli miejsce zerowe z wyrazem wolnym |\n| D | Dodaje zamiast wyznaczać: \\(a = 4 + (-1) = 5\\) lub podobny błąd arytmetyczny |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Miejsce zerowe to wartość \\(x\\), dla której \\(f(x) = 0\\) - **nie** punkt \\((0, f(0))\\)! Nie myl miejsca zerowego z wartością funkcji w zerze.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Po podstawieniu \\(f(-1) = 0\\) uważaj na znaki: \\(a \\cdot (-1) = -a\\), nie \\(+a\\). To właśnie tu najczęściej pojawia się błąd prowadzący do odpowiedzi A.\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Zawsze warto **sprawdzić** wynik - podstaw wyliczone \\(a\\) z powrotem do wzoru i upewnij się, że \\(f(-1) = 0\\).\n\n**Poprawna odpowiedź: C**\n\n### Sposób 1 - Podstawienie miejsca zerowego\nDla miejsca zerowego: \\(f(-1) = 0\\).\n\\(a\\cdot(-1) + 4 = 0\\)\n\\(-a + 4 = 0\\)\n\\(a = 4\\).\n\n### Sposób 2 - Wzór na miejsce zerowe funkcji liniowej\nDla \\(f(x) = ax + b\\) miejsce zerowe: \\(x_{0} = -\\dfrac{b}{a}\\).\n\\(-1 = -\\dfrac{4}{a}\\), stąd \\(a = 4\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **A. \\(a=-4\\)** - błąd znaku przy przenoszeniu.\n- **B. \\(a=1\\)** - niepoprawna manipulacja.\n- **D. \\(a=5\\)** - obliczenie \\(f(-1)=5\\) zamiast \\(=0\\).\n\n**Trik:** W miejscu zerowym \\(f(x_{0})=0\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-8.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg","topics":"funkcje","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"<p>Zadanie 8. (0-1)<br>Funkcja 𝑓 jest określona wzorem 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥+ 4 dla każdej liczby rzeczywistej 𝑥. Miejscem<br>zerowym tej funkcji jest liczba (-1). Wtedy<br>A. 𝑎= -4<br>B. 𝑎= 1<br>C. 𝑎= 4<br>D. 𝑎= 5<br>Rozwiązanie zadania. Funkcja f jest określona wzorem f(x)=ax+4 dla każdej liczby rzeczywistej x. Miejscem zerowym tej funkcji jest liczba (-1). Wtedy A. a=-4 B. a=1 C. a=4 D. a=5</p>","answer_text_html":"<ol><li>W przypadku zadania wymagającego zastosowania własności ciągów arytmetycznych</li></ol>\n<p>lub geometrycznych zdający może otrzymać 1 punkt, jeżeli przedstawi wykorzystanie<br>takiej własności ciągu, która umożliwia znalezienie rozwiązania zadania.</p>","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-8.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"<h4>Poprawna odpowiedź: C - \\(a = 4\\)</h4>\n<h4>Sposób 1 - podstawienie miejsca zerowego</h4>\n<p><strong>Miejsce zerowe</strong> funkcji to taka wartość \\(x\\), dla której \\(f(x) = 0\\).</p>\n<p>Skoro \\((-1)\\) jest miejscem zerowym, to:<br>\\[f(-1) = 0\\]</p>\n<p>Podstawiamy \\(x = -1\\) do wzoru funkcji:<br>\\[a \\cdot (-1) + 4 = 0\\]<br>\\[-a + 4 = 0\\]<br>\\[-a = -4\\]<br>\\[\\boxed{a = 4}\\]</p>\n<p><strong>Sprawdzenie:</strong> \\(f(x) = 4x + 4\\), więc \\(f(-1) = 4 \\cdot (-1) + 4 = -4 + 4 = 0\\). ✓</p>\n<h4>Sposób 2 - ze wzoru na miejsce zerowe funkcji liniowej</h4>\n<p>Funkcja liniowa \\(f(x) = ax + b\\) ma miejsce zerowe w punkcie:<br>\\[x_0 = -\\frac{b}{a}\\]</p>\n<p>Znamy: \\(b = 4\\), \\(x_0 = -1\\). Podstawiamy:<br>\\[-1 = -\\frac{4}{a}\\]</p>\n<p>Mnożymy obie strony przez \\(a\\) (zakładamy \\(a \\neq 0\\)):<br>\\[-a = -4\\]<br>\\[\\boxed{a = 4}\\]</p>\n<h4>Wzory z karty CKE</h4>\n<p>W tym zadaniu nie używamy konkretnych wzorów z karty CKE - wystarczy definicja miejsca zerowego i podstawowe działania algebraiczne.</p>\n<h4>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h4>\n<p>| Odp. | Błąd |<br>| A | Uczeń liczy \\(a = \\frac{4}{x_0} = \\frac{4}{-1} = -4\\) - zapomina o znaku minus ze wzoru \\(x_0 = -\\frac{b}{a}\\) |<br>| B | Podstawia \\(f(0) = 0\\) zamiast \\(f(-1) = 0\\) - myli miejsce zerowe z wyrazem wolnym |<br>| D | Dodaje zamiast wyznaczać: \\(a = 4 + (-1) = 5\\) lub podobny błąd arytmetyczny |</p>\n<h4>Typowe pułapki i uwagi</h4>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Miejsce zerowe to wartość \\(x\\), dla której \\(f(x) = 0\\) - <strong>nie</strong> punkt \\((0, f(0))\\)! Nie myl miejsca zerowego z wartością funkcji w zerze.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Po podstawieniu \\(f(-1) = 0\\) uważaj na znaki: \\(a \\cdot (-1) = -a\\), nie \\(+a\\). To właśnie tu najczęściej pojawia się błąd prowadzący do odpowiedzi A.</blockquote>\n<blockquote>⚠️ <strong>Uwaga:</strong> Zawsze warto <strong>sprawdzić</strong> wynik - podstaw wyliczone \\(a\\) z powrotem do wzoru i upewnij się, że \\(f(-1) = 0\\).</blockquote>\n<p><strong>Poprawna odpowiedź: C</strong></p>\n<h5>Sposób 1 - Podstawienie miejsca zerowego</h5>\n<p>Dla miejsca zerowego: \\(f(-1) = 0\\).<br>\\(a\\cdot(-1) + 4 = 0\\)<br>\\(-a + 4 = 0\\)<br>\\(a = 4\\).</p>\n<h5>Sposób 2 - Wzór na miejsce zerowe funkcji liniowej</h5>\n<p>Dla \\(f(x) = ax + b\\) miejsce zerowe: \\(x_{0} = -\\dfrac{b}{a}\\).<br>\\(-1 = -\\dfrac{4}{a}\\), stąd \\(a = 4\\).</p>\n<h5>Dlaczego inne odpowiedzi są błędne</h5>\n<ul><li><strong>A. \\(a=-4\\)</strong> - błąd znaku przy przenoszeniu.</li><li><strong>B. \\(a=1\\)</strong> - niepoprawna manipulacja.</li><li><strong>D. \\(a=5\\)</strong> - obliczenie \\(f(-1)=5\\) zamiast \\(=0\\).</li></ul>\n<p><strong>Trik:</strong> W miejscu zerowym \\(f(x_{0})=0\\).</p>"}]}