{"id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad/9","paper_id":"matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa","number":"9","points":1,"ptype":"closed","subject":"matematyka","category":"inne","year":2021,"month":"sierpien","level":"podstawowa","text":"Zadanie 9. (0-1)\nProsta 𝑘 przechodzi przez punkt 𝐴= (2, -3) i jest nachylona do osi 𝑂𝑥 pod kątem 45°\n(zobacz rysunek). Prosta 𝑘 ma równanie\nA. 𝑦= 𝑥-5\nB. 𝑦= -𝑥-1\nC. 𝑦= -𝑥+ 5\nD. 𝑦= 𝑥+ 5\n45°\n𝑥\n𝑦\n𝑂\n𝑘\n\nEMAP-P0_100\nBRUDNOPIS (nie podlega ocenie)\n\nEMAP-P0_100\nRozwiązanie zadania. Prosta k przechodzi przez punkt A=(2,-3) i jest nachylona do osi Ox pod kątem 45° (zobacz rysunek). Prosta k ma równanie A. y=x-5 B. y=-x-1 C. y=-x+5 D. y=x+5","answer":"A","answer_text":"9. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na\npłaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu\nrozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur\ngeometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.\n10. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać\nprzynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych\nsprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje\nprawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.","solution":"## Poprawna odpowiedź: A\n\n\\[y = x - 5\\]\n\n## Sposób 1 - kąt nachylenia → współczynnik kierunkowy → równanie prostej\n\n**Krok 1: Wyznacz współczynnik kierunkowy z kąta nachylenia.**\n\nKąt nachylenia prostej do osi \\(Ox\\) wynosi \\(45°\\), więc:\n\\[a = \\operatorname{tg} 45° = 1\\]\n\n**Krok 2: Skorzystaj z równania prostej przechodzącej przez dany punkt.**\n\nProsta o współczynniku kierunkowym \\(a = 1\\) przechodząca przez \\(A = (2, -3)\\):\n\\[y - y_A = a(x - x_A)\\]\n\\[y - (-3) = 1 \\cdot (x - 2)\\]\n\\[y + 3 = x - 2\\]\n\\[\\boxed{y = x - 5}\\]\n\n## Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie punktu\n\nSprawdzamy, czy punkt \\(A = (2, -3)\\) leży na prostej \\(y = x - 5\\):\n\\[y = 2 - 5 = -3 \\checkmark\\]\n\nWspółczynnik kierunkowy \\(a = 1\\), więc \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 1\\), czyli \\(\\alpha = 45°\\checkmark\\)\n\nOba warunki zadania są spełnione - odpowiedź A jest poprawna.\n\n## Wzory z karty CKE\n\n**Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25)** - równanie kierunkowe prostej:\n\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]\nUżyte w Sposobie 1: kąt \\(\\alpha = 45°\\) dał nam wprost współczynnik kierunkowy \\(a = \\operatorname{tg} 45° = 1\\).\n\n**Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14)** - wartość funkcji trygonometrycznej:\n\\[\\operatorname{tg} 45° = 1\\]\nKluczowy fakt z tablicy wartości kątów wybranych.\n\n## Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n\n| Odp. | Błąd |\n| B | Przyjęto \\(a = -1\\) (jakby kąt był \\(135°\\)), a potem zły wyraz wolny - podstawiając \\(A=(2,-3)\\): \\(-3 = -2-1 = -3\\) ✓, ale \\(\\operatorname{tg}135° = -1 \\neq 1\\) - kąt nachylenia to \\(135°\\), nie \\(45°\\) |\n| C | Przyjęto \\(a = -1\\) (kąt \\(135°\\)), punkt nie pasuje: \\(-3 = -2 + 5 = 3\\) ✗ - podwójny błąd |\n| D | Poprawny kąt (\\(a = 1\\)), ale błędne obliczenie wyrazu wolnego: \\(-3 = 2 + b \\Rightarrow b = -5\\), a nie \\(b = +5\\) - błąd znaku |\n\n## Typowe pułapki i uwagi\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Kąt nachylenia prostej to kąt **między prostą a dodatnim kierunkiem osi \\(Ox\\)**. Dla \\(45°\\) mamy \\(\\operatorname{tg} 45° = 1 > 0\\) - prosta rośnie. Dla kąta \\(135°\\) byłoby \\(\\operatorname{tg} 135° = -1\\) - prosta maleje. Nie myl tych dwóch przypadków!\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Wyraz wolny \\(b\\) wyznaczamy **po** ustaleniu \\(a\\), podstawiając współrzędne danego punktu. Typowy błąd: pomylenie znaku przy \\(y_A = -3\\) (zamiast \\(b = -3 - 2 = -5\\) uczeń liczy \\(-3 + 2 = -1\\) lub \\(3 + 2 = 5\\)).\n\n> ⚠️ **Uwaga:** Równanie prostej w postaci \\(y - y_0 = a(x - x_0)\\) to niezawodny schemat - wystarczy podstawić współczynnik kierunkowy i współrzędne punktu. Nie trzeba zgadywać \\(b\\) osobno.\n\n**Poprawna odpowiedź: A**\n\n### Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy z kąta nachylenia (karta wzorów)\n\\(a = \\tg 45^{\\circ} = 1\\). Równanie: \\(y = x + b\\).\nPodstawiamy \\(A=(2,-3)\\): \\(-3 = 2 + b\\), stąd \\(b = -5\\).\nProsta: \\(y = x - 5\\).\n\n### Sposób 2 - Równanie prostej przez punkt\n\\(y - y_{0} = a(x - x_{0})\\): \\(y-(-3) = 1\\cdot(x-2)\\), czyli \\(y + 3 = x - 2\\), stąd \\(y = x - 5\\).\n\n### Dlaczego inne odpowiedzi są błędne\n- **B. \\(y=-x-1\\)** - zły znak \\(a\\) (kąt \\(135^{\\circ}\\)).\n- **C. \\(y=-x+5\\)** - zły znak \\(a\\).\n- **D. \\(y=x+5\\)** - błąd w znaku \\(b\\).\n\n**Trik:** \\(a = \\tg\\alpha\\), gdzie \\(\\alpha\\) - kąt z osią \\(Ox\\).","image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/zad-9.webp","solution_image":"img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg","topics":"analityczna","page_from":4,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"maturazai","text_source":"site","source_label":"Matematyka · Inne · sierpień 2021 (podstawowa)","subject_label":"Matematyka","category_label":"Inne","text_html":"

Zadanie 9. (0-1)
Prosta 𝑘 przechodzi przez punkt 𝐴= (2, -3) i jest nachylona do osi 𝑂𝑥 pod kątem 45°
(zobacz rysunek). Prosta 𝑘 ma równanie
A. 𝑦= 𝑥-5
B. 𝑦= -𝑥-1
C. 𝑦= -𝑥+ 5
D. 𝑦= 𝑥+ 5
45°
𝑥
𝑦
𝑂
𝑘

\n

EMAP-P0_100
BRUDNOPIS (nie podlega ocenie)

\n

EMAP-P0_100
Rozwiązanie zadania. Prosta k przechodzi przez punkt A=(2,-3) i jest nachylona do osi Ox pod kątem 45° (zobacz rysunek). Prosta k ma równanie A. y=x-5 B. y=-x-1 C. y=-x+5 D. y=x+5

","answer_text_html":"
  1. W przypadku zadania wymagającego analizowania figur geometrycznych na
\n

płaszczyźnie kartezjańskiej zdający może otrzymać punkty, jeżeli przy poszukiwaniu
rozwiązania przedstawi poprawne rozumowanie, wykorzystujące własności figur
geometrycznych lub zapisze zależności, pozwalające rozwiązać zadanie.

\n
  1. W przypadku zadania z rachunku prawdopodobieństwa zdający może otrzymać
\n

przynajmniej 1 punkt, jeśli przy wyznaczaniu liczby zdarzeń elementarnych
sprzyjających rozważanemu zdarzeniu przyjmuje określoną regularność lub podaje
prawidłową metodę wyznaczenia tej liczby zdarzeń elementarnych.

","solutions":[{"source":"site","label":"matematykaszkolna.pl","kind":"image","image":"/img/matematyka-2021-sierpien-poprawkowa-podstawowa/sol-9.svg"},{"source":"maturazai","label":"maturazai.pl (AI)","kind":"text","html":"

Poprawna odpowiedź: A

\n

\\[y = x - 5\\]

\n

Sposób 1 - kąt nachylenia → współczynnik kierunkowy → równanie prostej

\n

Krok 1: Wyznacz współczynnik kierunkowy z kąta nachylenia.

\n

Kąt nachylenia prostej do osi \\(Ox\\) wynosi \\(45°\\), więc:
\\[a = \\operatorname{tg} 45° = 1\\]

\n

Krok 2: Skorzystaj z równania prostej przechodzącej przez dany punkt.

\n

Prosta o współczynniku kierunkowym \\(a = 1\\) przechodząca przez \\(A = (2, -3)\\):
\\[y - y_A = a(x - x_A)\\]
\\[y - (-3) = 1 \\cdot (x - 2)\\]
\\[y + 3 = x - 2\\]
\\[\\boxed{y = x - 5}\\]

\n

Sposób 2 - weryfikacja przez podstawienie punktu

\n

Sprawdzamy, czy punkt \\(A = (2, -3)\\) leży na prostej \\(y = x - 5\\):
\\[y = 2 - 5 = -3 \\checkmark\\]

\n

Współczynnik kierunkowy \\(a = 1\\), więc \\(\\operatorname{tg}\\alpha = 1\\), czyli \\(\\alpha = 45°\\checkmark\\)

\n

Oba warunki zadania są spełnione - odpowiedź A jest poprawna.

\n

Wzory z karty CKE

\n

Dział 11 (Geometria analityczna, s. 22-25) - równanie kierunkowe prostej:
\\[y = ax + b, \\quad \\text{gdzie } a = \\operatorname{tg}\\alpha\\]
Użyte w Sposobie 1: kąt \\(\\alpha = 45°\\) dał nam wprost współczynnik kierunkowy \\(a = \\operatorname{tg} 45° = 1\\).

\n

Dział 9 (Trygonometria, s. 11-14) - wartość funkcji trygonometrycznej:
\\[\\operatorname{tg} 45° = 1\\]
Kluczowy fakt z tablicy wartości kątów wybranych.

\n

Dlaczego inne odpowiedzi są błędne

\n

| Odp. | Błąd |
| B | Przyjęto \\(a = -1\\) (jakby kąt był \\(135°\\)), a potem zły wyraz wolny - podstawiając \\(A=(2,-3)\\): \\(-3 = -2-1 = -3\\) ✓, ale \\(\\operatorname{tg}135° = -1 \\neq 1\\) - kąt nachylenia to \\(135°\\), nie \\(45°\\) |
| C | Przyjęto \\(a = -1\\) (kąt \\(135°\\)), punkt nie pasuje: \\(-3 = -2 + 5 = 3\\) ✗ - podwójny błąd |
| D | Poprawny kąt (\\(a = 1\\)), ale błędne obliczenie wyrazu wolnego: \\(-3 = 2 + b \\Rightarrow b = -5\\), a nie \\(b = +5\\) - błąd znaku |

\n

Typowe pułapki i uwagi

\n
⚠️ Uwaga: Kąt nachylenia prostej to kąt między prostą a dodatnim kierunkiem osi \\(Ox\\). Dla \\(45°\\) mamy \\(\\operatorname{tg} 45° = 1 > 0\\) - prosta rośnie. Dla kąta \\(135°\\) byłoby \\(\\operatorname{tg} 135° = -1\\) - prosta maleje. Nie myl tych dwóch przypadków!
\n
⚠️ Uwaga: Wyraz wolny \\(b\\) wyznaczamy po ustaleniu \\(a\\), podstawiając współrzędne danego punktu. Typowy błąd: pomylenie znaku przy \\(y_A = -3\\) (zamiast \\(b = -3 - 2 = -5\\) uczeń liczy \\(-3 + 2 = -1\\) lub \\(3 + 2 = 5\\)).
\n
⚠️ Uwaga: Równanie prostej w postaci \\(y - y_0 = a(x - x_0)\\) to niezawodny schemat - wystarczy podstawić współczynnik kierunkowy i współrzędne punktu. Nie trzeba zgadywać \\(b\\) osobno.
\n

Poprawna odpowiedź: A

\n
Sposób 1 - Współczynnik kierunkowy z kąta nachylenia (karta wzorów)
\n

\\(a = \\tg 45^{\\circ} = 1\\). Równanie: \\(y = x + b\\).
Podstawiamy \\(A=(2,-3)\\): \\(-3 = 2 + b\\), stąd \\(b = -5\\).
Prosta: \\(y = x - 5\\).

\n
Sposób 2 - Równanie prostej przez punkt
\n

\\(y - y_{0} = a(x - x_{0})\\): \\(y-(-3) = 1\\cdot(x-2)\\), czyli \\(y + 3 = x - 2\\), stąd \\(y = x - 5\\).

\n
Dlaczego inne odpowiedzi są błędne
\n\n

Trik: \\(a = \\tg\\alpha\\), gdzie \\(\\alpha\\) - kąt z osią \\(Ox\\).

"}]}