{"id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad/17","paper_id":"matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy","number":"17","points":2,"ptype":"open","subject":"matematyka","category":"egzamin-osmoklasisty","year":2022,"month":"czerwiec","level":null,"text":"Zadanie 17. (0-2)\nJanek miał łącznie 84 piłeczki, z których każda była w jednym z trzech kolorów:\nczerwonym, zielonym lub niebieskim. Liczby piłeczek czerwonych, zielonych i niebieskich są\n- odpowiednio - kolejnymi liczbami podzielnymi przez 7. Janek rozdzielił wszystkie piłeczki\nna siedem identycznych zestawów, przy czym w każdym z nich znalazły się piłeczki w trzech\nkolorach.\nOblicz, ile piłeczek czerwonych, ile - zielonych, a ile - niebieskich było w jednym\nzestawie. Zapisz obliczenia.\nOMAP-100-2206","answer":null,"answer_text":"Zadanie 17. (0-2)\nZasady oceniania\n2 punkty - pełne rozwiązanie\n• poprawny sposób obliczenia liczby piłeczek czerwonych, zielonych i niebieskich\nw każdym zestawie, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik (3 czerwone, 4 zielone,\n5 niebieskich),\nLUB\n• sprawdzenie warunków zadania dla liczb piłeczek każdego koloru spośród 84 piłeczek, które\nna początku miał Janek (21 czerwonych, 28 zielonych, 35 niebieskich), prawidłowe\nobliczenia oraz prawidłowy wynik (3 czerwone, 4 zielone, 5 niebieskich).\n1 punkt\n• poprawny sposób obliczenia liczby piłeczek każdego koloru spośród 84 piłeczek, które\nna początku miał Janek (21 czerwonych, 28 zielonych, 35 niebieskich), np. wypisanie\nkolejnych liczb podzielnych przez 7 i sprawdzenie, czy ich suma jest równa 84,\nLUB\n• ułożenie poprawnego równania prowadzącego do obliczenia wszystkich piłeczek\nczerwonych, np. zapisanie\n𝑐+ (𝑐+ 7) + (𝑐+ 14) = 84\nalbo zielonych, np. zapisanie\n(𝑧-7) + 𝑧+ (𝑧+ 7) = 84\nalbo niebieskich, np. zapisanie\n(𝑛-14) + (𝑛-7) + 𝑛= 84\n(lub zapisy równoważne),\nLUB\n• zapisanie równości 21 + 28 + 35 = 84,\nLUB\n• poprawny sposób obliczenia wszystkich piłeczek w jednym z siedmiu zestawów\n(84 ∶7 = 12).\n0 punktów\nrozwiązanie błędne, albo brak rozwiązania.\nWymagania egzaminacyjne 2022\nWymaganie ogólne\nWymaganie szczegółowe\nIV. Rozumowanie i argumentacja.\n1. Przeprowadzanie prostego rozumowania,\npodawanie argumentów uzasadniających\npoprawność rozumowania, rozróżnianie\ndowodu od przykładu.\nXXII. Zadania tekstowe. Uczeń:\n5) do rozwiązywania zadań osadzonych\nw kontekście praktycznym stosuje poznaną\nwiedzę z zakresu arytmetyki i geometrii\noraz nabyte umiejętności rachunkowe,\na także własne poprawne metody.\nZasady oceniania rozwiązań zadań\nPrzykładowe rozwiązania\nI sposób\nWypiszemy kolejne liczby podzielne przez 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 …\nSzukamy trzech liczb, których suma jest równa 84:\n14 + 21 + 28 = 63\n63 < 84\n21 + 28 + 35 = 84\n84 = 84\nSzukane liczby to: 21, 28, 35.\nZauważamy, że szukane liczby, które są podzielne przez 7 odpowiadają kolejno piłeczkom\nw kolorach: czerwonym, zielonym, niebieskim, a więc Janek ma:\n21 piłeczek czerwonych\n28 piłeczek zielonych\n35 piłeczek niebieskich\nJanek rozdzielił wszystkie piłeczki na 7 identycznych zestawów, w każdym zestawie były\npiłeczki w trzech kolorach, zatem możemy obliczyć, że jeden zestaw zawiera:\n21: 7 = 3 czerwone piłeczki\n28: 7 = 4 zielone piłeczki\n35: 7 = 5 niebieskich piłeczek\nOdpowiedź: Liczba piłeczek w jednym zestawie: czerwonych: 3, zielonych: 4, niebieskich: 5.\nII sposób\n𝑥- liczba piłeczek czerwonych\n𝑥+ 7 - liczba piłeczek zielonych\n𝑥+ 14 - liczba piłeczek niebieskich\nSuma wszystkich piłeczek jest równa 84, zatem możemy rozwiązać równanie:\n𝑥+ 𝑥+ 7 + 𝑥+ 14 = 84\n𝑥= 21\nObliczymy liczbę piłeczek w każdym z trzech kolorów:\n21 - liczba piłeczek czerwonych\n21 + 7 = 28 - liczba piłeczek zielonych\n21 + 14 = 35 - liczba piłeczek niebieskich\nObliczymy liczbę piłeczek w każdym zestawie:\n21 ∶7 = 3 - czerwone\n28 ∶7 = 4 - zielone\n35 ∶7 = 5 - niebieskie\nOdpowiedź: Liczba piłeczek w jednym zestawie: czerwonych: 3, zielonych: 4, niebieskich: 5.\nEgzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2022 r.\nIII sposób\nObliczymy liczbę piłeczek w każdym z 7 jednakowych zestawów:\n84 ∶7 = 12\nJeśli liczby wszystkich piłeczek czerwonych, zielonych i niebieskich są odpowiednio kolejnymi\nliczbami podzielnymi 7, to w każdym z zestawów liczby piłeczek różnych kolorów są kolejnymi\nliczbami naturalnymi, których suma jest równa 12.\nLiczby, które spełniają ten warunek to: 3, 4, 5.\nOdpowiedź: Liczba piłeczek w jednym zestawie: czerwonych: 3, zielonych: 4, niebieskich: 5.","solution":"Liczby piłeczek to trzy kolejne wielokrotności 7:\n\n7x, 7(x+1), 7(x+2)\n\n7x+7(x+1)+7(x+2)=84\n\n21x+21=84⇒ x=3\n\nŁącznie było 21,28,35 piłeczek. Po podziale na 7 zestawów:\n\n21:7=3, 28:7=4, 35:7=5\n\nOdpowiedź: 3 czerwone, 4 zielone, 5 niebieskich.","image":"img/matematyka-2022-czerwiec-egzamin-osmoklasisty-dodatkowy/zad-17.webp","solution_image":null,"topics":"Równania","page_from":15,"source":"ocr","answer_source":null,"answer_text_source":"ocr","solution_source":"matematykaorg","text_source":"ocr","source_label":"Matematyka · Egzamin ósmoklasisty · czerwiec 2022","subject_label":"Matematyka","category_label":"Egzamin ósmoklasisty","text_html":"

Zadanie 17. (0-2)
Janek miał łącznie 84 piłeczki, z których każda była w jednym z trzech kolorów:
czerwonym, zielonym lub niebieskim. Liczby piłeczek czerwonych, zielonych i niebieskich są

\n\n

na siedem identycznych zestawów, przy czym w każdym z nich znalazły się piłeczki w trzech
kolorach.
Oblicz, ile piłeczek czerwonych, ile - zielonych, a ile - niebieskich było w jednym
zestawie. Zapisz obliczenia.
OMAP-100-2206

","answer_text_html":"

Zadanie 17. (0-2)
Zasady oceniania
2 punkty - pełne rozwiązanie
• poprawny sposób obliczenia liczby piłeczek czerwonych, zielonych i niebieskich
w każdym zestawie, prawidłowe obliczenia oraz prawidłowy wynik (3 czerwone, 4 zielone,
5 niebieskich),
LUB
• sprawdzenie warunków zadania dla liczb piłeczek każdego koloru spośród 84 piłeczek, które
na początku miał Janek (21 czerwonych, 28 zielonych, 35 niebieskich), prawidłowe
obliczenia oraz prawidłowy wynik (3 czerwone, 4 zielone, 5 niebieskich).
1 punkt
• poprawny sposób obliczenia liczby piłeczek każdego koloru spośród 84 piłeczek, które
na początku miał Janek (21 czerwonych, 28 zielonych, 35 niebieskich), np. wypisanie
kolejnych liczb podzielnych przez 7 i sprawdzenie, czy ich suma jest równa 84,
LUB
• ułożenie poprawnego równania prowadzącego do obliczenia wszystkich piłeczek
czerwonych, np. zapisanie
𝑐+ (𝑐+ 7) + (𝑐+ 14) = 84
albo zielonych, np. zapisanie
(𝑧-7) + 𝑧+ (𝑧+ 7) = 84
albo niebieskich, np. zapisanie
(𝑛-14) + (𝑛-7) + 𝑛= 84
(lub zapisy równoważne),
LUB
• zapisanie równości 21 + 28 + 35 = 84,
LUB
• poprawny sposób obliczenia wszystkich piłeczek w jednym z siedmiu zestawów
(84 ∶7 = 12).
0 punktów
rozwiązanie błędne, albo brak rozwiązania.
Wymagania egzaminacyjne 2022
Wymaganie ogólne
Wymaganie szczegółowe
IV. Rozumowanie i argumentacja.

\n
  1. Przeprowadzanie prostego rozumowania,
\n

podawanie argumentów uzasadniających
poprawność rozumowania, rozróżnianie
dowodu od przykładu.
XXII. Zadania tekstowe. Uczeń:

\n
  1. do rozwiązywania zadań osadzonych
\n

w kontekście praktycznym stosuje poznaną
wiedzę z zakresu arytmetyki i geometrii
oraz nabyte umiejętności rachunkowe,
a także własne poprawne metody.
Zasady oceniania rozwiązań zadań
Przykładowe rozwiązania
I sposób
Wypiszemy kolejne liczby podzielne przez 7: 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49 …
Szukamy trzech liczb, których suma jest równa 84:
14 + 21 + 28 = 63
63 < 84
21 + 28 + 35 = 84
84 = 84
Szukane liczby to: 21, 28, 35.
Zauważamy, że szukane liczby, które są podzielne przez 7 odpowiadają kolejno piłeczkom
w kolorach: czerwonym, zielonym, niebieskim, a więc Janek ma:
21 piłeczek czerwonych
28 piłeczek zielonych
35 piłeczek niebieskich
Janek rozdzielił wszystkie piłeczki na 7 identycznych zestawów, w każdym zestawie były
piłeczki w trzech kolorach, zatem możemy obliczyć, że jeden zestaw zawiera:
21: 7 = 3 czerwone piłeczki
28: 7 = 4 zielone piłeczki
35: 7 = 5 niebieskich piłeczek
Odpowiedź: Liczba piłeczek w jednym zestawie: czerwonych: 3, zielonych: 4, niebieskich: 5.
II sposób
𝑥- liczba piłeczek czerwonych
𝑥+ 7 - liczba piłeczek zielonych
𝑥+ 14 - liczba piłeczek niebieskich
Suma wszystkich piłeczek jest równa 84, zatem możemy rozwiązać równanie:
𝑥+ 𝑥+ 7 + 𝑥+ 14 = 84
𝑥= 21
Obliczymy liczbę piłeczek w każdym z trzech kolorów:
21 - liczba piłeczek czerwonych
21 + 7 = 28 - liczba piłeczek zielonych
21 + 14 = 35 - liczba piłeczek niebieskich
Obliczymy liczbę piłeczek w każdym zestawie:
21 ∶7 = 3 - czerwone
28 ∶7 = 4 - zielone
35 ∶7 = 5 - niebieskie
Odpowiedź: Liczba piłeczek w jednym zestawie: czerwonych: 3, zielonych: 4, niebieskich: 5.
Egzamin ósmoklasisty z matematyki - termin dodatkowy 2022 r.
III sposób
Obliczymy liczbę piłeczek w każdym z 7 jednakowych zestawów:
84 ∶7 = 12
Jeśli liczby wszystkich piłeczek czerwonych, zielonych i niebieskich są odpowiednio kolejnymi
liczbami podzielnymi 7, to w każdym z zestawów liczby piłeczek różnych kolorów są kolejnymi
liczbami naturalnymi, których suma jest równa 12.
Liczby, które spełniają ten warunek to: 3, 4, 5.
Odpowiedź: Liczba piłeczek w jednym zestawie: czerwonych: 3, zielonych: 4, niebieskich: 5.

","solutions":[{"source":"matematykaorg","label":"matematyka.org.pl","kind":"text","html":"

Liczby piłeczek to trzy kolejne wielokrotności 7:

\n

7x, 7(x+1), 7(x+2)

\n

7x+7(x+1)+7(x+2)=84

\n

21x+21=84⇒ x=3

\n

Łącznie było 21,28,35 piłeczek. Po podziale na 7 zestawów:

\n

21:7=3, 28:7=4, 35:7=5

\n

Odpowiedź: 3 czerwone, 4 zielone, 5 niebieskich.

"}]}